Einfache Arithmetik, d.h. hohe Rechengeschwindigkeit, d.h. geringer. - Im Gegensatz dazu: Für die technische Realisierung eines

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1 Teil I Informationsdarstellung in Rechenanlagen.2 Darstellung von Zahlen Themen Notation von Zahlen Zahlensysteme, Dezimalsystem und Binärsystem Konvertierung Rechnen mit Binärzahlen positive ganze Zahlen negative ganze Zahlen gebrochene und reelle Zahlen Festkomma- und Gleitkommazahlen (IEEE Standard) Probleme der Rechengenauigkeit Darstellung von Zahlen Fragen zur Zahlendarstellung: Welche Zahlen sollen dargestellt werden? Zusammenhängender Bereich, ganze/rationale/reelle Zahlen? Darstellung negativer Zahlen? Darstellung rationaler und reeller Zahlen? Genauigkeit, Rundungsfehler? Realisierung arithmetischer Operationen auf Zahlen? Z.B.: Wie gewährleistete man Kommutativität des + Operators? Kopfrechnen Vom Computer rechen lassen. 2 Codierung von Zahlen zum Rechnen Forderungen an einen Code für Zahlen: Einfache technische Realisierung, d.h., Ablage in Binärwörtern. Leichte Konvertierbarkeit in/aus Dezimalsystem. Einfache Arithmetik, d.h. hohe Rechengeschwindigkeit, d.h. geringer Schaltungsaufwand des Rechenwerks. Eventuell zusätzliche Anforderungen durch Anwendung, z.b.: - Fehlererkennbarkeit, wenn Zahlen zur Datenübertragung codiert werden sollen => große Hammingdistanz. - Im Gegensatz dazu: Für die technische Realisierung eines Zählwerks sind Codes mit kleiner Hammingdistanz vorteilhaft. Möglichkeiten der Codierung:. Ziffern auf Codewörter abbilden oder 2. Zahlen auf Codewörter abbilden Codierung von Zahlen vs. Codierung von Ziffern Unterscheidung zwischen Wörter aus Ziffern und Zahlen z.b. das Wort "" vs. die natürliche Zahl Hundert Ziffernfolgen als Wörter in einem Text, z.b. "47" Codierung der Ziffern mit ASCII-Codierung: c ASCII ('') = 49, c ASCII ('4') = 52, und c ASCII ('7') = 55 Für die Codierung des Worts "47" mit der natürlichen Fortsetzung c* ASCII ergibt sich somit: c* ASCII ( "47" ) = für Konkatenation Ziffernfolgen als Zahlen mit denen gerechnet werden soll ASCII- Darstellung ist für Zahlen, mit denen man arithmetische Operationen durchführen möchte, unpraktisch und verschwendet unnötig Platz. Frage: Geht es geschickter? 3 4

2 Codierung von Zahlen mit Bitfolgen fester Länge Gegeben: Zahl z im Dezimalsystem, z.b. 2 Binärwörter der Breite b, z.b. b = 4 oder b = 8 allgemein 2 m Gesucht:... Codierung, c, die z auf ein binäres Codewort c(z) abbildet. Beispiel: z = 2, c(2) Fragen: Wie breit muss man die Binärwörter wählen, wenn man einen bestimmten Zahlenbereich [z min,..., z max ] darstellen möchte? Wie stellt man negative und nicht-ganze Zahlen dar? Mit welchen Codierungen kann man einfach rechnen (+, -, *, /)? Wie wirkt sich eine Codierung auf die Rechengenauigkeit aus? Welche Binärformate werden in der Praxis eingesetzt? Natürliche Binärdarstellung der Ziffern bis 9 Überlegung: Zur Darstellung der Ziffern {,..., 9} benötigen wir verschiedene Codewörter. => Man benötigt mindestens 4-stellige binäre Codewörter (mit 3 Stellen gäbe es nämlich nur 8 unterschiedliche Codewörter). Beispiel: Codierung der Ziffern,..., 9 mit binären Codewörtern der Länge 4. c z : {,..., 9} Bool 4 Anmerkung: Man könnte auch eine andere Zuordnung der Ziffern zu Codewörtern wählen BCD-Codierung Idee: Verwende zur Codierung der Ziffern,..., 9 eine Tetraden-Codierung, d.h., codiere jede Dezimalziffer mit einem 4 Bitwort: c BCD : {,..., 9} Bool 4 Mehr-zifferige Dezimalzahlen werden dann ziffernweise mit der natürlichen Fortsetzung c* BCD codiert: Beispiel: c* BCD (3) = c BCD () c BCD (3) Fragen: = Was macht man mit den nicht benötigten Codewörtern,,,, und? Wie rechnet (+, -, *, /) man mit BCD-codierten Zahlen? Block-Codierungen für Ziffern 2-aus-5-Code: 5-Bit-Codierung Redundanz zur Fehlererkennung Jeweils 2 Bits sind auf gesetzt, alle anderen auf

3 Binärdarstellungen von Ziffern und Zahlen Codierung der Ziffern,..., 7 mit drei Binärziffern: Codierung der Zahlenwerte von 5 bis 22 mit drei Binärziffern: -> -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7 -> 5 -> 6 -> 7 -> 8 -> 9 -> 2 -> 2 -> 22 -> Allgemein lassen sich mit Binärwörtern fester Länge n insgesamt 2 n unterschiedliche Objekte (z.b. Ziffern oder Zahlen) darstellen. Zur Darstellung des Zahlenbereichs [,..., 2 n -] ergibt sich: - mit n=4 Bits kann man 2 4 = 6 Zahlen codieren, z.b.,, mit n= 8 Bits die 256 Zahlen von bis 255 oder -28 bis mit n= 6 Bits die Zahlen von bis mit n= 32 Bits die Zahlen von bis Anderer Ansatz: Darstellung von Zahlen im Binärsystem Idee: Man überführt Zahlen, mit denen man rechnen möchte, in ihre Binärdarstellung und rechnet im Binärsystem. Wichtige Zahlensysteme: Basis Bezeichnung Ziffernbereich 2 binär, dual a i, {, } 8 oktal a i,..., 7 {,,..., 7} dezimal a i,..., 9 {,,..., 9} 6 hexadezimal a i,..., 5 {,,..., 9, A,B,..,F} eigentlich hexadekadisch (griechisch) oder sedezimal (lateinsich) Schreibweise (a n a n-... a 2 a a a - a -2 a ) b b bezeichnet Basis Beispiele: () 2 = = = (3) (47) 8 = ( ) 2 = ( ) 2 = (9C9) 6 Beachte: Per Definition gilt für alle Zahlen x: x = Darstellung von Zahlen im Zehnersystem Zahlen werden üblicherweise als Zifferfolgen über dem Alphabet {,...,9} angegeben und als Zahlen des Zehnersystems interpretiert. Das Zehnersystem ist ein Stellenwertsystem, d.h., die einzelnen Ziffern einer Dezimalzahl stellen die Koeffizienten von Zehnerpotenzen dar. z.b.: 47 = = Definition: Stellenwertsystem Ein Ein Stellenwertsystem zur zur Basis b wird wird definiert durch: a n a n n-... n-... a 2 a 2 a a - a - -2 a a -m = -m a i b i i i mit mit -m -m i i n für für Basis b Nat, Nat, b > und und Koeffizienten a i i {, {, b-} b-} Anmerkung: Zifferfolgen werden erst durch eine Interpretation zur Zahl. Man spricht auch von b-adischen Stellenwertsystemen (b von Basis) Es gibt auch Nicht-Stellenwertsysteme; z.b. Römische Zahlen. Konvertierung von Zahlen Gegeben: Eine Zahl u zur Basis b, Schreibweise: (u) b Gesucht: Die Zahl v zur Basis c, für die gilt: (v) c = (u) b Dazu gibt es unterschiedliche Konvertierungsverfahren: Wiederholte Division mit Rest z.b. anzuwenden für die Konvertierung dezimal nach binär: (v) (u) 2 Addition von Potenzen z.b. anzuwenden für die Konvertierung binär nach dezimal: (u) 2 (v) Hornerschema z.b. anzuwenden für die Konvertierung binär nach dezimal: (u) 2 (v) 2 9

4 Konvertierung von binär nach dezimal (u) 2 (z) Methode : Aufaddieren von 2er-Potenzen. Beispiel: ( ) 2 = = = (25) Methode 2: Horner-Schema (u) (u) b = b u i b i i i = ((... ((... (u (u n b+ n b+ u n- )b n- )b + u n-2 ) n-2 ) b u 2 )b 2 )b + u )b )b + u = (v) (v) c c wobei die die Basis b im im Zahlensystem zur zur Basis c ausgedrückt wird wird Beispiel: ( ) 2 = = u 4 u 3 u 2 u u ((( 2 + ) 2 + ) 2 + ) 2+ = ((( 2 + ) 2 + ) 2 + ) 2 + = ( ) 2 + = = 25 = (25) 3 Konvertierung von dezimal nach binär (z) (u) Methode: Fortgesetzte Division mit Rest Vorüberlegung: Wird eine natürliche Zahl z durch eine andere natürliche Zahl d ganzzahlig geteilt, so erhalten wir einen Quotienten q und einen Rest r. Es gilt dann der Zusammenhang: z = q d + r mit r < d Die Operatoren div und mod div bezeichnet die Operation des ganzzahligen Dividieren. Beispiel: 39 div 8 = 4 Die Operation mod ordnet zwei Zahlen ihren Divisionsrest zu. Beispiel: 39 mod 8 = 7 (Probe: 39 = ) Unter Verwendung der Operatoren von div und mod erhält man: z = q d + r (mit r < d) z = (z div d) d + (z mod d) 4 Fortgesetzte Division mit Rest Gegeben: c-adische ganze Zahl Zahl y, y, neue Basis b Gesucht: b-adische Zahl Zahl x, x, so so dass gilt: gilt: (y) (y) c = c x i b i i i = (x) (x) b mit b mit i i n Prinzip: Berechne nacheinander die die Divisionsreste x, x,... x... n wie n wie folgt: x = y mod mod b x = (y (y div div b) b) mod mod b x 2 = 2 ((y ((y div div b) b) div div b) b) mod mod b x n = n ((( ((( y div div b) b) div div b) b) div div b) b) mod mod b = Die Die Reste ergeben dann in in umgekehrter Reihenfolge x n x n n- x n- x 2 x 2 x aneinandergereiht die die gesuchte Zahl Zahl x zur zur neuen Basis b. b. Probe: Durch Einsetzen in in die die Gleichung: (y) (y) c = c x i b i i i = (x) (x) c für c für i i n Beispiel: (29) (???) 2 29 : 2 = 4 Rest = x 4 : 2 = 7 Rest = x 7 : 2 = 3 Rest = x 2 3 : 2 = Rest = x 3 : 2 = Rest = x 4, also fertig Das Ergebnis lautet: x 4 x 3 x 2 x, x = ( ) 2 5 Konvertierung: dezimal binär Beispiel: (2) (???) 2 z z div 2 z mod 2 2 = x 5 = x 5 25 = x = x = x = x = x = x = x 8 3 = x 9 = x z = () 2 Man benutzt fortgesetzte Division mit Rest auch für die Umwandlung von Dezimalzahlen in Oktal- und Hexadezimalzahlen. 6

5 Oktal- und Hexdezimalsystem Binärsystem, Oktalsystem und Hexadezimalsystem werden in der Informatik häufig benutzt, da man diese Systeme leicht in einander umrechnen kann. Beispiel: 2 C 7 3 () 2 = ( ) 2 = (2C73) 6 Gruppieren wir jeweils drei Ziffern einer Binärzahl und ordnen jeder Dreiergruppe die entsprechende Oktalziffer zu, so erhalten wir die Oktaldarstellung der Zahl. Beispiel: () 2 = ( ) 2 = (2663) 8 Anmerkungen: Eine Gruppe von 4 Bits nennt man auch ein Halb-Byte oder ein Nibble. Weitere gebräuchliche Schreibweisen für Hex-Zahlen sind: 6 6 = 6h = x6 Konvertierung Beobachtung: In einigen Spezialfällen ist die Konvertierung sehr einfach nämlich dann, wenn sich eine Basis als Potenz der anderen schreiben lässt. ( A B C ) 6 = ( ) = ( ) = (2748) ( ) 2 Kontrolle: = = 2748 ( ) 8 Kontrolle: = = Grundrechenarten im Dezimalsystem Grundrechenarten a la Schularithmetik für Dezimalzahlen Addition mit Übertrag Multiplikation x = , 2 y = , 3 x + y = , 5 4, 2 3 7, , 8 Die in der Grundschule erlernten Verfahren zur Addition und Multiplikation von Dezimalzahlen lassen sich direkt auf alle anderen Zahlsysteme übertragen. Man benutzt allerdings das n-adische Einmal-Eins. 9 Rechnen im Binärsystem Addition mit Übertrag Multiplikation binäres binäres + dezimal: binär: 2

6 Rechnen im Binärsystem Subtraktion Gegeben seien die beiden Zahlen a = a n a n-... a 2 a a und b = b m b m-... b 2 b b. Gesucht ist die Zahl d = d n d n-... d 2 d d mit d = a b. Berechnung der Differenz d erfolgt nach dem Prinzip der stellenweisen Addition des arithmetischen Komplements der Zahl b. Im Zehnersystem ist das Komplement die Ergänzung auf. Es treten zwei Fälle auf: Ergebnis ist größer als Ziffer wird übernommen Ergebnis ist kleiner als Ziffer wird übernommen und es gibt einen Übertrag auf die nächste Stelle Beispiel: im Zehnersystem Teilrechnung: 5 = (5 + 9) = 4 = = (4 + 4) = 8 84 Rechnen im Binärsystem Beispiel: Subtraktion von Zahlen mit maximal 3 Ziffern 9-er-Komplement: Alle Ziffern zu 9 ergänzen: <58> 9 = 94 -er-komplement: 9-er-Komplement + : <58> = 942 a b = a + <b> ???? 69 =>???? = 69???? Problem: Bei negativen Zahlen ist die Subtraktion von aufwändiger. Lösung: Rafinierte Darstellung von negativen Zahlen suchen. 2 Subtraktion im Binärsystem Gegeben: die beiden binären Zahlen a = a n a n-... a 2 a a und b = b m b m-... b 2 b b Gesucht: die Binärzahl d = a - b arithmetischen Komplemente: Komplement zu () 2 ist () 2 weil () 2 + () 2 = () 2 = (2) Komplement zu () 2 ist () 2 weil () 2 + () 2 = () 2 = (2) Es treten zwei Fälle auf: - Ergebnis ist größer als () 2 => Ziffer wird übernommen - Ergebnis ist kleiner als () 2 => Ziffer wird übernommen und es gibt einen Übertrag auf die nächste Stelle Beispiel: Berechne im Binärsystem die Differenz: Teilrechnung: = ( + ) = = ( + ) = Rechnen im Binärsystem Beispiel: Subtraktion von Binär-Zahlen mit maximal 3 Ziffern -er-komplement: Alle Ziffern zu ergänzen: <> = 2-er-Komplement: -er-komplement + : <> 2 = a b = a + <b> 2 (5) () (2) + (2) +???? =>???? = (3)???? Problem: Bei negativen Zahlen ist die Subtraktion von aufwändiger. Lösung: als interpretieren verallg. 2-er-Komplement-Darstellung. 23

7 Rechnen im Binärsystem: Division Division : 3 dezimal binär : 3 = : = Multiplikation und Division durch Bitverschiebung Einige Programmiersprachen (C, Java,...) erlauben das Verschieben von Bits nach links bzw. nach rechts. Beispiel: Links-Shift-Operator << bzw. Rechts-Shift-Operator >> Idee: Verwende Verschiebeoperationen zum schnellen Multiplizieren u. Teilen und zwar: a << n entspricht einer Multiplikation mit 2 n a >> n entspricht einer Division durch 2 n Beispiel: 5<<3 = 5 * 2 3 = 4 -> 4 >> 3 = 4 / 2 3 = 5 -> Darstellung ganzer positiver und negativer Zahlen Forderung: Darstellung eines Zahlbereiches A = { a n, a n +,..., 2,,,, 2,,..., b m, b m } a n b m Möglichst symmetrisch zum Nullpunkt: n ~ m Konvertierung von dezimal nach binär und zurück möglichst einfach realisierbar. Arithmetische Operationen auf codierten Zahlen möglichst einfach und effizient realisierbar. Möglichkeiten: Darstellung einer Zahl durch Vorzeichen + Betrag Exzess-q-Darstellung Komplement-Darstellung (Zweier-Komplement, Einer-Komplement) 27 Darstellung einer Zahl durch Vorzeichen + Betrag Format: VZ Betrag mit 4 Bit kann man z.b. die Zahlen von -7 bis +7 wie folgt darstellen: = + = + = +2 = +3 = +4 = +5 = +6 = +7 = - = - = -2 = -3 = -4 = -5 = -6 = -7 Nachteile der Darstellung: Die Zahl Null ist durch zwei verschiedene Bitfolgen dargestellt, durch '' und durch '', also + und -. Das Rechnen ist komplizierter geworden. Man kann zwar eine Methode angeben, wie man die obigen Bitfolgen korrekt addieren kann. Technisch würde diese Methode auch problemlos in Rechnern verwendet werden können es gibt aber geschicktere Darstellungen von ganzen Zahlen, die alle genannten Probleme vermeidet! 28

8 Exzess-q-Darstellung Motivation Man möchte vermeiden, mit negativen Zahlen rechnen zu müssen. Idee Verschiebe den darzustellenden Zahlenbereich um einen Betrag q, so dass die kleinste darzustellende Zahl a n nicht mehr negativ ist. A = { a n, a n +,..., -2, -,,, 2,,..., b m -, b m } a n b m A' = { a n +q, a n ++q,..., -2+q, -+ q, +q, q+, q+2,,..., q+ b m -, q+b m } a n +q (= ) q q+ b m Exzess-q-Darstellung Beispiel Darzustellen sei der Bereich Z = [-6, -5, -4,...,,, 2,..., 5] im Exzess-q-Format mit q = 6. => Z wird wie folgt auf Z abgebildet und Z anschließend auf Bool q = q = q = q = q = 5 + q = 6 + q = q = q = q = Exzess-q-Darstellung Anmerkungen Meistens wählt man q = 2 m bei (m+) verfügbaren Stellen im Binärwort. Der darstellbare Zahlenbereich ist dann: [ -2 m...,,..., + 2 m ] Beispiel: m = 4 (also insgesamt 4+ Bits für die Zahlendarstellung) => q = 2 4 = 6 => darstellbarer Zahlenbereich: [-6...,,..., +5] wird abgebildet auf: [,..., 3] Darstellung der Zahl (3) als (x) 2ex (3) (3) + (2 4 ) = () 2 + () 2 = () 2ex Rechnen mit Zahlen in Exzess-q-Darstellung Beispiel Ausführung der Addition = in Exzess-Darstellung (5) = ( ) 2ex resultiert aus () 2 + () 2 + (6) = ( ) 2ex resultiert aus () 2 + () 2 ( ) 2ex entspricht () + (32) = (43) Überlauf Vorbereitung der Rückkonvertierung: ( ) 2ex - () 2 (- 6) Kompensation. Addition von q - () 2 (- 6) Kompensation 2. Addition von q () 2 rückkonvertieren () Der bei der Rechnung entstandene Überlauf kompensiert sich bei der Rückrechnung. 3 32

9 Weitere Möglichkeiten zur Codierung von Zahlenbereichen Darzustellen ist der Bereich Z = [-8, -7,..., -,,, 2,... 7 ] => Z besteht aus insgesamt 6 Zahlen => wir benötigen alle Codewörter aus Bool 4 c Z : Z Bool 4 Welche Eigenschaften hat die Codierung c Z? - Eineindeutigkeit der Codierung? - Symmetrie um? - Schrittweite? - Konvertierbarkeit? - Eignung für arithmetische - Operationen ( + und )? Eine wie c Z aufgebaute Codierung nennt man auch Zweierkomplement- Darstellung Konvertierbarkeit: Zweierkomplement-Darstellung Mit 4 Bits kann man den Bereich von [-8,.., -,,,... +7] abdecken. Zur Codierung des Teilbereichs [,,... +7] zählt von beginnend aufwärts, bis man die obere Grenze +7 erreicht. Zur Codierung des Teilbereichs [-8, -7,..., -2, -] beginnt man bei mit dem Codewort und zählt abwärts bis zur -8 mit dem Codewort => Es ergibt sich folgende Zuordnung: Zweier-Komplementdarstellung Was bedeutet Zweierkomplement-Darstellung : Die Bezeichnung Komplement-Darstellung leitet sich von einer speziellen Eigenschaft der Codewörter ab: Um zur positiven Zahl z das Codewort c(-z) der negativen Zahl -z zu erhalten, nimmt man das Bit-Komplement des Codeworts c(z) und addiert auf c(-z) = Komplement( c(z) ) + Zweier-Komplementdarstellung Rückkonvertierung negativer Zahlen in Komplementdarstellung Gegeben: Eine negative Zahl -z in Zweier-Komplementdarstellung. Wie kommt man zur Codierung der positiven Zahl z? Ansatz : Subtrahiere von c(-z) und komplementiere das Ergebnis Ansatz 2: Komplementiere c(-z) und addiere auf c(z) = Komplement(c(-z))

10 Zweierkomplement-Darstellung im Zahlenring Beachte: Die Zahlen sind modulo 6 in natürlicher Reihenfolge Ringdarstellung ist vorteilhaft, um die Eignung des Codes für die Durchführung arithmetischer Operationen (Addition) klar zu machen. Arithmetik in der Zweier-Komplementdarstellung Beispiel: Zweierkomplementdarstellung der Zahl ( 6). Bilde Binärdarstellung von 6, also. 2. Bilde bitweises Komplement. 3. Addiere auf das Bit-Komplement. 6 + Beispiel: Berechne ( 2-6 ). Erzeuge -6 im Zweierkomplement. 2. Führe binäre Addition 2 + (-6) durch: + = (-6) + -4 Das erste Bit zeigt, dass das Ergebnis eine negative Zahl ist. Den Betrag der Zahl finden wir, indem wir das Bit-Komplement bilden (hier ) und dazu addieren, also + =. Rückkonvertieren von ins Dezimalsystem ergibt 4. Somit ( ) 2c -> (-4) Arithmetik mit Zweierkomplement-Darstellung Addition: a + n Mit positiver Zahl n: Von a ausgehend n Schritte im Zahlenring im Uhrzeigersinn. Mit negativer Zahl n: Von a ausgehend n Schritte gegen den Uhrzeigersinn. Subtraktion: Durch Addition des Komplements, d.h., es genügt, die verschiedenen Fälle der Addition zu betrachten. Beispiel: 7+ (-3) Multiplikation / Division: - Zurückführung auf Addition. (Naiv, es gibt bessere Methoden.) = 2c -3 = 2c = 2c Eigenschaften der Zweierkomplement-Darstellung Darstellung des Zahlbereiches { -2 n-,..., -,,,..., 2 n- - } -> B n unsymmetrisch zum Nullpunkt einfache Negation einer Zahl durch Kippen aller Bits und Addition von Subtraktion durch Addition des Komplements Überlaufbehandlung: Reduktion mit mod 2 n, (d.h. durch Ignorieren des Überlaufs)

11 Logisches vs. arithmetisches Komplement Logisches Komplement (Einer-Komplement) bezeichnet das bitweise Invertieren eines Bitwortes => entsteht durch "kippen" aller Bits Beispiel: n=5, b=2, x = => -er-komplement von x = Zweierkomplement (arithmetisches Komplement) Für eine n-stelligen Zahl (x) b ist das Komplement (k) b diejenige Zahl, für die (x+k) b die nächst höhere Potenz der Basis b ergibt, die mit den verfügbaren n Stellen gerade nicht mehr darstellbar ist. Beispiel: n=5, b=2, x = => k = ( + = ) Es gilt: Zweierkomplement = Einerkompelent +. Motivation für die Verwendung einer Komplementdarstellung Im Binärsystem ist die Komplementbildung einer Zahl besonders einfach. Unter Verwendung des arithmetischen Komplements kann man die Subtraktion zweier Zahlen auf eine Addition des Komplements der zu subtrahierenden Zahl zurückführen. Ähnlichkeit der Darstellungsformen am Beispiel Die Zahl 77 soll mit 8 Bit dargestellt werden: (77) = ( ) 2 mit Vorzeichenbit Ohne Vorzeichenbit : 77 2 bitweise Komplementbildung Einerkomplement : 77 2 Zweierkomplement : 77 = 2c Addition von Durch die Addition von kann sich das Bitmuster jedoch auch an einer anderen Stelle ändern: Beispiel: Darstellung der Zahl 2 mit 8 Bit: mit Vorzeichenbit Ohne Vorzeichenbit : 2 2 bitweise Komplementbildung Einerkomplement : 2 2 Zweierkomplement : 2 = 2c Addition von 4 42 Darstellung von gebrochenen Zahlen Die Ziffernfolge b n b n-...b b,c c 2...c m- c m bezeichnet die folgende gebrochen Dezimalzahl: (z) = b n n + b n- n b + b + c + c c m- (m ) + c m m Beispiel: 23,456 = Analog können gebrochene Binärzahlen gebildet werden. Die Ziffernfolge b n b n-...b b,c c 2...c m- c m bezeichnet dabei die folgende gebrochen Binärzahl: (z) 2 = b n 2 n + b n- 2 n b 2 + b 2 + c c c m- 2 -(m-) + c m 2 -m Beispiel:, = = ½ + ¼ + /8 = (7,875 ) Konvertierung von Brüchen Zur Konvertierung eines Dezimalbruchs in seine Binärdarstellung kann man zuerst Nenner und Zähler konvertieren und anschließend im Binärsystem die Division durchführen. Beispiel: (.2) = (/5) = () 2 / () 2 = ( / ) 2 = (.) 2 Division:. : =. Durch Basiswechsel kann es vorkommen, dass eine Zahl nur noch als unendlich lange, periodische Binärzahl darstellbar ist

12 Konvertierung von Brüchen Weitere Beispiele gebrochene Binärzahl gebrochene Dezimalzahl..5 = /2..25 = /4..75 = 3/4..75 = 7/ = 57/8.... = / Umwandlung eines binären Bruchs in Dezimaldarstellung: () 2 () (.) 2 = = = (.6875) () (6) 2 Ungenauigkeiten durch begrenzte Wortlänge (z.b nur 4 Bits): () 2 () (.) 2 = = = (.73) () (5) 2 Konvertierung von Brüchen Potenz-Methode (dezimal -> binär): Beispiel: Umwandlung der Zahl +39,625 in das Dualsystem. Rest Zweierpotenz Dezimalwert Binärwert 39, = a 6 7, = a 4 7, = a 3 7, = a 2 3,625 2 = a,625 = a,625 -,5 = a -,25-2,25 = a -2,25-3,25 = a -3 Ergebnis: 39,625 =, 2, Konvertierung von nicht ganzen Zahlen Die Umwandlung einer nicht ganzen Dezimalzahl b n b n-...b b,c c 2...c m- c m in eine Binärzahl kann mit der Quotient-Produkt-Methode erfolgen:. Der Teil b n b n-...b b links vom Komma wird mit der fortgesetzten Division mit Rest umgewandelt. 2. Der Teil c c 2...c m- c m rechts vom Komma wird mit fortgesetzter Multiplikation mit 2 umgewandelt. Beispiel:,625 div 2 = 5 Rest,25 = div 2 = 2 Rest,5 = div 2 = Rest, =.5 2 div 2 = Rest, Konvertierung von Brüchen Quotient-Produkt-Methode (dezimal binär): Beispiel: Umwandlung der Zahl 39,625 in das Dualsystem.. Konvertierung des Vorkommateils: Division Quotient Rest 39:2 9 9:2 9 9:2 4 4:2 2 2:2 :2 Zwischenergebnis Vorkommateil: 47 48

13 Konvertierung von Brüchen Umwandlung der Zahl 39,625 in das Dualsystem. 2. Konvertierung des Nachkommateils: Multiplikation Produkt Vorkomma Nachkomma Binärwert,625*2,25,25,,25 *2,5,5,5 *2,, Ergebnis: Nachkommateil:, 3. Zusammenfassungen von Vorkommakonvertierung: u. Nachkommakonvertierung:,, Darstellung reeller und rationaler Zahlen als n-bit-worte Motivation: Für viele Anwendungen benötigt man reelle bzw. rationale Zahlen, z.b. = , e = , trigonometrische Funktionen, Wurzeln, Logarithmen, etc. Problem: Für unendlich vielen Dezimalstellen ist nur eine approximative Darstellung möglich. Dadurch Ungenauigkeiten durch Auslöschungseffekte und Einschränkungen der Gültigkeit von Rechenregeln. Beispiel: Assoziativgesetz der Addition: (3.. ) 7.5 = = (. 7.5) = = Darstellung reeller und rationaler Zahlen als n-bit-worte Möglichkeiten der Darstellung als n-bit-wort: Festpunkt-Darstellung Gleitpunkt-Darstellung (die gebräuchlichste Darstellung) Format der Festpunkt/Fixpunkt-Darstellung: Exakte Darstellung von m Nachpunktstellen in der Binär-Darstellung einer Zahl im n-bit Wort. Geeignet sowohl für positive als auch für negative reelle Zahlen. VZ (n-m-) Vorkommastellen m Nachkommastellen n-m- z = (-) vz z i b i i = m Gleitpunktzahlen () Motivation Bei bisherigen Darstellungen war Größenordnung der Zahlen fest. Bei technisch- wiss. Anwendungen haben Zahlen oft von sehr unterschiedlicher Größenordnung. z.b.: Avogadro-Zahl (Maß für Stoffmengen ) : N A = Planck sches Wirkungsquantum h = => Statt Fixpunktzahlen verwendet man auf Computersystemen praktisch ausschließlich Gleitpunktzahlen. Zielsetzung Erfassung eines möglichst großen Intervalls der reellen Zahlen. Kleine Zahlen benötigen wenige Stellen vor dem Dezimalpunkt. => Mehr Stellen hinter dem Punkt (Komma) für eine größere Genauigkeit nutzen. Bei großen Zahlen geht man umgekehrt vor. => Benötigte Flexibilität kann durch Verschieben der Punkt- Position erreicht werden. Anlehnung an technisch wissenschaftlichen Notation mit Exponent. 5 52

14 Gleitpunkt-Darstellung Komponenten der Gleitpunkt-Darstellung: vz mant b exp Vorzeichenbit gibt an, ob die vorliegende Zahl positiv oder negativ ist. Mantisse (Nachkommastellen) besteht aus Zifferfolge, die zu einer Basis b interpretiert wird. Mit Basis b = 2 wird m...m n interpretiert als: m 2 + m m n- 2 (n ) + m n 2 n Charakteristik (oder Exponent exp) ist eine Binärzahl in Exzess- Darstellung. Sie gibt an, mit welcher 2-er-Potenz die vorliegende Mantisse zu multiplizieren ist. Format der Gleitpunkt-Darstellung VZ: sign Charakteristik (Exponent : exp) Mantisse: mant Beispiel: 2-Bit Wort Konvertierung von Gleitpunktzahlen Dezimale Gleitpunktzahlen und binäre Gleitpunktzahlen kann man ineinander umrechnen. Diese Umrechnung geht aber in beiden Richtungen nicht immer auf, wenn wir jeweils eine bestimmte Zahl von Ziffern für die Mantisse vorschreiben. So läßt sich zum Beispiel die dezimale Zahl. nicht exakt durch eine binäre 32-Bit-Gleitpunktzahl darstellen (siehe Tabelle) V exp Mantisse Zahlenwert Bereits beim Umrechnen dezimaler Gleitpunktzahlen in binäre Gleitpunktzahlen treten also Rundungsfehler auf. Weitere Ungenauigkeiten entstehen beim Rechnen mit Gleitpunktzahlen. Vorsicht, da die mit Gleitkommazahlen erzielten Ergebnisse fast nie exakt sind Gleitpunkt-Darstellung Die Größenordnung einer Gleitpunktzahl wird bestimmt durch die Charakteristik (und die gewählte Basis b). Die Genauigkeit wird bestimmt durch die Länge der Mantisse. => Stehen Bitwörter der Länge n zur Verfügung, so ist die Aufteilung der Bits für Charakteristik und Mantisse entscheidend für den darstellbaren Wertebereich und die erzielbare Genauigkeit. Problem Eine Zahl x hat beliebig viele Gleitpunkt-Darstellungen. Beispiel: z =.23 =.23 =.23 2 = (Auch wenn nur n-bit-wörter zur Verfügung stehen, bleiben viele Varianten zur Auswahl.) Ziel Wähle ein normiertes (vereinheitlichtes) Format für Gleitpunktzahlen zur Basis 2 für ihre Darstellung in einem n-bitwort. 55 Normierte Gleitpunktzahlen Satz: Jedes x besitzt genau eine Darstellung der Form: x = m 2 exp mit m 2 (oder wahlweise m ) Normierte Darstellung Bei einer zur Basis 2 normierten Gleitpunktzahl x wird der Exponent so gewählt, dass für die Mantisse gilt: m 2 und der Betrag der Zahl folgende Form hat: z =.m m 2...m n- m n 2 exp Andere Möglichkeit der Normierung: Normiere so, dass für Mantisse gilt m und erste Ziffer nach dem Punkt eine ist: z =.m 2...m n- m n 2 exp 56

15 Normierte Gleitpunktzahlen Vorteile normierter Gleitpunktzahlen: - für Mantissen mit m 2 braucht man die führende nicht zu speichern, da sie immer da ist. - Jede Gleitpunktzahl kann in eine normierte Gleitpunktzahl umgewandelt werden, weil eine Verschiebung der Bits um eine Stelle nach rechts bzw. links den Zahlenwert nicht ändert, wenn gleichzeitig der Exponent um erhöht bzw. erniedrigt wird. - Die Mantissen-Bits können optimal ausgenutzt werden, da keine überflüssigen Nullen gespeichert werden müssen. Eine auf das Format. m m 2... m n normierte Gleitpunktzahl mit Vorzeichen VZ, und Exponent exp stellt also folgenden Zahlenwert dar. (-) VZ ( + m 2 + m m n 2 n ) 2 exp Formal ist die Zahl nicht normalisiert darstellbar, weil.xxxx 2 exp Man interpretiert deshalb die kleinste darstellbare Gleitpunktzahl als. Gleitpunkt-Darstellung in Programmiersprachen Java, C, C++, C# Datentyp 32 Bit breite Gleitkommazahl (nach IEEE ) größtmögliche positive Zahl: e+38f kleinstmögliche positive Zahl: e-45f Datentyp 64 Bit breite Gleitkommazahl (nach IEEE ) größtmögliche positive Zahl: e+38 kleinstmögliche positive Zahl: e-324 Anmerkung Die meisten Computer-Prozessoren haben sog. Floating-Point Coprozessoren (oder auch Synergistic Processing Elements ), die auf Gleitpunktarithmetik spezialisiert sind. Die Leistungsfähigkeit solcher Prozessoren wird in FLOPS (Floating-Point-Operations Per Second) gemessen. - z.b. cell-microprozessor schafft mehrere Giga-FLOPS - Supercomputer schaffen bereits einige Peta-FLOPS 58 Arithmetik mit Gleitpunkzahlen Seien z und z 2 normierte GPZ mit z = m 2 e und z 2 = m 2 2 e2 Vergleich von z und z 2 z < z 2 gdw. (e < e2) oder (e = e2 und m < m 2 ) z = z 2 gdw. (e = e2) und (m = m 2 ) Addition: Sei z z 2, somit e e2: erg = z + z 2 = m 2 e + (m 2 2 e2 e ) 2 e Exponentenabgleich = (m + m 2 2 e2 e ) 2 e Addition der Mantissen = m 2 e noch nicht normalisiertes Ergebnis Führe Normalisierung für erg = m 2 e durch: Falls (m + m 2 2 e2 e ) < 2 dann: m := (m + m 2 2 e2 e ) und e := e sonst: m := (m + m 2 2 e2 e ) / 2 und e := e + 59 Gleitpunkt-Darstellung Darstellbarer Zahlenbereich Die betragsmäßig größte Zahl ist die mit größtem Exponenten und der größten Mantisse. Die betragsmäßig kleinste Zahl > hat den kleinsten Exponenten (= Exzess) und die kleinste Mantisse, die in normalisierter Form darstellbar ist. Beispiel: Gleitpunktzahl mit 2 Bit Wortlänge: VZ exp mant Vorzeichen: Bit für Vorzeichen der Mantisse Exponent: 5 Bit für Exzess-q-Darstellung => Die größte positive Zahl ist 2 4 = 5. Interpretiert als Exponent zur Basis 2 ist exp somit 2 5. Mantisse: 6 Bit. mit < mant < ist die größte Mantisse: 2 m Die größte darstellbare Zahl ist ( 2 -m ) 2 q- = ( 2-6 )

16 Addition und Subtraktion mit Gleitpunkzahlen z z 2 Konvertierung Konvertierung Normalisierung Normalisierung Exponent anpassen Exponent anpassen Addition Rückkonvertierung z + z 2 Beispiel: Addition mit Gleitpunkzahlen Gegeben: z = (-5.2) und z 2 = (-5.75) Gesucht: erg := z + z 2 Ressource: 6 Bit Wörter: 9 Bit für Mantisse, 6 für Charakteristik, VZ-Bit. Schritt : Konvertierung von z und z 2 z = (-5.2) (-....) 2 z 2 = (-5.75) (-.) 2 Schritt 2: Normalisieren von (z ) 2 und (z 2 ) 2 ins Format:.m...m 9 2 e Schritt 2.: Verschieben der Mantisse z = (-....) 2 (-....) z 2 = (-.) 2 (-.) Schritt 2.2: Exponenten in Exzess-q Format darstellen Mit 6 Bit für Charakteristik folgt: q = 2 6 = 2 5 = 32 Exponent von (z ) 2 = (3) + q = (3) + (32) = (35) = () 2 Exponent von (z 2 ) 2 = (2) + q = (2) + (32) = (34) = () Beispiel: Addition mit Gleitpunkzahlen Nach Schritt 2 sind z = (-5.2) und z 2 = (-5.75) normalisiert und wie folgt als 6-Bitwörter abgelegt: (z ) 2 = VZ exp mant (z 2 ) 2 = Schritt 3: Anpassung der Exponenten von (z ) 2 und (z 2 ) 2, so dass Addition durchgeführt werden kann. Weil (z ) 2 > (z 2 ) 2 wird der Exponent von (z 2 ) 2 angepasst: (z 2 ) 2 = (-.) ((-.) ) 2 3 = (-.) (z 2 ) 2 = VZ exp mant 63 Beispiel: Addition mit Gleitpunkzahlen Schritt 4: Addition der Mantissen von (z ) 2 + (z 2 ) 2 (z ) 2 = + VZ exp mant (z 2 ) 2 = Zwischen -ergebnis Schritt 5: Normalisierung des Ergebnisses (z ) 2 + (z 2 ) 2 Notwendig, weil Überlauf der Mantisse am linkesten Bit. Man darf hier nicht den für den Exponenten reservierten Bereich überschreiben! Normalisierung erfolgt durch verschieben der Mantisse um Stelle nach rechts und Erhöhung des Exponenten um. (z +z 2 ) 2 = 64

17 Beispiel: Addition mit Gleitpunkzahlen Schritt 6: Rückkonvertierung des Ergebnisses (z +z 2 ) 2 in die Dezimal-Darstellung. (z +z 2 ) 2 = Schritt 6.: Bestimmung des Exponenten () 2exzess -> () 2exzess q = () 2 = (4) somit: (.) = (.) 2 Schritt 6.2: Konvertierung von (.) =( ) Schritt 6.3 Berücksichtigung des Vorzeichens: => Ergebnis lautet: (exaktes Ergebnis wäre 2.95) Arithmetik mit Gleitpunkzahlen Subtraktion: Im Prinzip wie Addition erg = z -z 2 = z + (- z 2 ) Addition einer negierten Zahl = m 2 e + (- (m 2 2 e2-e )) 2 e Exponentenangleichung = (m + (- (m 2 2 e2-e )) 2 e Subtraktion der Mantissen (Zweierkomplement) = m 2 e Multiplikation: durch Multiplikation der Mantissen und Addition der Exponenten erg = z z 2 = (m m 2 ) 2 e+e2 Beachte: Berechnung der Vorzeichen erfolgt separat! Multiplikation von Gleitpunkzahlen z z 2 Konvertierung Konvertierung Normalisierung Normalisierung Multiplikation Mantisse / Addition Exponent Normalisierung Rückkonvertierung z z 2 67 Multiplikation von Gleitpunkzahlen Beispiel: ( 5.2) ( 5.75) =? Addition der (...) (.) 2 3 exp 2ex = Exponenten in 5.75 (.) (.) 2 2 exp Exzess-q-Format 2ex = Exzess Multiplikation der Mantissen m m 2 :... Exzess Exponentanpassung () 2 = 5 mant abschneiden Rundungsfehler 68

18 Rundung Forderung im IEEE-Standard: Das Ergebnis, das man durch eine arithmetische Operation mit dem Rechner erhält, soll dasselbe sein, als wenn man exakt rechnet und anschließend entsprechend eines geeigneten Modus rundet. Vier definierte Rundungsmodi für die Rundung zum nächstliegenden Gleitkommawert : Falls der Abstand zu zwei Gleitkommawerten gleich ist, wird zu jenem Wert gerundet, dessen niederwertigste Stelle eine gerade Zahl ist ( round-to-even -Regel). Rundung zum nächsten Gleitkommawert in Richtung Rundung zum nächsten Gleitkommawert in Richtung + Rundung zum nächsten Gleitkommawert in Richtung - Rundung bei Addition Rundung aufgrund eines auftretenden Übertrags und anschließender Normalisierung Beispiel: Basis, drei signifikante Stellen 2,34 2 (Übertrag) +8, IEEE-754 Normalisierung der Mantisse auf.xx,85 2 wird zu,8 3 gerundet Rundung im Zuge einer Exponentenanpassung Beispiel: Basis, drei signifikante Stellen 2,34 2 2, ,56 --Exponentenanpassung--> , , wird zu 2,37 2 gerundet 69 7 Rundung bei Addition Rundung aufgrund eines Übertrag sowie einer Exponentenanpassung Beispiel: Basis, drei signifikante Stellen 9,5 2 +, ,52 2 wird zu,2 3 gerundet. Probleme mit Gleitpunkzahlen Überlauf ( Overflow") des Exponenten (z.b. bei Multiplikation sehr großer Zahlen:.9E25*.9E25 nicht in für den Exponenten vorgesehener Länge darstellbar) Unterlauf ( Underflow") des Exponenten (z.b. bei Multiplikation sehr kleiner Zahlen:.9E-25*.9E-25 nicht in für den Exponenten vorgesehener Länge darstellbar) Große Rundungsfehler möglich z.b. durch Exponentenangleich bei Addition sehr unterschiedlich großer Zahlen durch Stellenauslöschung bei Subtraktion gleich großer Zahlen Beispiel: 23 ( ( 9 +) -) liefert den Wert 23 ( 9 +(-) ) liefert den Wert 4!!! Fazit: Ergebnisse von Gleitpunktberechnungen können u.u. erheblich von dem exakten Wert abweichen!! 7 72

19 Probleme mit Gleitpunkzahlen Die üblichen Rechengesetze gelten i. Allg. nicht (insbesondere nicht das Assoziativgesetz). Rechnungen im techn./wiss. Bereich mit reellen Zahlen können im schlimmsten Fall um Größenordnungen falsche Ergebnisse liefern. Es gibt zahlreiche Beispiele für technisches Fehlverhalten aufgrund ungenügender Berücksichtigung der Fehlerquellen beim Rechnen mit Gleitpunktzahlen: Raketenabstürze, am Ziel vorbeifliegende Raumsonden, fehlerhafte Steuerungen industrieller Anlagen,... Vorsichtsmaßnahmen: Bei Abfragen: Nicht auf x == testen, sondern x < d mit sehr kleinem d, d >. Statt x == y besser x y < d verwenden. Verwendung einer exakten Arithmetik, z.b. die Intervallarithmetik von Kulisch (Univ. Karlsruhe). Rechenungenauigkeiten mit fatalen Folgen 996: Ariane 5 explodiert beim Testflug Grund: Leitsystem speichert Horizontalgeschwindigkeit (64 Bit) in 6-Bit-Variable. Es kommt zum Überlauf => Fehlermeldung => Abschaltung => unkontrollierter Flug => automatische Selbstzerstörung. 99: US Abwehrrakete verfehlt Ziel (. Golfkrieg) Folge: 28 Tote, über Verletzte Grund: Berechnung der Flugbahn greift auf die Systemuhr mit einer Auflösung von / Sek. (binär:.) zurück. Wert wird mit 24- stelliger Gleitpunktzahl multipliziert. Nach Stunden hatte sich der Fehler auf.34 Sekunden Abweichung aufgeschaukelt. Bei der ballistischen Berechnung der Flugbahn gab das eine Abweichung von 687 Metern. Folge: Abwehrgeschoss fliegt an gegnerischen Rakete vorbei. Neben groben Fehlern, wie im Fall der Ariane 5, können auch kleinste Abweichungen gravierende Auswirkungen haben, die für Menschen jedoch kaum antizipierbar sind (Beispiele aus der Chaostheorie) Zahlenwerte und Ihre Darstellung im User Interface 27: Microsofts Tabellenkalkulation Excel spuckt den Wert. aus, wenn ein Rechenergebnis eigentlich bzw lautet. 27: CO2 Calculator co2-cal/co2-calculator.html - Was bedeutet hier NaN? Online-Quellen zum Üben: Umwandlung binär <-> dezimal und andere IEEE 754 Umrechner (beachte: Normierung auf,xxx) Codierung von Zahlen