Grundgebiete der Elektrotechnik

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1 rundgebiete der Elektrotechnik and : ufgaben von Klaus Heidemann, Wolfgang Nerreter, rnold Führer überarbeitet rundgebiete der Elektrotechnik Heidemann / Nerreter / Führer schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DE FCHCHHNDLN Hanser München 008 Verlag C.H. eck im nternet: SN nhaltsverzeichnis: rundgebiete der Elektrotechnik Heidemann / Nerreter / Führer

2 rnold Führer, Klaus Heidemann, Wolfgang Nerreter rundgebiete der Elektrotechnik and : ufgaben SN-0: SN-: Leseprobe Weitere nformationen oder estellungen unter sowie im uchhandel.

3 Netze mit linearen Zweipolen an leichspannung ufgabe. erechnen Sie die Spannungen, und. 0 0 a b V 5 0 V ufgabe. ) erechnen Sie die Stromstärken ; ; sowie die Spannung. ) Welche Spannung liegt an den Klemmen, wenn zwischen diesen ein OHMscher Widerstand V Ω angeschlossen wird? Welchen Wert hat in diesem Fall die Spannung? ufgabe.4 Der Widerstand x soll so eingestellt werden, dass er gleich dem Widerstand zwischen den Klemmen ist. Stellen Sie für den Widerstand x eine leichung in allgemeiner Form auf und berechnen Sie seinen Wert für kω; kω; kω. x ,05 0 V ) erechnen Sie die Leistungen sämtlicher Zweipole und geben Sie an, welche Zweipole aktiv und welche passiv wirken. ufgabe. ) erechnen Sie die Ersatzspannungsuelle sowie die Ersatzstromuelle für die zweipolige Schaltung zwischen den Klemmen und. ufgabe.5 ) Wie ist der Leitwert einzustellen, damit an den Klemmen der linearen Stromuelle die maximale Leistung abgegeben wird? Welche Werte haben dabei die Stromstärke und die Klemmenspannung? i 0, S, 6 ) ei welchem Leitwert wird an den Klemmen die Leistung P Wabgegeben? Welche Werte haben dabei die Stromstärke und die Klemmenspannung? V 5 0,5 S ufgabe.6 Für die leichspannung an den Klemmen einer linearen Quelle erhält man bei der Messung mit zwei verschiedenen Messgeräten folgende Werte:

4 8 Netze mit linearen Zweipolen an leichspannung Das Messgerät mit dem Widerstand M zeigt die Spannung an. Das Messgerät mit dem Widerstand M zeigt die Spannung an. lineare Quelle M ) Welche Ersatzuellenspannung e und welchen Ersatzinnenwiderstand ie hat die lineare Quelle? ) Welche Werte haben e und ie für M 0 MΩ,,85 V, M 500 kω und 0,7 V? ufgabe.7 Der Strom einer linearen Quelle wird mit einem mperemeter gemessen, das in jedem Messbereich bei Vollausschlag den Spannungsabfall 00 mv hervorruft. Wird das Messgerät in den 0-m-ereich geschaltet, so zeigt es 8 m an; im 00-m-ereich zeigt es 6 m an. V Wie ist der Teilwiderstand des Stellwiderstandes + 00 Ω einzustellen, damit sich an dem Verbraucherwiderstand V 5Ω die Spannung 8Vergibt? ufgabe.9 Ein Stellwiderstand + kω hat die Nennleistung 40 W. ) n welcher Nennspannung N darf der Stellwiderstand bei Schleifer-Endstellung ( ; 0 ) betrieben werden? Wie groß ist die Stromstärke N des Nennstromes, der dabei fließt? ) Der Widerstand wird auf den Wert 40 Ω eingestellt und der Strom fließt lediglich durch. Welche höchste Spannung max bzw. welche höchste Stromstärke max sind dabei zulässig? ) Die Parallelschaltung von und soll den Widerstand 40 Ω aufweisen. Wie sind und zu wählen? Welche höchste Spannung bzw. welche höchste Stromstärke sind dabei zulässig? 4) Welchen Stellbereich hat die Parallelschaltung? lineare Quelle erechnen Sie den Ersatzuellenstrom e und den Ersatzinnenleitwert ie der linearen Stromuelle. ufgabe.8 4 V V ufgabe.0 Die Widerstände T und T4 der rücke für die Temperaturmessung in einem Wärmeschrank haben den gleichen Wert T und den TK α 0W 4 0 K. Die Widerstände,5 kω mit dem TK α K sind außerhalb des Wärmeschrankes angebracht; sie werden auf der konstanten Temperatur 0 C gehalten. Die Spannung am Widerstand M 0MΩliefert die Messgröße, die entsprechend umgewandelt als Temperatur in C angezeigt wird.

5 Netze mit linearen Zweipolen an leichspannung 9 Materialgrößen von Konstantan: T M M T4 Leitfähigkeit Temperaturkoeffizient γ 0, Sm mm α K ) Die rücke soll bei 0 C abgeglichen sein. Welcher Wert T ist hierfür erforderlich? ) estimmen Sie die Ersatzspannungsuelle der rücke als Funktion der Wärmeschranktemperatur. ϑ W echnen Sie bei den folgenden Teilaufgaben auf fünf Stellen genau. ) ei 00 C soll die Spannung am Messgerät den Wert M 0,8 V haben. estimmen Sie den erforderlichen Quellenstrom. 4) Welche Spannung M entsteht bei ϑ W 00 C, wenn die Widerstände und infolge einer Störung die Temperatur C (statt 0 C) aufweisen? ufgabe. n einem Kupferdraht mit dem Querschnitt,5 mm fließt s lang der leichstrom 4. m welchen Wert ϑ steigt, ausgehend von 0 C, die Temperatur des Drahtes, wenn die Wärmeabgabe an die mgebung und die Widerstandsänderung unberücksichtigt bleiben? Materialgrößen von Kupfer: Leitfähigkeit γ Sm mm Spezifische Wärmekapazität Dichte ϑ W J c kg K ρ kg m ufgabe. Der zylindrische Trägerkörper (D 7 mm) eines Drahtwiderstands ist auf der Länge l 5,9 mm mit Konstantandraht (d 0, mm) so bewickelt, dass zwischen zwei Windungen jeweils der bstand 0, mm besteht. ) Welchen Wert hat der Widerstand 0? ) Die höchstzulässige etriebstemperatur ist ϑ max 70 C. Der thermische Widerstand hat den Wert th 60K/W.Diemaximal zulässige Leistung wird vom Hersteller mit W angegeben. estimmen Sie die Lastminderungskurve. ) Der Widerstand wird bei der mgebungstemperatur 0 C mit der zulässigen Leistung betrieben. Welche Temperatur hat der Widerstand dabei? Wie groß ist der Widerstandswert? Welche Spannung liegt am Widerstand und welcher Strom fließt? ufgabe. Für die Spannungsteiler-Schaltung sind die usgangsspannungen gegeben. C D 0,0 V 0 4 0, V V 0 V 4 ) Der Widerstand 0kΩ ist vorgegeben. Dimensionieren Sie die übrigen Widerstände, C und D. ) Mit welchem Widerstand wird die Quelle belastet? ) Welche Ersatzinnenwiderstände hat die Schaltung an den vier usgängen?

6 0 Netze mit linearen Zweipolen an leichspannung ufgabe.4 Die Schaltung lässt sich so dimensionieren, dass jeder Ersatzinnenwiderstand denselben Wert hat. T T 0,0 V 0, V V 0 V 4 ) Dimensionieren Sie die Widerstände, und T so, dass jeder Ersatzinnenwiderstand... 4 den Wert 600 Ω aufweist. ) Mit welchem Widerstand wird die Quelle belastet? ) erechnen Sie die Quellenspannung. ufgabe.5 Der Digital-nalog-msetzer besteht im Prinzip aus n Konstantstromuellen, n Schaltern und dem sog. --Widerstandsnetzwerk. Er liefert eine usgangsspannung, die von der Stellung der Schalter abhängig ist, und wird im Leerlauf betrieben. Ein beliebiger Schalter S j wird als geschlossen bezeichnet, wenn die zugehörige Stromuelle in das --Netzwerk einspeist; dabei hat die Variable s j den Wert s j. st der Schalter S j geöffnet und die zugehörige Stromuelle speist nicht in das - -Netzwerk ein, so hat die Variable s j den Wert s j 0. ) Welcher Widerstand j liegt zwischen einem beliebigen Knoten j und dem Schaltungspunkt mit dem ezugspotential 0 V, der sog. Masse? ) Welche usgangsspannung entsteht, wenn lediglich der Schalter S j geschlossen ist? ) Welche usgangsspannung entsteht bei beliebiger Stellung jedes Schalters S j? 4) Die nzahl der Quellen ist n 8. Der Quellenstrom jeder Quelle beträgt m; jeder Widerstand hat den Wert,5 kω. Welche usgangsspannung entsteht, wenn sämtliche Schalter geschlossen sind? Welche kleinste Spannungsänderung ist am usgang möglich? S 0 S S n S n S n j 0 j n n n

7 Netze mit linearen Zweipolen an leichspannung Lösung. Die beiden leichspannungen a und b können wir als zwei ideale Spannungsuellen auffassen. Zusammen mit den Widerständen und lassen sie sich in zwei lineare Stromuellen umwandeln (S. 5, and ). hre Quellenströme a ; b und ihre nnenleitwerte ; sind in das folgende ild eingetragen. 0, S 0, S 50 ms a b, 0,5 Nun fassen wir die beiden idealen Stromuellen zusammen: ges a + b,7 Die drei parallel geschalteten Leitwerte bilden den esamtleitwert: ges + + 0,5 S n ihm fällt die Spannung ab: ges ges ,86 V Zur erechnung der Spannungen und setzen wir zwei Maschengleichungen für die ursprüngliche Schaltung an: a 0 b + 0 Wir lösen nach bzw. nach auf und erhalten: 7,4 V; 5,4 V Lösung. ) Der Widerstand liegt parallel zur idealen Quelle an der Spannung ; somit gilt: / 0V/00Ω 0, Der Knotensatz liefert die leichung: 0 Mit 0,05 berechnen wir: ei einem mlauf um die äußere Masche erhalten wir nach dem Maschensatz: 0 Damit berechnen wir: 0V 0,05 00Ω 5V ) n den OHMschen Widerständen entstehen die Leistungen: P 0,5 W ; P W OHMsche Widerstände sind passive Zweipole und können daher ausschließlich passiv wirken. Wir wenden das Verbraucherpfeilsystem an. Die Leistung an den Klemmen der Stromuelle beträgt: P 0,05 5V0,5W Das positive Vorzeichen der Leistung sagt aus, dass diese Quelle passiv wirkt. Die Leistung an den Klemmen der Spannungsuelle beträgt: P 0,05 0, 0,5 Das negative Vorzeichen der Leistung sagt aus, dass diese Quelle aktiv wirkt. n der Schaltung wird insgesamt die Leistung,5 W,5 W 0,5 0 V,5 W erzeugt und insgesamt die Leistung verbraucht. Lösung. ) Wir zerlegen die Schaltung in zwei Teile und denken uns an der Schnittstelle die Klemmen C und D, zwischen denen die Spannung liegt.

8 Netze mit linearen Zweipolen an leichspannung C D Das Teilnetzwerk links von den Klemmen C D beschreiben wir mit seiner Ersatzspannungsuelle (S. 75, and ). Die Ersatzuellenspannung e dieses Teilnetzwerks ist seine Leerlaufspannung. Wir berechnen sie mit der Spannungsteilerregel (S. 7, and ): Zur estimmung des Ersatzinnenwiderstandes ie des linken Schaltungsteils denken wir uns die ideale Spannungsuelle durch einen Kurzschluss ersetzt. Der Widerstand zwischen den Klemmen C und D ist in diesem Fall: e ,57 V + ie ie + 8,9 Ω Nun führen wir die mwandlung in die lineare Ersatzstromuelle durch (S. 76, and ): ie / ie 0, S; e e / ie,64 e ie ) elastet man die Schaltung mit V Ω, so stellt sich die Klemmenspannung < e ein. Wir berechnen sie mit Hilfe der linearen Ersatzspannungsuelle und der Spannungsteilerregel: Mit dem Strom V / V 0,44 berechnen wir die Spannung mit Hilfe des Maschensatzes: e V e ,7 V + V ie ie ie ,9 Ω + uch das rechte Teilnetzwerk beschreiben wir mit seiner Ersatzspannungsuelle. Hierzu wandeln wir die lineare Stromuelle in eine lineare Spannungsuelle um (S. 5, and ): / 4,8 V ; / 4Ω e V ie e ie C D 6,68 V V V Die beiden Teilnetzwerke sind in eihe geschaltet; dies gilt auch für ihre Ersatzspannungsuellen. Die Ersatzuellenspannung e der esamtschaltung ist daher: e e +,7 V Der Ersatzinnenwiderstand ie der esamtschaltung ist entsprechend die Summe der beiden nnenwiderstände der Ersatzspannungsuellen: Lösung.4 Der Widerstand liegt parallel zur eihenschaltung aus und x ; zu dieser ruppe ist noch in eihe geschaltet. Nach den ln. (.8 und., and ) hat die Schaltung zwischen den Klemmen den Widerstand: x

9 Netze mit linearen Zweipolen an leichspannung Wir setzen den usdruck mit x gleich und erweitern den ruch mit ( + x ): ( + x ) x x Diese leichung lösen wir nach x auf und erhalten die uadratische leichung: x + ( ) x ( + + ) 0 Für die gegebenen Zahlenwerte hat sie die Lösungen: x,46 kω ; x 4,46 kω Da OHMsche Widerstände nur für > 0 definiert sind, schließen wir die zweite Lösung aus. Lösung.5 ) Nach bschn..., and, wird die maximale Leistung bei npassung abgegeben; dabei ist der angeschlossene Leitwert anp gleich dem nnenleitwert i der Quelle: P ( + ) i Wir lösen nach auf und erhalten: + i i 0 P Diese uadratische leichung hat die Lösungen:,7 S; 0,067 S Wie oben berechnen wir hierzu die Werte: 0,545 V;,87 (nteranpassung) 6, V ; 0,65 (Überanpassung) Lösung.6 ) Für die lineare Quelle verwenden wir die Ersatzschaltung nach ild.5, and. ie anp i 0, S Die abgegebene Leistung hat dabei nach l. (., and ) den Wert: e V M P max ( ) , W 4 0, S Nun berechnen wir die Spannung mit einer der ln. (., and ) und mit diesem Wert der Spannung anschließend die Stromstärke: anp P max / anp, V Die Maschengleichung lautet: e + ie + 0 Wir setzen in diese leichung die nach dem Strom aufgelöste Zweipolgleichung / M ein und formen die entstehende leichung so um, dass die beiden nbekannten e und ie auf der linken Seite stehen: anp anp anp,0 M e ie M ) Nach der Stromteilerregel (S. 74, and ) gilt: i Diesen usdruck setzen wir in die leichung für die Leistung P / ein und erhalten: Wir berücksichtigen nun, dass zwei Messungen durchgeführt wurden, und setzen hierfür entsprechend an: M e ie M M e ie M

10 4 Netze mit linearen Zweipolen an leichspannung Das lineare leichungssystem hat die Lösungen: ( M M ) e M M ( ) M M ie M M ) n diese leichungen setzen wir die gegebenen Werte ein und erhalten: e,8 V; ie 64 kω Lösung.7 Für die lineare Quelle verwenden wir die Ersatzschaltung nach ild.6, and. e 0,080 V ie 0,008 e 0,06 V ie 0,06 Wir lösen dieses lineare leichungssystem: e 4,7 m; ie ms Wenn ein mperemeter in verschiedenen Messbereichen unterschiedliche Werte anzeigt, so ist dies kein Hinweis darauf, dass das Messgerät defekt ist: Die bweichungen der Messergebnisse entstehen vielmehr dadurch, dass das Messgerät das Messobjekt unterschiedlich beeinflusst. Lösung.8 Durch einen Maschenumlauf außen um die Schaltung erhalten wir die leichung: 0 () e ie M Eine zweite leichung liefert uns der Knotensatz: ei der Messung im 0-m-ereich hat der Widerstand des Messgeräts den Wert: M 00 mv Ω 0 m ei der Messung im 00-m-ereich hat der Widerstand des Messgeräts den Wert M Ω. Die Knotengleichung lautet: e ie 0 Wir setzen die Zweipolgleichung M in die Knotengleichung ein und formen die entstehende leichung so um, dass die beiden nbekannten e und ie auf der linken Seite stehen: e M ie Nun setzen wir die bekannten Werte in die Knotengleichung ein: V () Wir setzen die l. () in die l. () ein, ersetzen durch und erhalten die uadratische leichung: + ( V ) V 0 Die Lösungen dieser leichung sind:, 64,0 Ω, 9,0 Ω Da ein Widerstand < 0 nicht definiert ist, schließen wir die negative Lösung aus und berechnen: (00 64,0) Ω 6,0 Ω Das Ergebnis kann auch, allerdings nicht so genau, durch blesen an ild.7, and gewonnen werden.

11 Netze mit linearen Zweipolen an leichspannung 5 Lösung.9 ) Wir lösen die leichung P N N / nach auf und berechnen: N 00 V ; N N / 0, ) max N 0, ; max max 48V ) ei der Parallelschaltung ist die Summe der Einzelleitwerte gleich dem esamtleitwert: () Wir lösen die leichung für die Summe der Widerstände Ω nach auf und setzen sie in die l. () ein: Ω Diese leichung erweitern wir mit dem Produkt ( ) und erhalten dadurch die uadratische leichung 000 Ω Ω 0 mit den Lösungen, 400 Ω ;, 600 Ω. Die Spannung muss so gewählt werden, dass durch den kleineren Widerstand 400 Ω der Nennstrom N 0, fließt, weil dann beim größeren Widerstand 600 Ω, der an derselben Spannung liegt, die Stromstärke < N ist. Damit ergibt sich: max 0, 400 Ω 80V max max , 40 Ω ei Parallelschaltung von und kann der Stellwiderstand an höherer Spannung bzw. mit höherer Stromstärke betrieben werden als der Widerstand allein. 4) Der Stellbereich der Parallelschaltung von und beträgt Ω, er ist kleiner als der von allein ( Ω). Lösung.0 ) Die rücke ist für T0,5 kω abgeglichen (l..59, and ). ) Die Ersatzuellenspannung e ist die Spannung M für M. Durch T und sowie durch und T4 fließt der Strom /. Mit der Maschengleichung --- T M berechnen wir die Ersatzuellenspannung: e M --- ( T ) () Mit T T0 ( + α 0W T ) und T0 ergibt sich für T ϑ W 0 C : e T0 α 0W ( ϑ W 0 C) () Zur estimmung des Ersatzinnenwiderstandes ersetzen wir die ideale Stromuelle durch eine nterbrechung. Vom Mittelzweig aus gesehen sind die eihenschaltungen T + und + T4 einander parallel geschaltet. Wegen T + + T4 gilt für den Ersatzinnenwiderstand: T + ie () Mit T T0 ( + α 0W T ) und T0 ergibt sich für T ϑ W 0 C : T0 α 0W ie T ( ϑ W 0 C) (4) ) Für ϑ W 00 C berechnen wir mit l. (4) den Ersatzinnenwiderstand ie 740 Ω. Damit ergibt sich die Ersatzuellenspannung:

12 6 Netze mit linearen Zweipolen an leichspannung ie + M e M ,8004 V e Dies setzen wir in die l. () ein und erhalten:,9 m M M 4) Zunächst berechnen wir die Widerstände: T T0 ( + α 0W 80 K) 980 Ω T0 ( + α 0 K) 500, Ω ie Mit l. () ergibt sich hierfür die Ersatzuellenspannung e 0,79984 V; mit l. () ergibt sich der Ersatzinnenwiderstand ie 740, Ω. Damit berechnen wir: M M e ,79970 V + ie M Die durch die Störung verursachte Messabweichung beträgt 0,075 %. Lösung. n der Zeit t s wird dem Draht gemäß l. (.6, and ) die Energie W t zugeführt. Die Spannung ist nicht gegeben; sie kann aber mit Hilfe des Widerstandes (l..5, and ) M aber auch nicht erforderlich, denn gesucht ist vielmehr die Temperaturerhöhung ϑ, die in der leichung für die spezifische Wärmekapazität enthalten ist: c W m ϑ Wir setzen in diese leichung die Masse des Drahtes m ρ l ein. Dann lösen wir die leichung nach W auf und setzen sie in l. () ein: cρ l ϑ l t γ 0 Es zeigt sich, dass wir die unbekannte Länge l aus der leichung herauskürzen können. Für die Temperaturerhöhung erhalten wir: t ϑ γ 0 ρ c Wir setzen die Leitfähigkeit in S/m sowie die Fläche in m ein und führen, bevor wir den Zahlenwert berechnen, zweckmäßig eine Einheitenbetrachtung durch: s [ ϑ] S --- m 4 kg J m kg K m () MitJWsVsundS/Verhalten wir für l. () den Wert [ ϑ] Kundnach Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte: ϑ,6 K l γ n der ufgabe 8.0 wird die Wärmeabgabe an die mgebung berücksichtigt. und des Stromes ausgedrückt werden. Damit ergibt sich die Energie: W l t γ () Da die Länge l des Drahtes nicht gegeben ist, kann die Energie W nicht berechnet werden. Dies ist Lösung. ) Zunächst berechnen wir die Drahtlänge l D ; sie ist das Produkt aus der Windungszahl N und der Windungslänge l W, die sich als Länge einer Schraubenlinie mit dem Durchmesser D + d und der Höhe d ergibt. Die Höhe ist jedoch so klein, dass ihr Einfluss auf die Länge vernachlässigt werden kann.