Elektrotechnik Grundlagen

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1 Hochschule für Technik und Architektur Bern Abteilung Elektrotechnik und Elektronik BFH Bereich Elektro- und nformationstechnik Elektrotechnik Grundlagen Kapitel Berechnung von Schaltungen (Knoten und Maschen) Kurt Steudler (/ET_.doc)

2 ST NG Elektrotechnik - nhaltsverzeichnis Die Berechnung von Schaltungen (Knoten und Maschen).... Topologie der Schaltungen.... Knoten- und Maschengleichungen..... Knotengleichungen (Knotenpunktverfahren)..... Maschengleichungen (Maschenstromverfahren) Ansatz mit Knoten und Maschen: Beispiel Hilfsregeln zum Knoten- und Maschenansatz..... Numerische Berechnungen.... Wheatstone sche Brücke..... Brückenschaltung mit Dehnungsmessstreifen DMS Brückenschaltung zur Widerstandsmessung... 9 Literaturverzeichnis und Software L - L - L - Frohne Heinrich, Löcherer Karl-Heinz und Müller Hans, Grundlagen der Elektrotechnik, Verlag B.G. Teubner, Stuttgart Leipzig, 996, SBN MATHCAD. Mathematiksoftware, die sich für numerische echnungen und Laborauswertungen eignet. Tabellenbuch nformations- und Telekommunikationstechnik, Verlag Dr. Max Gehlen, Bad Homburg vor der Höhe, 998, SBN --9-x Figurenverzeichnis Fig. - Element in einem Netzwerk... Fig. - Separate und nichtseparate Ssteme oder Netzwerke... Fig. - Ein Netzwerk, ein Sstem, ein separates Teil... Fig. - Beispiel zu Knoten und Maschen... Fig. - eferenzknoten... 6 Fig. -6 Maschenstrom... 7 Fig. -7 Beispiel zum Knoten- und Maschenansatz... 7 Fig. -8 Beispiel zum Knotenpunktverfahren... 8 Fig. -9 Beispiel zum Maschenstromverfahren... 9 Fig. - Element parallel zu Spannungsquelle... Fig. - Element in Serie zu Stromquelle... Fig. - Hilfsmasche für Stromquelle... Fig. - Maschenstromverfahren numerisch... Fig. - Knotenpunktverfahren numerisch... Fig. - WHEATSTONE - Brücke... Fig. -6 Beschriftete - Brücke... Fig. -7 Dehnungsmessstreifen aus [L -]... 6 Fig. -8 Brückenschaltung mit DMS... 6 Fig. -9 Spannungsänderung zu Längenänderung... 8 Fig. - Widerstandsmessung... 9 Kurt Steudler - str

3 ST NG Elektrotechnik - Die Berechnung von Schaltungen (Knoten und Maschen) Es sollen umfangreiche Netzwerke berechnet werden. Ein Netzwerk besteht aus zwei oder mehr Elementen. Elemente sind Widerstände und Quellen. Gesucht sind die Spannungen an den Elementen und die Ströme durch die Elemente eines gegebenen Netzwerkes. Diese gesuchten Grössen ergeben sich aus Bestimmungsgleichungen, die für das Netzwerk aufgestellt werden können. Die Bestimmungsgleichungen ergeben sich aus den KCHHOFF schen Sätzen. Die notwendige Anzahl der Bestimmungsgleichungen für ein gegebenes Netzwerk wird mit Hilfe der Topologie gefunden.. Topologie der Schaltungen Ein einzelnes Element des Netzwerkes sei durch das folgende Smbol dargestellt: A Element B Fig. - Knoten A Element in einem Netzwerk Knoten B Ein einzelnes Element liegt immer zwischen zwei Knoten. Zwei oder mehr Ssteme, das heisst Kombinationen von Elementen (Netzwerke) werden als separat oder getrennt bezeichnet, wenn sie untereinander weder Knoten noch Elemente gemeinsam haben. nichtseparate Ssteme Element gemeinsam Knoten gemeinsam zwei separate Ssteme Fig. - Separate und nichtseparate Ssteme oder Netzwerke Die Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Wir setzen die Mathematik als Werkzeug ein und übernehmen nur die mathematischen Erkenntnisse. Auf Herleitungen wird verzichtet. Kurt Steudler - str

4 ST NG Elektrotechnik - n der Elektrotechnik betrachten wir immer nur ein Sstem, ein Netzwerk, ein separates Teil. Für die Anwendung der KCHOFF schen Sätze wird im Netzwerk ein Bezugsknoten, der eferenzknoten bezeichnet. Die Kombination eines beliebigen Knotens im Netzwerk mit dem eferenzknoten nennen wir ein Knotenpaar. A B C D Fig. - F G Ein Netzwerk, ein Sstem, ein separates Teil E Aus der Topologie ergeben sich folgende Beziehungen: Die Anzahl der unabhängigen Maschen ist gleich der Anzahl der Elemente, abzüglich der Anzahl der Knoten, zuzüglich die Anzahl der separaten Teile. Die Anzahl der für die Berechnung der unbekannten Ströme und Spannungen notwendigen Maschengleichungen ist gleich der Anzahl der unabhängigen Maschen, abzüglich der Anzahl der Stromquellen im Netzwerk. Die Anzahl der unabhängigen Knotenpaare ist gleich der Anzahl der Knoten, abzüglich die Anzahl der separaten Teile. ( Teil). Die Anzahl der für die Berechnung der unbekannten Ströme und Spannungen notwendigen Knotengleichungen ist gleich der Anzahl der unabhängigen Knotenpaare, abzüglich der Anzahl der Spannungsquellen im Netzwerk. Beispiel Y A B Fig. - Beispiel zu Knoten und Maschen Eine Schaltung, ein Netzwerk ist ein separates Teil. Die Elementen sind gegeben. Kurt Steudler - str

5 ST NG Elektrotechnik - Anzahl unabhängige Maschen Elemente ( Widerstände, Quelle) Knoten (Y, A, B, ) separates Teil Anzahl benötigte Maschengleichungen unabhängige Maschen Stromquellen Anzahl unabhängige Knotenpaare Knoten separates Teil Anzahl benötigte Knotengleichungen unabhängige Knotenpaare Spannungsquelle m gegebenen Netzwerk können alle Ströme und alle Spannungen berechnet werden mit entweder zwei Maschengleichungen oder zwei Knotengleichungen. Wir bestimmen hier die unbekannten Grössen aus zwei Gleichungen mit zwei nbekannten. Das Lösungspaar ergibt sich aus einem linearen Gleichungssstem.. Knoten- und Maschengleichungen Grundlage für das Aufstellen von Knoten- und Maschengleichungen sind die KCHHOFF schen Sätze. Bevor die Knotengleichungen oder die Maschengleichungen zu einem Netzwerk aufgestellt, angesetzt werden, sind folgende Punkte abzuklären: Welche Grössen sind gegeben? Welche Grössen sind gesucht? st alles sauber angeschrieben? (Elemente, Ströme, Spannungen) Wieviele Knotengleichungen oder wieviele Maschengleichungen sind nötig? Gewählt wird jener Ansatz, der weniger Gleichungen erfordert. Welches sollen die unbekannten Grössen sein? (Ströme, Spannungen). Die Anzahl der unbekannten Grössen entspricht der Anzahl notwendige Gleichungen... Knotengleichungen (Knotenpunktverfahren) n einem Netzwerk ist zu unterscheiden zwischen den fest gegebenen Strömen n (Ströme aus Stromquellen), den unbekannten Strömen x und den übrigen Strömen k, die aus den Lösungen für x kombiniert werden. Angesetzt werden die Knotengleichungen in den betrachteten Knoten aus n m izufliessend k wegfliessend i k (-) Entweder oder besagt, dass die beiden Methoden im Ansatz nie vermischt werden dürfen. Die Anzahl der betrachteten Knoten entspricht der Anzahl der notwendigen Gleichungen. Kurt Steudler - str

6 ST NG Elektrotechnik - 6 Die so entstehenden Gleichungen enthalten zunächst zuviele unbekannte Ströme. Durch den Einbezug der gegebenen Elemente und mit Hilfe des Gesetzes von OHM werden die Ströme ersetzt mit / Für das Aufstellen von Knotengleichungen wird ein eferenzknoten bezeichnet. Die Spannungen k über jenen Elementen, die nicht mit dem eferenzknoten verbunden sind, werden ersetzt durch Spannungen, die auf den eferenzknoten bezogen sind. Fig. - A k k k k- k eferenzknoten B Es gilt mit dem Maschensatz k k- k Damit wird der im Knoten A wegfliessende und im Knoten B zufliessende Strom aus dem Element k zu ( k k ) Gk k k k k.. Maschengleichungen (Maschenstromverfahren) n einem Netzwerk ist zu unterscheiden zwischen den fest gegebenen Spannungen n (Spannungsquellen), den unbekannten Spannungen x und den übrigen Spannungen k, die aus den Lösungen für x kombiniert werden. Angesetzt werden die Maschengleichungen in den betrachteten Maschen 6 aus n i i (-) Die so entstehenden Gleichungen enthalten zunächst zuviele unbekannte Spannungen. Durch den Einbezug der gegebenen Elemente und mit Hilfe des Gesetzes von OHM werden die Spannungen ersetzt mit Für das Aufstellen der Maschengleichungen wird in jeder Masche M k ein Maschenstrom k bezeichnet. Dieser Maschenstrom fliesst durch jedes Element der Masche. Die Ströme i, die selber nicht Maschenströme sind, werden ausgedrückt in den Maschenströmen k. 6 Die Anzahl der betrachteten Maschen entspricht der Anzahl der notwendigen Gleichungen. Kurt Steudler - 6 str

7 ST NG Elektrotechnik - 7 Fig. -6 i Es gilt mit dem Maschensatz i- A B i i i- i i- i i- i i- M k i Maschenstrom i k i Es ist i k Maschenstrom. Damit werden mit dem Knotensatz i k i und i- i- k und daraus für die Masche M k k i ( k i ) i ( i- k ) i- oder ( i- i i ) k i- i- i i.. Ansatz mit Knoten und Maschen: Beispiel X A B Fig. -7 M x Beispiel zum Knoten- und Maschenansatz M Gegeben sind die Grössen,,,, und. Gesucht werden der Strom durch den Widerstand und die Spannung über dem Widerstand. Zunächst wird die Anzahl der notwendigen Gleichungen bestimmt: Anzahl der nötigen Maschengleichung 6 Anzahl der nötigen Knotengleichungen Beide Ansätze benötigen gleich viele Gleichungen. Wir benutzen das Beispiel daher, um beide Verfahren näher darzustellen. Kurt Steudler - 7 str

8 ST NG Elektrotechnik - 8 Kurt Steudler - 8 str... Der Knotenansatz (Knotenpunktverfahren) M M x B A X Fig. -8 Beispiel zum Knotenpunktverfahren m Knoten A gilt: ( ist eine Stromquelle und gegeben) m Knoten B gilt: Der Knoten X kann für einen Ansatz nicht verwendet werden, da seine Spannung gegenüber dem eferenzpunkt konstant ist. Daraus wird mit den beiden als nbekannte bezeichneten Spannungen und, die je zum eferenzpunkt zeigen m Knoten A : und im Knoten B : Für das Auffinden der Beziehungen zwischen den als unbekannt bezeichneten Spannungen und den übrigen Spannungen wird der Maschensatz verwendet. Aus den beiden Gleichungen ergibt sich ein lineares Gleichungssstem 7 oder (-) 8 7 Form, die unmittelbar aus dem praktischen Ansatz entsteht. 8 n der Mathematik übliche Matrizenschreibweise.

9 ST NG Elektrotechnik - 9 Die gesuchte Grösse wird 9, (formale Lösung) ( ) ( ) ( ) (-)... Der Maschenansatz (Maschenstromverfahren) X A B Fig. -9 M x Beispiel zum Maschenstromverfahren M Das Gleiche Beispiel soll mit dem Maschenansatz nachvollzogen werden: Entlang der Masche gilt : ( ist eine Spannungsquelle) Entlang der Masche gilt : Der Strom der Stromquelle wird durch eine Hilfsmasche in das Sstem gebracht. Er wird durch zurückgeführt. Daraus wird mit den beiden als nbekannte bezeichneten Strömen x und Entlang der Masche : x ( x ) und entlang der Masche : ( ) ( x ) Für das Auffinden der Beziehungen zwischen den als unbekannt bezeichneten Strömen und den übrigen Strömen wird der Knotensatz verwendet. Aus den beiden Gleichungen ergibt sich ein lineares Gleichungssstem ( ) x x ( ) 9 Angewendet werden: Die CAME egel Determinantenlösung oder die egel nach SAS. Die Determinantenlösung eignet gut sich für formale Herleitungen bis zu drei Gleichungen mit drei nbekannten. Für n sind bereits (n n! n ) 99 Operationen nötig, so dass für n > effizientere Verfahren aus der numerischen Mathematik herangezogen werden. SAS bis Gleichungen. CAME Gabriel, , schweizer. Mathematiker. Lehrt in Genf und findet egeln zur Lösung linearer Gleichungsssteme. Formal bedeutet, dass die gesuchte Grösse in den gegebenen Grössen ausgedrückt wird. Kurt Steudler - 9 str

10 ST NG Elektrotechnik - oder ( ) ( ) x (-) Die gesuchte Grösse wird (formale Lösung) ( ) ( ) ( ) (-6).. Hilfsregeln zum Knoten- und Maschenansatz... Elemente parallel und seriell zu idealen Quellen Liegt ein Element parallel zu einer idealen Spannungsquelle, wird es für die Berechnung des Netzwerkes weggelassen, ausser es werde an diesem Element der Strom / gesucht. Netzwerk Fig. - Element parallel zu Spannungsquelle Liegt ein Element in Serie zu einer idealen Stromquelle wird es für die Berechnung des Netzwerkes weggelassen, ausser wir suchen an diesem Element die Spannung. Netzwerk Fig. - Element in Serie zu Stromquelle Kurt Steudler - str

11 ST NG Elektrotechnik -... Stromquellen im Maschenansatz i- A i B i i- i i- i i- M H M k i i k i Fig. - Hilfsmasche für Stromquelle Der Strom aus einer idealen Stromquelle wird beim Maschenansatz mit einer Hilfsmasche durch das parallel liegende Element zurückgeführt und so in das Sstem einbezogen: i k - Der Strom kann auch durch beliebige Elemente zurückgeführt werden, beispielsweise wenn am parallel liegenden Element etwas gesucht wird... Numerische Berechnungen Gleichungsssteme aus Knotengleichungen oder aus Maschengleichungen allgemein, das heisst formal nach den unbekannten Grössen aufzulösen ist mit einigem Aufwand verbunden; dies insbesondere, wenn mehr als zwei Gleichungen vorliegen. Für praktische Anwendungen werden daher oft numerische Berechnungen vorgezogen. Dabei sind zwei Vorgehensweisen denkbar: Das Gleichungssstem wird formal gesucht und die gegebenen Werte dort eingesetzt. Anschliessend werden die Lösungen mit Hilfsmitteln (echenhilfen, Werkzeuge wie Programme) gefunden. Es wird von Anfang an numerisch gerechnet, das heisst die gegebenen Werte fliessen bereits in den Ansatz und werden bis zum Gleichungssstem mitgeführt. Diese Methode hat den Nachteil, dass nur eine bestimmte Situation berechnet vorliegt; ändern einer oder mehrere Werte, muss die ganze echnung von Vorne beginnen. Bei numerischen echnung ist anzugeben, in welchen Einheiten eingesetzt wird (V, A, Ω oder V, ma, kω und so weiter). Es kann dann unmittelbar mit den Zahlen gerechnet werden und die esultate erscheinen in der gewählten Einheit. Kurt Steudler - str

12 ST NG Elektrotechnik -... Numerische echnung Es sind gegeben die Werte:,7 kω, kω, 68 Ω,, kω, 7, V und - ma Als Dimensionen bieten sich an V, ma und kω. Der Widerstand wird als,68 kω mitgeführt. X A B M x M Fig. - Maschenstromverfahren numerisch Das gegebene Netzwerk ist mit dem Gleichungssstem nach... beschrieben. Eingesetzt wird ( ) 6,7 x x x x ( ),98 7,,68 6,8 Die beiden Lösungen ergeben sich zu x µa und -9 µa und damit,6 V und - 6,6 mv Die übrigen Spannungen lassen sich nun mit der Maschenregel berechnen 6, V und 6,67 V Die negativen Vorzeichen bedeuten, dass die Spannungs- und Strompfeile in Wirklichkeit in der anderen ichtung zeigen, als ursprünglich angenommen. Werden ein oder mehr Elementwerte verändert, ergibt sich rasch ein neues Gleichungssstem. Kurt Steudler - str

13 ST NG Elektrotechnik -... Numerische echnung Es sind gegeben die Werte:,7 kω, kω, 68 Ω,, kω, 7, V und - ma Als Dimensionen bieten sich an V, ma und kω. Der Widerstand wird als,68 kω mitgeführt. X A B M x Fig. - Knotenpunktverfahren numerisch M m Knoten A gilt: 7,,7,68 und im Knoten B gilt:,68, Für das Auffinden der Beziehungen zwischen den als unbekannt bezeichneten Spannungen und den übrigen Spannungen wird der Maschensatz verwendet. Aus den beiden Gleichungen ergibt sich ein lineares Gleichungssstem oder,7,68,68,7667,76,68,68,76,776,,97,7 7, Als Lösungen ergeben sich für 6,7 V und - 6 µv Für die Lösung ist [L -] benutzt worden mit M v.97 llösen( M, v) Kurt Steudler - str

14 ST NG Elektrotechnik -... Numerische echnung, Ergänzung Aus einem formal gefundenen Gleichungssstem lassen sich rasch weitere Lösungen finden, wenn sich Elemente ändern. Wird beispielsweise der Strom im vorangehenden Beispiel auf - 7,9 ma gesetzt, zeigt die gesuchte Spannung mit [L -] praktisch V..7. kω. kω 68. Ω.. kω 7.. V 7.9 ma x. µa. µa Schätzwerte für die gesuchten Grössen. Zunächst kann hier Null gesetzt werden. Given Der Befehl "Given" oder "Vorgabe" leitet die zu lösenden Gleichungen ein.. x.. x.. suchen, x.78 µa 9. µa..77 µv µv 6. V. Wheatstone sche Brücke i Die Brücke gilt als abgeglichen, wenn im Widerstand kein Strom fliesst. l n diesem Fall gelten und Fig. - WHEATSTONE - Brücke Die abgeglichene Brücke wurde bereits im Kapitel behandelt. ns interessiert an dieser Stelle das Verhalten des Stromes im nicht abgeglichenen Zustand. Dieses Verhalten interessiert, wenn einer der Widerstände bis variieren kann und der abgeglichene Zustand verlassen wird. Beispiele: Dehnmessstreifen Brücken, Widerstands Messbrücken. Der Strom soll mit einem Knotenansatz oder einem Maschenansatz ermittelt Sir Charles WHEATSTONE, , englischer Phsiker. Erfand 87 den Nadeltelegraphen. Entwickelt eine Messbrücke für Gleichstromanwendung. Kurt Steudler - str

15 ST NG Elektrotechnik - Kurt Steudler - str werden. Gegeben sind die Elemente und die Quelle. Zunächst wird die Anzahl der notwendigen Gleichungen bestimmt: Anzahl der nötigen Maschengleichung 7 Anzahl der nötigen Knotengleichungen Gewählt wird der Maschenansatz, das Maschenstromverfahren l M c M M b a Es sind folgende Maschen gelegt M durch und und : a M durch und und : b M durch und und : c Der gesuchte Strom a Fig. -6 Beschriftete - Brücke Das geordnete Gleichungssstem wird zu ( ) ( ) ( ) c b a c b a c b a oder ( ) ( ) ( ) c b a (-7) und der gesuchte Strom ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) a (-8) Auftrag: Leiten Sie das Gleichungssstem her und suchen Sie a. Die beiden gefundenen Formeln gelten allgemein und können daher der wirklichen Brückenschaltung angepasst werden. Oft kann der Widerstand gesetzt werden (ideale Quelle). Die allgemeine Formel vereinfacht sich dann zu ( ) ( ) ( ) a Wird zudem >> als die übrigen Widerstände, kann mit

16 ST NG Elektrotechnik - 6 gerechnet werden. a und ( ) ( ) a ( ) ( ).. Brückenschaltung mit Dehnungsmessstreifen DMS Dehnungsmessstreifen oder Dehnmessstreifen DMS (Strain Gauges) ändern ihren Widerstand bei einer Längenänderung. DMS werden auf Objekte geklebt, die in ihrer Länge nicht fest bleiben (Brücken, Metallträger, Staumauern, Flugzeugflügel und so weiter). n einer Brückenschaltung werden der Strom, die Spannung zum Mass für die Längenänderung. Fig. -7 Dehnungsmessstreifen aus [L -] Fig. -8 M DMS DMS Brückenschaltung mit DMS M ist ein hochohmiges Messinstrument, das die Schaltung kaum belastet. DMS ist auf das Objekt geklebt. DMS ist auf gleiches Material geklebt und liegt neben dem sich in der Länge ändernden Objekt. Zweck: Temperaturkompensation der Messanordnung. Die beiden sind ähnlich gross wie die DMS. Da sehr gross ist, darf mit Mit pdms und K wird l l l Für ε << könnte l wird zu untersuchen sein. gerechnet werden. ( ) ( ) p K ( p) l l p K l l ( p) p K l l gesetzt werden. Diese Vereinfachung Kurt Steudler - 6 str

17 ST NG Elektrotechnik - 7 Kurt Steudler - 7 str

18 ST NG Elektrotechnik Linearität der Messung l p K Die Formel l p K ε u zeigt, dass sich l ( p) p K ( p) ( p K ε) l die Spannung nicht linear zur Längenänderung des Objektes verhält. ε.,.9... p K u( ε) pk.. ε ( p). ( p K. ε ) u( ε) pk.. ε ( p) u( ε ) u( ε )...6 Fig. -9 Spannungsänderung zu Längenänderung [Mit L -]... Fehlerbetrachtung.... ε Es stellt sich die Frage, mit welchem Fehler die nichtlineare Kennlinie vom linearen p K l p K Verhalten nach u ε abweicht. ( p) l ( p) Der relative Fehler ergibt sich aus (u - u)/u und wird K ε Linearitätsfehler p Der Fehler ist proportional zur relativen Längenänderung und liegt in ähnlicher Grösse. Es darf daher nicht linearisiert werden. Abhilfe schaffen Korrekturkurven oder elektronische Korrekturverfahren. Zudem stellt sich die Frage, welcher Wert für p den höchstmöglichen Wert zulässt. Ein analtischer Ansatz zeigt, dass dieses Optimum bei p liegt, das heisst die Widerstände haben den gleichen Wert wie die DMS. Kurt Steudler - 8 str

19 ST NG Elektrotechnik Brückenschaltung zur Widerstandsmessung Die Brückenschaltung nach WHEATSTONE eignet sich zur Messung von Widerständen. x Der Widerstand ist ersetzt mit einem Drehspulmessinstrument, das den abgeglichen Zustand anzeigt. Der Widerstand stellt den unbekannten Widerstand x dar. Die Widerstände bis lassen sich so wählen, dass wird. x ist dann berechenbar oder ablesbar. Fig. - Widerstandsmessung Auftrag an die Gruppen Suchen Sie eine Schaltung die es ermöglicht, Widerstände im Bereich von Ω bis MΩ einfach zu bestimmen. (Schaltung Schema Stromlaufplan). Der gesuchte Widerstand x soll ohne zusätzlichen echenaufwand unmittelbar ablesbar sein. Das eingesetzte Messinstrument darf nie überlastet werden. Material Für eine Verwirklichung darf mit dem aufgeführten Material gerechnet werden. Quelle: Flachbatterie, V, i < Ω oder Mal, V M / 6, i < Ω Anzeige: Drehspulinstrument mit Nullpunkt in der Mitte (echteckindikator), ± µa, 7 Ω. Widerstände: eihe E, Ω bis MΩ, ¼ Watt, % Einstellbare Widerstände (Potentiometer), Bereich von Ω bis kω, einfach oder mehrfach. Schalter: Stufenschalter, Kippschalter, mpulstaster nach freier Wahl. Erwartet wird pro Gruppe ein kurzer Bericht mit einem Schema, das die gegebenen Anforderungen erfüllt, allen nötigen Berechnungen und Beschreibungen, knappen Vorschlägen zu einer Verwirklichung des Ohm Meters. Die Aufzählung ist nicht abschliessend. Kurt Steudler - 9 str