Das negative Zweierkomplementzahlensystem

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1 Das negative Zweierkomplementzahlensystem Ines Junold 07. Dezember / 21

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 Das konventionelle Zweierkomplement 3 Das negative Zweierkomplementsystem 4 Zusammenfassung 5 Quellenangaben 2 / 21

3 Einleitung Earl E. Swartzlander, jr. seit 1990 Universität von Texas, Austin leitete Entwicklung eines sehr schnellen Fließkomma- FFT- Prozessors Forschungsgebiet: Computer Engineering 3 / 21

4 Einleitung Motivation in Bildverarbeitung wird Zahl 1 häufig benötigt Problem: im konventionellen Zweierkomplement nicht möglich diese darzustellen Idee: neues Zahlensystem entwickeln, welches 1 darstellen kann 4 / 21

5 Das konventionelle Zweierkomplement Allgemein Möglichkeit, negative Zahlen im Dualsystem darzustellen Wertebereich: (2 n 1 ),..., 0,..., 2 n 1 1 Beispiel: bei 8 Bit: 128 (10) bis (10) Darstellung und Umwandlung positive Zahlen: Vorzeichenbit (0) Bildungsvorschrift für negative Zahlen Binärstellen invertieren Wert der Quantisierungsstufe 2 k addieren 5 / 21

6 Das konventionelle Zweierkomplement Beispiel für n = umrechnen = invertieren: [010.01] = Quantisierungsstufe: 2 2 = = Quantisierungsstufe addieren: = / 21

7 Das konventionelle Zweierkomplement Rechenoperationen: Addition und Subtraktion keine Fallunterscheidung Bildungsvorschrift Operanden A = (a n 1, a n 2,..., a 0 ) und B= (b n 1, b n 2,..., b 0 ) Summe S = (s n 1, s n 2,..., s 0 ) s i = a i b i c i Übertrag c i, wobei c 0 = 0 c i+1 = (a i b i ) (a i c i ) (b i c i ) Beispiel: = = / 21

8 Das konventionelle Zweierkomplement Rechenoperationen: Addition und Subtraktion Abbildung: Volladdierer 8 / 21

9 Das konventionelle Zweierkomplement Vorzeichenerweiterung Ergebnis nicht im Wertebereich der Summanden oberste Stelle duplizieren und Stellenanzahl um 1 vergrößern Rechenoperation: Multiplikation Serienmultiplizierer oder Parallelmultiplizierer bei n Bit: Ergebnis 2n Bit Beispiel: -7 * -3 = = = / 21

10 Das negative Zweierkomplementsystem Definition R = r n 1 n 2 r i 2 i n+1 i=0 n-bit lange, gebrochene Zahl R negatives Zweierkomplement Vorzeichenbit r n 1 Beispiel für 5 8 R = 1 (0 2 0 (4+1) (4+1) (4+1) ) R = R = 1 0, , 125 R = 1 0, 375 R = / 21

11 Das negative Zweierkomplementsystem Vergleich 11 / 21

12 Das negative Zweierkomplementsystem Addition wie bei konventionellem Zweierkomplement Überlauf kann erkannt werden Addition - Beispiel = = / 21

13 Das negative Zweierkomplementsystem Subtraktion auf Addition zurückführen Bits invertieren, 1 an niederwertigsten Bitstelle addieren Subtraktion - Umwandlung Bits invertieren am LSB addieren = / 21

14 Das negative Zweierkomplementsystem Multiplikation - Booth- Verfahren sequentielle Multiplikation Multiplik. Bits neg. Zweierkompl. Bemerkung 00 P = P laufende Folge von Nullen 01 P = P B Ende einer Folge von Einsen 10 P = P + B Anfang einer Folge von Einsen 11 P = P laufende Folge von Einsen Multiplik. Bits Zweierkomplement Bemerkung 00 P = P laufende Folge von Nullen 01 P = P + B Ende einer Folge von Einsen 10 P = P B Anfang einer Folge von Einsen 11 P = P laufende Folge von Einsen 14 / 21

15 Das negative Zweierkomplementsystem Multiplikation - Booth- Verfahren Beispiel: A B = = Addieren und Shift No-OP und Shift Subtrahieren und Shift Addieren (und Shift) Initialisierung P = : ADD A Shift P : No-OP Shift P : SUB A Shift P : ADD A No-Shift / 21

16 Das negative Zweierkomplementsystem Multiplikation - Baugh- Wooly- Verfahren mithilfe von CSAs (Carry-Skip-Addierern) simultan Teilprodukte erzeugen und akkumulieren Zweierkomplement Baugh- Wooly- Multiplizierer A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0 B 5 B 4 B 3 B 2 B 1 B 0 A 5 B 0 A 4 B 0 A 3 B 0 A 2 B 0 A 1 B 0 A 0 B 0 A 5 B 1 A 4 B 1 A 3 B 1 A 2 B 1 A 1 B 1 A 0 B 1 A 5 B 2 A 4 B 2 A 3 B 2 A 2 B 2 A 1 B 2 A 0 B 2 A 5 B 3 A 4 B 3 A 3 B 3 A 2 B 3 A 1 B 3 A 0 B 3 A 5 B 4 A 4 B 4 A 3 B 4 A 2 B 4 A 1 B 4 A 0 B 4 A 5 B 5 A 4 B 5 A 3 B 5 A 2 B 5 A 1 B 5 A 0 B 5 P 10 P 9 P 8 P 7 P 6 P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 P 0 Negatives Zweierkomplement Baugh- Wooly- Multiplizierer A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0 B 5 B 4 B 3 B 2 B 1 B 0 A 5 B 0 A 4 B 0 A 3 B 0 A 2 B 0 A 1 B 0 A 0 B 0 A 5 B 1 A 4 B 1 A 3 B 1 A 2 B 1 A 1 B 1 A 0 B 1 A 5 B 2 A 4 B 2 A 3 B 2 A 2 B 2 A 1 B 2 A 0 B 2 A 5 B 3 A 4 B 3 A 3 B 3 A 2 B 3 A 1 B 3 A 0 B 3 A 5 B 4 A 4 B 4 A 3 B 4 A 2 B 4 A 1 B 4 A 0 B 4 A 5 B 5 A 4 B 5 A 3 B 5 A 2 B 5 A 1 B 5 A 0 B 5 P 10 P 9 P 8 P 7 P 6 P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 P 0 16 / 21

17 Das negative Zweierkomplementsystem Multiplikation - Baugh- Wooly- Verfahren 17 / 21

18 Das negative Zweierkomplementsystem Multiplikationen - Rundungen häufig notwendig aus 2n Bit Zahl eine n Bit Zahl zu machen n-1 niederwertigsten Bits abschneiden allgemeiner Fall n Bit Zahl (A) wird abgeschnitten m Bit Zahl (B) entsteht A = a n 1 n 2 a i 2 i n+1 i=0 B = b n 1 n 2 b i 2 i n+1 i=n m wobei b k = a k für n 1 k n m Differenz zwischen A und B ist : = n m 1 a i 2 i n+1 i=0 Der Wertebereich von liegt zwischen 0 und Ω, wobei: Ω = n m 1 2 i n+1 i=0 18 / 21

19 Das negative Zweierkomplementsystem Multiplikationen - Rundungen Somit ist Ω = 2 n+1 2 m+1 wenn Werte von einheitlich verteilt sind durchschnittliche Veränderung durch Runden, avg, halb so groß wie der Wert von Ω: avg = 2 n 2 m Division digit recurrent dividers Vergleich gefolgt von einer Addition und einem Shift Subtraktion gefolgt von einem Shift oder nur eine Shift Operation 19 / 21

20 Zusammenfassung Zusammenfassung in Bildverarbeitung nun möglich Zahl 1 darzustellen Nachteil: da konventionelle System nur gespiegelt ist, kann Zahl -1 nicht mehr dargestellt werden Lösungsmöglichkeit: Konvertierung der Zahlen wenn 1 oder -1 benötigt werden 20 / 21

21 Quellenangaben Quellen Swartzlander, E.: The Negative Two s Complement Number System. Austin 2007 Prof. Dr. Zehendner, E.: Rechnerarithmetik. Jena / 21