1.) Zusammenfassung: Reihen und formale Potenzreihen. 2.) Anwendungen von Stetigkeit: Zwischenwertsatz, Intervallschachtelung, Extrema

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1 1.) Zusammenfassung: Reihen und formale Potenzreihen Wiederhole die obigen Themen der letzten Worksheets. Wir stellen Fragen im Testat! 2.) Anwendungen von Stetigkeit: Zwischenwertsatz, Intervallschachtelung, Extrema Aufbauend auf: "Stetigkeit: Definition und elementare Eigenschaften" Aufgaben: 3 restart; Zwischenwertsatz Viele Aussagen, die vorher schwierig zu beweisen waren, werden mit Hilfe der folgenden Sätze zu einfachen Stetigkeitsverifikationen. In diesem Abschnitt sind unsere Abbildungen meistens reellwertig mit einem abgeschlossenen Intervall als Definitionsbereich. MATH: (Zwischenwertsatz) Sei eine stetige Funktion mit (oder ). Dann gibt es ein mit. Zum numerischen Rechnen, wie auch als wesentlichen Beweisschritt für den Zwischenwertsatz, hat man die -Version des Satzes: Sei eine -stetige Funktion mit (oder ). Dann gibt es ein mit. plot(x^3-2,x=0..2);

2 Jetzt ist es ganz einfach, die Existenz der dritten Wurzel einer reellen Zahl beweisen: zu ist stetig (in für festes ). Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass gilt. Dann ist und mit und. Nach dem Zwischenwertsatz existiert also ein mit. Da streng monoton ist, ist dieses eindeutig bestimmt. Das selbe Argument zeigt: MATH - Satz: Ist stetig und streng monoton steigend (bzw. fallend), so ist (bzw. ) und definiert eine Bijektion der beiden Intervalle. Man beachte: Dass man eine Bijektion auf das Bild bekommt, folgt leicht aus der strengen Monotonie, aber dass das Bild wieder ein abgeschlossenes Intervall ist, bekommen wir erst aus der Stetigkeit mit Hilfe des Zwischenwertsatzes. Man hat noch den folgenden Zusatz: MATH - Satz: In der obigen Situation ist die inverse Abbildung (Umkehrfunktion) ebenfalls stetig. Intervallschachtelung Wir wollen noch sehen, wie gut unsere neuen Begriffsbildungen sind, um

3 wirklich eine dritte Wurzel auszurechnen, sagen wir für. evalf((1/11)^(1/3)); (2.2.1) f:=x-x^3-1/11; (2.2.2) Das folgende Programm approximiert eine Nullstelle von durch Intervallschachtelung: Fo:=proc(f::procedure, l, r, epsilon) local p,n,m,a; p:=r; n:=l; m:=(p+n)/2; a:=1; while (abs(f(m)) = epsilon) do if f(m)0 then p:=m; else n:=m; end if; m:=(p+n)/2; a:=a+1; end do; return m,a; end proc: evalf(fo(f, 0, max(1,1/11), 1/1000)); Wir besprechen ein paar leichte Anmerkungen zum Programm als Aufgabe. ÜBUNG [01]: (2.2.3) 1) Kritisiere das obige Programm der Intervallschachtelung. Begründe dabei, warum das nicht so wichtig ist wie die Anzahl der Schritte oder - was dem direkt entspricht - die Länge des relevanten Intervalls. 2) Gib ein Beispiel an, das das in 1) beschrieben Problem mit Hilfe von Fo verdeutlicht. 3) Schreibe das Programm so um, dass man eine Fehlergenauigkeit vorgeben kann, also ein, sodass der errechnete Wert von dem tatsächlichen Wert höchstens um abweicht. 4) Ergänze das Programm indem du die Voraussetzungen (bis auf die Stetigkeit von f ) des Zwischenwertsatzes prüfst.

4 MATH: Das Verfahren der Intervallschachtelung entspricht also genau dem Zwischenwertsatz. Man braucht lediglich Stetigkeit, jedoch keine Monotonie. Dass der Funktionswert eines Punktes aus dem Definitionsbereich unter Umständen sehr nahe bei Null liegt, besagt nicht, dass man nahe bei eine Nullstelle hat. Extrema MATH - SATZ: Ist eine stetige Funktion, so gibt es mit für alle. Mit anderen Worten, ein stetiges nimmt sein Minimum und Maximum auf einem abgeschlossenen Intervall an. Es ist leicht einzusehen, dass die Situation bei offenen Intervallen anders ist. ÜBUNG [02]: Zeige an einem Beispiel, dass die obige Aussage für offene Intervalle falsch ist. MATH - Bemerkung: Eine Folgerung des obigen, sehr wichtigen Satzes ist, dass bei stetigen Funktionen Bilder abgeschlossener Intervalle wieder abgeschlossene Intervalle sind. MATH - Bemerkung: Bilder beschränkter Intervalle brauchen unter stetigen Abbildungen nicht beschränkt zu sein, sehr wohl aber unter gleichmäßig stetigen Abbildungen. Die -Version dieser Aussage zeigen wir mit Hilfe der folgenden Aufgabe, welche sich durch ein -Argument zeigen lässt. ÜBUNG [03]: Sei gleichmäßig -stetig für mit dem Stetigkeitsmodul Zeige:. für alle.

5 Hinweis: man kann nur um einen Wert kleiner als "springen". 3.) Grenzwerte und Stetigkeit Aufbauend auf: "Stetigkeit: Definition und elementare Eigenschaften" Aufgaben: 2 restart; Grenzwerte und Stetigkeit Bislang haben wir Stetigkeit meistens bei abgeschlossenen Intervallen studiert. Was kann bei offenen oder unbeschränkten Intervallen passieren? MATH: Ein Punkt heißt Häufungspunkt von, falls für jedes offene Intervall mit mindestens ein Punkt existiert mit. MATH: Sei und ein Häufungspunkt von D. Eine Funktion heißt konvergent gegen für gegen falls zu jedem ein existiert mit und. In Zeichen:. Man beachte: Ist und, so ist genau dann konvergent gegen y, falls in x stetig ist. limit(sin(1/x),x=0); plot(sin(1/x),x=1/50..1); (3.1.1) Dieses interpretieren wir so: ist auf stetig, aber nicht gleichmäßig stetig, da sonst der Grenzwert für

6 existierte, denn man hat den offensichtlichen Satz: MATH: Ist gleichmäßig stetig, so existiert und somit lässt sich zu einer (gleichmäßig) stetigen Funktion auf fortsetzen. DENKANSTOSS: Man beweise diese Aussage. (Hinweis: Eine gegen konvergente Folge liefert eine Cauchyfolge.) Wir betrachten die Konzepte an einem leichten Beispiel. ÜBUNG [01]: 1) Prüfe mit dem limit-befehl von Maple für, ob zu einer stetigen Funktion auf ganz fortgesetzt werden kann. 2) Gib allgemein an, für welche diese Fortsetzung möglich ist und beweise die Existenz der Fortsetzung für diese Fälle. MATH: Sei und. Man sagt, konvergiert gegen für, falls zu jedem ein existiert mit. In diesem Fall schreibt man. Entsprechend definiert man Konvergenz für. DENKANSTOSS: Ist stetig, sodass die Grenzwerte und existieren, so ist beschränkt. limit((x^2-x-1)/x^2,x=infinity); 1 plot((x^2-x-1)/x^2,x= ); (3.1.2)

7 Diese Aussage interpretieren wir so, dass genauso schnell gegen unendlich wächst wie. Man beachte, dass die Konvergenz des Quotienten nicht die Konvergenz der Differenz impliziert. MAPLE: Wenn wir früher mit dem limit-befehl von Maple Grenzwerte von Folgen ausgerechnet haben, lag die folgende Situation vor: Unsere Folge kam durch Einschränkung einer reellen Funktion auf die natürlichen Zahlen zustande und Maple hat den Grenzwert der Funktion ausgerechnet. MATH: Die Gerade heißt Asymptote von für, falls, d.h. falls zu jedem ein existiert mit für. ÜBUNG [02]: 1) Gib eine (nicht triviale) gebrochen rationale Funktion an, die als Asymptote für hat. 2) Plotte die Funktion zusammen mit ihrer Asymptote. 3) Beachte, dass bei der Asymptote einer Funktion die Differenz gegen konvergiert. Zeige, dass daraus die Konvergenz des Quotienten folgt (mit Ausnahme von als Asymptote). 4.) Differentiation: Definition, Eigenschaften und

8 Beispiele Aufbauend auf: "Stetigkeit: Definition und elementare Eigenschaften" Aufgaben: 3 restart; Definition Differentiation Differenzieren ist eines der zentralen Hilfsmittel zur Untersuchung der Wachstumseigenschaften reeller Funktionen. Die meisten gängigen Funktionen sind differenzierbar, aber leider nicht alle. MATH: Wir betrachten Funktionen die in stetig sind. Stetigkeit in kann man auch so sehen, dass in der Nähe von x durch die konstante Funktion gut angenähert wird. Wenn dies eintritt, kann man mit etwas allgemeineren, aber immer noch sehr eingeschränkten Funktionen mit vergleichen, denn diese sind auch stetig in x und haben dort auch den Wert. BEISPIEL: Hier wird bei mit zwei verschiedenen verglichen: eine (grün) mit und eine (rot) mit. Warum ist besser? plot(subs(x0=1,[(x0+h)^2, x0^2+2*x0*h, x0^2+h]),h=-1/2..1/2, color=[black,green,red],thickness=2);

9 MATH: Alle sind stetig in mit dem Wert, ebenso wie. Also bietet es sich an, nach der Stetigkeit des Quotienten zu fragen, der auf definiert ist. Zwei Möglichkeiten ergeben sich: ist stetig ergänzbar in x oder nicht. Im ersten Fall heißt differenzierbar in x. Verlangt man noch in Analogie zur Stetigkeit, wo gilt, dass der ergänzte Funktionswert gleich Null ist, so tritt dies für genau einen Wert von ein und man sagt: ist differenzierbar in x mit Ableitung. Beachte: In diesem Fall ist mit dieser Wahl von eine wesentlich bessere Annäherung an in x als, d. h. für gegen x konvergiert schneller gegen Null als. Im zweiten Fall, wo in x nicht stetig ergänzbar ist, sagt man, ist nicht differenzierbar in x. limit(((x0+h)^2-x0^2)/h, h=0); limit((x^2-x0^2)/(x-x0), x=x0); (4.1.1) (4.1.2) Also ist in diesem Fall (x^2-(x0^2+2*x0*(x-x0)))/(x-x0);

10 Diese lässt sich in der Tat stetig in x (als Funktion von ) ergänzen, denn simplify(%); (4.1.3) (4.1.4) MAPLE: Maple geht zunächst einmal davon aus, dass eine beliebig vorgegebene (unspezifizierte) Funktion differenzierbar ist und hat seine eigene Notation für die Ableitung: limit((f(x)-f(x0))/(x-x0),x=x0); (4.1.5) MAPLE: Im Falle konkreter, nicht differenzierbarer Funktionen protestiert Maple: limit((abs(x)-abs(0))/(x-0),x=0); undefined (4.1.6) MATH: Differenzierbarkeit in einem Punkt ist weniger interessant als Differenzierbarkeit auf dem ganzen Definitionsbereich, z. B. auf oder auf einem offenen Intervall in. Ist der Fall gegeben, so kann man die Ableitung wieder als Funktion auf dem Definitionsbereich auffassen. MAPLE: Für die gängigen Fälle kann MAPLE symbolisch differenzieren: diff(x^2,x); Gemeint ist, die Ableitung der Funktion. diff(exp(x),x); e x ist die Funktion (4.1.7) (4.1.8) MAPLE: Interessant ist, wie Maple sich bei Funktionen verhält, die überall bis auf wenige Ausnahmen differenzierbar sind: f:=x-piecewise(x<0,x+1,x<1,1,x): f(x); (4.1.9) plot(f(x),x=-1..2,thickness=3);

11 diff(f(x),x); (4.1.10) oder unter Anwendung des sog. Differentialoperators D: D(f)(z); (4.1.11) plot(diff(f(x),x),x=-1..2,discont=true,thickness=3);

12 f:='f':g:='g': Ein weiteres Beispiel: diff(abs(x),x); plot(abs(1,x),x=-1..1,discont=true,thickness=3); (4.1.12) DENKANSTOSS: Was haben die obigen Beispiele mit Rechts- bzw. Linksdifferenzierbarkeit zu tun? Beispiel: diff((sin(1/x))*x,x); (4.1.13)

13 (4.1.13) plot({(sin(1/x))*x},x= ,thickness=1,numpoints=200);

14 ÜBUNG [01]: Untersuche mit Hilfe eines gläubigen Vertrauens auf den limit-befehl (nicht aber auf den d iff-befehl) von MAPLE: 1) Welche der Funktionen sind in stetig ergänzbar,? 2) Welche dieser Funktionen sind differenzierbar in? 3) Plotte die Funktionen und erkläre, wie man die Ergebnisse aus 1) und 2) in den Plots wiederfindet. Vgl. auch Aufgabe 1 in Abschnitt "Grenzwerte und Stetigkeit". Ableitungsregeln MATH und MAPLE: Ähnlich wie für Grenzwerte gibt es für Ableitungen Regeln, die MAPLE bekannt sind: Summenregel: diff(f(x)+g(x),x); (4.2.1) Für die Ableitung gilt die Produktregel. diff(f(x)*g(x),x); (4.2.2) Daraus folgt die Quotientenregel. simplify(diff(f(x)/g(x),x)); (4.2.3) Einfacher Beweis des Quotientenregel: Es gilt für eine differenzierbare Funktion : Wenn man nach umstellt, gilt:. Weiter:. Weiterhin gilt auch hier die Kettenregel:

15 diff(f(g(x)),x); (4.2.4) MATH: Die Produktregel ist fundamental. DENKANSTOSS: Man mache sich die Produktregel plausibel an dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen und. Wie interpretiert man die beiden Terme seiner Änderung, wenn x variiert? Differentiation von Polynomen MATH: Wir hatten bereits die formale Differentiation von Polynomen in einer Variablen behandelt. Wir wollen jetzt Polynomfunktionen im oben definierten Sinne differenzieren: ÜBUNG [02]: Zeige: Die Funktion ist in jedem differenzierbar und ihre Ableitung ist. Hinweis: Binomischer Lehrsatz. Mit der Summenregel folgt, dass Polynomfunktionen differenzierbar sind und ihre Ableitung der formalen Ableitung der ihnen zugrundeliegenden Polynome entspricht. Ableitungen von Umkehrfunktionen MATH: Große Klassen von Funktionen sind differenzierbar (=differenzierbar im Innern ihres Definitionsbereiches), z. B. Polynomfunktionen oder Funktionen, die durch eine konvergente Potenzreihe dargestellt sind. Weiter sind aufgrund der Kettenregel auch Umkehrfunktionen von streng monotonen differenzierbaren Funktionen differenzierbar: exp(log(x)); x (4.4.1) diff(exp(log(x)),x); Also wegen diff(exp(x),x); folgt nach der Kettenregel diff(log(x),x); 1 e x und somit: (4.4.2) (4.4.3) (4.4.4)

16 1 (4.4.4) DENKANSTOSS: Diskutiere die Definitionsbereiche. ÜBUNG [03]: 1) Leite die Umkehrfunktion des Tangens, also arctan, mit Hilfe der Kettenregel nach dem obigen Vorgehen ab. Hinweis:. Du brauchst die Definitionsbereiche nicht detailiert diskutieren. 2) Leite mit obiger Idee eine Formel her, welche die Ableitung der Umkehrfunktion ausrechnet. Welche Voraussetzungen sind notwendig? Der folgende Denkanstoß, dessen Verifikation mit den derzeitigen Hilfsmitteln noch nicht durchführbar ist, soll helfen, Fehlvorstellungen abzubauen: DENKANSTOSS: Die folgende Funktion ist überall stetig und nirgends differenzierbar: plot(add(1/n^2*sin(n^3*x),n=1..100),x=-1..1);

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