Einführung in die Informatik Inf, SAT

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1 Einführung in die Informatik Inf, SAT Dipl.-Inf., Dipl.-Ing. (FH) Michael Wilhelm Hochschule Harz FB Automatisierung und Informatik Raum Tel / FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 1

2 Inhalt 1. Einführung, Literatur, Begriffe 2. Zahlensysteme 3. Rechnen in den Zahlensysteme 4. Rechneraufbau 5. Nichtnumerische Informationen 6. HTML und CSS 7. XML FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 2

3 1. Zahlendarstellung: Sag, spielst du XVII und IV? Apfelmus in: René Goscinny, Albert Uderzo: Asterix und der Avernerschild. Auch wenn es heute manchmal in Vergessenheit gerät, der ursprüngliche Sinn der Computer war die Ausführung umfangreicher Rechnungen. Daher spielte für die Entwicklung der Rechentechnik die Zahlendarstellung eine wesentliche Rolle. Seit 1524 Adam Riese sein Rechenbuch veröffentlichte, hat sich in Europa das Dezimalsystem durchgesetzt. FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 3

4 Zahlensysteme: Neben dem Dezimalsystem sind alle weiteren Zahlensysteme die vor allem in der Informatik verwendet werden, sogenannte Stellenwertsysteme. Definition - Stellenwertsystem: Jede reelle Zahl wird durch eine Folge von Ziffern beschrieben: Wie eine Ziffer zum Wert der Zahl beiträgt, hängt von ihrer Position bezüglich des Kommas ab. Sie wird dazu mit (B = Basis des Zahlensystems multipliziert. Für den Wert der Zahl ergibt sich damit: X = ± ( Z m B m + Z m 1 B m Z 1 B 1 + Z 0 B 0 + Z 1 B 1 + Z 2 B 2...) X = ± + µ = Z µ B µ ± + n µ = m Z µ B µ 123,4 = ,4 = FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 4

5 Zahlensysteme: Bezüglich der Basis B und der zugelassenen Ziffern gilt folgende Übersicht, die in der Tabelle zusammengefasst ist: Zahlensystem Zahlenbasis Ziffern Beispiel Dualsystem B=2 0, Fünfersystem B=5 0, 1, 2, 3, Siebenersystem B=7 0, 1, 2, 3, 4, 5, Oktalsystem B=8 0, 1, 2, 3, 4, 5, , 7 Dezimalsystem B=10 0, 1, 2, 3, 4, 5, , 7, 8, 9 Hexadezimalsystem B=16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 7CC FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 5

6 Zahlensysteme: Nicht alle möglichen Zahlensysteme sind von gleicher Bedeutung für die Informatik. So haben Zahlensysteme mit der Basis B=5 oder B=7 keine Bedeutung. Deswegen werden diese nicht weiter betrachtet. Dem gegenüber sind in der Informatik alle Zahlensysteme, deren Basis eine Potenz von B=2 darstellt, von gleichwertiger Bedeutung. Dabei werden 1,3 oder 4 Bit zu einer Basis zusammengefasst. Die Hexadezimalziffern A, B,..., F sind den Dezimalzahlen 10, 11,..., 15 wertgleich. FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 6

7 Zahlensysteme: Besteht die Gefahr der Verwechselung, wird das benutzte Stellensystem durch Zusätze markiert. Folgende Notationsformen sind üblich: Dualsystem: Oktalsystem: Dezimalsystem: Hexadezimalsystem: 7CC 16 FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 7

8 Beispiele: Dezimal-System Dual-System ? 12?? 1110? 00011? FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 8

9 Beispiele: Dezimal-System Oktal-System ? 8 8?? 17 12?? 100? 77? 44 FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 9

10 Beispiele: Dezimal-System Hexadezimal-System 5 5 7? 15? 16?? 17 12?? 11? ? 100?? 201 FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 10

11 Umrechnungstabelle für die weitere Berechnung: Dezimalsystem Dualsystem Hexadezimalsystem A B C D E F FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 11

12 Zahlenkonvertierung a) Berechnen der Binärzahl von = = 1* * * *2 0 = = 1101 Basis 2 = = = 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 Basis 2 =...wiederholtes Ausklammern... = (1*4 + 1* 2 + 0*1)*2 + 1*1 = ((1*2 + 1*1)*2+0*1)*2 + 1*1 FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 12

13 Zahlenkonvertierung b) 13 zur Basis 10 = 1101 zur Basis 2 denn: 13:2=6 Rest 1 6:2= 3 Rest 0 3:2= 1 Rest 1 1:2= 0 Rest 1 Das Konvertieren (Umwandeln) von Dezimalzahlen in Zahlen eines anderen Zahlensystems bzw. umgekehrt, oder zwischen den anderen Zahlensystemen basiert auf der Definition der Stellenwertsysteme. Daraus wurde ein Konvertierungsverfahren, das Divisions-Restwert-Verfahren, entwickelt, das allgemein einsetzbar ist (es beruht darauf, dass man nach Abspalten von Resten sukzessive versucht, den neuen Basiswert aus der verbliebenen Zahl auszuklammern und dann nach Potenzen des neuen Basiswertes zusammenfasst). FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 13

14 Zahlenkonvertierung Beispiel - Umwandlung Dezimalzahl in Dualzahl: = X 2? 45 : 2 = 22 Rest: 1, also 45 = : 2 = 11 Rest: 0, also 45 = ( ) : 2 = 5 Rest: 1, also 45 = = (( ) 2 + 0) = : 2 = 2 Rest: 1 2 : 2 = 1 Rest: 0 1 : 2 = 0 Rest: 1 Ergebnis: = FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 14

15 Zahlenkonvertierung Beispiel - Umwandlung Dezimalzahl in Dualzahl: = X 2? 2005 : 2 = 1002 Rest: 1, also 2005 = : 2 = 501 Rest: 0, also 2005 = ( ) : 2 = 250 Rest: 1, also 2005 = = (( ) 2 + 0) = : 2 = 125 Rest: 0, : 2 = 62 Rest: 1 62 : 2 = 31 Rest: 0 31 : 2 = 15 Rest: 1 15 : 2 = 7 Rest: 1 7 : 2 = 3 Rest: 1 3 : 2 = 1 Rest: 1 1 : 2 = 0 Rest: 1 Ergebnis: = FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 15

16 Zahlenkonvertierung Beispiel - Umwandlung Dezimalzahl in Dualzahl: = X 2? 1996 : 2 = 998 Rest: 0, also 1996= : 2 = 499 Rest: 0, also 1996= ( ) : 2 = 249 Rest: 1, also 1996= = (( ) 2 + 0) = : 2 = 124 Rest: 1, : 2 = 62 Rest: 0 62 : 2 = 31 Rest: 0 31 : 2 = 15 Rest: 1 15 : 2 = 7 Rest: 1 7 : 2 = 3 Rest: 1 3 : 2 = 1 Rest: 1 1 : 2 = 0 Rest: 1 Ergebnis: = FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 16

17 Zahlenkonvertierung Kurz: Die berechnete Zahl im anderen Zahlensystem ergibt sich aus dem Nacheinanderschreiben der Rest -Werte von unten nach oben. Oben ist immer das Komma Restwerte schreibt man auch mittels der modulo -Schreibweise: X mod 3 := Rest von X bis auf Vielfache von 3, oder allgemein: X mod Y := R mod Y, wenn X= n*y + R mit 0<= R < Y und n,x,y,r natürliche Zahlen (n, R ist dann eindeutig bestimmt). Beispiele: 5 mod 3 = 2 11 mod 7 = 24 mod 17 = 33 mod 16 = 63 mod 16 = 94 mod 16 = -2 mod a*16 = b, gesucht a und b, b FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 17

18 Zahlenkonvertierung Kurz: Die berechnete Zahl im anderen Zahlensystem ergibt sich aus dem Nacheinanderschreiben der Rest -Werte von unten nach oben. Restwerte schreibt man auch mittels der modulo -Schreibweise: X mod 3 := Rest von X bis auf Vielfache von 3, oder allgemein: X mod Y := R mod Y, wenn X= n*y + R mit 0 R < Y und n,x,y,r natürliche Zahlen Beispiele: 5 mod 3 = 2 11 mod 7 = 4 24 mod 17 = 7 33 mod 16 = 1 63 mod 16 = mod 16 = 14, denn 5* = 94 oder 94 = 96 2 = 6* mod a*16 = b, gesucht a und b -2 mod mod 16, denn 2 + 1*16 = 14 FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 18

19 Zahlenkonvertierung modulo-rechenregeln: (a * b) mod c = a mod c * b mod c (a + b ) mod c = a mod c + b mod c Übrigens: Streng (mathematisch) gesehen ist a mod c eine (Restklassen-)Menge: a mod c := { x ganze Zahl I x mod c = a mod c }, d.h. a mod c ist immer ein Vertreter aus dieser Restklassen-Menge. FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 19

20 Zahlenkonvertierung Beispiel: Umwandlung Dezimalzahl in Zahl zur Basis 5: = X 5? 1996 : 5 = 399 Rest: : 5 = 79 Rest: 4 79 : 5 = 15 Rest: 4 15 : 5 = 3 Rest: 0 3 : 5 = 0 Rest: 3 Ergebnis: = Umwandlung Dezimalzahl in Zahl zur Basis 5: = X 5? FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 20

21 Zahlenkonvertierung Beispiel: Umwandlung Dezimalzahl in Zahl zur Basis 7: = X 7? 1996 : 7 = 285 Rest: : 7 = 40 Rest: 5 40 : 7 = 5 Rest: 5 5 : 7 = 0 Rest: 5 Ergebnis: = Beispiel: Umwandlung Dezimalzahl in Zahl zur Basis 7: = X 7? FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 21

22 Zahlenkonvertierung Aufgaben: a) Wandeln Sie die Zahl in Zahlen im Dual-, Oktal- und Hexadezimalsystem um! b) Wandeln Sie die Zahl CA 16 in eine Zahl im 5 er Zahlensystem um! c) Wie groß ist die Zahl FE 16 als Dezimalzahl? d) Wie groß ist die Zahl AFFE 16 als Binärzahl? FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 22

23 Zahlenkonvertierung D3 16 CA FE AFFE FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 23

24 Zahlenkonvertierung zwischen 2, 8 und 16er-System Berechnung des Binärsystems: = Damit ist es trivial, aus der Binär-Lösung sofort die weiteren Zahlen zu berechnen. Man fasst drei oder vier Bits zusammen: a) Dual nach Hexadezimal - Berechnen der Dualzahl - Zusammenfassen von 4 Bits, von rechts beginnend = = Alle vier Bits in eine hexadezimale Zahl umwandeln b) Dual nach Oktal - Berechnen der Dualzahl - Zusammenfassen von 3 Bits, von rechts beginnend = = Alle drei Bits in eine hexadezimale Zahl umwandeln FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 24

25 Zahlenkonvertierung Weitere Beispiele: a) CAFE 16 ins 5-er System CAFE 16 = = : 5 = Rest: : 5 = 2078 Rest: : 5 = 415 Rest: : 5 = 83 Rest: 0 83 : 5 = 16 Rest: 3 16 : 5 = 3 Rest: 1 3 : 5 = 0 Rest: = b) AFFE ins Dezimalsystem AFFE 16 = = FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 25

26 2. Nachkommastellen Zahlen mit Nachkommastellen: 123, * *10 + 3*1 + 4*0,1 + 5*0,01 + 6*0, *0, *0, *0, FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 26

27 Konvertierung von Zahlen mit Nachkommastellen Bei der Konvertierung von Nachkommastellen auf eine Darstellung zu einer neuen Basis geht man gerade umgekehrt vor: die Zahl wird mit der neuen Basis multipliziert und dann die Stelle vor dem Komma als neue Ziffer abgespalten (sukzessive). Von oben nach unten notiert ergeben die Vorkommastellen gerade die neue Zifferndarstellung zur neuen Basis (durch Ausklammern von Potenzen von 1/b). Beispiel: 0, = Dualzahldarstellung? 0,6875 * 2 = 1,375 vorne Abspalten: 1 0,375 * 2 = 0,750 Abspalten: 0 0,750 * 2 = 1,500 Abspalten: 1 0,500 * 2 = 1,000 Abspalten: 1 Beispiel: 0,3 10 = Dualzahldarstellung? Ergebnis: 0, = 0, FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 27

28 Beispiele: Dezimal-System Dual-System 3,5 11, ,25?? 1101,101 33,046875?? 101,1001 0,1? 5,2? FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 28

29 3. Ganzzahl-Multiplikation und -Division Beispiele: = = = = /2 = 8 10 = FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 29

30 Multiplikation und Division Die binäre Multiplikation kann auf das Verschieben der Bitfolge nach links zurückgeführt werden = = SHL 1 = = << 1 = Vorteil: Einfache und schnelle Implementierung FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 30

31 Multiplikation und Division Die binäre Division kann auf das Verschieben der Bitfolge nach rechts zurückgeführt werden = /2 = SHR 1 = /2 = >> 1 = = /2 = SHR 1 = = 27 FB Automatisierung und Informatik: Einführung in die Informatik 31

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