V02A3: Version 1 vom Montag,

Transkript

1 V02A3: Version 1 vom Montg, Inhltsverzeichnis 1.6 Bogenlängen von Prmeterkurven dimensionle Kugelschichten Archimedes Bestimmumg des Kugelvolumens Schwerpunkte und Guldinsche Regeln Zu den Übungen, Bltt

2 V02A3: Version 1 vom Montg, Lenge V02A3 1.6 Bogenlängen von Prmeterkurven Wir behndeln hier noch einml kurz Bogenlängen von C 1 Kurven, genuer von Prmeterkurven, lso einer einml stetig differenzierbren Kurven im IR n. Eine solche Kurve ist eine C 1 Abbildung f : [, b] IR n und ht n Komponenten f j : [, b] IR, j = 1,..., n, die C 1 Funktionen sind: f(t) = (f 1 (t),..., f n (t)). Die erste Ableitung nennt mn Tngentenvektor oder Geschwindigkeitsvektor. Existiert die zweite Ableitung, so nennen wir diese Beschleunigung. f(t) = ( f 1 (t),..., f n (t)), f(t) = ( f1 (t),..., f n (t)). Mit einem Punkt bezeichnen wir die Ableitung nch t. Den reellen Prmeter t nennen wir Zeit Wir definieren die Bogenlänge ls L = µ 1 (f) = f(t) dt = f 1 (t) f n (t) 2 dt. ds. dx 2= x 2dt f x. dx = x dt 1 1 t b Zu Bild 7 : Geometrische Vernschulichung des Bogenelementes ds, dessen Qudrt durch ds 2 := dx dx 2 n gegeben ist. Mn nennt ds, dx 1,..., dx n, dt,... uch Differentile. Mn stellt sich drunter zunächst, gnz nschulich, infinitesiml kleine (d.h. unendlich kleine) Stücke vor. Ds ist mthemtisch nicht präzise, hilft ber beim Verständis. Mit diesen Größen knn mn uch forml umgehen. Am Ende ergeben sich uf wundersme Weise bruchbre Formeln. Aufsummieren bedeutet Integrieren. Mn ht z.b. L = ds, ws mn ls eine unendliche Summe über infinitesiml kleine Bogenelemente ds nsieht, womit, wie beknnt, ein gewisser Grenzwert gemeint ist.

3 V02A3: Version 1 vom Montg, Mn verwendet häufig bei Prmeterkurven die Schreiweise x(t) nsttt f(t), x i (t) := f i (t) für die Komponenten von f. Dnn ist x(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) = f(t). Beispiele für einige, oben ngesprochene formle Rechnungen sind: dx j = dx j dt dt = ẋ j dt ds 2 = dx dx 2 n = ẋ 2 1 dt ẋ 2 n dt 2 = ẋ 2 dt 2 ṡ 2 = ( ) ds 2 = ẋ(t) 2 = f(t) dt 2, ṡ 2 = ẋ ẋ 2 n. Die Kurve f nennt mn eine reguläre C 1 Kurve, wenn f(t) 0 für lle t [, b]. In diesem Fll ist t ṡ(t) > 0. Hier findet mn uch eine differenzierbre Umkehrfunktion s t(s) und die Kurve läßt sich zu s x(t(s)) umprmetrisieren. Wir bemerken: Bei der Definition der Bogenlänge ls Integrl brucht mn lediglich Differenzierbrkeit und keine Regulritätsvorussetzung, f(t) 0. Bemerkung zu speziellen Kurven im IR 2 : Jeder differenzierbren Funktion f : [, b] IR ist eine Prmeterkurve ssoziiert [, b] [, b] IR IR 2, ω f (x) := (x, f(x)). Ds Bild dieser Kurve ist der Grph von f Bild (ω f ) = {(x, f(x)) x [, b]} = Grf(f). Nennen wir ds Schubild von f. Die Kurve ω = ω f ht ls Bogenlänge Kugel V02A3 L(ω f ) := 1 + f (x) 2 dx dimensionle Kugelschichten Die Vollkugel r D 3 = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 r r } vom Rdius r > 0 und Mittelpunkt (0, 0, 0) im IR 3 entsteht us der Funktion y = f(x) = r2 x 2, r x r, indem die ddurch gegebene Hlbkreisfläche {(x, y, 0) 0 y f(x) = r 2 x 2, r x r} um die x Achse rotiert. Beschränkt mn die Kugel r D 3 uf die Schicht [, b] IR 2, wobei r b r, so entsteht die Kugelschicht M,b := {(x, y, z) y 2 + z 2 f(x) 2 = r 2 x 2, x b} = rd 3 ([, b] IR 2 )

4 V02A3: Version 1 vom Montg, Der Rnd von der Vollkugel rd 3 ist die 2 Sphäre rs 2. Der Mntel S,b von M,b nennt mn Kugelzone. S,b = rs 2 ([, b] IR 2 ). Wir interessieren uns für ds Volumen von M,b und den Flächeninhlt der Kugelzone S,b. Wir schreiben noch folgende Formeln uf: M,b = S,b D D b, S,b = Mntel M,b. B. 9 Volumen einer Kugelschicht Ds Volumen der Kugelschicht M,b IR 3 ergibt sich ls µ 3 (M,b ) = π f(x) 2 dx = π (r 2 x 2 ) dx = π ) (3(b )r 2 b Setzt mn hier = r und b = r, so ist 3(b ) r 2 = 3 2r r 2 und b = 2 r 3 und deshlb: µ 3 (r D 3 ) = µ 3 (M r,r ) = 4π 3 r3. Aufgbe 1.1 Die Kugelschicht M,b := r D 3 ([, b] IR 2 ) ht zwei Rdien ρ, ρ b und eine Dicke (Höhe) h, die sich wie folgt ergeben: h = b, ρ = r 2 2, ρ b = r 2 b 2 Mn drücke, b, r durch h, ρ, ρ b us und schreibe dmit ds Volumen µ 3 (M,b ) der Kugelschicht ls Funktion von h, ρ, ρ b. r ρ r ρ b b r S,b b Z,b Bild 8 : Die Kugelschicht M,b, die Kugelzone S,b, der Zylindermntel Z,b, die Größen h, ρ, ρ b. B. 10 Mntelfläche einer Kugelschicht Die Mntelfläche einer Kugelschicht nennen wir Kugelzone. Den Mntel von M,b bezeichnen wir mit S,b. Den Flächeninhlt berechnet mn nch der Formel µ 2 (S,b ) = 2π f(x) 1 + f (x) 2 dx

5 V02A3: Version 1 vom Montg, mit f(x) := r 2 x 2. Ds ist ein uneigentliches Integrl, wenn = r oder b = r. f ist differenzierbr in ] r, r[ und dort ist f (x) = x/ r 2 x 2 Also f(x) 1 + f (x) 2 = r 2 x x2 r 2 x = r. 2 µ 2 (S,b ) = 2πr(b ). Für die Kugeloberfläche vom Rdius r ht mn µ 2 (rs 2 ) = µ 2 (S r,r ) = 4πr 2. Vergleicht mn den Kugelzoneninhlt von S,b mit dem Inhlt des Zylindermntels Z,b = {(x, y, z) y 2 + z 2 = r 2, x b}, so stellt mn fest µ 2 (Z,b ) = 2πr(b ) = µ 2 (S,b ). Diese Übereinstimmung ist sehr erstunlich, äußerst überrschend und merkenswert. Mn denkt sich einen Zylinders mit der x Achse ls Achse, um die Sphäre herumgelegt. sind flächengleich. S,b = ([, b] IR 2 ) rs 2 und Z,b = ([, b] IR 2 ) Z r,r Stz 1.1 Kugelzonen S,b uf rs 2 der Höhe h = b und die Mntelfläche eines Kreiszylinders vom Rdius r und der Höhe h sind flächengleich und zwr ist ihr Inhlt 2πrh. Speziell sind die Sphäre rs 2 vom Rdius r und die Mntelfläche eines Kreiszylinders vom Rdius r und der Höhe 2r flächengleich und zwr mit Inhlt 4πr 2. Cvlieri V02A3 Stz 1.2 (Cvlieri Prinzip). Es seien A, B IR n IR = IR n+1 Für lle t IR seien A t := A IR n {t}, B t := B IR n {t} die Schnitte von A resp. B mit der Ebene IR n {t} und die mögen gleiches n dimensionles Volumen besitzen. Es möge lso µ n (A t ) = µ n (B t ) sein. Dnn sind die (n + 1) dimensionlen Volunin von A und B gleich. t [,b] µ n (A t ) = µ n (B t ) µ n+1 (A) = µ n+1 (B t ). Ds gilt, wenn t µ n (t) eine integrierbre Funktion ist. Beweis. Ds Cvlieri Prinzip wird wie folgt in einer Zeile bewiesen: µ n+1 (A) = µ n (A t ) dt = Ds ist ein Spezilfll des Stzes von Fubini. µ n (B t ) dt = µ n+1 (B).

6 V02A3: Version 1 vom Montg, IR t A t B t IR n x{t} IR n x{0} A B Bild 9 : Ds Cvlierische Prinzip. 1.8 Archimedes Bestimmumg des Kugelvolumens Archimedes ht mit folgendem physiklischem Experiment ds Kugelvolumen bestimmt. z x y Bild 10 Vernschulichung des Archimedischen Experimentes. Zwei Gefäße stehen uf einem Tisch. 1. Ds erste Gefäß A entsteht us einem hohlen Kreiszylinder vom Rdius r und Höhe r, dhineingestelt ein Kreiskegel über der Grundfläche und der Höhe h = r. Von dem Kreiszylinder wird dieser Kreiskegel entfernt. Der Rest ist ds Gefäß A.

7 V02A3: Version 1 vom Montg, Ds zweite Gefäß B ist eine Hlbkugelschle vom Rdius r, die nch oben offen ist. Nun wird eines der beiden Gefäße mit Wsser gefüllt und dnn in ds zweite umgegossen, und die Wssermenge pßt genu in ds zweite Gefäß. Also sind die Volumin beider Gefäße gleich. So ergibt sich Volumen der Hlbkugel = Volumen des Zylinders minus Volumen des Kegel =πr 2 r 1 3 πr2 r = 2π 3 r3. r ρ = t 2 r (r t) 2 r t r Bild 11 : Ebene Schnitte bei dem Archimedischen Experiment. Schnitte mit Ebenen IR 2 {t} durch die zwei Gefäße A, B. A t ist ein Kreisring mit Rdien r t und r. B t ist ein Kreisfläche vom Rdius ρ t = r 2 (r t) 2. Wie sieht mn dieses Experiment heute, us dem Blickwinkel eines Mthemtikers. Wir verwenden ls Erstz für die physiklischen Gegenstände Mengen: Die beiden Gefäße entsprechen den Mengen A, B IR 2 IR: A := {(x, y, z) (r t) 2 x 2 + y 2 r 2 }, B := {(x, y, z) x 2 + y 2 + (r z) 2 r 2 }. Dem Tisch entspricht die Ebene IR 2 {0}. Schnitte mit Ebenen IR 2 {t} durch die zwei Gefäße A, B: A t ist ein Kreisring mit Rdien r t und r B t ist ein Kreisfläche vom Rdius ρ t = r 2 (r t) 2. µ 3 (A) = µ 3 (B) = 2πr 2 r 1 3 πr2 r = 2π 3 r3 Der mthemtischer Beweis des Archimedischen Experimentes benutzt ds Prinzip von Cvlieri. Guldin V02A3

8 V02A3: Version 1 vom Montg, Schwerpunkte und Guldinsche Regeln Wir betrchten hier eine Funktion f(x) 0 für x [, b], sgen wir, sie möge stetig (oder wenigstens stückweise stetig differenzierbr) sein. Die Fläche (ls Menge) zwischen f und der x Achse ist G := {(x, y) x b 0 y f(x)} Q = [, b] IR. Die durch f gegeben Kurve ist x (x, f(x)). Wir hben hier einen Flächen und einen Kurven schwerpunkt deren y Koordinten sich ls y s µ 2 (G) = G ergeben, wobei L := ydxdy = f(x) dieser Schwerpunkte sind nlog definiert. 0 y dy dx, L y = f(x) 1 + f (x) 2 dx 1 + f (x) 2 die Bogenlänge der Kurve ist. Die x Koordinten Stz 1.3 Die Guldinsche Regel für Volumin. Ds Volumen µ 3 (R f ) des durch f bestimmten Rottionskörpers R f := {(x, y, z) y 2 + z 2 f(x) 2, x [, b]} IR 3 } gilt Beweis. Es ist 2πy s µ 2 (G) = 2π = 2π µ 3 (R f ) = 2πy s µ 2 (G). G ydxdy = 2π f(x) 0 1 f(x) 2 y2 dx = π 0 y dy dx f(x) 2 dx = µ(r f.) Stz 1.4 Die Guldinsche Regeln für Mntelflächen. Der Flächeninhlt des Mntels des Rottionskörpers R f ist µ 2 ( Mntel R f ) = 2πy L. Beweis. 2πy L = 2π f(x) 1 + f (x) 2 dx = µ 2 ( Mntel R f ). 2πy s ist die Weglänge des Flächenschwerpunktes bei Rottion um die x Achse. µ 2 (G) ist der Inhlt der rotierten Fläche. 2πy ist die Weglänge des Kurvenschwerpunktes bei Rottionn um die x Achse. L = b 1 + f (x) 2 dx ist die Bogenlänge der rotierten Fläche. Eigen V02A3

9 V02A3: Version 1 vom Montg, Zu den Übungen, Bltt 1 Die Aufgben von Bltt 1 stehen in Zusmmenhng mit einer xiomtischen Chrkterisierung eines Integrls, des Hrschen Mßes (eines Stndrdintegrls) uf IR (IR n ) wie m Anfng bei Forster 3. Die Axiome bringen wir weiter unten. Bei einem Integrl I ht mn sich zunächst Funktionen f zu überlegen, uf denen diese definiert sind, lso für die mn I(f) bilden knn. Also geht es zunächst um den Definitionsbereich V von I. Sie kennen solche Mengen (Vektorräume) V von Funktionen f. Zum Beispiel nimmt mn Treppenfunktionen oder stetige Funktionen oder Riemnn integrierbren Funktionen oder Regelfunktionen u.s.w. Je nnchdem, welche Mengen V von Funktionen f mn betrchtet, bekommt mn die entstsprechenden Inegrlbegriffe. Diese sind trivilerweise verschieden voneinnder, weil ihre Definitionsbereiche V verschieden sind. Solche Integrle hben uch spezielle Nmen. Viele solcher Integrle, die uf stetige Funktionen f nwendbr sind, stimmen uch dort überein. Eines ist llen Integrlen gemeinsm: Es geht letzendlich immer um linere Abbildungen I : V IR eines Vektorrumes V von Funktionen nch IR. In Forster 3 besteht der Definitionsbereich V des Integrles I us llen stetigen Funktionen f : IR n IR mit kompktem Träger. Ds sind stetige Funktionen f die usserhlb einer Kugel B(0, r), (r = r(f)) verschwinden, lso dort null sind. Diese bilden einen Vektorrum V := C c (IR n ) über IR. Definition 1.1 Ein Hrsches Integrl (oder Mß) ist eine linere Abbildung I : C c (IR n ) IR, die (per Axiome) folgende Eigenschften besitzt: Für f, g C c (IR n ) und λ, µ IR gelten: (1) I(λf + µg) = λi(f) + µi(g) (Linerität) (2) f g I(f) I(g) (Monotonie) (3) Für lle IR n ist I(τ f) = I(f) (Trnltionsinvrinz). Bechte: Zu jedem IR n ht mn eine Verschiebung, Trnsltion τ : C c (IR n ) C c (IR n ), f τ f, wobei τ f definiert ist ls (τ f)(x) := f(x ) für x IR n. Hierüber gilt folgender Stz: Stz 1.5 Es gibt ein von Null verschiedens Hrsche Integrl uf dem IR n. Jedes ndere ist ein reelles Vielfche dieses einen Integrls. Beweis:vgl. Forster 3. Legt mn I uf einer einzigen geeigneten Funktion ψ fest durch ein Normierungsxiom, etw durch I(ψ) = 1, so gibt es genu ein solches Hrsches Mß. Beim Beweis der Eindeutigkeit betrchtet mn Zckenfunktionen τ ψ ɛ, die sich lle us einer einzigen Zcke ψ : IR n IR ergeben durch Stuchungen (oder uch Streckungen) mit einem ɛ > 0 und Trnsltionen mit IR n.

10 V02A3: Version 1 vom Montg, Formeln für n = 1: ψ(x) := mx(1 x, 0), ψ ɛ (x) = ψ( x ɛ ), τ ψ ɛ (x) = ψ( x ɛ ). In den Aufgben von Bltt 1 beschränken wir uns uf n = 1. Ds Ziel ist, us der Kenntnis von I(ψ) = 1 (Normierungsxiom) Axiom (4) und den weiteren Axiomen (1)-(3) für ein I, zu schließen, dß I(ψ ɛ ) = ɛ. Ds erfordert lediglich, dß mn zu jedem k Die Zcke ψ kɛ ls endliche Linerkombintion von Zcken τ ψ ɛ schreibt. Ds lles sieht mn sehr schön, geometrisch, nhnd von Bildern. Bemerkung: Für Dimension n setzt mn ψ(x 1,..., x n ) := ψ(x 1 ) ψ(x 2 )... ψ(x n ) Ds ergibt ψ : IR n IR, die wir uch mit ψ bezeichnen. wird. Es ist hier ψ C c (IR n ). Folgenschwere Verwechslungen sind dbei kum zu befürchten. Diese Gleichbezeichnung ist sogr, obwohl sie fehlerhft ist, sehr ngenehm. (4) (Normierungsxiom): Bei I : C(IR n ) IR normiert mn ebenflls durch I(ψ) = 1.