Arithmetik: Vorzeichenregeln und Überlauf, Exponenten & Normalisierung, Umrechnungen. Architektur: - Rechnerarchitektur, Instruktionssatz, Assembler

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1 F. Zahlendarstellung und Rechnerarithmetik F.1. Einordnung & Inhalte Zahlendarstellungen: binär, BCD oder als ASCII-Text, Einer- und Zweierkomplement, Gleit- & Festkommazahlen. Arithmetik: Vorzeichenregeln und Überlauf, Exponenten & Normalisierung, Umrechnungen. Höhere Informatik : - Programmierung,, Datenbanken, Verteilte Systeme, Theorie... Systemprogrammierung: - Betriebssystemkonzepte, E/A-Geräte, Treiber... B G C H Architektur: - Rechnerarchitektur, Instruktionssatz, Assembler D Rechnerarithmetik: - Zahlenformate, Rechenwerke... F Digitaltechnik: - Rechnerarithmetik, Schaltwerke, Logik... Elektronik: E 1 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

2 F.2. F.2.1 Positive ganze Zahlen Zahlencodierung Positionale Zahlendarstellung: Der Stellenwert ergibt sich aus der Position einer Ziffer und der Basis der Darstellung, Jede Ziffer wird mit ihrem Stellenwert multipliziert, Ziffernvorrat z.b. von 0 bis 9. Dezimalsystem: Basis des Zahlensystemes ist 10, n-stellige Dezimalzahl: 4753 = ( 4, 7, 5, 3 ) 10 = Allgemeiner: häufig Binär-, Oktal- und Hexadezimalzahlen, Basis B aus { 2, 8, 10, 16}, Ziffernalphabet: { 0, 1...9, A, B,... F}, einzelne Ziffern Z 0, Z 1.. Z n-1, n-stellige Zahl zur Basis B: ( Z n-1,... Z 1, Z 0 ) B = Z n-1 B n Z 2 B 2 + Z 1 B 1 + Z 0 B 0 2 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

3 F.2.2 Umwandlung zwischen Zahlendarstellungen Manuell: Wir rechnen am leichtesten im 10er-System. Automatisch: Computer rechnen intern im Binärsystem. Rechnen im Ursprungssystem: Basis des Zielsystems als Divisor, Divisionsreste sind die Ziffern, Fortgesetzte Division. Beispiel: Umrechnen in das Binärsystem; =>??? 2 19 : 2 = 9 Rest 1 "least significant digit" 9 : 2 = 4 Rest 1 4 : 2 = 2 Rest 0 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1 "most significant digit" => ( 1,0,0, 1, 1) 2 = Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

4 F.2.3 Rechnen im Zielsystem: Rezept: berechnen der Stellenwerte in aufsteigender Folge, höchsten Stellenwert subtrahieren, wenn möglich, evtl. niedrigere Stellenwerte subtrahieren, Beispiel AFFE17 16 =>?????? 10 Position Stellenwert10 Ziffer16 "Ziffer"10 Summand E F F A Summe = Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

5 F.2.4 Positive ganze Zahlen im Rechner - "Unsigned Integer" Zifferndarstellung als Binärzahl: FlipFlop speichert eine Binärstelle, Register speichert Binäerzahl, vorderhand ohne Vorzeichen, bit, byte, short, int, long(64).. Je nach Rechner/Sprache, unterschiedl. Wortbreite Zifferndarstellung als BCD-Zahl( Binary Coded Decimal ): = = ( ) = ( 0001, 0110, 0111) bcd, nur Ziffern zwischen 0 und 9, 4 Bit pro Ziffer. Zifferndarstellung als ASCII-Zeichen: textuelle Darstellung ist zum Rechnen unpraktisch, z.b. 256 verschiedene Buchstabencodes, z.b. als String oder als Textdatei, 8 Bit bzw. 1 Byte pro Ziffer. '1' '6' '7' 5 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

6 F.2.5 Binäre Addition Übertragsregister und begrenzte Registerbreite im Rechner Schriftliche Addition wie beim Dezimalsystem: binär: = => dezimal: 19+9 = 28 Vorzeichenlose Addition mit 4-Bit Registern (z.b.): Die Operanden passen in die Register, das Ergebnis jedoch nicht immer, Ergebniswert wird abgeschnitten und damit verfälscht, binär: = (1) 0100 => dezimal: = 20 = Übertrag/Carry Overflow / Überlauf 0100 NB: Dies gilt so nur für Zahlen ohne Vorzeichenbit! (siehe später) 6 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

7 F.3. Vorzeichenbehaftete Zahlen und Subtraktion Subtrahierer kann ähnlich wie Addierer entwickelt werden. Verwendung von Addierern zur Subtraktion: zurückführen auf die Addition des negativen Wertes (Komplement), a b = a + (-b) F.3.1 Darstellung mit Vorzeichen und Betrag Vorderstes Bit repräsentiert das Vorzeichen: andere Bits repräsentieren den Betrag der Zahl. üblich für Gleitkommazahlen. unüblich für Integerzahlen. Beispiel: = +9 = > = 9 Nachteil: Vorzeichen muss evtl. getrennt ausgewertet werden. 7 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

8 F.3.2 Einerkomplement-Darstellung Berechnung des Einerkomplements eines Wertes W bei n Ziffern Komplement C = W 2 codiert W (bei n Ziffern bzw. Bits) XOR Darstellung positiver ganzer Zahlen: (z n-1,... z 1, z 0 ) 2 codiert den Wert i Σ z i 2 i höherwertigste Ziffer z n-1 = 0, andere Ziffern beliebig. Darstellung negativer ganzer Zahlen: Vorzeichenbit ist höchstwertige Ziffer; c n-1 = 1 für negative Werte. hintere Ziffern c i als Complement der Ziffern der positiven Zahl W durch Ziffern (c n-1,... c 2, c 1, c 0 ) 2 dargestellte Zahl: (-2 n-1 +1) + z.b.: ( 1, 0, 0, 1 ) 2 = (-2 n-1 +1) + ( ) = -6-2 n-1 +1 ist die kleinste mit n Stellen darstellbare Zahl (hier -7; (n=4) ). n-2 Σ i=0 c i 2 i 8 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

9 F.3.3 Zahlenbereich der Einerkomplementdarstellung Beispiel: Darstellungslänge n=4 kleinste negative Zahl: codiert = -7 größte negative Zahl: codiert = 0 Nachteil: Null hat zwei unterschiedliche Darstellungen, Schwierigkeit beim Testen auf Null, "positive Null": 0000 (Länge 4) "negative Null": 1111 (Länge 4) Vorteil der Einerkomplement-Darstellung: einfache Umwandlung zwischen positiven und negativen Zahlen, jede Ziffer wird für sich allein invertiert (kein Carry, c i = 1-z i ), Beispiel: aus wird (aus 7 wird 7) Zahlengerade: = -2 n-1+ 1 = = = 2 n Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

10 F.3.4 Übergang zwischen Bereichsgrenzen Bereichsgrenzen für einen n-bit Container bzw. n-bit Wortbreite: nur Additionswerk vorgesehen, im Addierwerk entsteht evtl. ein Übertrag, Subtraktion als Addition des Komplementes. z.b bei einem 16 Bit Wort. Vorzeichenloser Zahlenbereich: Übertrag bedeutet hier: ein Ausführungsfehler ist aufgetreten, der Resultatwert ist nicht mehr darstellbar: 0 (2 n -1) Einerkomplement: Abbildung auf Einerkomplement +0 (2 n-1-1) -(2 n-1-1) Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

11 F.3.5 Zahlenbereich im Einerkomplement: obere Hälfte für negative Zahlen. Fall 1: beide Operanden positiv: Resultat ist darstellbar, wenn op1+op2 < 2 n-1, Ausführungsfehler wenn op1+op2 2 n-1 +0 (2 n-1-1) -(2 n-1-1) -0 Fall 2: Operanden mit ungleichem Vorzeichen: mindestens ein Operand ist negativ, Resultat immer in den mittleren 2 Bereichen, das Resultat ist immer mit n Bits darstellbar, positives oder negatives Resultat möglich, Resultat um +1 erhöhen falls Übertrag (Carry-out). +0 (2 n-1-1) -(2 n-1-1) (2 n-1-1) -(2 n-1-1) Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

12 Fall 3: beide Operanden negativ: Vielfache von 2 N können ignoriert werden (Ring). ((2 N -1)- op1 ) + ((2 N -1)- op2 ) = ((2 N +2 N -1-1)- op1+op2 ) Resultat ist darstellbar, wenn op1+op2 < 2 n-1, jedoch Resultat um +1 erhöhen, Ausführungsfehler wenn das Vorzeichen wechselt bzw. op1+op2 2 n-1, +0 (2 n-1-1) -(2 n-1-1) (2 n-1-1) -(2 n-1-1) -0 z.b.: (Übertrag) (Übertrag, Vz. dreht) Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

13 F.4. F.4.1 Komplementierung Zweierkomplement-Darstellung Berechnung des Zweierkomplements eines Wertes W bei n Ziffern/Bits: Einerkomplement bilden und dann eins addieren, Komplement C = 1+ ( W ) codiert den Wert W Komplement C entspreche dem Wert m 2 n W (Vielfache von 2 n nicht darstellbar). Darstellung positiver ganzer Zahlen: Positiver Wert W genau wie Einerkomplement: ( z n-1,... z 1, z 0 ) 2 => i Σ z i 2 i höchstwertige Ziffer z n-1 immer gleich 0 Darstellung negativer ganzer Zahlen negative Null ( 1, 1,... 1) entfällt bzw. codiert nun -1, höchstwertige Ziffer ist Vorzeichen und somit c n-1 = 1, durch Ziffern (c n-1,... c 2, c 1, c 0 ) 2 dargestellte Zahl: 2 n - z.b. ( 1, 0, 0, 1 ) 2 für Wert -7: -2 n + ( ) kleinste darstellbare Zahl ist -8. n-2 Σ i=0 c i 2 i 13 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

14 F.4.2 Zweierkomplement - Zahlenbereich Beispiel: Darstellungslänge n=4: aus wird und dann (aus 7 wird 7) kleinste negative Zahl: = = -8 größte (negative) Zahl: = = -1 Vorteil der Zweierkomplement-Darstellung: Im Gegensatz zum Einserkomplement positionale Darstellungsform ( n-1: -2 n-1 ), Die Null hat eine eindeutige Darstellung, "Null": 0000 (Länge 4) "Minus 1": 1111 (Länge 4). Nachteil: Kein Komplement für die negativste Zahl möglich, Komplementbildung etwas teurer, wegen Carry-Fortpflanzung. Zahlengerade: = -2 n-1 = = = 2 n Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

15 F.4.3 Addition & Subtraktion in Zweierkomplementdarstellung Standardaddierer zur Addition. Subtraktion zusätzlich: Komplementierung eines Summanden, das heisst, zuerst binäre Ziffern invertieren, dann 1 addieren, z.b. durch gesetzten Carry-Eingang. Vorzeichenwechsel bei ursprünglich gleichen Vorzeichen = Überlauf. 15 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

16 F.4.4 Zahlenraum der Zweierkomplementdarstellung Hier für ein Register mit 4 Binärstellen: (unsigned) 16 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

17 F.5. Multiplikation und Division F.5.1 Schriftliche Multiplikation auf Binärzahlen nur positive Zahlen, ohne Komplement oder Vorzeichen Kontrolle: 3 x 10 = = Übertragung auf den Rechner: Realisierung in Hardware: Addierer und Schieberegister, Realisierung in Software: Addition und Bittest/Schieberegister. Einige Prozessoren besitzen keine Multiplikationshardware. 17 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

18 F.5.2 Division entsprechend einer Papier- und Bleistifttechnik Wenn möglich Divisor vom skalierten Dividenden subtrahieren = 1011 Quotient Kontrolle: = 11 Rest Rest Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

19 F.5.3 Restoring Division Das oben beschriebene Verfahren wird auch Restoring Division genannt, da hierbei der ursprüngliche Dividend wiederhergestellt wird ("wenn nicht ging" => ). Mathematisch: entweder Dividend Divisor = Quotient + Rest Divisor oder auch Dividend = Divisor * Quotient + Rest oft wünscht man, dass Rest und Divisor gleiches Vorzeichen aufweisen, Elektronisch: addieren, subtrahieren, schieben, in jedem Schritt testweise den Divisor vom skalierten Dividenden subtrahieren, falls Subtraktion ohne Vorzeichenwechsel, dann Quotientenstelle q i = 1, sonst Quotientenstelle q i = 0, Divisor wieder draufaddieren, weitere Dividendenstellen ins Subtrahierwerk schieben. 19 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

20 F.5.4 Serielles Schaltwerk für vorzeichenlose Division Ablauf:Nun setze q low auf Null, lade q high mit dem Dividenden a n-mal schleifen: q nach links schieben, b von q high subtrahieren, falls q high 0,dann q 0 = 1, sonst Divisor zurückaddieren, q 0 = 0, Resultat: q low : Quotient q high : Rest b n-1... b 1 b 0 >0? n-bit Addierer/ Subtrahierer Steuerwerk q 2n-1... q n+1 q n q n-1... q 1 q 0 20 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

21 F.5.5 BCD Zahlencodierung 4-Bit Darstellung für Dezimalziffern. BCD steht für "Binary Coded Decimal", (1001, 0001, 0011, 1001) bcd <=> (1111, 0001, 0011, 1001) bcd <=> (evtl. mit Vorzeichen) Codierungstabelle: Wert Code Wert 8 9 inv. inv. inv. inv. inv. inv. Code Exakte Umwandlung auch für Dezimalbrüche. BCD-Instruktionen oft auch im Rechenwerk vorgesehen. 21 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

22 F.5.6 Festkomma-Arithmetik Positionierung des Dezimalpunktes/-kommas als Konvention. Binäre Festkommazahl: Wert: ( z n-1-k,... z 1, z 0, z -1,..., z -k ) 2 = i Σ z i 2 i Die Kommaposition k wird impliziert, aber nicht dargestellt, '01010' 2 => 010,10 2 = 2, , = 50, , = -126, (Zweierkomplement) Bestimmung der Kommaposition zur Compilationszeit: COBOL: 05 E-Betrag PIC S99999V99 USAGE IS COMP-3. bedeutet 32 Bits bzw. 8 Nibbles, 2 Nachkommastellen, COMP-3 impliziert hier BCD-Darstellung. Rechenoperationen: Addition & Subtraktion unverändert, falls beide Operanden gleiche Kommaposition, Multiplikation: die Anzahl der Nachkommastellen beider Operanden addiert sich, Division: Komma einfügen, sobald erste Nachkommastelle des Dividenden kommt. 22 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

23 F.6. F.6.1 Zahlendarstellung Gleitkomma-Arithmetik Darstellung großer und kleiner Zahlen mit gleichem Verfahren: Mantisse M speichert den (evtl. normalisierten) Zahlenwert Z. Exponent E skaliert M, bzw. zeigt die (gleitende) Position des Dezimalpunktes, Zahl Z = ±M * 10 E, Vorzeichen V. Beispiele: 0,12345, k = 3 : 123,45 => 0,12345 * ,12345, k = 5 : => 0,12345 * ,12345, k = 4 : 0, => 0,12345 * 10-4 Eine Zahl Z 0 heisst normalisiert, wenn gilt: 1 M < Basis: z.b. z.b. V Exponent 1234,5 mit Basis 10 => 1,2345*10 4 (normalisiert) 3,625 mit Basis 2 => 1,1101*2 1 (normalisiert) Mantisse Beispiel: wissenschaftliche Notation des Taschenrechners 1, entspricht , Exponent zur Basis 10 bestimmt die Skalierung. 23 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

24 Freiheitsgrade bei der Darstellung Gesamtlänge der Darstellung (... 32, 64, 80, 128 ), Länge der Exponentendarstellung (Länge der Mantissendarstellung) Darstellung der Mantisse (Einer-, Zweierkomplement oder Vorzeichen und Betrag) Darstellung des Exponenten (1er-, 2er-K., Vorzeichen & Betrag oder Biased Exp.) Biased Exponent (= Charakteristik): Exponenten immer positiv und um eine Konstante(Bias) höher als tatsächlicher Wert, Vorteil: durchgängiger positiver Nummernraum für die Charakteristik, binärer Vergleich zweier Gleitkommazahlen. Beispiel: Bias B = 63, Exponent e = 8 Darstellung als Charakteristik = Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

25 F.6.2 Rechnen mit Gleitkommaformaten Normalisieren: Exponenten so anpassen, dass 1 Mantisse < Basis, geschieht meistens implizit. Addition/Subtraktion denormalisiere Zahl mit kleinerem Exponent, d.h. Expon. auf gleichen Wert bringen addiere oder subtrahiere Mantissen renormalisiere Mantisse berechne Vorzeichen des Ergebnisses. Multiplikation/Division multipliziere/dividiere Mantissen addiere/subtrahiere Exponenten normalisiere Mantisse berechne Vorzeichen des Ergebnisses 25 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

26 F.6.3 Gleitkomma-Zahlen nach IEEE754 Empfehlung Standard zur Vereinheitlichung der unterschiedlichen Darstellungen. Aufbau einer IEEE 754 Fließkommazahl: allgemeine Wertberechnung: x = (-1) s * (1, m) *2 E-Bias erste Ziffer (immer 1) wird nicht in Mantisse gespeichert Bias B hängt von der Länge der Exponentendarstellung E ab: Bias = 2 E-1-1 gültige Charakteristiken: 0 < ch < 2 E -1 (Werte 0 und sind reserviert) 26 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

27 F.6.4 Spezielle Werte nach IEEE754 Empfehlung Null / Zero: Vorzeichen s, e=0, m=0, (positive und negative Null). Unendlich / Infinity symbolische Darstellung für unendlich große Zahl Vorzeichen s, e=2 E -1, m=0, (positiv und negativ Unendlich) NaN / Not a number / Uninit Vorzeichen s, e=2 E -1, m 0 denormalisierte Zahlen (kleiner als kleinste normalisierte Zahl) Vorzeichen s, e=0, m 0, Wertberechnung: x = (-1) s * 0,m*2 1-Bias 27 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm

28 F.6.5 Formatdefinitionen nach IEEE754 Zusätzlich: herstellerabhängig definierbares Format, Extended Precision zwischen Double und Quad. 28 Technische Informatik I, Sommer 2009, P. Schulthess, F. Hauck, VS Informatik, Uni Ulm