5 Numerische Integration

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1 Numerik I. Version: Numerische Integrtion 5. Einführung und ein Beispiel Eine trurige Ttsche ist, dss die meisten Funktionen keine explizite Stmmfunktion [ntiderivtive] besitzen. Deshlb sind die verschiedenen Regeln der Integrlrechnung und die lnge Liste der Stmmfunktionen, die Sie in Anlysis I-II kennengelernt hben, in den meisten Fällen nicht direkt verwendbr. Wrnung: Der Fundmentlstz von Newton-Leibniz [Fundmentl theorem of Clculus] legt fest, dss jede (mindestens stückweise stetige) Funktion eine Stmmfunktion besitzt. Es ist jedoch eine gnz ndere Frge, ob eine explizite Formel für diese Stmmfunktion existiert. In den meisten Fällen existiert keine. Z.B. eine der wichtigsten Funktionen der Mthemtik ist die Stmmfunktion der Gußschen Funktion: Φ(y) = y 0 π e x dx, die durch diese Formel (und den Fundmentlstz) wohldefiniert ist, ber Φ(x) knn nicht durch elementre Funktionen (endlich viele exponentielle und trigonometrische Funktionen und deren Inversen) wiedergegeben werden. Dennoch können wir den numerischen Wert Φ() mit beliebiger Genuigkeit usrechnen. Ttsächlich beruht die ursprüngliche Definition der Riemnnschen Integrtion uf einem Approximtionsverfhren, ds für numerische Berechungen direkt verwendbr ist. Mn betrchtet eine Zerlegung := { = x 0 < x <... < x N = b} (5.) des Integrtionsbereiches [, b] und mn berechnet die sog. Untersumme und Obersumme U(f, ) := O(f, ) := N i= N i= ( min [ x i, x i ] f) ( x i x i ) ( mx [ x i, x i ] f) ( x i x i ), wobei h i := ( x i x i ) die Länge des i-ten Teilintervlls ist. Offensichtlich ist U(f, ) O(f, ), und die Untersumme [Obersumme] ist monoton wchsend [fllend], flls die Zerlegung verfeinert wird. Ein Stz der Riemnnschen Integrtionstheorie stellt fest, dss die Differenz O(f, ) U(f, ) gegen Null konvergiert, flls f stetig ist und die mximle Länge der Zerlegungsintervlle, mx k h k gegen Null konvergiert, d.h. flls die Zerlegung verfeinert wird. Deshlb existiert ein gemeinsmer Limes und ds Integrl von

2 Numerik I. Version: f(x) über [, b] wurde in Anlysis I ls dieser Limeswert definiert: f(x)dx := lim O(f, ) = lim U(f, ) (5.) mx i h i 0 mx i h i 0 Aufgbe 5. Formulieren Sie die exkte Definition [mit ε, δ] des Limes (5.). Eine Funktion f heißt (Riemnn)-integrierbr, wenn diese zwei Limeswerte übereinstimmen. Insbesondere ist jede stetige Funktion integrierbr. Die Menge der integrierbren Funktionen enthält uch lle stückweise stetigen Funktionen. Drüber hinus erhält mn denselben Limeswert, wenn mn ds Minimum, bzw. Mximum durch einen beliebigen Wert von f uf dem Intervll [ x i, x i ] ersetzt: Stz 5. (Anlysis I) Für jede integrierbre Funktion f C[, b] gilt N f(x)dx = lim f(x i )h i, (5.3) mx i h i 0 i= wobei x i [ x i, x i ] beliebig ist. [Bemerkung: mx i h i 0 impliziert die Konvergenz N in diesem Limes. Aber N llein ist nicht hinreichend; die Zerlegung muss überll uf [, b] verfeinert werden.] Die letzte Formel liefert einen Algorithmus, um Φ() zu berechnen. Sei f(x) := exp ( x ). (5.4) π Der Einfchheit hlber betrchten wir eine äquidistnte Zerlegung von [, b] = [0, ], d.h. x i = i/n und h i = /N, und wir wählen, zum Beispiel, x i = x i. Die pproximierende Summe ist: I N = N i= D f(x) stetig ist, erhlten wir N f(x i) = Φ() = 0 N i= N [ exp ( ] i ). (5.5) π N π e x dx = lim N I N. Wir können den Wert I N für beliebig viele N berechnen, z.b.

3 Numerik I. Version: I N N Diese Folge konvergiert offensichtlich, und nch unserer Dumenregel können wir feststellen, dss Φ() = 0 π e x dx 0.34, ber wir können nicht gnz sicher sein, dss diese vier Ziffern zuverlässig sind. Erinneren Sie sich n die hrmonische Reihe vom ersten Kpitel! [Die Sitution hier ist besser ls 3 bei der hrmonischen Reihe, weil wir us der Theorie wissen, dss I N konvergiert. Jedoch liefert der Stz 5. (in dieser Form) keine effektive Abschätzung für die Konvergenzgeschwindigkeit oder für ds Restglied.] Zwei Frgen tuchen uf: (i) Knn mn die Konvergenz mit einer nderen Auswhl der Zerlegung und/oder der Werte x i verbessern? (ii) Wie lutet die Fehlerbschätzung für diese Approximtion? Legen wir ein Intervll [, b] fest und betrchten wir die Integrtion ls ein lineres Funktionl [liner functionl] I uf die Menge der stetigen Funktionen f C[, b]: I : C[, b] R I(f) := f(x)dx. Der Begriff des lineren Funktionls spielt eine gnz wichtige Rolle in der höheren Mthemtik, lso erwähnen wir die llgemeine Definition, jedoch bruchen wir hier nur die Integrtion: Definition 5.3 Sei V ein (endlich- oder unendlichdimensionler) R-Vektorrum. Eine Funktion I : V R

4 Numerik I. Version: heißt lineres Funktionl, flls I(αv + βw) = αi(v) + βi(w) für jedes α, β R und v, w V. Flls die Punkte x, x,... festgelegt sind, knn die pproximierende Summe I N in (5.3) uch ls ein lineres Funktionl betrchtet werden: N I N (f) := f(x i )h i i= Mn knn diese Berechnungsformel weiter verllgemeinern, die dhinterliegende Zerlegung vergessen und sich nur uf die Punkte x i konzentrieren. Definition 5.4 Ein lineres Funktionl uf dem Vektorrum C[, b] I n (f) = (b ) σ k f(x k ) (5.6) k=0 heißt Qudrturformel mit den (prweise verschiedenen) Stützstellen x 0, x,...,x n [, b] und mit reellen Gewichten σ 0, σ,..., σ n R. Der Vorfktor (b ) existiert us trditionellen Gründen; mn könnte ihn einfch in die Gewichte einbeziehen. Es ist offensichtlich, dss jedes Funktionl der Form (5.6) liner ist. Wir erwrten, dss die Qudrturformel ds Integrl mindestens für Polynome von niedriegem Grd genu berechnet. Zum Beispiel für ds konstnte Polynom I() = dx = I n () = = σ k. (5.7) k=0 Definition 5.5 Die ntürliche Zhl r heißt der Genuigkeitsgrd der Qudrturformel I n, wenn I n (x m ) = I(x m ) m = 0,,..., r, ber I n (x r+ ) I(x r+ ) erfüllt ist. Aufgrund der Linerität ist offensichtlich, dss die Genuigkeit der Qudrturformel mindestens von der Ordnung r ist, genu dnn, wenn I n exkt für lle Polynome vom Grd r ist.

5 Numerik I. Version: Interpoltorische Qudrturformeln Die interpolierenden Polynome können für die Erzeugung von Qudrturformeln benutzt werden. Ds Integrl knn durch ds Integrl des interpolierenden Polynoms pproximiert werden. Gnz einfch gesgt, integrieren wir die Newtonsche Identität (4.) von bis b, und wir behlten nur ds Integrl p n(x)dx des Polynoms p n und vernchlässigen den letzten Fehlerterm: Definition 5.6 Seien prweise verschiedene Stützstellen x 0, x,...,x n [, b] festgelegt. Sei f C[, b] und sei I n (f) := wobei p n P n ds interpolierende Polynom n den Stützpunkten (x 0, f(x 0 )), (x, f(x )),...,(x n, f(x n )) p n (x)dx, (5.8) bezeichnet. I n (f) heißt die interpoltorische Qudrturformel uf diesen Stützpunkten. Mn knn einfch nchprüfen, dss (5.8) wirklich eine Qudrturformel ist, d.h. in der Form (5.6) gegeben ist. Ds Polynom ist in Stz 4. explizit gegeben, lso wobei die Gewichte: p n (x)dx = (b ) σ k f(x k ) (5.9) k=0 σ k = L k (x)dx = b b n j=0 j k x x j x k x j dx sind. Mit der Substitution x = (b )t + knn mn die Integrtion uf ds Einheitsintervll bringen und mn erhält σ k = 0 n j=0 j k t t j t k t j dt, t j := x j b. Für f P n ist p n = f und die Qudrturformel ist exkt. Deshlb ist die Genuigkeit der interpoltorischen Qudrturformel n n + Stützstellen mindestens n. Insbesondere, für ds konstnte Polynom f gilt I(f) = I n (f), lso folgt us (5.7). σ k = (5.0) k=0 Der Fehler der interpoltorischen Qudrturformel folgt us dem Fehler bei der Polynominterpoltion, Stz 4.5. Wir fssen diese Ttsche zusmmen:

6 Numerik I. Version: Stz 5.7 Die interpoltorische Qudrturformel (5.8) und (5.9) n n + Stützpunkten besitzt mindestens den Genuigkeitsgrd r n. Sei die Funktion f C n+ [, b] (n + )-ml stetig differenzierbr, dnn gilt die folgende Fehlerbschätzung: I(f) I n (f) f(n+) (n + )! ω n+ (x) dx (5.) Bemerkung 5.8 Aufgrund der Abschätzungen der Interpoltion (Stz 4.9) ist die interpoltorische Qudrturformel symptotisch exkt, d.h. flls f C [, b] und es existiert R < b lim I n(f) = I(f), n und K R, so dss f (n) = sup f (n) (ξ) Kn!R n, n. ξ [,b] In einigen Fällen knn ds Vorzeichen des Restglieds bestimmt werden. Aufgrund des Stzes 4.5 gilt b I(f) I n (f) = f (n+) (ξ(x))ω n+ (x)dx (5.) (n + )! wobei der Zwischenpunkt ξ = ξ(x) ls eine Funktion von x betrchtet wird (die Stützpunkte sind festgelegt). Wenn ω n+ (x) nur ein Vorzeichen uf dem gnzen [, b] ht (d.h. entweder ω n+ (x) 0 für lle x [, b] oder ω n+ (x) 0 für lle x [, b]), dnn existiert ein Punkt τ [, b], so dss I(f) I n (f) = f(n+) (τ) (n + )! ω n+ (x)dx. (5.3) Insbesondere, wenn f (n+) uch nur ein Vorzeichen uf [, b] ht, dnn erhlten wir ds Vorzeichen des Fehlers, ws eine nützliche Informtion ist. Der Beweis von (5.3) folgt us (5.) und us dem Lemm 5.9 Seien g, h C[, b] stetige Funktionen uf [, b], wobei g nur ein Vorzeichen ht. Dnn existiert ein τ [, b], so dss h(t)g(t)dt = h(τ) g(t)dt. Beweis des Lemms. Ohne Einschränkung sei g 0. Dnn gilt (min h) g(t)dt h(t)g(t)dt (mx h) g(t)dt. (5.4) Sei F(s) := h(t)g(t)dt h(s) g(t)dt. Aufgrund von (5.4) existieren s 0 und s (z.b. die Punkte wobei h miniml und mximl ist), so dss F(s 0 ) 0 F(s ). Der Zwischenwertstz liefert einen Punkt τ zwischen s 0 und s, lso τ [, b], so dss F(τ) = 0.

7 Numerik I. Version: Newton-Cotes-Formeln Die Newton-Cotes-Formeln ergeben sich durch die Whl äquidistnter Stützstellen bei interpoltorischen Qudrturformeln. Wenn die Ränder des Intervlls, b uch Stützstellen sind, x 0 =, x n = b, dnn spricht mn von bgeschlossenen Newton-Cotes-Formeln. Für n + Stützstellen gilt: x k := + kh, k = 0,,..., n, h := b n, (5.5) wobei h die Schrittweite ist. Die obige Substitution liefert t j = x j b σ k = σ (n) k = 0 n j=0 j k t j/n (k j)/n dt = n n 0 n j=0 j k = j/n, lso gilt s j ds (5.6) k j nch einer zweiten Substitution s = tn im letzten Integrl. (Der obere Index n wird meistens ignoriert). Diese Gewichte können explizit berechnet und tbelliert werden. Lemm 5.0 Die Gewichte σ k sind symmetrisch, d.h. Beweis. Eine einfche Berechung liefert us (5.6) σ n k = n n 0 σ n k = σ k k = 0,,..., n. (5.7) n j=0 j n k s j n k j ds = n n 0 (nch der Substitution i := n j im Produkt) = n n 0 n i=0 i k (n s) i ds = n k i n 0 (nch der Substitution s = n s in der Integrtion). n i=0 i k n i=0 i k s (n i) n k (n i) ds s i k i d s = σ k 5.4 Die wichtigsten Beispiele der Newton-Cotes-Formeln 5.4. Rechteckregel: n = 0 Die llgemeine bgeschlossene Newton-Cotes-Formel erfordert, dss beide Rndpunkte des Intervlls Stützstellen sind. Streng genommen ist diese Forderung für n = 0 nicht möglich. Mn wählt entweder x 0 = oder x 0 = b für die einzige Stützstelle. Die Whl x 0 = liefert I 0 (f) = (b )f()

8 Numerik I. Version: d.h. σ 0 =. Ds Integrl wird durch ds Rechteck mit den Ecken (, 0), (b, 0), (, f()) und (b, f()) pproximiert. Der Genuigkeitsgrd ist genu r = 0, weil I 0 für die konstnte Funktion exkt ist, ber I 0 ist nicht exkt für eine nichtkonstnte linere Funktion. Die Fehlerbschätzung (5.3) ist verwendbr (weil ω (x) = (x ) 0 und ω (x)dx = (b ) ), und sie liefert: Lemm 5. Für eine stetig differenzierbre Funktion f C [, b] gilt I(f) I 0 (f) = f(x)dx (b )f() = (b ) f (τ) = h f (τ) mit einer gewissen Zwischenstelle τ [, b]. Die Whl des nderen Rndpunktes, x 0 = b, würde liefern I 0 (f) = (b )f(b), f(x)dx (b )f(b) = h f (τ) Trpezregel: n = Die llgemeine Newton-Cotes-Formel liefert für n = I (f) = (b ) [ f() + f(b)] d.h. σ 0 = σ =. Der Nme stmmt von der Ttsche, dss die Trpezregel ds Integrl durch die Fläche des Trpezes mit den Ecken (, 0), (b, 0), (, f()) und (b, f(b)) pproximiert. Der Genuigkeitsgrd ist genu r =, weil r us dem Stz 5.7 folgt, und weil die Formel für qudrtische Polynome nicht exkt ist (Aufgbe!). Die Fehlerbschätzung (5.3) liefert: Lemm 5. Für eine zweiml stetig differenzierbre Funktion f C [, b] gilt mit einem gewissen τ [, b]. I(f) I (f) = (b )3 f (τ) = h3 f (τ) (5.8) Die Abschätzung (5.3) ist verwendbr, weil ω (x) = (x )(x b) ein Vorzeichen ht. Der Fktor folgt us (5.3) und us ω (x)dx = (b )3 (x )(x b)dx = 6.

9 Numerik I. Version: f(x) f(x) f(x) b b (+b)/ b Die Rechteckregel Die Trpezregel Die Kepler Regel Die ersten drei Newton-Cotes-Formeln für n = 0,, (Die schwrzen Punkte sind die Stützstellen) Keplersche-Fssregel, oder Simpson-Regel: n = Um die Gewichte zu bestimmen, ist es hinreichend σ 0 = 0 s 0 s 0 ds = 6 ufgrund von (5.6) zu berechnen, dnn folgt σ = σ 0 = 6 us (5.0) und schließlich σ = σ 0 σ =. Dnn gilt 3 I (f) = (b ) [ 6 f() + + b) 3 f( + 6 f(b)]. (5.9) Aus dem Stz 5.7 folgt, dss der Genuigkeitsgrd r ist. Ttsächlich ist er besser: r = 3, d.h. die Keplersche-Fssregel liefert ds exkte Integrl uch von kubischen Polynomen. In der Tt, ufgrund der Formel (5.) gilt für jedes kubische Polynom, f(x) P 3, I(f) I (f) = f 6 ω 3 (x)dx, wobei die dritte Ableitung f konstnt ist. Es ist einfch zu berechnen, dss ds Integrl der dritten Newtonschen Bsispolynome verschwindet: ω 3 (x)dx = Dieses Phänomenon ist llgemein: (x ) ( x + b ) (x b)dx = 0 (Aufgbe!). (5.0) Stz 5.3 Die (bgeschlossenen) Newton-Cotes-Formeln, I n, besitzen den Genuigkeitsgrd r = n + für jedes gerde n.

10 Numerik I. Version: Beweis von r n +. (Für die ndere Richtung, siehe [Plto, s. 04]). Offenbr ist r n ufgrund der Formel (5.). Drüber hinus gilt I [( x + b ) n+ ] = ( + b) n+dx x = 0 wegen der Symmetrie um den Mittelpunkt und weil n + ungerde ist. Wir werden beweisen, dss [( + b) n+ ] I n x = 0 (5.) ist. Dies wird zeigen, dss I und I n uf der Menge P n und mindestens uf einem Polynom vom Grd n + übereinstimmt. D I und I n liner sind, werden sie uf jedem Polynom vom Grd n + übereinstimmen. Für den Beweis der Gleichung (5.) setzt mn h = (b )/n, x k = +kh, k = 0,,..., n, so dss Folgendes gilt: x n/ = + b x n j + b = ( x j + b ) j = 0,,..., n. (5.) Aufgrund der Symmetrieeigenschft σ j = σ n j (j = 0,,...,n) us Lemm 5.0 erhlten wir = (b ) ( n/ j=0 σ j [( xj + b [( + b) n+ ] I n x ) n+ + ( xn j + b wobei die Terme in [ ] sich ufgrund von (5.) uslöschen. ) n+ ] ( + σn/ xn/ + b ) ) n+ = 0 Für die Fehlerbschätzung der Keplerschen-Fssregel ist (5.3) nicht verwendbr, weil ω 3 (x) = (x ) ( x + b ) (x b) nicht ein Vorzeichen ht. Doch gilt die Abschätzung (5.) und sie liefert I(f) I (f) f 6 ω 3 (x) dx = f 6 (b ) 4 3 = f h 4 (5.3) wobei h := (b )/ die Schrittweite ist. Aber diese Abschätzung nutzt die Auslöschung ω 3(x)dx = 0 in (5.0) nicht us. Wichtige Fustregel: Wenn eine unerwrtete exkte Auslöschung uftritt, bietet sich (fst) immer eine Möglichkeit, um die Abschätzungen zu verbessern.

11 Numerik I. Version: Die Abschätzung (5.3) schätzt den Betrg I(f) I (f) = 6 f (3) (ξ(x))ω 3 (x)dx eines Integrls durch ds Integrl ω 3 (x) dx des Betrgs der Funktion ω3 b, deren Integrl ohne Absolutwert Null ist: ω 3 = 0. Diese Auslöschung ist in der Formel (5.) direkt nicht verwendbr, weil im Allgemeinen f (ξ(x))ω n+ (x)dx 0 [Wichtige trivile Bemerkung: Die Abschätzung ist flsch, nur ist korrekt.] f b (ξ(x))ω 3 (x)dx f ω 3 (x)dx (5.4) f (ξ(x))ω 3 (x)dx f ω 3 (x) dx Die Idee ist, die Interpoltion hinter der Newton-Cotes-Formel bis zum nächsten Term fortzusetzen, so dss der Koeffizient von ω 3 in der Newtonschen Identität (4.) unbhängig von x ist. Wenn f (ξ(x)) in (5.4) unbhängig von x wäre, d.h. f (ξ(x)) = (Konst) für jedes x, wäre f (ξ(x))ω 3 (x)dx = (Konst) ω 3 (x)dx ohne bsoluten Betrg korrekt, und wir könnten die Auslöschung in (5.0) usnutzen. Deswegen bruchen wir noch eine Stützstelle x 3 neben x 0 =, x = +b und x = b, die schon früher festgelegt wurden. Die Whl ist frei, die Interpoltionsformel (5.9) beibt unverändert, weil ds Integrl des neuen kubischen Termes Null ist. Aber die Abschätzung des Fehlertermes (us (4.3)) f[x 0, x, x, x 3 ]ω 3 (x)dx (5.5) 4! f (4) (ξ(x))ω 4 (x)dx (5.6) hängt von der Auswhl der neuen Stützstelle b, und wir sollten diese Abschätzung minimieren (Zur Erinnerung: beide ξ(x) und ds Polynom ω 4 (x) hängen von x 3 b.) Bechten Sie: die Präzision der Integrtionsformel (5.9), I(f) I (f) = 4! f (4) (ξ(x, x 0, x, x, x 3 )) (x x 0 )(x x )(x x )(x x 3 ) dx, (5.7) }{{} ω 4 (x)

12 Numerik I. Version: ist unbhängig von x 3 [Zum Nchdenken! Hinweise: (5.5)], zuml diese Ttsche us (5.7) gr nicht offenbr ist. Aber die möglichen reltiv einfchen Abschätzungen (z.b. durch die Supremumnorm der f (4) ) können von x 3 bhängen. Ws ist die beste Whl für x 3? Noch eine Fustregel: Mngels nderer Hinweise ist in den meisten Fällen die symmetrische Konfigurtion die beste. Also setzen wir x 3 = x = (+b)/. Im Flle f C 4 [, b] erhlten wir I(f) I (f) = 4! f (4) (ξ(x)) (x ) ( x + b ) (x b) dx, }{{ } ω 4 (x) [Zur Erinnerung: die Fehlerbschätzung der Interpoltion gilt uch für die Hermite-Interpoltion ufgrund des Stzes 4.3.] D ω 4 (x) 0 ein Vorzeichen uf dem gnzen Intervll [, b] ht, gilt I(f) I (f) = f(4) (τ) 4 (x ) ( x + b ) (x b)dx nch Lemm 5.9. Ds Integrl lässt sich explizit berechnen [Aufgbe!], und wir erhlten die folgende Fehlerdrstellung: Lemm 5.4 Für eine vierml stetig differenzierbre Funktion f C 4 [, b] gilt mit einem gewissen τ [, b]. (b )5 I(f) I (f) = 880 f (4) (τ) = h5 90 f(4) (τ) (5.8) Aufgbe 5.5 (i) Berechnen Sie Φ() mittels der Rechteckregel, der Trpezregel und der Kepler-Regel, wenn f(0) = , f(/) = und f() = 0.49 gegeben sind (siehe (5.4) für die Definition von f). (ii) Vergleichen Sie diese Ergebnisse mit der Tbelle für die Werte von I N uf Seite 03. Bechten Sie, dss diese Tbelle mit N Auswertungen der Funktion f berechnet wurde! (iii) Berechnen Sie die theoretischen Fehlerbschätzungen und vergleichen Sie sie mit den ttsächlichen Fehlern Newtonsche 3/8-Regel: n = 3 Nch kurzer Berechnung erhlten wir I 3 (f) = (b ) [ 8 f() b) 3 + b) 8 f( f( f(b)].

13 Numerik I. Version: Der Genugkeitsgrd ist genu r = 3, wie Stz 5.7 vorhersgt, und es tritt keine weitere Verbesserung uf, weil I 3 (x 4 ) I(x 4 ) [Aufgbe!]. Die Fehlerbschätzung ufgrund des Stzes 5.7 ist [Aufgbe!] (wobei h = (b )/3). I(f) I 3 (f) (b ) f(4) = 3h5 80 f(4) Der Koeffizient des Qudrturfehlers der (3/8)-Regel ist etw.5-ml kleiner ls derjenige der Kepler-Regel, ber I 3 benutzt 4 Werte der Funktion sttt der 3 Werte in der Kepler-Regel. Mit der Hinzunhme einer Integrtionsstützstelle verringert sich der Fehler nur rund uf die Hälfte. Dies ist eine geringere Verbesserung, deshlb wird die (3/8)-Regel seltener benutzt. 5.5 Newton-Cotes-Formeln beruhend uf Interpoltionspolynomen von höherem Grd Mn würde erwrten, dss mn mit der Erhöhung von n bessere und bessere Newton-Cotes- Formeln erhält. Zum Beispiel, die Fälle n = 4, 5 liefern die Formel: I 4 = (b ) [ ] 7f0 + 3f + f + 3f 3 + 7f 4 90 (b ) [ ] I 5 = 9f0 + 75f + 50f + 50f f 4 + 9f 5 88 wobei f k = f(x k ) und die Stützstellen x k in (5.5) gegeben sind. Der Genuigkeitsgrd der beiden Formeln ist r = 5 (siehe Stz (5.3). Die Qudrturfehler sind I(f) I 4 (f) (b ) f(6) = 8h7 945 f(6) (b )7 I(f) I 5 (f) f(6) = 75h7 096 f(6) Der Fehler von I 5 ist etw.78-ml kleiner ls derjenige von I 4, so dss der Fehler von I 5 im Vergleich zu I 4 bei einer zusätzlichen Funktionsuswertung nicht einml hlbiert wird. Offensichtlich knn mn diese Liste mit höheren n fortsetzen, ber in der Prxis wird die bgeschlossene Newton-Cotes-Formel vom Grd n 3 nicht benutzt. Zwei Probleme ergeben sich. (i) Die Fehlerbschätzung enthält höhere Ableitungen, die nicht einfch kontrollierbr sind. Obwohl die numerischen Koeffizienten in den Fehlerbschätzungen mit höherem n sinken, können die höhere Ableitungen zunehmen. Die Opertion der Integrtion ist wohldefiniert für lle stetigen Funktionen: Im Prinzip sollte mn höhere Ableitungen nicht benötigen.

14 Numerik I. Version: (ii) Ab n = 8 treten negtive Gewichte uf, und diese Ttsche widerspricht der ursprünglichen Intutition hinter dem Begriff der Integrtion [ summieren und nicht summieren und subtrhieren ]. Im Fll der Polynome (und im Flle von Funktionen die sich durch Polynome sehr gut nnähern lssen, d.h. höhere Ableitungen besitzen), beobchtet mn durch die Auslöschung der negtiven und positiven Terme in der Interpoltionsformel eine größere Genuigkeit. Aber bei Funktionen, die vielleicht nur stetig sind, tritt dieser Effekt nicht unbedingt uf und der Mngel n Auslöschungen knn zu strker Instbilität führen. Die folgenden zwei Sätze erklären die llgemeine Sitution : Stz 5.6 (Kusmin) Für die Gewichte σ (n) 0, σ (n),..., σ n (n) der bgeschlossenen Newton-Cotes- Formeln I n gilt σ (n) k flls n k=0 Dieser Stz zeigt, dss die Summe der Beträge der Gewichte viel größer ls die Summe selbst ( n k= σ (n) k = ) ist; eine Ttsche, die zu einer strken Instbilität führt. Stz 5.7 (Poly) Sei I n eine Folge der Qudrturformeln (5.6) n n + Stützpunkten in [, b], n =,,.... Die Qudrturformeln I, I,... konvergieren für jede stetige Funktion f C[, b], genu dnn, wenn lim I n(f) = I(f) n (i) I n (p) I(p) für lle Polynome p(x); und (ii) Die Summe der Beträge der Gewichte gleichmäßig (in n) beschränkt ist. sup n k=0 σ (n) k < Die bgeschlossenen Newton-Cotes-Formeln erfüllen (i), weil schon für p P n gilt I n (p) = I n+ (p) =... = I(p), ber ufgrund des Stzes von Kusmin erfüllen sie (ii) nicht. Dies zeigt, dss die bgeschlossenen Newton-Cotes-Formeln von höherem Grd nicht immer konvergieren (in der Klsse der stetigen Funktionen). Ntürlich ht diese Ttsche dmit zu tun, dss die Polynominterpoltion für stetige Funktionen nicht konvergiert. Die Konvergenz ist besser für eine kleinere Klsse von Funktionen, z.b. für Funktionen, die die Bedingung (4.8) erfüllen.

15 Numerik I. Version: Die Schlussfolgerung ist, dss die Newton-Cotes-Formeln von niedrigem Grd sehr einfch verwendbr sind und uf einem kürzeren Intervll gnz gute Ergebnisse liefern, ber die Erhöhung der Genuigkeit durch die Erhöhung des Grdes nicht möglich ist. Es gibt drei Auswege, um dieses Problem zu vermeiden: (i) Ds ursprüngliche Intervll [, b] wird in kleinere Intervlle ufgeteilt. Die Newton- Cotes-Formeln von niedrigem Grd (in den meisten Fällen die Trpezregel oder die Simpson- Regel) werden uf kurzen Teilintervllen verwendet und die Teilergebnisse werden summiert. Dieses Verfhren heißt summierte Newton-Cotes-Formeln (Kpitel 5.6). (ii) Mn knn ndere interpolierende oder pproximierende Polynome benutzen, die sttt der ursprünglichen Funktion f integriert werden. In den meisten Fällen sind diese komplizierteren Qudrturen nicht effektiver ls die Newton-Cotes-Formeln. Doch in gewissen Einzelfällen, wenn etw zusätzliche Informtion über die Funktion zur Verfügung steht, knn mn die Newton-Cotes-Qudrtur übertreffen. Z.B. konvergieren die Bernstein-Polynome gleichmäßig gegen f (Stz 4.4 von Weierstrss) deshlb konvergieren ihre Integrle gegen f(x)dx. Die Gewichte sind positiv, und ds Verfhren konvergiert, ber lngsm. Aufgbe 5.8 Berechnen Sie die Gewichte der interpoltorischen Qudrturformel, die uf der Bernstein-Polynompproximtion (4.) mit n =, 3 und 4 beruht. Der Einfchheit hlber, setzen Sie [, b] = [0, ]. Bestimmen Sie den Genuigkeitsgrd und finden Sie eine gute Fehlerbschätzung. (iii) Die letzte Möglichkeit ist, die Stützpunkte der Interpoltion nicht äquidistnt zu wählen. Diese Idee wr der Hintergrund des Stzes 4.3. Im Flle der Integrtion führt dieselbe Idee zur Gußschen Qudrtur, deren Stützpunkte die Nullstellen der sog. orthogonlen Polynome sind. Mit einer sorgfältigen Auswhl der Stützpunkte knn mn erreichen, dss lle Gewichte positiv sind. Dher folgt die Konvergenz der interpoltorischen Qudrturformel für beliebig stetige Funktionen us dem Stz 5.7 von Poly, weil k=0 σ (n) n k = σ (n) k = k=0 ufgrund von (5.0). Diese Qudrtur wird in Kpitel 5.8 diskutiert. Im Flle der Integrtion ist normlerweise nicht zu erwrten, dss neben den Funktionswerten uch einige Ableitungen zur Verfügung stehen. Wenn dies der Fll ist, können wir die Hermite-Interpoltion benutzen.

16 Numerik I. Version: Aufgbe 5.9 Sei x 0 = x = und x = x 3 = b die Stützstellen und seien die Werte f(), f (), f(b) und f (b) beknnt. Konstruieren Sie die entsprechende Qudrturformel, bestimmen Sie den Genuigkeitsgrd und schätzen Sie den Fehler b. Aufgbe 5.0 Konstruieren Sie die Qudrturformel ufgrund der Splineinterpoltion (mit ntürlichen Rndbedingungen) in den Fällen N = und N =. Bestimmen Sie den Genuigkeitsgrd und finden Sie eine gute Fehlerbschätzung. Weitere Methoden (z.b. Romberg-Integrtion) werden in Numerik II. diskutiert. 5.6 Summierte bgeschlossene Newton-Cotes-Formel Die wichtigste Idee, um den Fehler der Qudrturen ohne die Erhöhung der Ableitungszhl zu mindern, ist die Zerlegung des Integrtionsbereiches in kleinere Teilintervlle, und die Verwendung von Newton-Cotes-Formeln von niedrigem Grd (in den meisten Fällen die Trpezregel oder die Kepler-Regel) uf jedem der Teilintervlle. Ntürlich erfordert dieses Verfhren mehr Funktionsuswertungen, ber in den meisten Fällen sind mehr Funktionswerte eher verfügbr ls Ableitungen oder Abschätzungen der Ableitungen. Vergessen Sie nicht, dss normlerweise der Integrnd nicht durch eine Formel gegeben ist, und oft sind die Funktionswerte einfch Messdten. Wenn f(t) die Tempertur in München zur Zeit t bezeichnet, können wir f(t) jede Minute messen, ber wie groß ist die zehnte Ableitung von f...? Teilen wir ds Integrtionsintervll [, b] gleichmäßig in N Teilintervlle mit Punkten x k = + kh, k = 0,,..., N, h := b N uf und verwenden die bisher betrchteten Qudrturformeln zur numerischen Berechnung der Integrle xk x k f(x)dx k =,,..., N. Sei I n (f) = σ l f(ξ l ) l=0 eine Qudrturformel uf [0, ] mit Gewichten σ l und Stützstellen 0 = ξ 0 ξ... ξ n =. Diese Qudrtur uf dem k-ten Teilintervll liefert wobei xk f(x)dx = h f(x k + ξh)dξ h σ l f(x kl ) x k 0 l= x kl := x k + hξ l, k =,,..., N, l = 0,,..., n.

17 Numerik I. Version: Nch der Summtion erhlten wir ls eine Approximtion von f(x)dx. x0 x x = x0 x x = x 30 N I n,n (f) := h σ l f(x kl ) k= l=0 =x x x x x x =b Aufteilung des Intervlls mit N = 5, n = Stz 5. (Konvergenz der summierten Qudrtur) Sei f stetig und sei I n exkt uf den konstnten Funktionen (d.h. sie besitzt mindestens einen Genuigkeitsgrd Null). Dnn gilt für jede Riemnn-integrierbre Funktion f. wobei Beweis. N I n,n (f) := σ l l=0 k= lim I n,n(f) = f(x)dx N S l (N) := b N f(x kl) = N k= b N f(x kl) eine Riemnnsche Summe ist. Aufgrund des Stzes 5. gilt lim S l(n) = f(x)dx N σ l S l (N) l=0 weil für jedes festgelegte l die mximle Distnz zwischen nebeneinnder liegenden Stützstellen (x,l, x,l,...,x N,l ), lso mx x kl x k+,l = b k N, gegen Null konvergiert. Deshlb gilt lim I n,n(f) = N f(x)dx σ l = f(x)dx, l=0 d I n () = σ l = dx =. l=0 0

18 Numerik I. Version: Diese Konvergenz zeigt, dss die summierte Qudrtur konsistent ist (im Limes N den korrekten Wert des Integrls wiedergibt), ber dieser Stz liefert keine Abschätzung für den Fehler oder die Konvergenzgeschwindigkeit. Dfür müssen wir mehr Regulrität der Funktion f nnehmen. Definition 5. (Konvergenzordnung) Eine summierte Qudrtur I n,n besitzt eine Konvergenzordnung [order of convergence] r für die Funktion f, flls es eine (f-bhängige) Konstnte K gibt, so dss für jedes N Summierte Rechteckregel I n,n (f) f(x)dx Kh r Die einfchste summierte Qudrtur ist der Fll n = 0: k=0 h := b N N I 0,N (f) = h f(x k ) = h ( f(x 0 ) + f(x ) f(x N ) ) oder, wenn I 0 den rechten Rndpunkt des Teilintervlls benutzt, dnn N I 0,N (f) = h f(x k ). k= Stz 5.3 Sei f C [, b] einml stetig differenzierbr uf dem Intervll [, b]. Dnn gibt es eine Zwischenstelle τ [, b] mit N f(x)dx h f(x k ) k=0 }{{} I 0,N (f) = b hf (τ), wobei h = b. Die Konvergenzordnung ist r = für einml stetig differenzierbre Funktionen. N Beweis. Die Fehlerdrstellung in Lemm (5.) wird für jedes Teilintervll [x k, x k ] (k = 0,,..., N ) sttt [, b] benutzt; dies ergibt xk und Summtion über k liefert x k f(x)dx hf(x k ) = h f (τ k ) für ein τ k [x k, x k ] f(x)dx I 0,N (f) = N k=0 h f (τ k ) = b N h( f (τ k ) ). N k=0

19 Numerik I. Version: Aufgrund der Ungleichungen min f ( N f (τ k ) ) mx f [,b] N [,b] k=0 und der Stetigkeit von f existiert ein τ [, b] mit und der Beweis ist komplett. ( N f (τ k ) ) = f (τ) N k= Summierte Trpezregel Der Fll n = liefert N I,N (f) = h f(xk ) + f(x k+ ) k=0 [ ] = h ( f() + [ f(x ) + f(x ) f(x N ) ] ) + f(b) Stz 5.4 Sei f C [, b] zweiml stetig differenzierbr uf dem Intervll [, b]. Dnn gibt es eine Zwischenstelle τ [, b] mit f(x)dx I,N (f) = b h f (τ) (5.9) wobei h = b. Die Konvergenzordnung ist r = für zweiml stetig differenzierbre Funktionen. N Beweis läuft prllel zum vorherigen Beweis des Stzes 5.3 (wobei ber Lemm 5. sttt Lemm 5. verwendet wird) und ist eine Aufgbe. Summierte Rechteck- und Trpezregel mit N = 3.

20 Numerik I. Version: Summierte Kepler-Regel = Simpson-Regel Die summierte Version der Kepler-Regel (Fll n = ) heißt uch Simpson-Regel. Die Formel lutet wobei N [ I,N (f) = h f(xk ) + 4f(x k+/ ) + f(x k+ ) ] 6 = h 6 ( f() + 4 k=0 N k=0 N f(x k+/ ) + k= ) f(x k ) + f(b), x k+/ := x k + h der Mittelpunkt des Intervlls [x k, x k+ ], k = 0,,..., N ist. Stz 5.5 Sei f C 4 [, b], vierml stetig differenzierbr uf dem Intervll [, b]. Dnn gibt es eine Zwischenstelle τ [, b] mit f(x)dx I,N (f) = b 880 h4 f (4) (τ) wobei h = b. Die Konvergenzordnung ist r = 4 für vierml stetig differenzierbre Funktionen. N Beweis: Aufgbe. Summierte Simpson-Regel N =. Aufgbe 5.6 (i) Berechnen Sie Φ() mittels der summierten Rechteckregel, der Trpezregel und der Simpson-Regel für N =, 5, 0, 50 (siehe (5.4) für die Definition von f und Φ). (ii) Vergleichen Sie diese Ergebnisse mit der Tbelle für die Werte von I N uf Seite 03. (iii) Berechnen Sie die theoretischen Fehlerbschätzungen und vergleichen Sie sie mit den ttsächlichen Fehlern.

21 Numerik I. Version: Schrittweitensteuerung Der Fehler bei der Qudrturformel hängt von der Vrition der Funktion (Ableitung) b. Große Ableitungen können durch kleinere Schrittweiten in der Fehlerbschätzung usgeglichen werden. Im Fll einer Funktion, die in verschiedenen Integrtionsbereichen gnz unterschiedliche Größenordnungen der Ableitungen besitzt, ist es sinnvoll, ds gnze Intervll nicht in gleichlnge Teilintervlle ufzuteilen. In Bereiche, wo f strk vriiert, bruchen wir kleinere Schrittweiten (h) (feinere Zerlegung), dher mehr Knoten, um die gewünschte Genuigkeit zu erreichen. Die Fehlerbschätzung wird dnn uf jedem Bereich seprt berechnet. Die Auswhl der Schrittweiten knn optimiert werden, wenn etw Informtionen über die Ableitungen zur Verfügung stehen. Aufgbe 5.7 (i) Berechnen Sie 0 0 rctn(x)dx mittels der summierten Trpezregel, flls N = 5, 0, und 0, d.h. ds Intervll [0, 0] wird in 5, 0 und 0 gleichlnge Intervlle zerlegt. (ii) Berechnen Sie dsselbe Integrl, wenn Sie ds Intervll [0, ] in N = 4 gleiche Teile, ds Intervll [, 4] in zwei gleiche Teile und ds Intervll [4, 0] in 3 gleiche Teile zerlegen (siehe Abbildung). Bechten Sie, dss diese Zerlegung nur 0 Funktionuswertungen benötigt (sttt der Auswertungen im Fll N = 0 im Punkt (i)), dennoch ist ds Ergebnis besser. Bechten Sie uch, dss die Zerlegung mit doppelt so vielen Punkten (N = 0) in (i) fst keine bemerkbre Verbesserung liefert. (iii) Berechnen Sie die theoretische Fehlerbschätzung in beiden Fällen. (iv) Ws ist die beste theoretische Fehlerbschätzung, die mn mit 0 Auswertungen erreichen knn, wenn nur zwei verschiedene Schrittweiten erlubt sind? Versuchen Sie die Zerlegung zu optimieren. In diesem Problem können Sie die expliziten Ableitungen von rctn(x) benutzen.

22 Numerik I. Version: y=rctn(x) Vriierte Schrittweite für die Berechnung des bestimmten Integrls von f(x) = rctn x Wie können wir die optimle Schrittweite finden, wenn die Ableitungen von f nicht beknnt sind? Dfür bruchen wir eine Abschätzung für die Differenz I(f) I (f) = xk x k f(x)dx h [ f(xk ) + f(x k ) ] = h3 f (τ), (5.30) wobei τ [x k, x k ] eine geeignete Zwischenstelle ist, ohne die Ableitung zu wissen. Hlbieren wir einfch die Schrittweite h = x k x k : und berechnen wir I h = h h [ (f) := f(xk ) + f(x k + h ) ] + h [ f(xk + h ) + f(x k ) ].

23 Numerik I. Version: Wenn sich f in dem kleinen Intervll [x k, x k ] nicht zu strk ändert, dnn gilt I(f) I (f) = (h/)3 [f (τ ) + f (τ )] h 3 f (τ). (5.3) Z.B. wenn f C 3 [x k, x k ], dnn gilt I(f) I (f) = h 3 f (τ) + O(h 4 ). Subtrhieren (5.3) und (5.30), so fällt ds unbeknnte Integrl I(f) weg: I (f) I (f) ( ) h 3 f (τ) Dmit erhlten wir I(f) I (f) I (f) I (f) us (5.30) und die rechte Seite ist berechenbr. So ht mn eine überprüfbre Abschätzung für den Fehler. Ntürlich enthält diese Methode eine implizite Bedingung, nämlich, dss f uf dem gnzen Intervll fst konstnt ist. Der wichtige Punkt ist, dss wir diesen Wert nicht kennen müssen, um den Fehler bzuschätzen. Diese Bedingung wird in der Prxis fst niemls geprüft, ber sie gilt für den meisten der Funktionen, die in der Prxis uftreten. Die Idee, die Schrittweite zu ändern um eine Fehlerbschätzung zu erhlten, gilt ntürlich nicht nur im Fll der Trpezregel, sondern uch für ndere interpoltorische Qudrturregeln. In ähnlicher Weise knn mn mit einer systemtischen Entwicklung in h die Genuigkeit der Qudrturformel verbessern [Romberg-Qudrturverfhren]. Dieses Them wird in Numerik II. diskutiert. 5.8 Gußsche Qudrturformeln Die Gußsche Qudrturmethode wurde für die sehr genue numerische Berechnung gewichteter Integrle I(f) = f(x) (x)dx entwickelt, wobei f : [, b] R die zu integrierende Funktion und eine gegebene positive, stückweise stetige Funktion, die so gennnte Gewichtsfunktion [weight function] ist. Ds übliche Integrl entspricht dem Fll (x). Ds Integrl wird wieder durch eine interpoltorische Qudrturformel pproximiert: I n = σ j f(λ j ) j=

24 Numerik I. Version: wobei, im Unterschied zur Formel (5.6) us historischen Gründen, die Stützstellen mit λ j bezeichnet werden, die Summtion bei j = beginnt und der Fktor (b ) fehlt. Die Schlüsselidee ist die gute Auswhl der Stützstellen. Stz 4.3 zeigt uns, dss die äquidistnte Auswhl der Stützstellen nicht optiml ist. Die besten Stützstellen werden ls die Nullstellen gewisser sogennnter orthogonler Polynome bestimmt. 5.9 Orthogonle Polynome Wir geben uns eine Gewichtsfunktion uf [, b] fest vor. Auf dem Vektorrum P ller Polynome definieren wir ein Sklrprodukt, ds durch, bezeichnet wird: f, g := f(x)g(x) (x)dx, Dieses Sklrprodukt erzeugt eine Norm: f := f, f = f (x) (x)dx. f, g P Der Einfchheit hlber werden wir den Index weglssen, weil wir im gnzen Kpitel dieselbe vorgegebene Gewichtsfunktion benutzen werden. Bemerkung: Wenn mn über dem komplexen Körper rbeitet und komplexe Funktionen betrchten will, sollte diese Definition zu f, g := modifiziert werden. f(x)g(x) (x)dx Aufgbe 5.8 Beweisen Sie, dss, lle Eigenschften eines Sklrprodukts und lle Eigenschften einer Norm erfüllt. Der Vektorrum P ller Polynome ist unendlichdimensionl. Trotzdem lssen sich mehrere Begriffe, die für endlichdimensionle Räume mit Sklrprodukt eingeführt wurden, uch uf diesen Fll übertrgen. Die Elemente dieses Vektorrums sind Funktionen, ber oft wird uch der llgemeine Nme Vektor benutzt. Diese Vektoren hben nichts mit den geometrischen Vektoren des euklidischen Rums R n zu tun. Definition 5.9 (i) Zwei Funktionen f, g P heißen orthogonl zueinnder, flls f, g = 0. (ii) Sei V ein Unterrum von P. Ds orthogonle Komplement von V ist gegeben durch V := {f P : f, g = 0 g V }

25 Numerik I. Version: Aufgbe 5.30 Sei [, b] = [, ] und (i) Sei V = Spn{}. Beschreiben Sie V. (ii) Sei V = Spn{, x, x }. Beschreiben Sie V. (iii) Sei V = {f P : f(x) = f( x), x [, ]}. Beschreiben Sie V. Aufgbe 5.3 Beweisen Sie, dss V ein linerer Unterrum ist. Aufgbe 5.3 Beweisen Sie, dss V V = {0}. Mn knn eine spezielle Folge prweise orthogonler Polynome durch Grm-Schmidt- Orthogonlisierung der Monome, x, x,... erhlten. Zur Erinnerung: dnn definieren wir rekursiv p n = x n n j=0 p 0 :=, x n, p j p j p j, n =,,... (5.3) Nch Konstruktion ist p n ein Polynom vom Grd n mit führendem Koeffizienten, und es gilt spn{p 0, p,..., p n } = P n, (5.33) deshlb p n P n, (5.34) wobei P k der Unterrum der Polynome vom Grd k ist. Bechten Sie, dss der führende Koeffizient und nicht die Norm normlisiert ist, insbesondere sind diese Polynome nicht orthonorml, sondern nur orthogonl. Die llgemeine Grm-Schmidt-Orthogonlisierung liefert immer einen Algorithmus für die Berechnung einer orthogonlen Bsis. Der folgende Stz enthält eine schnellere, ber nur für orthogonle Polynome verwendbre Methode. Stz 5.33 (Drei-Term-Rekursion) Für die orthogonlen Polynome (5.3) gilt die folgende Rekursion p 0 =, p = x β 0, p n+ = (x β n )p n γn p n, n =,,... wobei β n := xp n, p n, n = 0,,..., γ p n n := p n, n =,,..., p n

26 Numerik I. Version: Beweis: Induktion nch n; die Behuptung ist in den Fällen n = 0, offenbr. Für n setzen wir vorläufig q n+ := (x β n )p n γn p n und wir möchten p n+ = q n+ beweisen. Offensichtlich ist r := p n+ q n+ P n, weil sich die führenden Terme (x n+ ) uslöschen. Aufgrund von Aufgbe 5.3, genügt es, r P n zu beweisen, und ufgrund der Formel (5.34) ist es hinreichend q n+ Pn zu zeigen. Berechnen wir q n+, p n = (x β n )p n γn p n, p n = xp n, p n β n p n, p n = 0, wobei die Definition von β n und die Orthogonlität von p n und p n benutzt wurden. In ähnlicher Weise berechnet mn q n+, p n = (x β n )p n γnp n, p n = xp n, p n γn p n = p n, xp n p n = p n, xp n p n = 0, wobei der letzte Schritt us der Ttsche folgt, dss xp n p n P n (Auslöschung der führenden Terme, noch einml!). Bechten Sie uch die Nutzung der Identität xp n, p n = p n, xp n. Ferner sei q P n beliebig, dnn gilt q n+, q = (x β n )p n γnp n, q = p n, xq β n p n, q γn p n, q = 0, weil jedes Sklrprodukt ufgrund (5.34) Null ist. Deshlb ist q n+ orthogonl zu jedem Polynom im Unterrum, der von p n, p n und P n ufgespnnt wird, d.h. q n+ Pn. Die folgende Tbelle enthält die wichtigsten orthogonlen Polynome in ihrer klssischen Form. Sie sind nicht uf führende Koeffizienten normlisiert.

27 Numerik I. Version: Intervll (x) Benennung Erste Polynome [, ] Legendre-Polynome, x, (3x ), (5x3 3x) [, ] ( x ) / Tschebyscheff-P. (. Art), x, x, 4x 3 3x [, ] ( x) α ( + x) β Jcobi-Pol. (α, β > ), (n + α + β)x + (α β) [, ] e x Hermite-Polynome, x, 4x, 8x 3 x [0, ] e x x α Lguerre-Pol. (α > ), x + α + [x (α + )x + (α + )(α + )] Tbelle einiger klssischer Orthogonlpolynome Aufgbe 5.34 Setzt mn x = cosα und betrchtet cos(kα) ls Funktion in x, d.h. mn definiert T k (x) := cos(k rccos x), x [, ]. (i) Beweisen Sie, dss diese Funktionen der Drei-Term-Rekursion T k (x) = xt k (x) T k (x) k mit den Strtwerten T 0 (x) =, T (x) = x genügen und ddurch können wir T k (x) für lle x definieren. (ii) Beweisen Sie, dss T k (x) ein Polynom vom Grd genu k ist. (iii) Beweisen Sie, dss T k (x) gerde die Orthogonlpolynome über [, ] bezüglich der Gewichtsfunktion (x) = ( x ) / (Tschebyscheff-Polynome der ersten Art) sind: T x n(x)t m (x)dx = 0 flls n m π flls n = m = 0 π/ flls n = m 0 (5.35) Die klssischen Orthopolynome wurden uf einem Stndrdintervll gegeben. Die Intervlle [, ], [0, ) und (, ) vertreten den endlichen, hlbendlichen, bzw. unendlichen Fll.

28 Numerik I. Version: Der llgemeine Fll des endlichen Intervlls [, b] wird durch linere Substitution uf den Stndrdfll zurückgeführt: f(u)du = b ϕ(x) := b x + + b f(ϕ(x))dx = b f ( b x + + b ) dx In der Prxis enthält der Integrnd die Gewichtsfunktion nicht immer explizit. Ht mn eine Qudrturformel mit Gewichtsfunktion, g(x) (x)dx w g(x ) + w g(x ) w n g(x n ) dnn schreibt mn ds vorgegebene Integrl f(x)dx ntürlich zuerst ls f(x)dx = f(x) (x) (x)dx = g(x) (x)dx mit g(x) := f(x). Zum Beispiel, für die Guß-Tschebyscheff-Formeln erhält mn lso explizit (x) f(x)dx b mit x j := cos ( ) (j )π n und uj = b x j + +b. π n j= f(u j ) x j Für die Anwendung uf die numerische Integrtion werden die Nullstellen der orthogonlen Polynome ls Stützstellen benutzt. Dfür bruchen wir eine (leider implizite) Drstellung dieser Nullstellen. Stz 5.35 Vorgegeben ist eine Gewichtsfunktion uf [, b]. Hlten wir n fest. Die Nullstellen λ, λ,...λ n des n-ten Orthogonlpolynoms p n sind lle einfch, reell und liegen im Intervll (, b). Seien L, L,...,L n die diesen Nullstellen zugeordneten Lgrngeschen Bsispolynome us (4.5) Dnn gilt L j (x) := n k= k j x λ k λ j λ k, j =,,..., n λ j = xl j, L j L j j =,,..., n. (5.36) (Bemerkung: Diese Reltion knn nicht für die explizite Berechnung der Nullstellen verwendet werden, weil L j uch von der Nullstellen bhängt.)

29 Numerik I. Version: Beweis. Es seien < λ < λ <... < λ j < b (für j n) diejenigen Nullstellen von p n in (, b), n denen p n Vorzeichen wechselt (d.h. die Nullstellen mit ungerder Vielfchheit). Im Folgenden zeigen wir j = n, ws uch die Einfchheit ller Nullstellen beweist, weil es höchstens n Nullstellen (gezählt mit Vielfchheit) gibt. Wäre j n, so würde j q(x) := (x λ k ) P n k= lso wegen (5.34) uch p n, q = 0 (5.37) folgen. Ds Polynom p n (x)q(x) ht uf [, b] nur Nullstellen mit gerder Vielfchheit, insbesondere ist dieses Polynom von einem Vorzeichen uf diesem Intervll, so dss gilt im Widerspruch zu (5.37). p n, q = Für die Drstellung (5.36) fktorisieren wir p n : p n (x)q(x) (x)dx 0 p n (x) = (x λ j )q(x), mit einem geeigneten q(x) P n und es gilt (wieder nch (5.34)) worus 0 = p n, q = xq, q λ j q, λ j = folgt (hier q 0, sonst wäre q 0 und p n 0). xq, q q (5.38) Die Polynome q und L j stimmen bis uf einen konstnten Fktor überein, weil beide proportionl zum Produkt von llen Fktoren (x λ k ) mit Ausnhme k = j sind. Deshlb gilt λ j = xq, q q = xl j, L j L j. 5.0 Fortsetzung der Gußschen Qudrtur Die folgende Definition beschreibt eine Qudrturformel n n Stützstellen mit positiven Gewichten und Genuigkeitsgrd n

30 Numerik I. Version: Definition 5.36 Für ein n N seien λ,..., λ n die Nullstellen des n-ten orthogonlen Polynoms p n und seien die Gewichte durch σ j := L j,, j =,,..., n (5.39) definiert. Die numerische Integrtionsformel I n (f) := σ j f(λ j ) j= wird Gußsche Qudrtur der n-ten Ordnung zugeordnet zur Gewichtsfunktion gennnt. Stz 5.37 Bei einer Gußschen Qudrtur sind lle Gewichte positiv, σ j > 0 und die Qudrtur ist für jedes Polynom vom Grd n exkt: p, = σ j p(λ j ) p P n (5.40) j= Also ist der Genuigkeitsgrd n. Drüber hinus ist die Qudrtur interpoltorisch. Bemerkung. Der Stz gilt uch umgekehrt: wenn verschiedene Zhlen λ, λ,...,λ n und beliebige Gewichte σ,...σ n gegeben sind, so dss (5.40) gilt, dnn müssen λ j unbedingt die Nullstellen des n-ten orthogonlen Polynoms p n sein und die Gewichte müssen durch (5.39) gegeben werden. Für den Beweis siehe Theorem 6.34 in [Plto]. Beweis des Stzes Sei p P n beliebig. Dnn gibt es Polynome q, r P n [Euklidischer Algorithmus], so dss p = qp n + r. Wegen p n (λ j ) = 0 gilt dnn p(λ j ) = r(λ j ), j =,,...n und mit der Lgrngeschen Interpoltionsformel (verwendet für r) erhält mn r(x) = r(λ j )L j (x) = p(λ j )L j (x). j= j= Deshlb gilt p, = q, p n + r, = p(λ j ) L j, = σ j p(λ j ). j= j=

31 Numerik I. Version: Bechten Sie, die Formel (5.40) ngewndt uf ds Polynom p = L k P n liefert L k = L k, = deswegen sind lle Gewichte positiv. σ j L k(λ j ) = σ k, siehe (4.6) j= Die Qudrtur ist offenbr interpoltorisch: Zu einer gegebenen Funktion f, sei q P n ds interpolierende Polynom zu beliebigen n Stützpunkten (λ, f(λ )),..., (λ n, f(λ n )), dnn gilt q, = σ j q(λ j ) = σ j f(λ j ). j= j= Dies bedeutet, dss die Qudrtur durch ds Integrl des interpolierenden Polynoms berechnet werden knn. Bemerkung. Dieser Beweis liefert uch die folgende müsnte Aussge (Aufgbe: Nchdenken!): Für jede Qudrturformel Î n (f) := σ j f(λ j ) uf den Nullstellen des n-ten Orthogonlpolynoms p n gilt Î n exkt uf P n În exkt uf P n. j= Eine viel wichtigere Bemerkung ist, dss der Stz 5.7 von Poly, zusmmen mit der Positivität der Gewichte; σ j = σ j = I n () = (x)dx <, j= j= und mit der Exktheit der Gußschen Qudrtur für Polynome vom Grd n ds folgende Korollr liefert: Korollr 5.38 Für beliebige Gewichtsfunktionen sind die Gußschen Qudrturformeln symptotisch exkt für jede stetige Funktion: lim I n(f) = f(x) (x)dx n für beliebiges f C[, b]. Vergleichen Sie dieses Korollr mit der Bemerkung 5.8, wobei die symptotische Exktheit der interpoltorischen Qudrturformel unter gnz strken Vorussetzungen für die Glttheit

32 Numerik I. Version: der f (ber ohne spezielle Auswhl der Stützstellen) bewiesen wurde. Die Gußsche Qudrtur ht uch einen besseren Genuigkeitsgrd ls die llgemeine interpoltorische Qudrturformel. Der Nchteil ist, dss die speziellen Stützstellen (Nullstellen der orthogonlen Polynome) und spezielle Gewichte berechnet werden müssen und die Messdten (Funktionwerte) uf diesen bestimmten Punkten beknnt seien sollen. Obwohl die Konvergenz für lle stetigen Funktionen gilt, brucht mn weitere Regulritätseigenschften, um eine effektive Fehlerbschätzung zu erreichen. Vergleichen Sie diese Sitution mit dem Stz 4. von Weierstrss, und die Bemerkungen dnch: die Existenz des pproximierenden Polynoms gilt unter der Vorussetzung der Stetigkeit, ber effektive Kontrollen stehen nur unter stärkeren Bedingungen, z.b. Lipschitzstetigkeit, zur Verfügung. Hier ist eine mögliche effektive Fehlerbschätzung: Stz 5.39 Sei f C n [, b]. Der Fehler der Gußschen Qudrtur ist f(x) (x)dx I n (f) = f(n) (τ) (n)! p n (x) (x)dx (5.4) mit einer geeigneten Zwischenstelle τ [, b]. Ds Polynom p n (x) lässt sich durch bschätzen. p n (x) (b ) n x [, b] (5.4) Beweis. Sei Q ds Hermite-Interpolierende Polynom zu den n Stützstellen: Die Newtonsche Identität (4.) liefert λ, λ, λ, λ,...,λ n, λ n. n f(x) = Q(x) + f[x, λ, λ,..., λ n, λ n ] (x λ j ) j= } {{ } p n (x) ufgrund des Mittelwertstzes der dividierten Differenzen (4.3) und nch Integrtion f = Q + f (n) (ξ(x))p n (n)! (x) (x)dx. Aufgrund des Lemms 5.9 und p n 0 gibt es eine Zwischenstelle τ [, b], so dss f = Q + f(n) (τ) (n)! p n(x) (x)dx.

33 Numerik I. Version: Der Grd von Q ist n, deshlb integriert I n ds Polynom Q exkt: und drus folgt (5.4). Q = Q, = σ j Q(λ j ) = σ j f(λ j ) = I n (f) j= j= Die Abschätzung folgt us dem Stz 5.35, nämlich us der Ttsche, dss lle Nullstellen innerhlb [, b] liegen. Ntürlich knn mn uch summmierte Gußsche Qudrtur betrchten, in ähnlicher Weise zu den summierten Newton-Cotes-Formeln (Kpitel 5.6). Diese Erweiterung ist offensichtlich und wird nicht diskutiert. Beispiel: Guß-Tschebyscheff-Qudrtur. Sei [, b] = [, ] und (x) = / x. Die entsprechenden Polynome wurden in Aufgbe 5.34 diskutiert. Die Polynome p 0 :=, p n (x) := n T n(x) n hben führende Koeffizienten und sie sind orthogonl ufgrund (5.35). Die Nullstellen von p n (bzw. T n ) sind die so gennnten Tschebyscheff-Knoten λ j = cos ( j n π), j =,,...n die schon bei der Polynominterpoltion im Stz 4.3 ufgetucht sind. Die Berechnung der Gewichte wird im nächsten Kpitel (Stz 5.4) diskutiert, ds Ergebnis ist σ j = π n d.h. die Gewichte sind identisch. [für einen nderen Beweis, siehe Deuflhrd-Hohmnn, Numerische Mthemtik I, 3. Auflge, De Gruyter, 00. Seite 33.] Die Guß-Tschebyscheff- Qudrtur ht lso die einfche Form I n (f) = π n j= und der Approximtionsfehler ist durch f(λ j ), λ j = cos ( j n π) f(x) x dx I n(f) = π n (n)! f(n) (τ) mit einem τ [, ] gegeben. Hier hben wir uch die Norm T n = π/ benutzt, die folgt us Teil (iii) der Aufgbe Die Betrchtung des Intervlls [, ] bedeutet hier keine Einschränkung: Mit einer einfchen Sklierung knn mn ein beliebiges Intervll in [, ] trnsformieren. Aber die Gewichtsfunktion ist wichtig und knn nicht verändert werden.

34 Numerik I. Version: Aufgbe 5.40 (i) Berechnen Sie die Knoten und die Gewichte der Guß-Legendre-Qudrtur (beruhend uf den Legendre Polynomen mit Gewichtsfunktion (x) = uf [, ]) für n =, 3, 4 [im Fll n = 4 können Sie Mtlb benutzen.] (ii) Berechnen Sie ds bestimmte Integrl e x dx durch die () Newton-Cotes-Formel uf 4 Stützstellen (n = 3 mit der Nottion des Kpitels 5.3). (b) Trpezregel uf 4 Stützstellen (3 Teilintervlle) (c) Guß-Lgrnge-Qudrtur (d) Guß-Tschebyscheff-Qudrtur (Sie sollten die Funktion ändern, um die Gewichtsfunktion nzupssen!) (iii) In jedem Fll bestimmen Sie eine Fehlerbschätzung. Wie grob sind diese Abschätzungen im Vergleich zu den Abweichungen der Ergebnisse der Qudrturen vom whren Wert des Integrls? 5. Berechnung der Nullstellen der Orthopolynome Sei eine Gewichtsfunktion > 0 uf [, b] gegeben. Die entsprechende Gußsche Qudrtur erfordert die Nullstellen der Orthopolynome und die Gewichte. Wie knn mn diese Dten effektiv berechnen? Stz 5.33 bietet einen effektiven Algorithmus, lle Orthogonlpolynome zu berechnen [Vorsicht: wenn die Gewichtsfunktion nicht genügend einfch ist, knn die Berechnung der Sklrprodukte nicht explizit, sondern nur numerisch durchgeführt werden, ber dies ist nicht der Fll bei den klssischen Orthogonlpolynomen.] Jetzt muss mn die Nullstellen dieser Polynome von höherem Grd berechnen. Im Allgemeinen ist diese Aufgbe nicht explizit lösbr: es gibt Lösungsformeln für qudrtische, kubische und höchstens qurtische Polynome, ber nicht weiter [Glois-Theorie us Algebr!] Auf der nderen Seite werden wir später numerische Verfhren lernen (Kpitel 0), die die Eigenwerte einer Mtrix sehr effektiv zu berechnen. Die Idee ist, die Nullstellen der Orthopolynome ls die Eigenwerte einer entsprechenden Mtrix drzustellen und dnn diese Eigenwert-Methoden für die Berechnung der Nullstellen zu benutzen. Wir gehen von der Drei-Terme-Rekursion (Stz 5.33) us, und wir nehmen n, dss die Orthopolynome, sowie die Zhlen β n, γ n schon berechnet wurden. Bechten Sie, dss diese Vorussetzung keineswegs trivil ist. Die Formeln im Stz 5.33 sind gnz explizit, ber jedes

35 Numerik I. Version: Sklrprodukt und jede Norm benötigt eine Integrtion eines Polynoms ml der Gewichtsfunktion. Für eine beliebige Gewichtsfunktion ist diese Integrtion ebenso schwierig wie die ursprüngliche Aufgbe der Berechnung f. In der Prxis benutzt mn spezielle Gewichtsfunktionen (siehe die Tbelle der klssischen Polynome), wobei diese Integrle (Polynom ml Gewichtsfunktion) explizit berechnet werden können und diese Zhlen wurden mit hoher Genuigkeit tbelliert. Betrchten wir die symmetrische tridigonle n n Mtrix (die leeren Elemente sind Null) β 0 γ J n := γ β γ γ β γ 3 γ γn γ n β n γ n γ n β n (5.43) Aufgbe 5.4 Berechnen Sie die Mtrix J 4 im Fll der Legendre- und Hermite-Polynome. Stz 5.4 Die Eigenwerte von J n sind genu die Nullstellen λ, λ,...,λ n des n-ten Orthopolynoms. Die Gewichte ergeben sich wie folgt: σ k :=, /( n j=0 τ j p j (λ k) ) wobei τ j := { für j = 0 ( ) j /(γ γ...γ j ) für j =,,..., n. Beweis. Sei τ 0 p 0 (λ k ) τ v k := p (λ k ). Rn, k =,,..., n. τ n p n (λ k ) Eine einfche Berechnung zeigt, dss die Drei-Terme-Rekursion mit der Eigenwert/Eigenvektor- Gleichung J n v k = λ k v k identisch ist, denn die (j + )-te Komponente ergibt zu (J n v k ) j+ = γ j τ j p j (λ k ) + β j τ j p j (λ k ) γ j+ τ j+ p j+ (λ k )