I = f(x)dx. = f(x), y(a) = 0, I = y(b) Anwendungen: Oberflächen-, Volumenberechnung, Wahrscheinlichkeiten, Wirkungsquerschnitte,

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1 Kpitel 5 Integrtion 5.1 Allgemeines Integrle können i.. nicht elementr berechnet werden, ber Ableitungen. = Numerische Berechnungen spielt eine wichtige Rolle: Qudrtur. Hier: Berechnung von bestimmten Integrlen, unbestimmte führen uf gewöhnliche Differentilgleichungen. ist äquivlent zu dy dx I = f(x)dx = f(x), y() = 0, I = y(b) Anwendungen: Oberflächen-, Volumenberechnung, Whrscheinlichkeiten, Wirkungsquerschnitte,... Wir werden einige klssische Formeln ngeben, welche teilweise uf Newton zurückgehen oder noch älter sind. Zitt (N.R.): Clssicl formule re lmost entirely useless. Muesum pieces, but beutiful ones. Bezieht sich nicht uf zusmmengesetzte Trpez- bzw. Mittelpunkts-Regel. 5. Integrtion durch Polynome Def.: Sei I[f] = mit einer Wichtungsfunktion w(x) für die (wie vorher) gilt f(x)w(x)dx (5.1) w(x) 0, w(x)dx 0 Die Funktion f(x) ist integrbel (Riemnn) Sei jetzt g(x) eine Approximtion n f(x) I[g] I[f] 43

2 44 KAPITEL 5. INTEGRATION (z.b. kubische-splines, können direkt integriert werden) Betrchte jetzt Approximtion durch Polynome n P n (x) = f(x j )L j (x) n den Punkten {x j } n, mit den Lgrnge-Polynomen L j (x), dnn gilt näherungsweise für ds Integrl mit den Gewichten Q n [f] I[P n ] = A j = P n (x)w(x)dx = n A j f(x j ) (5.) L j (x)w(x)dx 0 j n (5.3) Die Gl. (5.) heißt (n + 1) Punkt Qudrtur-Formel. - x j heißen Knoten oder Integrtionsstützstellen - A j die zugehörigen Gewichte - d.h. Q n [f] ist gewichtete Summe von Funktionswerten f(x 0 ),..., f(x n ). Bem.: Flls f(x) Polynom mit Grd n, dnn gilt exkt Q n (f) = I(f). Wir definieren: Eine Qudrturformel ht Genuigkeitsgrd m N, flls sie lle Polynome bis zum Grd m exkt integriert. (und m die größtmögliche Zhl mit dieser Eigenschft ist.) D.h. Q n [f] ht mindestens Grd n und integriert die Bsispolynome 1, x, x,..., x n exkt, und dmit uch die Linerkombintionen Einfche Qudrturformeln Seien die Knoten x j mit j = 0,..., n gegeben, dnn müssen die Gewichte A j bestimmt werden. Sei w(x) = 1. 1) Trpez-Regel: Beispiel für ein lineres Interpoltionspolynom. Geg. ds Intervll [, b] = [ h, h] = [x 0, x 1 ] x = P 1 (x) = f( h) h h + f( h) h + x h = Q 1 [f] = I[P 1 ] = hp 1 (x)dx = h[f( h) + f( h)] = h(f 0 + f 1 ) h Die ist die Trpez-Regel für: h h f(x)dx Wenn jetzt h = h = (b ) gesetzt wird, folgt Q 1 [f] = h (f 0 + f 1 ) (5.4) ) Simpson-Regel: Beispiel für ein qudrtisches Interpoltionspolynom. Seien jetzt 3 Stützstellen gegeben x 0 = h, x 1 = 0, x = h Anstz Q [f] = A 0 f 0 + A 1 f 1 + A f (5.5)

3 5.3. SUMMIERTE QUADRATUREN 45 und Q [f] = liefert die drei Bedingungen es folgt h h f(x)dx für f(x) = {1, x, x } I[1] h 1 dx = h = A h 0 + A 1 + A I[x] h x dx = 0 = A h 0h + A h I[x ] (5.6) h h x dx = h3 = A 3 0 h + A h A 0 = A = h 3 A 1 = 4h 3 und schließlich Q (f) = h 3 [f( h) + 4f(0) + f(h)] = h 3 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x )] (5.7) Dies ist die Simpson-Regel oder Keplersche Fssregel Bem.: Hier gilt I[x 3 ] = 0 = Q [x 3 ], ber I[x 4 ] Q [x 4 ]. d.h. Simpson ht Präzision 3: Integriert lle kubischen Polynome exkt. Trpez- und Simpson-Regel sind Beispiele für geschlossene sog. Newton-Cotes Qudrturen. d.h. heißt geschlossenes Intervll (Funktion wird n den Rändern usgewertet) und äquidistnte Stützstellen. Der Grd ist m = n + 1 flls n gerde m = n flls n ungerde Es gibt uch Formeln höherer Ordnung, welche ber nicht so nützlich sind (Simpson ht j schon Präzision 3), mn setzt diese meist us einfchen zusmmen. 5.3 Summierte Qudrturen Benutze die obigen Bsis-Integrtoren zur Berechnung eines größeren Intervlls [, b] mit x j, j = 0,..., n äquidistnten Stützstellen. Sei lso h = (b )/n der konstnte Abstnd der Stützstellen und somit x j = + j h. Trpez: Ds Integrtionsschem ist in Abb. (5.1) grphisch drgestellt T n (h) = [ ] 1 f(x)dx = h f(x n 1 0) + f(x j ) + 1 f(x n) j=1 (5.8)

4 46 KAPITEL 5. INTEGRATION f(x) =x 0 b=x n Abbildung 5.1: Aufzusummierende Flächen bei der Trpez-Regel. f(x) =x 0 x 1/ x j x n 1/ b=x n Abbildung 5.: Aufzusummierende Flächen bei der Mittelpunkts-Regel. Mittelpunkts-Regel: Aufzusummierende Flächen bei der Mittelpunkts-Regel. Aus der Definition des Integrls (Riemnn Summe) folgt n 1 M n (h) = h f(x j+1/ ) x j+1/ = x 0 + Ds Integrtionsschem ist in Abb. (5.) grphisch drgestellt Aus den Definitionen für Trpez- und Mittelpunkts-Regel folgt: ( ) h T n = 1 [T n(h) + M n (h)] ( j + 1 ) h (5.9) Nebenrechnung T n ( h ) [ ] = h 1 f(x n 1 n 1 0) + f(x j ) + f(x j+1/ ) + 1 f(x n) j=1 (5.10) = 1 [T n(h) + M n (h)] (5.11)

5 5.3. SUMMIERTE QUADRATUREN 47 Simpson-Regel: oder S n (h) = { } f(x)dx = h n 1 f(x 0 ) + 4f(x 1 ) + [f(x j ) + f(x j+1 )] + f(x n ) 3 S n (h) = h f 0 + 4f 1 + f + 4f 3 + f f 3 }{{} n 1 + f n 4 und bwechselnd j=1 (5.1) Es werden immer 3 Pkt. mit einer Prbel verbunden. NOTE: Im Gegenstz zur Trpezund Mittelpunkts-Regel gilt in der obigen Formel bei Simpson h = (b )/(n)!!! Ds heißt, die Funktion muss n doppelt so vielen Stellen usgewertet werden. Um eine firen Vergleich der Methoden zu erhlten, schreiben wir Simpson für n + 1 Funktionuswertungen um. Hier muss n gerde sein! Fir-Simpson: S n (h) = h 3 f(x 0) + 4f(x 1 ) + (n )/ j=1 [f(x j ) + f(x j+1 )] + f(x n ) (5.13) Ein Beispiel-Algorithmus Ein einfcher Algorithmus (quick nd dirty) ist gegeben durch Strt: h = b ; n = 1; T = h(f() + f(b))/ Rekursion: für k = 1,,..., k mx M = 0 für j = 0, 1,..., n 1 M = M + f( + (j + 0.5)h); M = hm; T = (T + M)/; h = h/; n = n flls T M < ɛ : ST OP Hier ist ɛ ein bsoluter Fehler bei dem bgebrochen wird, lso wenn sich T (h) und M(h) um weniger ls ɛ voneinnder unterscheiden. [ ( ) ] h T I < ɛ k mx gibt die mximle Zhl der Verfeinerungen n und liegt bei etw Bem.: Trpez-Summen konvergieren i.. schlecht, gut flls f(x) periodisch und nlytisch in R und b = P. Trpez-Regel ist ber sehr robust. Die Fkt. f(x) brucht nicht sehr gltt zu sein. Gute Methode bei gemessenen Dtenpunkten x i, y i.

6 48 KAPITEL 5. INTEGRATION f(x) j b j b Abbildung 5.3: Bei der dptiven Integrtion wird die Schrittweite dem jeweiligen Terrin ngepsst, und dptive Intervlle [ j, b j ] verwendet. 5.4 Adptive Integrtion Ds Integrl über ein kurzes Intervll ist i.. einfcher, genuer und schneller ls über größeres Intervll. Es ist günstig, [, b] zu unterteilen und ufzusummieren. Ein dptives Verfhren untereilt [, b] fortlufend (e.g. durch Hlbierung), um in jedem Teilintegrl die geforderte Genuigkeit zu erreichen, dbei ist die Unterteilung feiner in steilen Bereichen und gröber in flchen, vgl. Abb. (5.3). Entscheidung, ob eine Sub-Intervll weiter unterteilt werden soll, folgt us Näherungswerten für ds gleiche Integrl. Sei und Ĩ 1 = 1 h j [f( j ) + f(b j )] Ĩ = 1 3 [Ĩ1 + h j f(m j )] h j = b j j m j = 1 ( j + b j ) Ds erste Integrl ist nch Trpez-Regel, ds zweite nch Simpson berechnet. Ds zweite verwendet den ersten Wert. Ein Abbruchkriterium bis uf Mschinengenuigkeit (nch Gnder, 1985) knn luten Ĩ 1 + I s = Ĩ + I s wobei I s eine Schätzwert von der Größenordnung des Integrls sein soll. Flls der Fehler ɛ erreicht werden soll, muss I s ɛi s δ gesetzt werden, wobei δ die kleinste (pos.) Zhl mit 1 + δ 1

7 5.5. FEHLERABSCHÄTZUNG 49 (die Mschinengenuigkeit) ist. Diese dptive Methode ist gut für fst beliebige Integrnden, stückweise stetig. Auch gut, flls Integrnd nicht so genu beknnt. 5.5 Fehlerbschätzung Htten: mit e(x) f(x) P n (x) = f n+1 (ζ) (n + 1)! W n(x) (5.14) W n (x) = bei der Polynominterpoltion. (Nenne hier W (x) = W n (x)). Sei nun E n [f] = I Q n n (x x i ) (5.15) i=0 der Fehler einer Newton-Cotes Integrtionsformel für (n+1) Stützstellen x 0,..., x n [, b]. Also ist 1 b E n [f] = f (n+1) (ζ(x)) W n (x) dx (5.16) (n + 1)! Dnn gilt: Stz 5.1 Ist f C n+ [, b] für n gerde, dnn ist und für n ungerde ist wobei ζ [, b] liegt. E n [f] = E n [f] = K n (n + )! f (n+) ( ζ) K n = xw n (x)dx (5.17) K n (n + 1)! f (n+1) ( ζ) K n = W n (x)dx (5.18) Wie schon oben erläutert, erklärt dies die höhere Genuigkeit des Simpson-Verfhrens Bsiselement ) Trpez-Regel: Hier ist n = 1, K 1 = (x )(x b)dx Mit Hilfe der Trnsformtion des Intervlls: [, b] [0, 1] mit t = x b (5.19)

8 50 KAPITEL 5. INTEGRATION lso x = t = 0 und x = b t = 1 und und dmit Integrtion liefert lso Für den Integrtionsfehler folgt dx = (b )dt 1 K 1 = (b ) 3 t(t 1)dt = (b ) 3 I 1 0 ( ) t 3 I 1 = 3 t = = 1 6 K 1 = (b )3 6 b) Simpson-Regel: Jetzt ist (mit [, b] = [x 0, x ] und x 1 = ( + b)/) E 1 [f] (= E T [f]) = f () ( ζ) (b ) 3 (5.0) 1 n =, K = x(x x 0 )(x x 1 )(x x )dx Mit Hilfe der Trnsformtion t t(x) wie oben Gl. (5.19) folgt K = 4 15 h5 mit h = b n hier n = Für den Integrtionsfehler von Simpson (n = ) folgt E [f](= E S [f]) = f (4) ( ζ) 4! 5.5. Zusmmengesetzte Formeln ( ) 5 4 b = f ( ) (4) 5 ( ζ) b (5.1) Die obigen Fehlerformeln für E T und E S gelten für ein Bsiselement. Bei der Berechnung des gesmten Integrls müssen diese noch ufsummiert werden. Die Anzhl der äquidistnten Stützstellen sei n + 1, d.h. x 0,..., x n, mit einem Abstnd h = x i x i 1. Mn erhält: ) Trpez-Regel: Es gilt T n [f] = h n 1 [f(x j ) + f(x j+1 )] Für den Fehler folgt: n 1 E T = ] [ f () ( ζ j ) h3 1 mit h = b n

9 5.5. FEHLERABSCHÄTZUNG 51 Für f () C[, b] folgt: Es existiert ein Zwischenwert f () (η), so dss E T = f () (η) 1 h 3 n 1 1 = f () (η) 1 h (b ) (5.) b) Simpson-Regel: Es gilt E S = f (4) (η) 180 ( ) 4 h (b ) (5.3) Dies verlngt jedoch die Berechnung von f(x) n (n + 1) Punkten. Ein firer Vergleich uch mit n + 1 Punkten (siehe oben) sieht folgendermßen us. Beispiel: Es sei ds Integrl Ẽ S = f (4) (η) 180 h4 (b ) (5.4) I = π/ 0 x cos(x)dx = π 1 = (5.5) numerisch zu berechnen, und eine Genuigkeit von ɛ = 10 6 zu erzielen. Wir wollen die Anzhl der Stützstellen (bzw. Funktionsuswertungen n+1) für verschiedene Integrtoren bschätzen, die für die Soll-Genuigkeit notwendig sind. Der Integrnd wird zunächst in eine Tylor-Reihe entwickelt. x cos x = x Für Ableitungen folgt Es soll gelten [1 x + x4 4!... ] = x x3 + x5 4! x7 6! +... f (x) = 1 3 x + 5 4! x4 7 6! x (5.6) f (x) = 3x + 5 3! x3 7 5! x (5.7) f (x) = 3 + 5! x 7 4! x (5.8) f (4) (x) = 5x 7 3! x (5.9) I[f] Q n [f] ɛ wobei Q n (T n, S n ) den numerischen Integrtor bezeichnet. Es ist f (x) 3 π f (4) (x) 5 π

10 5 KAPITEL 5. INTEGRATION Trpez-Regel: oder E T = f (η) h 1 (b ) = f (b )3 (η) = 3 ( π ) 3 1n π 1 1n ɛ ɛ 1.5 = n 1.5 n ɛ Für ɛ = 10 6 folgt für Trpez-Regel: n 133 Simpson-Regel: oder E S = f (4) 180 (η) ɛ ( ) 4 h (b ) = 5 ( π ) 5 π n ɛ n 4 = n ɛ Für ɛ = 10 6 folgt für Simpson-Regel: n 6.3, d.h. mehr 100 ml weniger ls bei Trpez! D Simpson ber (n + 1) Funktionsuswertungen benötigt, ist für diesen Vergleich eher Fir-Simpson ngemessen. Es ergibt sich n ɛ 4 Für ɛ = 10 6 folgt für Fir-Simpson: n 1.6, d.h. doppelt soviel wie bei Simpson! Rundungsfehler Die obigen Fehlerbschätzungen, bzw. notwendigen Stützstellen beziehen sich jeweils uf den sog. Diskretisierungsfehler, der jeweils h k ist, wobei k vom Genuigkeitsgrd bhängt, lso dem zu Grunde gelegten Interpoltionspolynom. Bei großer Zhl der Stützstellen bzw. sehr kleinem h spielen dgegen möglicherweise uch Rundungsfehler ein großere Rolle. Der Gesmtfehler verhält sich lso qulittiv so, wie es in der Abb. 5.5 unten drgestellt ist. 5.6 Guß-Integrtion Htten I[f] pproximiert durch äquidistnte Gitterpunkte mit f(x j ) und speziellen Gewichten (hier = 1). Jetzt soll diese Methode verbessert werden durch geeignete Whl der Abszissen! Dmit ergeben sich ml soviel Freiheitsgrde ber uch in etw die doppelte Ordnung wie bei Newton-Cotes bei gleicher Anzhl von Funktionsuswertungen Ctch: Ordnung Genuigkeit. Nur bei sehr gltten Funktionen, welche gut durch Polynom interpoliert werden.

11 5.6. GAUSS-INTEGRATION 53 Q n [f] htte Genuigkeitsgrd n, wenn lle Polynome bis zum Grd n exkt integriert werden (vgl. Simpson, n = 3). I[f k ] = x k w(x)dx = Q n [f k ] = n A j x k j 0 k n bei festen x j folgen die A j. Jetzt seien die x j nicht mehr fest, sondern vribel x k w(x)dx = n A j x k j 0 k n + 1 (5.30) Hier müssen lso A j und die x j simultn bestimmt werden. Mn ht lso ein nicht-lineres System mit n + Gleichungen, und n + Unbeknnten. {A j } n, {x j} n (gelöst von Guß, 1814). Def. Sklrprodukt mit f =< f, f > 1/, w 1. Sei < f, g > f(x)g(x)w(x)dx (5.31) {P j (x)} n ein Stz von orthonormlen Polynomen bzgl. <, >, wobei der Grd von P j (x) gleich j sein soll, lso P j (x) = x + x j x j dnn gilt Stz 5. Für jedes n 1 sind die Nullstellen von P n (x) R (reell) und liegen in [, b]. Siehe ls Beispiel die Legendre- oder Tschebyscheff-Polynome in [, b] = [ 1, 1]. Bem.: Polynome sind monisch (Fktor von x n, n = 1) Polynome können immer orthonormiert werden ( teile durch < P n (x), P n (x) > 1/ ) hben n einfche (distinkte) Nullstellen die (n + 1) Nullstellen von P n+1 (x) liegen zwischen den (n) von P n (x), (interleve) und [, b], siehe Abb. (5.4). Der wichtige Stz, ds Fundmentle Theorem für Guß-Qudrturen lutet nun Stz 5.3 Die Beziehung P (x)w(x)dx = n A j P (x j ) (5.3) gilt für lle P (x) P n+1 P n+1 (x) sind. dnn, und nur dnn, wenn die {x j } n die Nullstellen von

12 54 KAPITEL 5. INTEGRATION P 1 P P 3 P n b Abbildung 5.4: Die Nullstellen der Tschebyscheff-Polynome liegen jeweils zwischen denen des vorhergehenden (Interleving). Für die Gewichte gilt dnn (wie bei der Polynom-Interpoltion). A j = L j (x)w(x)dx L i (x) = n j i x x j x i x j (5.33) Die A j sind lle 0. D.h. Die Abszissen einer n Punkt Guß-Qudrtur mit Gewicht w(x) sind genu die Nullstellen der orthonormlen Polynome P n (x) für ds gleiche Intervll und gleiches w(x) Konstruktion Die Konstruktion der Integrtion besteht jetzt us mehreren Schritten ) Konstruiere orthogonle Polynome b) finde die Nullstellen dieser Polynome c) Berechne die zugehörigen Gewichte Wir gehen diese jetzt im Einzelnen durch ) Konstruktion der orthogonlen Polynome Wir stellen zwei Möglichkeiten vor: i) Schmidtsche Orthogonlisierung Bei dieser sind die n liner unbhängige Grundvektoren (Polynome) schon gegeben, und müssen neu zusmmengesetzt und orthonormiert werden: Geg. ein Stz von Bsis-Polynomen: S = { 1, x, x,..., x n}

13 5.6. GAUSS-INTEGRATION 55 Sei q 0 (x) = 1, P 0 (x) = q 0 (x)/ q 0. Seien ii) und Dnn gilt: q k (x) x k k 1 P k (x) = q k(x) q k < x k, P j > P j (x) 1 k n q k > 0 lle k {q k (x)} n k=0 sind orthogonl {P k (x)} n k=0 sind orthonorml eine solche Methode ist möglich, ber teuer, besser ist die folgende direkte Methode. Konstruktion orthonormler Polynome Setze P 0 (x) 1 und dnn sukzessiv ( P j+1 (x) = x < xp ) j, P j > P j (x) < P j, P j > < P j, P j > < P j 1, P j 1 > P j 1(x) lso gilt die Rekursionsformel P j+1 (x) = (x j+1 )P j (x) b j+1 P j 1 (x) (5.34) mit b 1 = 0. Dies bezeichnet mn uch ls sog. 3-Term Rekursionsformel für orthogonle Polynome. Der Beweis, dss es sich hierbei um orthonormle Polynome hndelt, erfolgt durch Induktion. Notes: <, > ist von Gewichtsfunktion w(x) bhängig P j sind monisch Dies Konstruktionsverfhren ist einfcher ls die Schmidtsche Orthogonlisierung. b) Nullstellensuche Strte mit P 1 (x) ds liner in [, b] ist (P 0 ht j keine Nullstellen). Die Nullstellen der höheren Polynome liegen zwischen den bisherigen und [, b], siehe Abb. (5.4). Können durch Intervllschchtelung (Bisektion) oder Newtonverfhren berechnet werden. c) Gewichte A j Mehrere Möglichkeiten: i) Es gilt x k w(x)dx = n A j x k j 0 k n (5.35) us diesem lineren Gleichungssystem können die A j berechnet werden.

14 56 KAPITEL 5. INTEGRATION ii) us der Definition P k w(x)dx = n A j P k (x j ) 0 k n (5.36) iii) Ds Gleichungssystem lutet dnn Nutze P 0 (x 0 ) P 0 (x 1 ) P 0 (x )... P 0 (x n ) P 1 (x 0 ) P 1 (x 1 ) P 1 (x )... P 1 (x n ) P n (x 0 ) P n (x 1 ) P n (x )... P n (x n ) A 0 A 1... A n = w(x)p 0(x)dx w(x)p 1(x)dx... w(x)p n(x)dx (5.37) iv) Effizient ist Def. mit den Anfngswerte A j = L j (x)w(x)dx {φ 0, φ 1,..., φ n+1 } φ 0 (x) = 0 und φ 1 (x) = und die weiteren us gemäß der Rekursion w(x )dx. φ k (x) = (x k )φ k 1 (x) b k φ k (x) für k, wobei die Koeffizienten k und b k identisch zu denjenigen us Schritt ) sind. Im Unterschied zu oben sind die Anfngswerte φ 0 und φ 1 verschieden von P 0 und P 1 und der Grd von φ j ist j 1. Die Gewichte sind dnn A k = φ n+1(x k ) P n+1 (x k) wobei P (x) die Ableitung dp (x)/dx bezeichnet Beispiele ) Guß-Tschebyscheff Qudrtur Wähle für ds Sklrprodukt < f, g >= 1 1 für 0 k n (5.38) f(x)g(x)(1 x ) 1/ dx lso w(x) = (1 x ) 1/, dnn sind die orthogonlen Polynome die Tschebyscheffpolynome (der 1. Art), siehe vorheriges Kpitel. T k (x) = cos[k cos 1 (x)]

15 5.6. GAUSS-INTEGRATION 57 Die Nullstellen t j sind t j = cos [ ] (j + 1)π (n + ) 0 j n diese liegen zwischen [ 1, 1], lso 1 < t k < 1. Die Gewichte sind A j = π (n + 1) = const. Soll ds Integrl über ein nderes Intervll [, b] berechnet werden, erfolgt dies nch x = b t + + b x [, b] t [ 1, 1] und I = und somit f(x)dx = b 1 1 f ( b t + + b ) dt = b 1 1 Q = b mit x k = x(t k ) gemäß obiger Formel. n A k f(x k ) (1 t k) 1/ b) Guß-Qudrtur Am häufigsten wird die Gewichtsfunktion w = 1 gewählt, und somit k=1 < f, g >= 1 1 f(x)g(x)dx f(x(t)) (1 t ) 1/ dt (1 t ) 1/ Die zugehörigen Orthogonlen Polynome sind die Legendre-Polynome. Hier existieren keine einfchen Formeln für die A j, ber Tbellen oder Routinen (siehe N.R.). Die Methode wird uch Guß-Legendre gennnt. Ein Beispiel für die Genuigkeit der Guß-Integrtion liefert ds vorherige Beispiel, siehe Gl. (5.5) I = π/ 0 x cos(x)dx = π 1 = Hier liefert die Guß-Integrtion mit einem Polynom 6.-ter (Q 6 ) Ordnung ein Ergebnis, welches uf 10 1 genu ist, schon Q 4 ist uf 10 7 genu. Mn vergleiche dies mit der Simpson-Regel oben. Die verschiedenen Integrtionstypen sind in folgender Tbelle summrisch drgestellt. Intervll w(x) Rekursion Typ -1, 1 1 (k + 1)P k+1 = (k + 1)xP k kp k 1 Guß-Legendre -1, 1 (1 x ) 1/ T k+1 = xt k T k 1 Tschebyscheff 0, x c e x (k + 1)L c k+1 = (k + c)lc k 1 Lguerre +( x + k + c + 1)L c k c = 0, 1,..., e x H k+1 = xh k kh k 1 Hermite

16 58 KAPITEL 5. INTEGRATION 5.7 Richrdson-Extrpoltion Auch Extrpoltion to the Limit. Berechne verschiedene Näherungen einer Größe und kombiniere diese bessere Näherung. Sei 0 die gesuchte, durch A(h) ngenäherte, Größe, lso 0 = lim h 0 A(h) h > 0 Sei speziell (z.b. mit einer Tylor-Entwicklung) 0 = A(h) + m i h i + c m (h)h m+1 k 0 (5.39) i=k Hier müssen die i bzw. die c m (h) nicht explizit beknnt sein. Idee: Berechne A(h i ), A(h ). Kombiniere diese und eliminiere h k -Term. Setze: Dnn gilt mit den Vorrussetzungen h 1 = h (5.40) h = r h r < 1 z.b. r = 1/ (5.41) 0 = A(h) + 0 = A(rh) + Multipliziere die erste Gleichung mit r k und subtrhiere mit Also ist m i h i + c m (h)h m+1 (5.4) i=k m i (rh) i + c m (rh)(rh) m+1 (5.43) i=k 0 = A(rh) rk A(h) 1 r k + m i=k+1 b i = i r i r k 1 r k b i h i + c m (h)h m+1 (5.44) B(h) = A(rh) rk A(h) 1 r k (5.45) eine Näherung n 0, wobei der Fehlerterm mit h k+1 beginnt, nsttt mit h k. Es sollte lso eine bessere Näherung n 0 sein. Note: Bruchten hier nur k zu kennen, ber nicht i oder c m (h). Flls b k+1 0, dnn nochmls E h k+. Durch wiederholte Anwendung ergibt sich der folgende Algorithmus: Für m = 0, 1,... definiere A 0,m = A(r m h), dnn A i+1,m = A i,m+1 r k+i A i,m 1 r k+i m = 0,... (5.46)

17 5.8. DIFFERENTIATION 59 Vorsicht ist bei b k+1 0 geboten. Als Schem ergibt sich bei n Itertionen (i = 0, n): A 0,0 A 0,1 A 1,0 A 0, A 1,1 A, A 0,n A 1,n 1 A,n... A n,0 (5.47) Dies ist die Richrdson-Extrpoltion n ter Ordnung. Anwendungen: Romberg Integrtion: Richrdson-Extrpoltion ngewndt uf Trpez- Regel. Oder uch bei Ableitungsformeln. Gesmtfehler Rundung Diskretisierung h 0 h Abbildung 5.5: Der Gesmtfehler einer Differenzen- (Integrtions-)Formel hängt von der Diskretisierung und Rundungsfehlern b. Es existiert ein optimles h 0 welches den Gesmtfehler minimiert. 5.8 Differentition Mnchml ist es notwendig, uch Ableitungen numerisch zu berechnen. Knn Näherungsformel durch Differenzierung eines Interpoltions-Polynoms erhlten. Üblich: Tylor-Reihen Entwicklung, z.b. f(x + h) = f(x) + f (x)h + h f (c) c [x, x + h] es folgt f (x) = f(x + h) f(x) h }{{ h } f (c) }{{} Näherung n f (x) Fehlerterm (5.48)

18 60 KAPITEL 5. INTEGRATION Weiter folgt durch rechts- und linksseitige Entwicklung Addition führt zu f(x + h) = f(x) + f (x)h + h f (x) + h3 6 f (x) + h4 4 f (4) (c) (5.49) f(x h) = f(x) f (x)h + h f (x) h3 6 f (x) + h4 4 f (4) (c) (5.50) f (x) = f(x + h) f(x) + f(x h) h } {{ } Näherung n f (x) h 1 f (4) (c) }{{} Fehlerterm (5.51) Die Subtrktion führt zu f (x) = f(x + h) f(x h) h } h {{} 6 f (c) }{{} Zentrierte Näherung n f (x) Fehlerterm (5.5) Mn sieht, dss zentrierte Ableitungen eine höhere Genuigkeit hben ls einseitige und diesen vorzuziehen sind. Solche Differenzenformel beinhlten numerische Auslöschung, flls h sehr klein wird. Es existiert lso ein optimles h, für welches der Gesmtfehler minimiert wird, siehe Abb. 5.5.

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