Gleichungen entstehen dann, wenn einfach oder kompliziert aufgebaute Rechenausdrücke einander gleichgesetzt werden. a) 3. 7 = 21

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1 Gleichungen Gleichungen entstehen dann, wenn einfach oder kompliziert aufgebaute Rechenausdrücke einander gleichgesetzt werden. a) 3. 7 = 21 b) = 2 17 c) = Das Gleichheitszeichen (GHZ) sagt aus, dass die ganze linke Seite gleich viel ergibt wie die gesamte rechte Seite des GHZ. Eine Gleichung lässt sich bildhaft mit den beiden Waagschalen einer Krämerwaage vergleichen: Seite links Seite rechts Es lässt sich sagen: des GHZ = Eine Gleichung stimmt dann, wenn die Waage im Gleichgewicht ist. In einer Gleichung treten immer etwa Grössen auf, die vorerst nicht bekannt zu sein brauchen: =?? = 3? + 4 = 7? = 3 5 +? = 9? = 4 Solche Gleichungen stellen uns vor die Aufgabe, ihre unbekannten Grössen durch Überlegen oder mittels einer geschickten Methode herauszufinden. In Gleichungen verwendet man üblicherweise, anstelle des Fragezeichens, einen Buchstaben des Alphabetes. So können die obigen Gleichungen auch folgendermassen geschrieben werden: = x x = 3 a + 4 = 7 a = y = 9 y = 4 Eine Gleichung ist dann gelöst, wenn die Unbekannte (x) allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. Seite 1 von 8

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4 Auflösen einer Gleichung Um eine Gleichung nach der Unbekannten aufzulösen, dürfen wir: auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl: 1. addieren oder subtrahieren 2. multiplizieren oder dividieren Beispiele: a) 6x = 42 / :6 x = 42 : 6 x = 7 Die Unbekannte kann auch auf der andern Seite des GHZ stehen. Aus einer Multiplikation wird eine Division. b) 18 = 3 f / : 3 18 : 3 = f 6 = f Die Darstellung kann vereinfacht werden, indem die mit einem / angedeutete Operation direkt durchgeführt wird. c) 4 x + 8 = 20 / 8 4 x = 12 / : 4 x = 3 EA: Hier ein Beispiel, in dem schon so ziemlich alles vorkommt: Beachte: immer zuerst + /, dann erst. / : d ) 2 ( x + 1) + 5 ( 2 x + 1) = 19 / V 2 x x + 5 = 19 / V 12 x + 7 = 19 / x = 12 / : 12 x = 1 Löse nun die folgenden Aufgaben ins Heft: 1. 2x = x = = 7x 4. 10x = y = = 25y 7. 24y = = 19y 9. 2z + 8 = z 5 = z + 17 = z 32 = 13 Seite 4 von 8

5 Ziel: Das x muss auf einer Seite stehen, die Zahlen auf der anderen Seite des GHZ (Gleichheitszeichen). Versuche zuerst immer alle +/ weg zu kriegen! Und erst dann /: x = 36 / 8 4x = 28 / : 4 x = 7 Hat die Unbekannte ein negatives Vorzeichen ( /: ), so wechselt sie über das GHZ hinweg den Platz x = 8 / + 15 x 53 = x / 8 45 = 15x / : 15 3 = x Löse dazu folgende Aufgaben ins Notizheft: x = x = y = x 29 = x = z 43 = x = x = y = x 93 = x = z 74 = 58 Stehen auf beiden Seiten des GHZ Variabeln, so bringen wir alle auf jene Seite des GHZ, wo schon der grössere Teil ist (Minus beachten!). 6 x 9 = 61 8 x / + 8 x 14 x 9 = 61 / x = 70 / : 14 x = 5 Löse dazu folgende Aufgaben ins Notizheft: 13. 4x + 7 = 8 + 3x 17. 5x + 19 = 6x x = 17 5x x = 4x x = 11x x 3 = 13x x = 57 17x x = 27 4x Seite 5 von 8

6 VERTIEFUNG Löse die nachfolgenden Gleichungen in das Notizheft. 1. a) 13x = 10x+12 b) 8x = 4x a) 5x + 8 = 53 b) 4x + 12 = a) 13z - 80 = 96-3z b) 42-12y=49-19y c) 13x+29=37x a. 8x - 12 = 4x + 4 b. 6x = 4x - 40 c. 7x + 3 = 4x + 12 c) 11x = 3x + 48 d) 27x = 25x + 8 c) 7x - 3 = 32 d) 6x -14 = 4 d) x = 736 e) x - 28 = 235 f) x+157=712 e) 12x - 15 = 9x f) 9x -18 = 3x e) 25x+31 =56 f) 19x - 19 = 95 g) x = 94 h) =12-x i) 17x x = 34-6x - 12x 18 d. 6z + 8 = 11z - 7 e. 9y + 4 = 3y - 8 Suche zu den nachfolgenden Textaufgaben zuerst die Gleichung und löse diese anschliessend auf. Schreibe die Gleichung in dein Notizheft. 5. Wenn ich eine Zahl (x) mit 3 multipliziere und dann 13 subtrahiere, erhalte ich 2. Wie heißt die Zahl? 6. Wenn du eine Zahl (x) mit 3 multiplizierst, erha ltst du dasselbe, wie wenn du 10 zu der Zahl addierst. Wie groß ist die Zahl? 7. Wenn ich eine Zahl (x) mit 7 multipliziere und dann 30 subtrahiere, erhalte ich das 2-fache der Zahl. Wie heißt die Zahl? 8. Das 3-fache einer Zahl, verringert um 23, ergibt -8. Wie heißt die Zahl? 9. Addiert man zu 64 das 4-fache einer Zahl, erha lt man 84. Wie heißt die Zahl? 10. Wenn ich eine Zahl mit 7 multipliziere und dann 40 addiere, erhalte ich das 12- fache der Zahl. Wie heißt die Zahl? 11. Wenn ich vom Dreifachen einer Zahl neun subtrahiere, erhalte ich eins mehr als diese Zahl. Wie heisst sie? 12. Addiert man zum Vierfachen einer Zahl 6, so erhält man 62. Wie heisst die Zahl? Seite 6 von 8

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8 EA: Knacknüsse Hier musst du zuerst die Gleichung selber bestimmen! Lies den Text genau durch und stelle eine Gleichung auf. Löse diese anschliessend auf. 1. Vater und Mutter zählen zusammen 75 Jahre. Der Vater ist um 3 Jahre älter als die Mutter. 2. In einer Klasse sind 35 Schülerinnen und Schüler. Es hat 7 Schülerinnen mehr als Schüler. 3. Zwei Geschwister von welchen das ältere 2½ mal so alt ist wie das jüngere, sind zusammen 21 Jahre alt. 4. In einer Klasse mit 28 Schülern hat es 6 Buben mehr als Mädchen. 5. Die Summe von Fr ist so unter A, B und C zu verteilen, dass A Fr mehr erhält als B und B Fr mehr erhält als C. Wie viel erhält jeder? 6. Ein Acker misst 4200 m 2. Er muss unter A und B so aufgeteilt werden, dass das Stück von A um 400 m 2 grösser ist als das Dreifache von B. Wie gross sind die beiden Flächen? 7. In einem Dreieck ist der zweite Winkel doppelt so gross wie der erste, aber um 20 kleiner als der dritte Winkel. Wie gross ist jeder der drei Winkel? 8. In einem Dreieck ist der mittlere Winkel dreimal so gross wie der kleinste, aber nur halb so gross wie der grösste Winkel. Wie gross ist jeder Winkel? 9. In einem Dreieck ist der mittlere Winkel dreimal so gross wie der kleinste. Der dritte Winkel ist um 30 kleiner als die beiden übrigen Winkel zusammen. Wie gross ist jeder Winkel? 10. Der zweite Winkel eines Dreiecks ist um 15 grösser als der erste, der dritte Winkel ist um 45 kleiner als der zweite. Berechne die Grösse der drei Winkel. 11. Die Summe zweier Zahlen, die sich um 17 unterscheiden, ist 41. Wie heissen die Zahlen? 12. Die Differenz zweier Zahlen beträgt 13, ihre Summe ist aber 51. Wie heissen die Zahlen? 13. In einem dreistöckigen Haus wohnen 25 Menschen. Im 1. Stock wohnen vier Leute mehr als im Parterre. Im Dachgeschoss wohnen zwei Leute mehr als im 1. Stock. 14. Nach einer Übung im Kopfrechnen hat Peter doppelt so viele falsche Lösungen wie Fritz. Heinz hat fünf weniger falsche Resultate wie Peter und Fritz zusammen. Alle drei haben zusammen 13 falsche Ergebnisse. Wie viele falsche Ergebnisse hat jeder? 15. Der Umfang eines Rechtecks misst 72 m. Die eine Seite ist 5-mal so lang wie die andere. Wie gross sind Länge und Breite? Seite 8 von 8