Rechnernetze und Organisation

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Gabriel Reuter
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1 Arithmetic Logic Unit ALU Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu

2 Übersicht Motivation ALU Addition Subtraktion De Morgan Shift Multiplikation Gleitkommazahlen Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 2

3 Motivation Wie rechnen Computer? Was kann eine ALU? Intel Pentium-Instruktionen: Datentransfer Arithmetische Operationen (binär) ADD, SUB, MUL, DIV, INC, DEC, NEG Arithmetische Operationen (dezimal) Logische Operationen AND, OR, XOR, NOT Shiften und Rotieren SAR, SHR, SAL/SHL, ROR, ROL Bit- und Byte-Operationen Control-, String-, IO-Operationen ALU Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 3

4 Arithmetic Logic Unit (ALU) Arithmetisch-Logische Einheit Control Unit Control Arithmetische Operationen ADD, SUB, NEG Für Multiplikation meist eigene Hardware Logische Operationen AND, OR, XOR, NOT IP Instr. pointer IR Instr. Register MAR Mem. addr. Reg. Address CPU MBR Mem. Buf. Reg. Data EAX EAX EAX EAX Accumulator ALU Arithm. Logic Unit Systembus Operanden Ganzahlen (Integers) Komplexe Operationen Multiplikation, Division Eigene Hardware nötig Shift und Rotate Eigene Hardware nötig Gleitkommazahlen Eigene Hardware nötig Oder Software Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 4

5 ALU Arithmetic Logic Unit (ALU) Bietet verschiedene Operationen an Control-Unit wählt passende Operation aus Über Kontrollsignale von ALU Wortbreite ALUs sind für bestimmte Wortbreite gebaut Hier: 32 Bit A Arithmetic Logic Unit (ALU) Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu C B Load A Neg A Add A, B Sub A, B AND A, B OR A, B XOR A, B Instruction Control Unit 5

6 Logische Operationen ALU A B a3 a3 b3 a3 b3 a3 b3 a a b a b a b a a b a b a b Op.... A B c3 Logic C c c A B A B a a Logic b a b a b C Arith. neg add/sub logic/arith Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 6

7 Addition Operation basierend auf Binärdarstellung A = 9 dec = bin B = 6 dec = bin S = A B = 96 = bin a i b i Addition der einzelnen Stellen Übertrag kann entstehen Wenn beide Bits a i und b i gesetzt Carry c i Halbaddierer Kann 2 Bits addieren Reicht nicht aus Um n-bit Zahl zu addieren» Carries nicht berücksichtigt a i c i s i b i a i b i c i s i 2 Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 7

8 Addition 3 Bits müssen pro Stelle addiert werden s i = a i b i c i- a i b i c i- c i s i a i b i c i- Volladdierer 8 verschiedene Inputfälle Da 3 Inputs: 2 3 = 8 Fall : =... Fall 8: = 3 Mögliche Ergebnisse (,,2,3) haben in 2 Bits Platz: 2c i s i a i b i c i- c i s i Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 8

9 Ripple-Carry Adder Addition von n-bit Wörtern Mit n Volladdierern Addition A B a n- b n- a 2 b 2 a b a b... c n-2 c 2 c c c n- s n- s 2 s s Ripple Carry Adder Addierer ist eine kombinatorische Schaltung! Jede Input-Änderung wirkt auf Outputs Delay nimmt mit Wortbreite n zu S Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 9

10 Subtraktion Grundüberlegung Subtraktion = Addition negativer Zahlen D = A B = A (-B) Vorteil: Selbe Hardware für Addition und Subtraktion A D B neg add/sub Neues Problem: Welche Darstellung für negative Zahlen? Vorzeichenbit positiv negativ Idee : Sign-Magnitude Representation MSB = Vorzeichen-Bit A = 6 a 3 a 2 a a a 3 a 2 a a Negate A = - 6 neg Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu

11 Subtraktion Darstellung negativer Zahlen Idee 2: Einser-Komplement Negation (Vorzeichenwechsel) Inversion aller Bits a A = 6 a 3 a 2 a neg Tabelle: Einser-Komplement bei 4 Bit a 3 a 2 a a Negate A = - 6 Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu

12 Subtraktion Zweier-Komplement-Darstellung Negation. Inversion aller Bits 2. Addition Tabelle: Zweier-Komplement für 4 Bit a A = 6 a 3 a 2 a neg a 3 a 2 a a Negate A = - 6 Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 2

13 Subtraktion Zweierkomplement-Darstellung negativer Zahlen Erlaubt Verwenden des selben Addierers Für Addition und Für Subtraktion Negation Invertierung mit XOR Increment () Durch Setzen von Carry in Beim Ripple-Carry-Adder c out a n- b n-... c n- s n- c n-2 a 2 c 2 b 2 s 2 a c b s a c b s Arithmetic Unit add/sub Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 3

14 Delay in Digitalschaltungen Wie schnell kann eine Schaltung getaktet werden? Inputs (A, B) ändern sich kurz nach Clock-Flanke Kombinatorischer Output (sum) muss vor Clock-Flanke stabil sein Delay von kombinatorischer Schaltung (T)» Darf nicht größer als Zykluszeit sein (< T max = / f) A B sum Clock Reset D R Q C=AB Clk A B C T 7 9 sum Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 4

15 Kritischer Pfad Delay von kombinatorischer Schaltung bestimmt maximalen Takt! Kritischer Pfad: Längster kombinatorischer Pfad in Schaltung a n- b n- a 2 b 2 a b a b f max = / T max, ns c n- s n- c n-2 Delay hängt bei Adder von Wortbreite ab!... Beispiel: Volladdierer-Delay =, ns Bit: *, ns = ns -> GHz 2 Bit: 2 *, ns = 2 ns -> 5 MHz c 2, ns s 2 c Ripple Carry Adder, ns s c, ns s Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 5

16 De Morgan Verschiedene Implementierung von Addierer-Zellen a i b i c i- a c b s a c b s c i s i a b a i a b b i a i b i c i s i 2 c s a i b i c i s i c s a b a b c s c s Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 6

17 AND = OR? De Morgan a.b =!!(a.b) =!(!a!b) = a.b ab ab =!!(ab) =!(!a.!b) ab = a.b Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 7

18 Shift-Left = Multiplikation Shift Binär: << = Dezimal: 7 * 2 = 4 x << i = x*2 i Shift-Right = Division x >> i = x / 2 i Sign-Extension Bei Signed-Typen muss auf Vorzeichen geachtet werden Beispiel: -64 >> 4 = -64 / 6 = -4 Fehler: bin >> 4 = bin = 2!= -4 Richtig: bin >> 4 = bin = -4 Statt wird Vorzeichen beim Shiften angefügt bei positiven Zahlen bei negativen Zahlen Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 8

19 Shift Um fixe Stellenanzahl Einfach! Nur Verdrahtung Um beliebige Stellenanzahl Aufwändig Beispiel Shift-Left-3 A a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a a a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a a SHL 3 SHL 3 SHL 2 SHL A << pos pos Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 9

20 Multiplikation Multiplikation Berechnung durch Summation von Partialprodukten A B = A n i = n Beispiel: Schul-Methode b A= 73 B= 57 x C = A x B = 986 i 2 i = i = b i i A2 A= B= x C = A x B = Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 2

21 Multiplikation Shift-and-Add Algorithmus Arbeitet B bitweise ab Hier LSB-first Variante A B = A n i = b i 2 i = n i = b i A2 i int multiply(int A, int B) { A = A << 6; for (int i=; i<6; i) { if (B & ) B = A; B = B >> ; } return B; } Shift-and-Add in Hardware Partialprodukt-Generierung Durch n-bit UND-Gatter Summieren der Partialprodukte Partialprodukt pro Takt Bit-serieller Multiplizierer n Partialprodukte pro Takt Parallel-Multiplizierer Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 2

22 Multiplikation Beginn Untere Hälfte speichert B Bedingte Addition Wenn B-Bit gesetzt A zu oberer Hälfte addiert Alignment Erstes Partialprodukt Ursprünglich 8 Positionen zu weit links Durch Iterationen nach rechts geschoben Shift nach rechts Nächstes B-Bit kommt in LSB Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 22

23 Gleitkommazahlen Integerzahlen sind nicht ausreichend Keine Nachkommastellen,25 nicht darstellbar Beschränkter Wertebereich 32-Bit: u.u zu klein Darstellung von Gleitkommazahlen: W = (-) S *2 E *.M 32 Bit 64 Bit S Vorzeichen: Bit Bit E Exponent: 8 Bit Bit Position des Kommas M Mantisse: 23 Bit 52 Bit Wert der Zahl 3 3 S Exponent Mantisse Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 23

24 Gleitkommazahlen nach ISO 754 Exponent 2 eeeeeeee-27 Biased Darstellung (Bias = 27) Werte E = reserviert für Wert stellen dar E = 255 reserviert für Wert Mantisse ist normalisiert,mmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmm vor Komma ist fest und wird nicht angegeben Mantisse < 2 Mantisse: M = (W / 2 E -)* *2-23 8,4625,25 Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 24

25 Zusammenfassung ALU Führt logische und arithmetische Operationen aus Zweierkomplement-Darstellung vereinheitlicht Addition und Subtraktion Ripple-Carry Adder basiert auf Volladdierern Multiplikation und Gleitkommarechnung Brauchen eigene Hardware-Unterstützung Literatur: Rob Williams, Computer Systems Architecture, Addision-Wesley, 2: Kapitel 5. Professor Dr. Johannes Horst Wolkerstorfer Cerjak, RNO VO4_alu 25

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