Numerische Integration

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1 Heinrich Voss Hmburg University of Technology Institute for Numericl Simultion In vielen Fällen ist es nicht möglich, ein gegebenes Integrl b f x dx in geschlossener Form uszuwerten; z.b. ist für ds in der Sttistik häufig uftretende Integrl F x = 1 x e t / dt π keine elementre Stmmfunktion ngebbr. In diesem Fll ist mn uf numerische Verfhren zur Integrtion, sog. Qudrturverfhren, ngewiesen. Wir wollen in diesem Abschnitt einige wichtige Verfhren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrle besprechen. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel 3 1 / 87 Wir betrchten ds bestimmte Integrl f x dx Konstruktion mit einer gegebenen integrierbren Funktion f : [, b] R. Mit der Vriblentrnsformtion x = + tb erhält mn f x dx = b f + tb dt, so dss mn sich ohne Beschränkung der Allgemeinheit uf ds Intervll [, b] = [, 1] beschränken knn. Konstruktion Eine nheliegende Idee zur Konstruktion von Qudrturformeln ist, n + 1 verschiedene Knoten x, x 1,..., x n [, 1] zu wählen, ds Interpoltionspolynom p von f zu diesen Knoten zu bestimmen und ls Näherung für ds Integrl von f ds Integrl über ds Interpoltionspolynom p zu wählen. Mit l j x := f x dx px dx =: Qf. / n n x x i x j x i, j =,..., n, gilt nch der Lgrngeschen Interpoltionsformel px = f x j l j x, i= i j j= i=, i j Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

2 und dher erhält mn Qf = f x j l j x dx = j= Dbei hängen die Gewichte α j := f x j j= l j x dx Konstruktion l j x dx =: α j f x j. nur von den gewählten Knoten x,..., x n b und sind unbhängig vom ktuellen Integrnden f. Sie können lso ein für lle ml berechnet werden und in Tfeln oder Dteien bereitgestellt werden. j= Für n = und x =.5 gilt l x 1 und α = Die entstehende Qudrturformel bzw. für ds llgemeine Intervll f x dx f.5 =: Rf, Mittelpuntkregel 1 l x dx = 1. f x dx b f + b =: Rf, heißt Rechteckregel oder Mittelpunktregel. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Mittelpuntkregel Trpezregel 15 Mittelpunktregel Für n = 1, x = und x 1 = 1 ist l x = 1 x und l 1 x = x. Durch Integrtion erhält mn α = α 1 =.5 und dmit die Trpezregel 1 f x dx 1 f + f 1 =: T f 5 bzw. für ds llgemeine Intervll f + f b f x dx b =: T f. Integrl = 9.486, Näherung = 1.185, reltiver Fehler =.59 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

3 Trpezregel Simpson Regel 15 Trpezregel Für n =, x =, x 1 =.5 und x = 1 erhält mn wie in den beiden vorhergehenden en die Simpson Regel in der deutschsprchigen Litertur uch Keplersche Fssregel 1 f x dx 1 f + 4f.5 + f 1 =: Sf 6 5 bzw f x dx b 6 f + 4f + b + f b =: Sf. Integrl = 9.486, Näherung = , reltiver Fehler = 1.53 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Simpson Regel Milne Regel 16 Simpson Regel Für n = 4 und x j = + jb /4, j =, 1,..., 4, erhält mn die Milne Regel f x dx b 9 7f x + 3f x 1 + 1f x + 3f x 3 + 7f x Integrl = 9.486, Näherung = 33.39, reltiver Fehler =.1 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

4 15 Milne Regel Milne Regel Newton Cotes Formeln Es ist nheliegend und dies ist uch die historisch älteste Whl, die Knoten äquidistnt im Intervll [, b] zu wählen. Berücksichtigt mn dbei die Intervllenden, wählt mn lso 1 x j = + j b, j =,..., n, n so erhält mn die bgeschlossenen Newton Cotes Formeln 5 f x dx j= α n j f j n Integrl = 9.486, Näherung = 9.65, reltiver Fehler =.41 bzw. f x dx b j= α n j f + j b n =: ANC nf. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Abgeschlossene Newton Cotes Formeln Summierte Newton Cotes Formeln Die Gewichte der Newton Cotes Formeln wchsen rsch n. n Nme 1 1/ 1/ Trpezregel 1/6 4/6 1/6 Simpson Regel 3 1/8 3/8 3/8 1/8 3/8 Regel 4 7/9 3/9 1/9 3/9 7/9 Milne Regel α n j Für die bgeschlossenen Formeln treten für n 8 wechselnde Vorzeichen uf. Diese Formeln sind lso nfällig für Rundungsfehler. Mn benutzt die Newton Cotes Formeln dher nur für kleine n uf Teilintervllen von [, b] und summiert uf. Mn erhält dnn die summierten Newton Cotes Formeln oder zusmmengesetzten Newton Cotes Formeln. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

5 Summierte Rechteckregel Summierte Rechteckregel.7.6 e hierfür sind mit h := b m und x j := + j h, j =,..., m, die summierte Rechteckregel.5 f x dx h m f x j h/ =: R h f, 1 j= Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Summierte Trpezregel Summierte Trpezregel.7.6 m 1 1 f x dx h f + f x i + 1 f b =: T h f, Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel 3 1 / 87

6 Summierte Simpson Regel Summierte Simpson Regel.7 stückweise qudrtische Interp..6 f x dx h 6 = h 6 f x + 4 f x 1 + f x + 4 f x f x k 1 + f x k f + 4 k k 1 f x i 1 + f x i + f b =: S h f Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel 3 1 / 87 Fehler von Qudrturformeln Fehlerordnung Wir untersuchen nun den Fehler von Qudrturformeln. Wir betrchten ds Integrl I := f x dx und eine zugehörige Qudrturformel mit den Knoten x,..., x n [, 1] und den Gewichten w,..., w n R für ds Referenzintervll [, 1]. Qf := w i f x i i= Die Qudrturformel Qf ht die Fehlerordnung m, wenn für den Fehler gilt Ef := f x dx i Ep = für lle Polynome p Π m 1 ii Ep für ein p Π m. w i f x i Bemerkung Wegen der Linerität des Fehlers ist klr, dss Q genu die Fehlerordnung m ht, wenn Ex j = für j =,..., m 1 und Ex m gilt. i= Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

7 Fehlerordnung Die Konstruktion liefert, dss die Newton Cotes Formeln mit n Knoten wenigstens die Fehlerordnung n + 1 hben. Für die Trpezregel ist dies die genue Fehlerordnung, denn Für die Simpson Regel gilt T x = 1 Sx 3 = = 1 4 = x dx = 1 3. x 3 dx, Sx 4 = 5 4 so dss die Simpson Regel sogr die Ordnung 4 ht. x 4 dx = 1 5, Stz 3.1 Es sei Q eine Qudrturformel der Fehlerordnung m 1. Dnn ht für f C m [, 1] der Fehler von Q die Drstellung mit Ef = K x = f x dx Qf = 1 1 m 1! m 1 xm K x f m x dx 3 i= w i x i x m 1 + Dbei ist x i x + = x i x flls x i x und x i x + = sonst. Definition Die Funktion K in der Fehlerdrstellung 3 heißt der Peno Kern der Qudrturformel Q.. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Für die Trpezregel gilt x =, x 1 = 1, w = w 1 =.5, m =, und dher K T x = 1 1 x 1 1 x = 1 x1 x. Für die Simpson Regel gilt x =, x 1 =.5, x = 1, w = w = 1 6, w 1 = 3 und m = 4, und dher K S x = 1 3! x x3 3 1 x3 + wobei für eine Funktion f gilt f x + := mxf x,.. Fehlerkonstnte Aus Stz 3.1 erhält mn die folgende Abschätzung für den Fehler Ef f m K x dx =: c m f m. In vielen Fällen wechselt der Peno Kern K x ds Vorzeichen uf dem Intervll [, 1] nicht. Dnn folgt us 3 mit dem Mittelwertstz der Integrlrechnung mit einem ξ, 1 Ef = f m ξ für eine Qudrturformel der Ordnung m. K x dx =: c m f m ξ Definition: c m heißt die Fehlerkonstnte des Verfhrens Q. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

8 Trpezregel Simpson Regel Für die Trpezregel gilt D T die Ordnung ht, gilt K T x = 1 x1 x für lle x [, 1]. E T f = 1 f ξ x1 x dx = 1 1 f ξ, und die Fehlerkonstnte ist c = 1 1. Eine elementre Rechnung zeigt, dss uch für die Simpson Regel für lle x [, 1] gilt. K S x = 1 1 3! 4 1 x x3 3 1 x3 + Durch Integrtion von K von bis 1 erhält mn für den Fehler wegen m = 4 E S f = f 4 ξ 88 für ein ξ, 1, d.h. die Fehlerkonstnte ist c 4 = Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 ehlerkonstnte Mn knn die Fehlerkonstnte der Simpson Regel und uch nderer Formeln ohne Integrtion sogr ohne Kenntnis des Peno Kerns bestimmen. Ist beknnt, dss der Peno Kern einer Formel der Ordnung m sein Vorzeichen in [, 1] nicht wechselt, der Fehler lso eine Drstellung ** ht, so ht mn nur Ex m zu berechnen. Wegen d m dx m x m = m! ist Ex m = m! c m, und hierus erhält mn c m. Im Fll der Simpson Regel ist Ex 4 = x 4 dx / = = 1 1, Andere Intervlle Wir betrchten nun ds Integrl von f über ein Intervll der Länge h: α+h α f x dx. Mit der Vriblentrnsformtion x =: α + ht geht dieses über in α+h α f x dx = h gt dt, gt := f α + ht = f x, ds wir mit der Qudrturformel Qg = n i= w igx i behndeln, d.h. und dher gilt c 4 = 1 4! 1 = Q [α,α+h] f := h w i f α + hx i. i= Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

9 Für den Fehler gilt E [α,α+h] f := α+h α Fehler f x dx Q [α,α+h] f = h gt dt Qg = h Eg. Besitzt der Fehler Eg eine Drstellung *, so folgt wegen d m g dt m = d m f dx m m dx = h m d m f dt dx m E [α,α+h] f h m+1 c m mx α x α+h f m x. Gilt eine Drstellung **, so erhält mn genuso Summierte Formel Wir hben bereits erwähnt, dss die Genuigkeit einer Näherung für ein Integrl nicht durch die Erhöhung der Ordnung der benutzten Qudrturformel verbessert wird, sondern dss ds Intervll [, b] in n Teilintervlle der Länge h zerlegt wird, und dss in jedem Teilintervll eine Qudrturformel kleiner Ordnung verwendet wird. Für die summierte Qudrturformel Q h f := Q [+i 1 h,+i h] f erhält mn us * und genuso us ** E [α,α+h] f = h m+1 c m f m η, η [α, α + h]. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Summierte Formel +i h f x dx Q h f = +i 1 h f x dx Q [+i 1 h,+i h] f E [+i 1 h,+i h] f h m+1 c m mx{ f m x : + i 1 h x + i h} n h h m c m f m = h m b c m f m. Insbesondere erhält für die summierte Trpezregel den Fehler f x dx T h f h 1 b f und für die summierte Simpson Regel f x dx S h f h4 88 b f 4. Mn verliert lso für die summierte Formel eine Potenz in h. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

10 Qudrturformeln von Guß Wir hben bisher die Knoten der Qudrturformeln äquidistnt vorgegeben. Die Fehlerordnung wr dnn wenigstens gleich der Anzhl der Knoten im Flle der Simpson Regel bei 3 Knoten 4. Wir frgen nun, wie weit wir durch Whl der Knoten und der Gewichte die Fehlerordnung erhöhen können. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Wir betrchten die Qudrturformel G 1 f := w 1 f x 1 mit einem Knoten x 1 für ds Integrl f x dx und bestimmen x 1 [, 1] und w 1 R so, dss Polynome möglichst hohen Grdes exkt integriert werden: x dx = 1 = w 1 x 1 = w 1 w 1 = 1, x 1 dx =.5 = w 1 x 1 1 = x 1 x 1 =.5. Durch diese beiden Gleichungen ist lso die Qudrturformel G 1 f = f.5 bereits festgelegt. Mn erhält die Mittelpunktregel. Wegen ht sie die Fehlerordnung. x dx = Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Für die Qudrturformel G f = w 1 f x 1 + w f x mit zwei Knoten x 1, x [, 1] erhält mn die Bestimmungsgleichungen mit der bis uf Vertuschung von x 1 und x eindeutigen Lösung w 1 = w = 1, x 1 = 1 1 1, x = x dx = 1 = w 1 + w x 1 dx = 1 = w 1x 1 + w x x dx = 1 3 = w 1x 1 + w x x 3 dx = 1 4 = w 1x w x 3 Wegen x 4 dx = 1 5 w 1x w x 4 = 7 36 ht die gefundene Formel G die Fehlerordnung 4. Prinzipiell knn mn so fortfhren und Qudrturformeln immer höherer Ordnung konstruieren. Mn erhält dnn nichtlinere Gleichungssysteme, die immer unübersichtlicher werden. Ein nderer Weg ist in dem Skript Grundlgen der numerischen Mthemtik usgeführt. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

11 Problemstellung In Verllgemeinerung unserer bisherigen Überlegungen betrchten wir gleich If = wx f x dx mit einer positiven Gewichtsfunktion w C[, b]. Mn knn zeigen, dss es zu jedem n N und jeder positiven Gewichtsfunktion w C[, b] eindeutig bestimmte Gewichte w i > und Knoten x i, b, i = 1,..., n, gibt, so dss die Qudrturformel G n f := w i f x i 1 die Fehlerordnung n besitzt lso für lle Polynome vom Höchstgrd n 1 exkt ist, nicht ber für x n und dss durch keine Whl von Knoten und Gewichten eine höhere Fehlerordnung erreichbr ist. Mximle Fehlerordnung Dss mit n Knoten nicht die Fehlerordnung n + 1 erreicht werden knn, sieht mn so ein. Besitzt 1 die Fehlerordnung n + 1, so wird insbesondere ds Polynom exkt integriert. px := Wegen p und p gilt ber n x x j Π n j=1 wxpx dx >, während G n p = ist. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Spezilfll Wir geben einige Gewichte und Knoten für den Spezilfll us Stz 3.7 n. Für ds Integrl I := e x sin5x dx n w i x i 1 w 1 = x 1 = w 1 = w = 1 x = x 1 = w 1 = w 3 = 5 9, w = x 3 = x 1 = 5, x = Weitere Werte findet mn in Abrmowitz und Stegun, pp. 916 ff, und in Piessens et l., pp. 19 ff. erhält mn mit den Guß Qudrturformeln G n die Fehler n G n I 1 1.4e e e e e-6 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

12 Bemerkung Auch für unbeschränkte Integrtionsintervlle knn mn Gußsche Qudrturformeln. Mn erhält für Integrle der Gestlt e x f x dx mit den Nullstellen der Lguerre Polynome ls Knoten die Guß Lguerre Qudrturformeln, und für Integrle der Gestlt e x f x dx mit den Nullstellen der Hermite Polynome ls Knoten die Guß Hermite Qudrturformeln. Für ds Integrl x 1 + e x dx = e x x π dx = 1 + e x 1 = enthält die folgende Tbelle die Näherungen mit den Guß Lguerre Qudrturformeln und die Fehler. Mn sieht, dss mn uch mit wenigen Knoten zu sehr guten Näherungen gelngt. n Q n Fehler e e e e e e-5 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Adptive Qudrtur 1 Wir hben summierte Qudrturformeln nur mit konstnter Schrittweite h > betrchtet. Es ist klr, dss mn dbei für Funktionen mit unterschiedlichem Verhlten in verschiedenen Teilen des Integrtionsintervlls entweder bei zu groß gewähltem h ein ungenues Ergebnis erhält oder bei zu kleinem h Arbeit in den Bereichen verschenkt, in denen die Funktion gutrtig ist f x = exp x exp 5 x.9, 1 x Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

13 Adptive Qudrtur Wir entwickeln nun eine Vorgehensweise, mit der bei gegebenem Integrnden, gegebenen Grenzen und b und gegebener Genuigkeitsschrnke ε > eine Qudrturformel erzeugt wird, für die gilt If = k w j f x j j= f x dx If < ε, wobei der Punkt über dem Ungleichungszeichen besgt, dss die Ungleichung nur symptotisch für feine Zerlegungen x < x 1 < < x k b von [, b] gilt. Adptive Qudrtur Die Knoten x j und Gewichte w j werden dptiv durch ds Verfhren in Abhängigkeit von f und ε erzeugt. Es sei Qf = w i f t i eine Qudrturformel der Ordnung m für ds Referenzintervll [ 1, 1]. Es sei ds Integrl bis zum Punkt x j [, b schon näherungsweise bestimmt, und es sei x j+1 x j, b] gegeben. Dnn berechnen wir die zwei Näherungen Q [xj,x j+1 ]f = x j+1 x j xj+1 + x j w i f x j+1 x j + t i Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 und Q [xj,x j+1 ]f := x j+ x 1 j + x j+1 x j+ 1 Adptive Qudrtur xj+ 1 + x j w i f xj+1 + x j+ 1 w i f für x j+1 x j f x dx, wobei x j+ 1 :=.5x j + x j+1 gesetzt ist, und hiermit ˆQ [xj,x j+1 ] := x j+ 1 x j + t i + t i x j+1 x j+ 1 1 m m 1 Q [xj,x j+1 ]f Q [xj,x j+1 ]f. Adptive Qudrtur Dnn ist mit Q und Q uch ˆQ eine Qudrturformel von mindestens der Ordnung m, und mn knn leicht mit Hilfe der Fehlerdrstellung us Stz 3.1 zeigen, dss durch ˆQ sogr Polynome vom Grde m exkt integriert werden, ˆQ lso wenigstens die Ordnung m + 1 ht. Wir benutzen nun ˆQ, um den Fehler von Q der genueren der beiden Ausgngsformeln zu schätzen. Es gilt mit h := x j+1 x j xj+1 Ẽ [xj,x j+1 ]f := f x dx Q [xj,x j+1 ]f x j = ˆQ [xj,x j+1 ]f Q [xj,x j+1 ]f + Oh m+ 1 = m Q[xj m,x 1 j+1 ]f Q [xj,x j+1 ]f Q [xj,x j+1 ]f + Oh m+ 1 = Q m [xj,x 1 j+1 ]f Q [xj,x j+1 ]f + Oh m+. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

14 Adptive Qudrtur Adptive Qudrtur Dnn folgt für die summierte Qudrturformel D ndererseits Ẽ[x j,x j+1 ]f = Oh m+1 gilt, können wir für kleine h den Summnden Oh m+ vernchlässigen und erhlten die Fehlerschätzung Ẽ [xj,x j+1 ]f 1 Q[xj m,xj+1]f Q [xj,xj+1]f. 1 1 us Qf := k Q [xj 1,x j ]f j=1 Wir benutzen 1, um ds Intervll [, b] durch Bisektion zu zerlegen in = x < x 1 < < x k = b, so dss für j = 1,..., k gilt Q [xj 1,x j ]f Q [xj 1,x j ]f m 1 b x j x j 1 ε. Ef = 1 m 1 1 b f x dx Qf = k Ẽ [xj 1,x j ]f j=1 k Q [xj 1,x j ]f Q [xj 1,x j ]f j=1 k x j x j 1 ε = ε. j=1 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Adptive Qudrtur Mit der Fehlersch"tzung knn mn nun uf folgende Weise ein Intergrl mit einer gew"unschten symptotischen Genuigkeit dptiv berechnen. Ist ds Integtrl x j f x dx schon mit der gewünschten Genuigkeit bestimmt und wurden mit der Schrittweite h die Näherungen Q [xj,x j +h]f und Q [xj,x j +h]f berechnet, so knn mn hiermit ds Erfülltsein der loklen Fehlerschrnke prüfen. Ist dies der Fll, so geht mn zu dem neuen Intervll [x j+1, x j+1 + h neu ], x j+1 := x j + h, über. Sonst wiederholt mn den Schritt mit einer verkleinerten Schrittweite h neu. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Adptive Qudrtur Die neue Schrittweite, knn mn so bestimmen: Es ist d.h. E [xj,x j +h] 1 m 1 Q [x j,x j +h]f Q [xj,x j +h]f Ch m+1, C h m 1 m 1 Q [x j,x j +h]f Q [xj,x j +h]f, und dher knn mn erwrten, dss mit d.h. ε h neu b = Chm+1 neu = h m 1 m 1 Q [x j,x j +h]f Q [xj,x j +h]f hneu m+1, h neu = h m 1hε b Q [xj,x j +h]f Q [xj,x j +h]f die lokle Fehlerschrnke eingehlten wird. 1/m Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

15 function int=dp-guss3f,,b,tol; fctor=63*tol/b-; h=.1*b-; int=; while < b do q=guss3f,,+h; qs=guss3f,,+.5*h+guss3f,+.5*h,+h; h neu =.9 h h fctor/bsqs q 1/6 ; if bsq-qs > h*fctor; then h = h neu ; else int=int+qs+qs-q/63; =+h; h = minh neu, b ; end if end while Adptive Qudrtur Für ds 3.37 erhält mn hiermit ε Fehler Funktionsuswertungen 1E E- 54 1E-4.99E E-5.63E-7 7 1E-6 8.E E-7.1E E-8 8.E Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Kronrod Qudrtur Wir gehen us von einer Guß Formel G n f = w i f x i der Ordnung n mit den Knoten x 1,..., x n 1, 1, und bestimmen n + 1 weitere Knoten y,..., y n 1, 1 und Gewichte α i, β i, so dss die Qudrturformel K n f := α i f x i + β i f y i möglichst hohe Ordnung besitzt. K n heißt die zu G n gehörige Kronrod Formel. i= Ausgehend von mchen wir für K den Anstz G f = f f 3 3 K f = α 1 f α f 3 + β f y + β 1 f y 1 + β f y 3 und bestimmen die 8 Unbeknnten α 1, α, β, β 1, β, y, y 1, y so, dss die Funktionen x j, j =, 1,,..., m, für möglichst großes m durch K exkt integriert werden. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

16 Mn knn zeigen, dss die Kronrod Formeln symmetrisch sind hier: α 1 = α, β = β, y = y, y 1 =. Unter Ausnutzung dieser Symmetrie folgt K x j+1 = = 1 x j+1 dx für lle j =, 1,,... Für die gerden Potenzen ergibt sich ds nichtlinere Gleichungssystem x : α 1 + β + β 1 =, x : 3 α 1 + β y = 3, x 4 : 9 α 1 + β y 4 = 5, x 6 : 7 α 1 + β y 6 = 7, mit der eindeutigen Lösung 6 y = 7, α 1 = , β = , β 1 = , d.h. K f = G f f f f. 7 Nch Konstruktion ht diese Formel mindestens die Ordnung 8, und durch Berechnung von Ex 8 sieht mn, dss die Ordnung genu 8 ist. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Mn knn zeigen, dss zu einer n-punkt Guß Formel G n stets die n + 1-Punkt Kronrod Formel konstruiert werden knn, und dss ihre Ordnung 3n + ist, flls n gerde ist, und 3n + 3, flls n ungerde ist. Die Kronrod Formel K n knn mn nun uf folgende Weise nutzen, um den Fehler E n der zugehörigen Guß Formel zu schätzen. Es gilt für [x j, x j+1 ] [ 1, 1] D E n proportionl zu h n ist, können wir für kleine h den letzten Summnden vernchlässigen und erhlten E n K n f G n f. xj+1 x j h := x j+1 x j, und dher folgt f x dx = K n f + h 3n+ c 3n+ f 3n+ η, In dem folgenden Algorithmus schätzen wir hiermit den Fehler der Guß Formel, verwenden ber ls Näherung für ds Integrl x j+1 x j f x dx den mit der Kronrod Formel ermittelten Wert. Dies führt dzu, dss der Fehler wesentlich unterhlb der geforderten Tolernz liegt. E n := xj+1 x j f x dx G n f = K n f G n f + h 3n+ c 3n+ f 3n+ η. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

17 function int=dp-kronrodf,,b,tol; h=.1*b-; int=; eps=tol/b-; while < b do [int1,int]=kronrodf,,+h h neu =.9 h h eps/bsint1 int 1/4 ; if bsint1-int > h*eps; then h = h neu ; else int=int+int; =+h; h = minh neu, b ; end if end while Kronrod Qudrtur Für ds 3.37 erhält mn hiermit ε Fehler Funktionsuswertungen 1E E-5 7 1E- 3.51E E E E E Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 QUADPACK Numerische Differentition Adptive Qudrturverfhren unter Benutzung von Guß-Kronrod Formeln mit bis zu 3 bzw. 61 Knoten finden sich in dem Softwrepckge QUADPACK von Piessens et l., ds ls Public Domin Softwre gelden werden knn von Wir betrchten eine Funktion f : [, b] R, von der nur die Funktionswerte y j := f x j n diskreten Punkten x 1 < x < < x n b beknnt sind. Aufgbe ist es, us diesen diskreten Dten eine Näherung für den Wert einer Ableitung f m x, m 1, n einer Stelle x zu ermitteln. Ähnlich wie bei der numerischen Integrtion interpolieren wir hierzu einige der gegebenen Dten x j, y j in der Nähe des Punktes x und wählen die m-te Ableitung der interpolierenden Funktion n der Stelle x ls Näherung für f m x. Gebräuchlich ist die Interpoltion mit Polynomen und mit Splines. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

18 Numerische Differentition Wir beschränken uns hier uf die Interpoltion mit Polynomen und betrchten nur den Fll, dss die Stelle x, n der die Ableitung pproximiert werden soll, ein Knoten ist. Wir leiten Formeln für die Approximtion der ersten Ableitung her. Interpoliert mn f liner mit den Dten x j, y j und x j+1, y j+1, so erhält mn und ls Näherung für die Ableitung px = y j + y j+1 y j x j+1 x j x x j, f x j p x j = y j+1 y j x j+1 x j. 1 Dieser Ausdruck heißt der vorwärtsgenommene Differenzenquotient. Numerische Differentition Interpoliert mn die Dten x j 1, y j 1 und x j, y j liner, so erhält mn genuso die Approximtion f x j y j y j 1 x j x j 1 durch den rückwärtsgenommenen Differenzenquotienten. Interpoliert mn f qudrtisch mit den Knoten x j+k, y j+k, k = 1,, 1, so erhält mn mit der Ableitung px = y j + [x j 1, x j ]x x j + [x j+1, x j 1, x j ]x x j 1 x x j p x = [x j 1, x j ] + [x j+1, x j 1, x j ]x x j 1 x j. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Numerische Differentition Numerische Differentition Einsetzen von x = x j liefert nch kurzer Rechnung f x j x j+1 x j [x j 1, x j ] + x j x j 1 [x j, x j+1 ]. 3 x j+1 x j 1 x j+1 x j 1 Ist speziell x j+1 x j = x j x j 1 =: h, so ist 3 der zentrle Differenzenquotient f x j 1 [x j 1, x j ] + 1 [x j, x j+1 ] = y j+1 y j 1. 4 h Sind nur Funktionswerte von f uf einer Seite von x j beknnt, so verwendet mn einseitige Differenzenpproximtionen. Z.B. erhält mn mit y j+k = f x j+k, k =, 1,, die Näherung f x j x j+ + x j+1 x j [x j, x j+1 ] x j+1 x j [x j+1, x j+ ], 5 x j+ x j x j+ x j und im äquidistnten Fll f x j 3 [x j, x j+1 ] 1 [x j+1, x j+ ] = y j+ + 4y j+1 3y j. 6 h Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

19 Numerische Differentition Genuso erhält mn mit 5 bzw. 7 äquidistnten Knoten die zentrlen Differenzenpproximtionen und f x j 1 1h y j 8y j 1 + 8y j+1 y j+ 7 f x j 1 6h y j 3 + 9y j 45y j y j+1 9y j+ + y j+3. 8 Numerische Differentition Den Fehler einer Differenzenformel knn mn mit Hilfe des Tylorschen Stzes bestimmen. Für f C gilt mit einem ξ x j, x j + h d.h. f x j + h = f x j + f x j h + h f ξ, f x j = y j+1 y j h und genuso mit einem η x j h, x j h f ξ, f x j = y j y j 1 h h f η. Es gilt lso für den Fehler sowohl des vorwärtsgenommenen ls uch des rückwärtsgenommenen Differnzenquotienten die Asymptotik Oh. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Definition Für f C 4 gilt Eine Differenzenpproximtion D r f x; h für die Ableitung f r x mit der Schrittweite h besitzt die Fehlerordnung p, flls gilt D r f x; h f r x = Oh p. Vorwärts- und rückwärtsgenommene Differenzenquotienten zur Approximtion von f x besitzen lso die Fehlerordnung 1. und dher f x j ± h = f x j ± hf x j + h f x j ± h3 6 f x j + Oh 4, y j+1 y j 1 h f x j = h 6 f x j + Oh 3. Der zentrle Differenzenquotient besitzt lso die Fehlerordnung. Genuso erhält mn für die Approximtionen in 7 und 8 die Fehlerordnungen 4 und 6. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

20 Endliche Arithmetik Bei Rechnung in exkter Arithmetik beschreibt die Fehlerordnung ds Verhlten des Fehlers für h. Die Differenzenformeln enthlten lle Differenzen von Funktionswerten von f, die bei kleinem h nhe beieinnder liegen. Dies führt beim Rechnen mit endlicher Stellenzhl zu Auslöschungen. Wir bestimmen für f x := cos x Näherungen für f 1 mit dem vorwärtsgenommenen Differenzenquotienten. Die folgende Tbelle enthält die Fehler der Approximtionen für h j = 1 j, j =, 1,..., 16. j Fehler j Fehler j Fehler 1.15e-1 6.7e e e- 7.81e e-5.69e e e-3 3.7e e e-1 4.7e e e-1 5.7e e-7 Der Fehler fällt lso wie durch die Fehlerordnung 1 vorusgesgt zunächst bis h = 1 8 liner, steigt ber dnch durch Auslöschung in der Differenzenformel wieder n. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Endliche Arithmetik Ds Verhlten im letzten knn mn uf folgende Weise erklären. Wir nehmen n, dss der errechnete Funktionswert ỹ j y j die Größe ỹ j = y j 1 + δ j, δ j Ku 9 ht, wobei u die Mschinengenuigkeit bezeichnet und K eine kleine Konstnte ist. Dnn gilt für den errechneten vorwärtsgenommenen Differenzenquotienten ỹj+1 ỹ j D 1 h := fl = ỹj+1 ỹ j 1 + ε ε, ε 1, ε u. h h Differenzenformel Ordnung 1 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

21 Endliche Arithmetik Endliche Arithmetik Unter Verwendung von 9 erhält mn, wenn mn Terme der Größenordnung u vernchlässigt, D 1 h = y j+1 y j h + y j+1δ j+1 y j δ j h + y j+1 y j ε 1 + ε, h und dher ist der Rundungsfehler bei der Auswertung der Differenzenformel D 1 h := y j+1 y j /h mit Konstnten C 1, C D 1 h D 1 h = y j+1 δ j+1 y j δ j h + y j+1 y j h ε 1 + ε C 1 h u + C u. 1 D die vorwärtsgenommene Differenzenformel die Ordnung 1 ht, gibt es eine Konstnte C 3 mit D 1 h f x j C 3 h, und dher folgt für den Gesmtfehler D 1 h f x j C 1 h u + C u + C 3 h =: h. 11 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Endliche Arithmetik Der Grph dieser Funktion ht die Gestlt der Fehlerfunktion in der letzten Abbildung: Mit fllendem h fällt die Funktion h bis zum Minimum, ds durch h = C 1u h + C 3 = chrkterisiert ist, d.h. bis C 1 h opt = u, 1 C 3 und steigt dnch wieder. In MATLAB ist u 1 16, ds Minimum des Fehlers muss lso in der Größenordnung von 1 8 liegen. Die Abbildung zeigt, dss dies ttsächlich im der Fll ist. Endliche Arithmetik Besitzt die Differenzenformel D 1 die Fehlerordnung m, so bleibt 1 richtig, und mn erhält entsprechend 11 den Gesmtfehler D 1 h f x C 1 h u + C u + C 3 h m =: h. 13 In diesem Fll erhält mn ls Größenordnung der optimlen Schrittweite h opt = Cu 1/m+1, die ebenflls durch die e in den folgenden Abbildungen bestätigt werden. Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87

22 Endliche Arithmetik Endliche Arithmetik Differenzenformel Ordnung Differenzenformel Ordnung 4 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87 Endliche Arithmetik Differenzenformel Ordnung 6 Heinrich Voss Hmburg University of TechnologyInstitute for Numericl Simultion Kpitel / 87