Fourier-Reihen. f T h f, T h f(x) := f(x h),

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1 5 Fourier-Reihen Fourier-Theorie handelt von Funktionen f : X C, deren Definitionsbereich X translationssymmetrisch ist. In diesem Buch werden drei Typen behandelt: Periodische Funktionen f : R/2 C ; Zeitsignale f : R C ; periodische diskrete Datensätze; gemeint sind Funktionen y. : Z/N C, k y k. Grundfunktionen der Theorie sind jene Funktionen, die die Translationssymmetrie von X gewissermassen verinnerlicht haben. Bezeichnet man für einen Moment die Translation von Funktionsgraphen um h nach rechts mit T h : f T h f, T h fx := fx h, so stellt man folgendes fest: Unter allen Funktionen haben die Exponentialfunktionen e ω : R C, x e iωx ω R die besondere Eigenschaft, dass sie sich unter Translationen T h mit einem konstanten Faktor multiplizieren und ausserdem den konstanten Betrag haben: e iωx h e iωh e iωx x R, d.h. T h e ω = e iωh e ω.

2 26 5 Fourier-Reihen Da das Differenzieren auf einen Vergleich von T h f mit f für h hinausläuft, multiplizieren sich diese Funktionen auch unter dem Ableitungsoperator D : f f mit einer Konstanten: Bekanntlich gilt d dx eiωx = iω e iωx, d.h. De ω = iω e ω. Ist X = R/2, so können wir nicht jedes ω R gebrauchen, da die Grundfunktionen selbst natürlich auch 2-periodisch sein müssen. Aus der Bedingung e iωx+2 e iωx folgt für ω die Bedingung e 2iω =, d.h. ω Z. Die Grundfunktionen dieses Kapitels sind demnach die Funktionen e k : t e ikt k Z, wobei wir wahlweise R oder R/2 als Definitionsbereich ansehen können. Das zentrale Problem ist in allen drei der oben angeführten Bereiche dasselbe: eine beliebige Funktion f : X C als Linearkombination der jeweiligen Grundfunktionen darzustellen. Dass das in allen drei Fällen geht, ist eigentlich ein Wunder: Man musste ja damit rechnen, dass mit Hilfe der e ω nur die harmonischen Anteile eines gegebenen f dargestellt werden können und dann immer noch ein unharmonischer Rest übrigbleibt. In Wirklichkeit hängt alles zusammen: Die sogenannte abstrakte harmonische Analysis ermöglicht, den Inhalt der Kapitel 5 7 und mehr unter einem einheitlichen Gesichtspunkt darzustellen. 5. Definitionen Eine endliche Linearkombination c k e ikt bzw. k= N a N 2 + ak coskt + b k sinkt 2 der Funktionen heisst ein trigonometrisches Polynom vom Grad N, und eine formale Reihe c k e ikt a bzw. 2 + ak coskt + b k sinkt 3 k=

3 5. Definitionen 27 heisst eine trigonometrische Reihe. In diesem Kapitel geht es darum, beliebige gegebene oder gesuchte 2-periodische Funktionen f : R C, ft + 2 ft, durch trigonometrische Polynome zu approximieren bzw. durch eine trigonometrische Reihe tatsächlich darzustellen. Hiermit ist folgendes gemeint: Für fast alle t R gilt ft = k= c k e ikt := lim N k= N c k e ikt. 4 Das fast bezieht sich auf den folgenden Sachverhalt: Wir möchten auch Funktionen mit Sprungstellen vielleicht sogar mit logarithmischen Spitzen in dieser Weise darstellen. In derartigen Ausnahmepunkten ist die korrekte Wiedergabe des Funktionswerts nicht gewährleistet. Wir werden uns das weiter unten im einzelnen ansehen. In 2 und 3 wurde sowohl eine komplexe wie eine reelle Schreibweise der Fourier-Objekte angeboten. Damit hat es folgende Bewandtnis: Für theoretische Betrachtungen ist die komplexe Schreibweise unbedingt vorzuziehen. In konkreten Beispielen jedoch geht es meistens um reellwertige Funktionen, häufig noch mit Symmetrien gerade, ungerade, u.a., und da erweist sich die reelle Schreibweise als vorteilhafter, da sie die in f vorhandenen Symmetrien reproduziert: Ist f reellwertig, so sind auch alle a k und alle b k reell; ist f gerade, so treten nur Cosinusterme auf, und ist f ungerade, so treten nur Sinusterme auf s.u.. Um die c k k Z und die a k, b k k N ineinander umzurechnen, betrachten wir ein festes k >. Aus e iτ = cos τ + i sin τ folgt c k e ikt + c k e ikt a k coskt + b k sinkt mit a k = c k + c k, b k = ic k c k k >, 5 und hieraus ergibt sich umgekehrt c k = 2 a k ib k, c k = 2 a k + ib k k >. 6 Ferner erweist es sich als zweckmässig, a := 2c und b := zu setzen; damit treffen 5 und 6 auch noch für k = zu.

4 28 5 Fourier-Reihen Dass sich jede vernünftige Funktion f : R/2 C in der Form 4 darstellen lässt, ist ein fundamentaler Existenzsatz, der nicht leicht zu beweisen ist; davon unten mehr. Überraschend einfach ist es jedoch, Formeln für die Koeffizienten c k bzw. a k, b k einer derartigen Darstellung anzugeben. 5. In der Darstellung ft = k= c k e ikt bzw. ft = a 2 + ak coskt + b k sinkt einer Funktion f : R/2 C sind die Koeffizienten c k bzw. a k, b k durch folgende Formeln gegeben: c k = 2 a k b k = = ft e ikt dt k Z, 7 ft coskt dt k, ft sinkt dt k. Dabei darf auch über ein anderes Intervall der Länge 2 integriert werden. Der Zusatz am Schluss ist ziemlich klar; er beruht darauf, dass wir den Kreis R/2 an einer beliebigen Stelle aufschneiden können, um ein passendes Integrationsintervall zu erhalten. Auf diesen Punkt werden wir im weiteren nicht jedesmal hinweisen. Für den Beweis von 5. benötigen wir ein Instrument, das wir aus der Geometrie bzw. aus der linearen Algebra entlehnen, nämlich ein Skalarprodukt für 2-periodische Funktionen. Sind f und g zwei derartige Funktionen, so ist ihr Skalarprodukt, eine komplexe Zahl, definiert durch f, g := ftgt dt 2 und entsprechend die Norm f von f auch 2-Norm genannt durch f 2 = f, f = ft 2 dt. 2

5 5. Definitionen 29 Dieses Skalarprodukt besitzt die aus der linearen Algebra bekannten Eigenschaften Bilinearität, Schwarzsche Ungleichung, usw.; wir verzichten darauf, sie im einzelnen aufzuführen. Gilt f, g =, so heissen f und g zueinander orthogonal. Für unsere Grundfunktionen bestehen die folgenden Orthogonalitätsrelationen: 5.2 a Für die Funktionen e k : t e ikt gilt e k, e l = δ kl := { k = l k l. b coskt coslt dt = sinkt sinlt dt = δ kl k, l,, coskt sinlt dt = k, l. Wir beweisen nur a: e k, e l = 2 e ikt e 2 ilt dt = 2 e ik lt dt 2 2 = k = l 2 = 2 2 ik l eik lt = k l Damit kommen wir zum Beweis der Koeffizientenformeln 5.. Es genügt, über die c k zu argumentieren; die Formeln für die a k und die b k ergeben sich dann unmittelbar aus 5. Wir schreiben die Darstellung ft = k c ke ikt in der Form f = k= c k e k und multiplizieren auf beiden Seiten skalar mit e n, n Z beliebig. Es ergibt sich f, e n = c k e k, e n = c n, 8 k=

6 3 5 Fourier-Reihen denn alle Skalarprodukte e k, e n mit k n sind, und e n, e n =. Lesen wir 8 von rechts nach links, so erhalten wir nach Definition des Skalarprodukts c n = f, e n = fte int dt, 2 wie behauptet. Wir sind nun einen Schritt weiter: Ist eine beliebige 2-periodische Funktion f : R C gegeben, so definieren die Formeln 7 einen Koeffizientenvektor ck k Z. Mit den ck lässt sich jedenfalls die formale Reihe k c ke ikt bilden. Diese Reihe heisst Fourier-Reihe von f und ist der einzig mögliche Kandidat für eine Darstellung 4. Um auszudrücken, dass die c k mit Hilfe von 7 aus f erhalten wurden, schreibt man gelegentlich ft k= c k e ikt. 9 Wir hoffen natürlich, dass der unter möglichst schwachen Voraussetzungen durch = ersetzt werden kann. Bevor wir dazu kommen, noch drei Ergänzungen:. Man kann den Koeffizientenvektor c k k Z als Funktion f : Z C, k fk := f, e k auffassen; diese Funktion wird Fourier-Transformierte der Ausgangsfunktion f genannt. Die Schreibweise f ist manchmal praktischer, da sie die Herkunft von f ausweist, was bei den c k nicht der Fall ist. 2. Durch Inspektion der Koeffizientenformeln 5. bestätigt man ohne weiteres die folgenden Rechenregeln, die z.t. schon weiter oben erwähnt worden sind: 5.3 a Die Fourier-Transformation f f ist linear: f + g = f + ĝ, λ f = λ f λ C. b Ist f reellwertig, so gilt c k = c k k Z bzw. a k R, b k R k.

7 5. Definitionen 3 c Ist f eine gerade Funktion, so sind alle b k gleich, und es gilt a k = 2 ft coskt dt k. d Ist f eine ungerade Funktion, so sind alle a k gleich, und es gilt b k = 2 ft sinkt dt k. 3. Ist die Funktion f : R C periodisch mit einer gewissen Periode T > anstelle von 2, so sieht ihre Fourier-Reihe folgendermassen aus: ft k= c k e 2kit/T bzw. ft a 2 + a k cos 2kt T Die Koeffizientenformeln 5.2 gehen über in + b k sin 2kt. T 5.3 e c k = T T fte 2kit/T dt, f a k = 2 T T ft cos 2kt T dt, b k = 2 T T ft sin 2kt T dt. Es geht nun um den Sachverhalt 4. In den Lehrbüchern über Fourier- Reihen finden sich dazu unzählige Sätze. Wir bringen hier nur einen einzigen, den wir dann auch tatsächlich beweisen werden. Um ihn zu formulieren, führen wir noch die folgende allgemein übliche Bezeichnung ein: Ist eine Funktion f : R/2 C vereinbart, so bezeichnet s N die N-te Partialsumme der Fourier-Reihe von f: s N t := k= N c k e ikt = a N 2 + ak coskt + b k sinkt ;

8 32 5 Fourier-Reihen es handelt sich dabei um ein trigonometrisches Polynom vom Grad N. Der angekündigte Satz lautet: 5.4 Die Funktion f : R/2 C sei C-lipstetig, das heisst, es gelte ft ft C t t t, t. Dann trifft für alle t die folgende Fehlerabschätzung zu: ft s N t 8C N. Insbesondere gilt lim N s N t = ft für alle t. Dieser Satz garantiert schon einmal die Konvergenz gegen den erwarteten Wert unter recht schwachen Voraussetzungen. In vielen Fällen ist die Konvergenz wesentlich besser, als vermuten lässt. Allgemein lässt sich folgendes sagen: Je glatter die Funktion f, desto schneller gehen die c k mit k gegen, und desto schneller konvergieren die s N gegen f. 5.2 Beispiele Trigonometrische Polynome sind natürlich ihre eigenen Fourier-Reihen. Fast dasselbe ist es mit algebraischen Polynomen in sin t und cos t. Bsp: cos 4 t + sin 4 t, cos N t Derartige Polynome können mit algebraischen Mitteln, d.h. ohne Integration, auf trigonometrische Polynome im eigentlichen Sinn umgerechnet werden, womit sie bereits nach Fourier entwickelt sind. Bsp: cos N t = e it + e it N /2 N = e int e int /2 N. Es sei weiter f eine in der Umgebung von D C analytische Funktion. Es gibt dann ein β >, so dass f in dem Ringgebiet G := { z C e β < z < e β}

9 5.2 Beispiele 33 analytisch ist. Ein derartiges f besitzt nach 4.7 eine Laurent-Entwicklung fz = k= c k z k z G mit gewissen Koeffizienten c k. In den Punkten z := e it D sieht das folgendermassen aus: fe it = c k e ikt. k= Wir behaupten: Dies ist nichts anderes als die Fourier-Entwicklung der 2periodischen Funktion ft := fe it t R. Zum Beweis betrachten wir die Formel für die Laurent-Koeffizienten: c k = fζ dζ 2i D ζ k ζ = 2 fe it ie it dt 2i e ikt e it = 2 2 ft e ikt dt. Umgekehrt: Geht eine gegebene 2-periodische Funktion t ft durch die formale Substitution e it := z d.h., durch die Verpflanzung von f auf den Einheitskreis in eine analytische Funktion f : G C über, so lassen sich die Fourier-Koeffizienten von f als Laurent-Koeffizienten von f begreifen. Für deren Berechnung stehen dann die Methoden der Komplexen Analysis zur Verfügung, siehe dazu Beispiel Bis dahin haben wir immer von periodischen, also auf ganz R erklärten Funktionen gesprochen. Mit Hilfe von Fourier-Reihen lassen sich aber auch Funktionen darstellen, die nur auf einem endlichen x-intervall I := [ a, b ] der Länge L := b a erklärt sind. Bsp: [, ], [, L ], [ a, a ] Man denkt sich einfach diese Funktionen L-periodisch auf ganz R fortgesetzt wobei es an den Endpunkten von I zu Konflikten kommen kann und berechnet die Fourier-Koeffizienten durch Integration über das Intervall I, wo die Ausgangsfunktion f explizit vorliegt: a k = 2 L b a fx cos 2kx L dx, b k = 2 L b a fx sin 2kx L dx.

10 34 5 Fourier-Reihen Dann gilt fx = a 2 + a k cos 2kx L + b k sin 2kx L a < x < b. Wir betrachten für ein fest vorgegebenes α C \ Z die Funktion ft := cosαt t siehe die Fig Da f gerade ist, besitzt f eine formale Fourier-Reihe der Form ft a 2 + a k coskt mit a k = 2 cosαt coskt dt = cos α + kt + cos α kt dt. Im ft t Re ft α = i Fig Nach Voraussetzung über α sind die dabei auftretenden Nenner, und es ergibt sich a k = sin α + kt α + k + sin α kt α k = k sinα α + k + = k 2α sinα α k α 2 k 2.

11 5.2 Beispiele 35 Nach 5.4 konvergiert die Fourier-Reihe von f gegen f; wir haben daher cosαt = sinα α + 2α k coskt α 2 k 2 t. Damit wäre das gegebene f auf seinem Definitionsintervall nach Fourier entwickelt. Wir bleiben noch einen Moment bei diesem Beispiel und setzen in speziell t :=. Nach Division mit sinα ergibt sich sinα = α + k 2α α 2 k 2. 2 Wir betrachten nun den bislang festgehaltenen Parameter α als eine komplexe Variable und schreiben dafür z. Die Formel 2 geht dann über in sinz = z + k z k + z C \ Z, z + k was wir als eine Partialbruchzerlegung der Funktion φz := / sinz auffassen können. Die Zerlegung bringt zum Ausdruck, daß diese Funktion an den Stellen k Z je einen einfachen Pol besitzt. Erteilen wir in der Variablen t den Wert, so ergibt sich analog cotα = α + 2α α 2 k 2 bzw. cotz = z + z k + z C \ Z z + k und damit eine Partialbruchzerlegung des Cotangens.

12 36 5 Fourier-Reihen y 2 y = t 2 t Fig Die 2-periodische Fortsetzung der Funktion ft := t 2 t siehe die Fig ist offensichtlich lipstetig. Somit besitzt f nach 5.4 eine Fourier-Darstellung der Form Dabei ist ft = a 2 + a k coskt t. a = 2 t 2 dt = 22 3, und für k gilt a k = 2 t 2 coskt dt = 2 k t2 sinkt 2 k = 4 k k t coskt + coskt dt k = 4 k k 2 +. Damit erhalten wir die Identität t 2 = k t sinkt dt k 2 coskt t. 3

13 5.2 Beispiele 37 Wir benutzen dieses Resultat, um einen Wert der Riemannschen Zetafunktion ζs := k s Re s > zu berechnen: Setzt man in 3 speziell t :=, so ergibt sich 2 = k 2. Damit ergibt sich für die Summe der reziproken Quadratzahlen der Wert ζ2 = k 2 = 2 6, den Euler als erster gefunden hat. In technischen Anwendungen treten häufig Funktionen mit Sprungstellen auf, zum Beispiel Rechteckspulse oder auch kompliziertere Signale, die plötzlich ein- bzw. ausgeschaltet werden. Wie steht es da mit der Fourier-Entwicklung? Um die zu erwartenden Phänomene zu ergründen, betrachten wir die einfachste periodische Funktion mit Sprungstellen, die sich denken lässt Fig : t < t < 2 Jt := 2 Jt + 2 t R J für jump. Die Sprungstellen befinden sich an den Punkten 2k; in diesen Punkten lassen wir die Funktion zunächst undefiniert. Auf die Fourier- Koeffizienten hat das keinen Einfluss, da sie durch Integration zustandekommen. Die Funktion J ist ungerade; wir berechnen daher nur ihre Sinuskoeffizienten b k : b k = 2 t sinkt dt = 2 = k k 2 sinkt = k. t coskt k coskt dt k

14 38 5 Fourier-Reihen y /2 y = Jt 2 t /2 Fig Demnach besitzt J die folgende formale Fourier-Entwicklung: Jt sinkt k. 4 Wir stellen schon einmal fest, dass die Fourier-Koeffizienten mit k nur sehr langsam abnehmen. Da die harmonische Reihe /k divergiert, ist die erhaltene Reihe 4 nicht absolut konvergent und für numerisches Arbeiten unbrauchbar. Trotzdem kann man sich fragen, ob sie die Funktion J wenigstens auf dem Papier repräsentiert. Das ist nun in der Tat der Fall. Wie wir gleich zeigen werden, gilt nämlich wir wechseln den Variablennamen sinkφ = φ < φ < 2, 5 k 2 und für φ = hat die Reihe natürlich den Wert. An der Sprungstelle liegt demnach der folgende Sachverhalt vor: lim s J+ + J N = = N 2. 6 Hätten wir also von Anfang an J := definiert was hiermit nachgeholt sei, so würde in 4 anstelle von für alle t das Gleichheitszeichen gelten. Zum Beweis von 5 betrachten wir die analytische Funktion fz := k zk z <.

15 5.2 Beispiele 39 Es ist f = und f z = Hieraus schliessen wir auf fz = Log z = ln z k = + z + z = z. Wir schreiben nun z = r e iφ und haben dann z i Arg z z <. sinkφ r k = Im fz = Arg re iφ r <. k Führen wir hier auf beiden Seiten den Grenzübergang r durch, so ergibt sich sinkφ = Arg e iφ, k und ein Blick auf die Fig zeigt, dass hier die rechte Seite den behaupteten Wert φ/2 hat. re iφ e iφ e iφ φ φ 2 Fig Dieses Beispiel scheint sehr speziell. Trotzdem können wir nun einen allgemeinen Satz daraus machen:

16 4 5 Fourier-Reihen 5.5 Die 2-periodische Funktion f sei stetig differenzierbar bis auf endlich viele Sprungstellen τ,..., τ r R/2, wobei in den Sprungstellen die einseitigen Grenzwerte von f und f existieren. Dann gilt lim s N t = N ft t τ j, j r fτ j + + fτ j 2 t = τ j. Zur Vereinfachung nehmen wir von vorneherein fτ j = fτ j+ + fτ j 2 j r an und müssen dann zeigen, dass lim N s N t = ft für alle t zutrifft. Es seien p j := fτ j + fτ j j r die Sprunghöhen an den Stellen τ j. Mit diesen p j bilden wir nun die Funktion gt := ft r p j Jt τ j. 7 Die Funktion g ist stetig differenzierbar, ausser vielleicht in den Punkten τ j. In einem derartigen Punkt gilt j= gτ j + gτ j = fτ j + fτ j p j J+ J = fτ j + fτ j p j 2 = nur ein J-Summand liefert einen Beitrag und analog gτ j gτ j =. Hiernach ist g in den Punkten τ j stetig und folglich auf R/2 stückweise glatt. Damit ist g lipstetig und wird nach 5.4 durch seine Fourier-Reihe dargestellt. Wir haben oben gesehen, dass auch J durch seine Fourier-Reihe repräsentiert wird; dasselbe gilt von den Translatierten t Jt τ j, und wegen ft = gt + r p j Jt τ j trifft dies schliesslich auch für f zu. j=

17 5.2 Beispiele 4 3 Wir betrachten einen T -periodischen Rechteckspuls der Breite a < T und der Gesamtenergie : ft := t a a 2 a 2 < t T 2 ft + T t R Wie angesetzt, ist f eine gerade Funktion. Sie besitzt daher nur Cosinuskoeffizienten a k, die sich nach 5.3f wie folgt berechnen:. a k = 2 T T/2 T/2 ft cos 2kt T dt = 2 at a/2 a/2 cos 2kt T dt. Es ergibt sich a = 2/T und a k = 2 at T 2k sin 2kt T a/2 a/2 = 2 ak sin ak T = 2 T sincak T k >. Damit erhalten wir die folgende Fourier-Zerlegung unseres Rechteckspulses: ft = T + 2 T sinc ak T 2kt cos T. Die Fourier-Koeffizienten oszillieren also in eigentümlicher Weise und gehen mit k wie /k gegen. Wir haben schon darauf hingewiesen, dass die Fourier-Reihe der Sprungfunktion J nur schlecht konvergiert, und zwar für alle t, nicht nur für die t in der Nähe der Sprungstelle. In der Nähe der Sprungstelle tritt aber noch ein besonders unangenehmer Effekt auf, der als Gibbssches Phänomen bezeichnet wird. Betrachte hierzu die Fig , wo wir s N für N := 5 zusammen mit f dargestellt haben. Es zeigt sich, dass s N den Maximalwert 2 von J unmittelbar rechts von um ein gehöriges Stück überschiesst. Das ist kein numerischer Artefakt, und der Effekt verschwindet auch nicht, wenn man zu grösseren Werten von N übergeht. Wir behaupten nämlich: An der Stelle t N := N nimmt s N einen Wert σ N an mit lim σ N = sinc t dt = N

18 42 5 Fourier-Reihen.852 /2 s N J t Fig Für s N verweisen wir auf 4. Der Wert σ N lässt sich als Riemannsche Summe für das angeschriebene Integral interpretieren: σ N := s N t N = sink/n k = N sink/n k/n. = sinc t dt. Es ist klar, dass das Gibbssche Phänomen bei jeder Funktion mit Sprungstellen auftritt, also auch bei dem in Beispiel 3 betrachteten Rechteckspuls. 5.3 Theoretische Ergänzungen Auf Grund der Orthogonalitätsrelationen 5.2a und des Hauptsatzes 5.4 stellen die Funktionen e k k Z eine Art orthonormierter Basis des Funktionenraums X := { f f : R/2 C }

19 5.3 Theoretische Ergänzungen 43 dar. Dann müsste aber auch ein Satz von Pythagoras gelten. Das ist in der Tat der Fall und bildet den Inhalt des folgenden Satzes, genannt Parsevalsche Formel: 5.6 Es sei f eine 2-periodische Funktion mit f 2 <, und es seien ck k Z die Fourier-Koeffizienten von f. Dann gilt k= c k 2 = f 2 := 2 ft 2 dt. 2 Wir beweisen das für lipstetige f X, wo uns die Fehlerabschätzung 5.. zur Verfügung steht. Diese Abschätzung liefert s N f 2 = 2 s N t ft 2 dt C 2 N N. Hieraus folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung sn f sn f C N N und somit lim N s N = f bzw. lim N s N 2 = f 2. Auf Grund der Orthogonalitätsrelationen5.2a ist aber N s N 2 = k= N c k e k, l= N c l e l = k= N c k 2. Damit verbleibt das Rätsel 5.4. Warum funktioniert das alles? Um hier weiter zu kommen, benötigen wir eine Darstellung von s N, an der sich der Zusammenhang mit der Ausgangsfunktion f ohne den Umweg über die c k direkt ablesen lässt. Aus 5..7 ergibt sich bei passender Wahl des Integrationsintervalls: s N x = k= N x+ = 2 c k e ikx = x fs k= N k= N x+ fse iks ds e ikx 2 x e ikx s ds.

20 44 5 Fourier-Reihen Substitutieren wir im letzten Integral s := x t t, so geht dies über in s N x = fx t e ikt dt. 2 k= N Hier ist der zweite Faktor unter dem Integralzeichen eine universelle, gemeint ist: von f unabhängige Funktion. Diese Funktion D N t := k= N e ikt N heisst Dirichletscher Kern und ist ein trigonometrisches Polynom vom Grad N. Wir notieren also die folgende Integraldarstellung von s N : 5.7 Es sei f eine 2-periodische Funktion und s N die N-te Partialsumme der Fourier-Reihe von f. Dann gilt s N x = 2 fx td N t dt x R mit sin N + 2 t D N t = sin 2 t 2N + 2 t / 2Z t 2Z, D N t dt =. 2 Zum Beweis von produzieren wir eine teleskopierende Summe: e it/2 e it/2 D N t = e ik+/2t e ik /2t k= N = e in+/2t e i N /2t. Soviel für t / 2Z ; der angegebene Spezialwert ist klar. Die Behauptung 2 folgt unmittelbar aus der Definition von D N. Betrachten wir den Graphen von D N Fig. 5.3., so können wir 5.7 folgendermassen interpretieren: Der Wert s N x ist ein gewogenes Mittel der Funktion f über das Intervall [ x, x+ ], und letzten Endes haben sämtliche von

21 5.3 Theoretische Ergänzungen 45 2N + D N N + /2 Fig f angenommenen Werte einen gewissen Einfluss auf die Zahl s N x. Dabei ist allerdings die Masse der Gewichtsfunktion D N um t = herum konzentriert, so daß in erster Linie die f-werte in der unmittelbaren Umgebung von x im Integral zum Zuge kommen. Zum andern bewirkt die rasche Oszillation von D N, dass die Beiträge aus entfernteren Bereichen rasch alternierend mit positiven und negativen Gewichten versehen werden und sich so nur wenig auswirken. Da nun das Totalgewicht unter Berücksichtigung der Vorzeichen gerade ist, scheint damit plausibel, daß für eine schöne Funktion f und hinreichend großes N gilt: s N x. = fx. Zum Schluss dieses Kapitels beweisen wir den Satz 5.4. Um die nachfolgenden Rechnungen etwas zu vereinfachen, ändern wir die Definition von s N leicht ab: Die äussersten Glieder sollen nur mit dem Gewicht 2 in die Summe aufgenommen werden. Wir argumentieren also über s N x := 2 c N e inx + N k= N+ c k e ikx + 2 c N e inx statt über s N. Die zugehörige Kernfunktion D N ist offensichtlich mit D N verknüpft durch D N t = D N t eint + e int 2 = sin N + 2 t sin 2 t cosnt,

22 46 5 Fourier-Reihen so dass wir als Analogon zu die folgende Formel erhalten: sinnt cot t t / 2Z D N t = N t 2Z Wir schreiten nun zu weiteren Vereinfachungen: Die Darstellung 5.7 zeigt, dass es genügt, 5.. für t = zu beweisen; dabei dürfen wir nach Subtraktion einer Konstanten f = annehmen. Endlich wollen wir anstelle der Lipschitzbedingung 5.. von vorneherein f t C t R voraussetzen. Die Behauptung lautet dann sn 8C N N. 4 Die Funktion D N Fig hat für grosse N saftige Ausschläge nach oben und unten, besitzt aber wesentlich zahmere Stammfunktionen. Dies werden wir in unserem Beweis auf geschickte Art ausnützen. Dabei werden wir wiederholt von dem folgenden einfachen Lemma Gebrauch machen: 5.8 Besitzt die Funktion g auf dem Intervall [ a, b ] eine Stammfunktion vom Betrag M, so gilt b b ftgt dt M fa + fb + f t dt. a a Dies folgt unmittelbar aus der Formel für die partielle Integration. Nach 5.7 ist s N = ft 2 D N t dt Wir zerlegen hier die rechte Seite in zwei Teile vgl. die heuristischen Betrachtungen weiter oben: s N = δ 2 δ ft 2 D N t dt + ft D N t dt =: δ δ 2 I + I 2,

23 5.3 Theoretische Ergänzungen 47 2N D N /N Fig wobei wir uns die Wahl von δ > noch vorbehalten δ := / N wird sich als optimal herausstellen. Betrachtet man die alternierenden Buckel der Figur 5.3.2, so kommt man zu dem folgenden Schluss: Für δ x δ gilt auf Grund von 3: x /N D N t dt sinnt cot t 2 dt = sin t cot t N 2N dt sin t 2 t 2 ; dabei haben wir cot φ < φ < φ < 2 benutzt. Somit besitzt D N auf dem Intervall [ δ, δ ] eine Stammfunktion vom Betrag 2. Mit Hilfe unseres Lemmas 5.8 können wir daher I wie folgt abschätzen: I 2 f δ + fδ + δ δ f t dt und wegen f = ergibt sich hieraus 5 2 f δ + fδ + 2Cδ, I 2 4Cδ. 6

24 48 5 Fourier-Reihen Für I 2 überlegen wir folgendermassen: Die Funktion t sinnt besitzt eine Stammfunktion vom Betrag /N. Mit Hilfe unseres Lemmas schliessen wir daher auf x x D N t dt = cot t 2 sinnt dt cot x x + d N 2 dt cot t dt. 2 Da t cott/2 zwischen und 2 monoton fällt, hat das letzte Integral den Wert cotx/2 cot/2 = cotx/2, und es folgt mit 5: x D N t dt 2 N cot δ 2 4 Nδ δ x 2 δ. Hiernach besitzt D N auf dem Intervall [ δ, 2 δ ] eine Stammfunktion vom Betrag 4. Wir können daher unser Lemma ein drittes Mal anwenden Nδ für die Abschätzung I δ f δ + fδ + f t dt 4 2 C. 7 Nδ δ Nδ Tragen wir nun 6 und 7 zusammen, so ergibt sich schliesslich s N I + I 2 4Cδ + 4C 2 Nδ, und mit δ := / N folgt hieraus die Behauptung 4.