6 Numerische Integration
|
|
- Sofie Ackermann
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 6 Numerische Integrtion 6.1 Newton-Cotes Formeln In diesem und den folgenden Abschnitten wollen wir ds Integrl fxdx durch ein numerisches Verfhren pproximieren. Durch die linere Trnsformtion x = + tb können wir es uf die Form bringen. fxdx = b f+tb dt Bei den interpoltorischen Qudrturformeln interpolieren wir f n den Stützstellen x,x 1,...,x n [,1] durch ein Polynom p È n und können pxdx ls Näherung für fxdx nehmen. Mit l j x = x x...x x j 1 x x j+1...x x n x x...x j x j 1 x j x j+1...x j x n. gilt nch der Lgrngeschen Interpoltionsformel und mn erhält Die Gewichte Qf = px = fx j l j x È n j= fx j l j xdx = j= α j = fx j j= l j xdx l j xdx = α j fx j. hängen dbei nur von den gewählten Stützstellen x,...,x n, ber nicht von der zu integrierenden Funktion f b. Beispiele 6.1 i Für n = und x =.5 gilt l = 1, 1dx = 1, und wir erhlten die Formel die Rechteck- oder Mittelpunktsregel gennnt wird. fxdx f.5 = Rf, ii Für n = 1 und x =, x 1 = 1 ist l x = 1 x und l 1 x = x. Für die Gewichte erhält mn durch Integrtion α = α 1 =.5 und dmit die Trpezregel fxdx 1 2 f+f1 = Tf. iii Für n = 2, x =, x 1 =.5, x 2 = 1 erhält mn entsprechend die Simpson Regel j= fxdx 1 6 fx +4f.5+f1 = Sf, die in der deutschsprchigen Litertur uch Keplersche Fssregel gennnt wird. 48
2 Die in ii und iii hergeleiteten Formeln, bei denen zwei Stützstellen des Interpoltionspolynoms n den Intervllenden gewählt werden, sind Beispiele für bgeschlossene Newton-Cotes Formeln. Die llgemeine Form dieser Formeln erhält mn durch x j = j/n. fxdx j= α n j f j. n n α n j Nme 1 1/2 1/2 Trpezregel 2 1/6 4/6 1/6 Simpson Regel 3 1/8 3/8 3/8 1/8 3/8 Regel 4 7/9 32/9 12/9 32/9 7/9 Milne Regel Mit den Gewichten wie in dieser Tbelle erhält mn für die Approximtion des Integrls fxdx die Formeln b j= α j fx j, x j = +j b n für j =,1,...,n. Beispiel i zeigt mit der Mittelpunktsformel eine offene Newton-Cotes Formel. Bei diesen werden die Rndpunkte des Intervlls nicht für die Interpoltion verwendet. Außer der Mittelpunktsformel werden diese Formeln nicht mehr benutzt. Für die bgeschlossenen Formeln treten für n 8 wechselnde Vorzeichen uf. Diese Formeln sind dher nfällig für Rundungsfehler. Mn benutzt die Newton-Cotes Formeln dher nur für kleine n uf Teilintervllen von [, b] und summiert uf. Mn erhält dnn die summierten Newton-Cotes Formeln oder zusmmengesetzten Newton-Cotes Formeln. Für äquidistnte Zerlegungen erhlten wir die summierte Rechtecksregel h = b m, x j = +jh, j =,...,m sowie die summierte Trpezregel fxdx h m fx j h 2 = R hf j=1 m 1 1 fxdx h 2 f+ fx j fb = T h f. j=1 6.2 Fehler von Qudrturformeln Wir betrchten ds Integrl If = fxdx und eine zugehörige Qudrturformel, die nicht notwendig vom interpoltorischen Typ ist, mit Qf = ω i fx i, x i [,1], ω i Ê für i =,...,n. i= 49
3 Wir sgen, die Qudrturformel ht die Fehlerordnung m, wenn sie uf den Polynomen vom Grd m 1 exkt ist, genuer i Ip Qp = für lle Polynome p È m 1, ii Ip Qp für ein Polynome p È m. Nch Konstruktion ist eine uf n Stützstellen fußende interpoltorische Qudrturformel mindestens uf È n 1 exkt und dher mindestens von der Ordnung n. Bei der Trpezregel ist dies uch die exkte Fehlerordnung wegen Ix 2 = x 2 dx = 1 3, Tx2 = = 1 2. Dgegen hben die Rechteckregel und lle Newton-Cotes Formeln mit Stützstellen = x,...,x n = 1 mit ungerder Zhl von Stützstellen eine um Eins erhöhte Ordnung. Für die Rechteckformel erhält mn nämlich lso m = 2. Für die Simpson Regel ist Ix = 1 2 = Rx, Ix 3 = 1 4, Sx3 = = 1 4, Ix4 Sx 4, dher m = 4. Für die llgemeine Newton-Cotes Formel mit ungerdem n bleibt der Beweis dem Leser überlssen. Stz 6.2 Es sei Q eine Qudrturformel der Fehlerordnung m 1. Dnn gibt es eine Funktion K : [,1] Ê, so dss der Fehler von Q die Drstellung 6.1 Ef = fxdx Qf = Kxf m xdx für lle f C m [,1] besitzt. Die Funktion K heißt Peno-Kern der Qudrturformel Q. Beweis: Nch dem Stz von Tylor gilt fx = m 1 k= und wegen p È m 1 folgt mit f k x k + k! 1 m 1! x f m tx t m 1 dt = px+rx t k + = { t k flls t, flls t <, k Æ, Ef = Ep+Er = Er { 1 1 x = f m tx t m 1 dtdx m 1! = = 1 m 1! 1 m 1! { t f m tx t m 1 dxdt 1 m 1 tm i= } xi ω i f m tx i t m 1 dt i= ω i i= ω i x i t + m 1 f m tdt, f m tx i t m 1 + dt } 5
4 demnch gilt 6.1 mit Kx = 1 1 m 1! m 1 xm i= ω i x i x m 1 +. Beispiele 6.3 i Für die Trpezregel gilt x =, x 1 = 1, ω = ω 1 =.5, m = 2, lso K T x = x x = 1 2 x1 x. ii Für die Simpson-Regel hben wir x =, x 1 =.5, x 2 = 1, ω = ω 2 = 1/6, ω 1 = 2/3 sowie m = 4, dher K S x = 1 1 3! 4 1 x x x 3. + Wenn wir wissen, dss der Peno-Kern ds Vorzeichen nicht wechselt, so können wir in 6.1 mit dem Mittelwertstz der Integrlrechnung schließen 6.2 Ef = f m ξ c m heißt dnn Fehlerkonstnte der Qudrturformel Q. Kxdx = c m f m ξ, ξ,1. Für die Trpezregel gilt K T x = 1 2x1 x. D T die Ordnung 2 besitzt, erhlten wir E T f = 1 2 f ξ x1 xdx = 1 12 f ξ. Auch für die Simpson Regel hben wir ein einheitliches Vorzeichen, K S x = 1 3! x x x3 +. Durch Integrtion von K erhält mn für den Fehler der Simpson Regel E S f = f4 ξ. Mn knn die Fehlerkonstnte uch ohne explizite Kenntnis des Peno-Kerns bestimmen, wenn mn nur weiß, dss er ds Vorzeichen nicht wechselt. Es gilt nämlich x m m = m! und us 6.2 folgt Ex m = m! c m. Für die Simpson-Regel gilt dher E S x 4 = x 4 dx = = 1 12, c 4 = 1 4! 1 = Kommen wir nun zu Fehlerbschätzungen für die summierte Version der Newton-Cotes Formeln. Wir unterteilen dzu ds Intervll [,b] äquidistnt in n Intervlle der Länge h = b /n und wenden die Formel uf jedes dieser Teilintervlle n. Um Fehlerbschätzungen für solch ein 51
5 summiertes Verfhren zu bekommen, müssen wir erst einml eine Fehlerbschätzung für ein kleines Intervll der Länge h herleiten. Auf α+h wenden wir die Trnsformtion x = α+ht n α+h α fxdx = h α fxdx gtdt, gt = fα+ht = fx. Für ds uf ds Intervll [, 1] trnsformierte Integrl verwenden wir die Qudrturformel Qg = ω i gx i i= und erhlten uf dem Intervll [α,α+h] entsprechend Für den Fehler gilt 6.3 Q [α,α+h] f = h E [α,α+h] f = α+h α = h ω i fα+hx i. i= fxdx Q [α,α+h] f gtdt Qg = heg. In jedem Fll, lso uch wenn der Peno-Kern nicht ds Vorzeichen wechselt, erhlten wir us 6.1 die Fehlerbschätzung Mit folgt us 6.3 Eg mx x [,1] gm Für die summierte Qudrturformel d m g dt m = dm f dx m Kx dx = c m mx x [,1] gm. dx m = h m dm f dt dx m E [α,α+h] f c m h m+1 mx x [,1] fm. Q h f = Q [α+i 1h,α+ih] f erhält mn us der letzten Fehlerbschätzung mit der Dreiecksungleichung fx Q h f = +ih fxdx Q [+i 1h,+ih] f +i 1h E [+i 1h,+ih] f h m+1 c m mx f m x x = nh m+1 c m f m = h m b c m f m. 52
6 Für die summierte Trpezregel erhält mn dher für den Fehler fxdx T h f h2 12 b f, und für die summierte Simpson Regel fxdx S h f h4 288 b f Ds Romberg-Verfhren In diesem Abschnitt pproximieren wir ds Integrl fxdx durch die summierte Trpezregel T h f = h n 1 f+2 fx i +fb, h = b 2 n, x i = +ih. Wir werden eine symptotische Entwicklung in h für dieses Verfhren beweisen, die dnn den Einstz eines Extrpoltionsverfhrens rechtfertigt. Stz 6.4 Euler-Mclurinsche Summenformel Sei g C 2m+2 [,n], n Æ, und T 1 g = 1 n 1 2 g+ gj+ 1 2 gn die summierte Trpezformel zur Schrittweite h = 1. Dnn gibt es Konstnten C 1,...,C m Ê und eine beschränkte Funktion φ 2m+2 : Ê Ê, so dss 6.4 gtdt = T 1 g m C j g 2j 1 n g 2j 1 +R m g j=1 gilt mit 6.5 R m g = φ2m+2 t φ 2m+2 g 2m+2 tdt. Beweis: Mit der periodischen Funktion φ 1 t = t 1 2, t < 1, φ 1t+1 = φ 1 t, t Ê, erhält mn durch prtielle Integrtion für j = 1,...,n j j 1 gtdt = φ 1 tgt j j 1 j j 1 = 1 j gj+gj 1 2 φ 1 tg tdt j 1 φ 1 tg tdt, und durch Summtion 6.6 gt = T 1 g φ 1 tg tdt. 53
7 UmdsIntegrlufderrechtenSeiteumzuformen,benötigenwirdieStmmfunktionenφ j : Ê Ê, j 2, mit φ j = φ j 1. φ 1 besitzt die Fourier-Reihe φ 1 t = 2 k=1 sin2πkt. 2πk Durch wiederholte Anwendung gliedweiser Integrtion erhält mn die Drstellungen φ 2j t = 2 1 j+1 k=1 φ 2j+1 t = 2 1 j+1 k=1 cos2πkt 2πk 2j, j 1, sin2πkt 2πk 2j+1, j, Nch dem Mjorntenkriterium konvergieren die Reihen φ j für j 2 gleichmäßig in Ê. Dher gilt φ j = φ j 1 für j 3. D die Fourierreihe von φ 1 für jedes bgeschlossene Intervll, ds keine gnzzhligen Punkte enthält, gleichmäßig gegen φ 1 konvergiert, gilt uch φ 2 t = φ 1t für lle t /. Dmit folgt us 6.6 gtdt T 1 g = φ 1 tg tdt = φ 2 tg t n + φ 2 tg tdt =... = 2m+1 1 j+1 φ j tg j 1 t n φ 2m+1 tg 2m+1 tdt, j=2 und mit nochmliger prtieller Integrtion Offensichtlich gilt φ 2m+1 tg 2m+1 tdt = φ 2j+1 = φ 2j+1 n =, j Æ, φ 2j = φ 2j n = 1 j+1 Dher folgt die Entwicklung 6.4 mit C j = φ 2j. Bemerkung 6.5 Die Zhlen φ2m+2 t φ 2m+2 g 2m+2 tdt. k=1 2 2πk 2j, j 1. B j = 1 j+1 2j!φ 2j, j Æ, heißen Bernoulli-Zhlen. Mit ihnen lutet die Euler-Mclurinsche Summenformel in der üblichen Drstellung gtdt T 1 g = m j=1 1 j B j g 2j 1 n g 2j 1 +R m g. 2j! Als Folgerung erhlten wir die symptotische Entwicklung des Fehlers der summierten Trpezregel: 54
8 Korollr 6.6 Ist f C 2m+2 [,b] und h = b /n, n Æ, so gilt 6.7 T h f = fxdx+ m c j h 2j +ψ m+1 hh 2m+2, wobei ψ m+1 h M mit einer von h unbhängigen Konstnten M gilt. j=1 Beweis: Mit x = +th und gt = f+th gilt fxdx = h gtdt und T h f = ht 1 g, und dher folgt mit g j t = h j f j +th us der Euler-Mclurinschen Summenformel 6.4 wobei T h f = hr m g = h fxdx+ = h 2m+2 m C j f 2j 1 b f 2j 1 h 2j hr m g, j=1 φ2m+2 t φ 2m+2 g 2m+2 tdt x φ 2m+2 φ 2m+2 f 2m+2 xdx h gilt. D φ 2m+2 ls stetige und periodische Funktion beschränkt ist, ist uch x ψ m+1 h = φ 2m+2 φ 2m+2 f 2m+2 xdx h beschränkt. Wir verwenden ds letzte Korollr, um durch Extrpoltion zu rsch konvergierenden Integrtionsmethodenzugelngen.VernchlässigtmnbeiderEntwicklungvonT h fin6.7dsrestglied, so lässt sich T h f ls ein Polynom in h 2 uffssen, ds für h = den Wert c := fxdx liefert. Wir bestimmen dher zu verschiedenen Schrittweiten h,h 1,...,h m > die Trpezsummen T h f, j =,...,m. Dnn gibt es ein eindeutiges Polynom p È m in h 2 mit ph 2 j = T hj f, j =,...,m. p ist dnn eine verbesserte Näherung von fxdx. D nur der Wert p bestimmt werden soll, bietet sich ds Neville-Schem zu seiner Berechnung n. Sei h = b, h j = h /n j, n j < n j+1, j = 1,...,m, und sei T jj = T hj f die Trpezsumme zur Schrittweite h j. Weiter sei p ij h, i j m, ds Polynom vom Grd j i in h 2, für ds gilt p ij h k = T kk, k = i,...,j. Für die extrpolierten Werte T ij = p ij gilt dnn nch dem Neville-Schem 6.8 T ij = T i+1j + T i+1j T ij 1 hi h j 2 1, i < j m. Dieses Verfhren wurde erstmls von Romberg im Jhre 1955 vorgeschlgen mit den Schrittweiten h i = b 2 i. In diesem Fll bekommen wir die einfcheren Formeln T ij = 4j i T i+1j T ij 1 4 j i. 1 55
9 Für die Näherungen von fxdx T T 11 T 22 T 33 T 44 T 1 T 12 T 23 T 34 T 2 T 13 T 24 T 3 T 14 T 4 gilt dnn: T ist der Wert der Trpezregel uf dem Intervll [,b], T 1 der Wert der Simpson-Regel und T 2 der Wert der Milne-Regel. Die T j stellen für j 3 keine Newton-Cotes Formeln dr. Die Romberg-Folge h i = b 2 i ht den Vorteil, dss mn für die Berechnung von T i+1i+1 uf die schon bei T ii berechneten Funktionswerte zurückgreifen knn. Der Nchteil besteht drin, dss die Zhl der Auswertungen trotz des gerde beschriebenen Spreffekts strk nsteigt. Eine gute Alterntive zur Romberg-Folge stellt dher die Bulirsch-Folge 1, 1 2, 1 3, 1 4, h, h = b, dr. Auch hier knn mn nch den ersten Schritten viele lte Auswertungen wiederverwenden. Beispiel 6.7 Für ds Integrl e x sin5xdx = erhlten wir für T 5 fxdx bei Verwendung der Romberg-Folge Funktionsuswertungen Bulirsch-Folge Funktionsuswertungen Die Bulirsch-Folge ist lso zumindest in diesem Beispiel klr vorzuziehen. Für die Theorie der Romberg-Integrtion muss n die Whl der Schrittweiten h j Folgendes vorusgesetzt werden: Es gibt eine Konstnte η < 1, so dss h j ηh j 1 für lle j erfüllt ist. Für dieromberg-folgeistdiesebedingungmitη = 1 2 erfülltundfürdiebulirsch-folgemitη = 3 4.Unter dieser Vorussetzung knn mn die verbesserte Konvergenz des Extrpoltionsverfhren beweisen. Wir zitieren hier nur ein spezielleres Resultt: Stz 6.8 Seien T ik die Werte des Neville-Schems zur Bestimmung von fxdx unter Verwendung von Trpezsummen mit der Romberg- oder der Bulirsch-Folge. Für genügend oft uf dem Intervll [,b] stetig differenzierbrem f gilt: Für jedes k Æ gibt es ein ξ [,b] mit T ik B k+1 fxdx = b 2k +2! f2k+2 ξ k j= h 2 i j. 6.4 Qudrturformeln von Guß Bisher hben wir in den Newton-Cotes Formeln eine äquidistnte Verteilung der Stützstellen uf dem Intervll [, b] zugrunde gelegt. In diesem Abschnitt frgen wir, ob durch eine geschicktere Whl der Stützstellen noch bessere Fehlerordnungen erzielt werden können. Wit studieren die numerische Approximtion von Integrlen der Form If = 56 ωfxdx
10 mit der Gewichtsfunktion ω. In diesem Abschnitt knn ds Integrl uch ein uneigentliches sein, d.h. die Grenzen können uch die Werte bzw. sein, sofern die Gewichtsfunktion dies zulässt. Ds wichtigste Beispiel ist ωx = exp x 2, bei der im obigen Integrl über gnz Ê integriert werden knn. Genuer setzen wir n die Gewichtsfunktion vorus: i ω ist messbr mit ω in,b. ii Die Momente µ k = existieren für lle k Æ und µ = ωxdx >. iii Für jedes Polynom px mit x k ωxdx gilt ωxpxdx = und px in,b px = in,b. Diese Vorussetzungen sind bei einem beschränkten Integrtionsintervll für ωx = 1 erfüllt. Aufgbe Gesucht sind Stützstellen x 1,...,x n [,b] und Gewichte ω 1,...,ω n Ê, so dss die Formel I n f = ω i fx i für glttes f von möglichst hoher Ordnung ist, d.h. Ip = I n p für lle p È k. Im Folgenden verwenden wir die Bilinerform f,g = ωxfxgx dx. Nch den Vorussetzungen i und iii gilt p,p > für lle Polynome p mit p. Auf dem Rum der Polynome ist, dher ein Sklrprodukt. Mit È i bezeichnen wir die Menge der Polynome vom Grd i mit führendem Koeffizienten i = 1. Stz 6.9 Eigenschften orthogonler Polynome Es gibt eindeutig bestimmte Polynome p i È i mit p i,p k = für i k. Diese genügen den Rekursionsformeln p x = 1 p i+1 x = x δ i+1 p i x γ 2 ip i 1 x, i, mit p 1 x = und δ i+1 = xp i,p i p i,p i, i, für i =, γi+1 2 = p i,p i für i 1. p i 1,p i 1 57
11 Beweis: Wir verwenden ds Schmidtsche Orthogonlisierungsverfhren. p = 1 ist klr. Seien p j È j für j i bereits konstruiert. D diese p j eine Bsis von È i bilden und p i+1 È i+1 folgt p i+1 x = x+c i p i x+c i 1 p i 1 x+...+c p x. Durch geeignete Whl der c j müssen wir die Bedingungen p i+1 p j für j =,...,i erfüllen. Wegen der Induktionsvorussetzung p k,p l = für k < l i gilt für die c i x+ci p i,p i = xp i,p j +c j p j,p j = für j =,...,i 1. Nch Vorussetzung iii gilt p j,p j >, womit die c j eindeutig bestimmt sind. Für j i 2 gilt xp i,p j = p i,xp j = wegen xp j È j+1 und dmit c j = für diese j. Für j = i und j = i 1 erhlten wir Nch Induktionsvorussetzung gilt c i = xp i,p i p i,p i, c i 1 = xp i 1,p i p i 1,p i 1 und dmit p i x = x δ i p i 1 x γ 2 ip i 2 x p i,p i = xp i 1,p i. Dmit ist wie in der Behuptung ngegeben c i = δ i+1 und c i 1 = γ 2 i+1 >. Korollr 6.1 Es gilt p n,p = für lle p È n 1. Stz 6.11 Nullstellen der orthogonlen Polynome Die Nullstellen x 1,...,x n von p n sind einfch, reell und liegen lle im Intervll, b. Beweis: Seien < x 1 <... < x l < b die Nullstellen von p n im Intervll,b, in denen p n ds Vorzeichen wechselt. Wenn l < n, so setze px = l x x i È l. p wechselt in jedem x i ds Vorzeichen, pp n dher nicht. Dies ist ein Widerspruch zu p n,p =. Lemm 6.12 Für beliebige x 1 < x 2 <... < x n ist die Mtrix p x 1 p x n A =.. p n 1 x 1 p n 1 x n regulär. 58
12 Beweis: Wäre A singulär, so gäbe es ein c Ê n \{} mit n 1 qx j = c i p i x j = für j = 1,...,n. i= Dnn wäre wegen grdq n 1 uch q =. Dies ist ein Widerspruch zur lineren Unbhängigkeit der p i. Stz 6.13 Gußsche Qudrturformel Seien x 1,...,x n die Nullstellen von p n und ω 1,...,ω n die Lösung des lineren Gleichungssystems { p,p für k = p k x i ω i = für k = 1,...,n 1. Dnn gilt ω i > sowie ωxpx dx = ω i px i für lle p È 2n 1. b Es gibt keine Qudrturformel mit n Stützstellen, die uf È 2n exkt ist. Beweis: Die ω i sind ls Lösung des lineren Gleichungssystems mit Mtrix A us dem letzten Lemm eindeutig bestimmt. Die Formel I n r = ω i rx i ist nch Konstruktion exkt uf dem Rum È n 1, denn mit n 1 rx = α i p i x folgt i= n 1 ωxrxdx = r,p = α i p i,p = α p,p = I n r. Jedes p È 2n 1 lässt sich eindeutig in der Form px = p n xqx+rx, q,r È n 1 schreiben. Wegen p n q folgt ωxpxdx = p,p = p n,q+r,p = r,p = I n r. Dmit ist die Qudrturformel exkt uf È 2n 1. Für i {1,...,n} setze n qx = x x i 2 È 2n 1. Wegen q, q, folgt < j=1, j i ωxqxdx = I n q = ω i qx i 59
13 und dmit ω i >. b Angenommen, es gibt eine Qudrturformel Ĩ n mit prweise verschiedenen Stützstellen x 1,...,x n [,b], die uf È 2n exkt ist. Ds Polynom erfüllt q, q, dher ws einen Widerspruch bedeutet. < qx = n x x i 2 È 2n. ωxqxdx = Ĩnq =, Die Guß-Formel I n besitzt dher den optimlen Exktheitsgrd. Stz 6.14 Sei f C 2n [,b]. Dnn gilt für die Guß-Formel I n für ein ξ,b. ωxfxdx ω i fx i = f2n ξ p n,p n 2n! Beweis: Sei p È 2n 1 ds hermitesche Interpoltionspolynom 5.1 n den Stützstellen x 1,...,x n. Nch 5.11 gilt für den Interpoltionsfehler rx = fx px = f2n ηx x x x x n 2. 2n! mit einem ηx [,b]. p n È n ht die Nullstellen x 1,...,x n und der führende Koeffizient von p n ist 1. Dher ist p n x = x x 1...x x n und us der letzten Formel erhlten wir 6.9 rx = f2n ηx p 2 2n! nx. Aus der Regel von de l Hospitl folgt, dss f 2n ηx = fx px p 2 2n! nx stetig in [, b] ist. Wir multiplizieren 6.9 mit der Gewichtsfunktion ω, integrieren und können wegen ωxp 2 nx den Mittelwertstz der Integrlrechnung nwenden 6.1 ωxrxdx = f2n ξ 2n! ωxp 2 nxdx = f2n ξ p n,p n, ξ [,b]. 2n! Wegen p È 2n 1 folgt ωxrx dx = = = ωxfxdx ωxfxdx ωxfxdx ωxpx dx ω i px i ω i fx i = If I n f. 6
14 Die Behuptung folgt us der letzten Identität und 6.1. Mn knn dher uch nichtgltte Integrnden behndeln, wenn mn die Singulrität in ω steckt. Sei nun ω = 1 und [,b] = [ 1,1]. Dnn gilt p k x = k! 2k! d k dx kx2 1 k, k Æ. Die p k heißen uch Legendre-Polynome. Wir zeigen, dss dies die gesuchten Polynome sind. Der führende Koeffizient von p k ist k! 2k! d k dx kx2k = x k, lso p k È k. Für l < k folgt mit mehrfcher Anwendung der prtiellen Integrtion 1 l!k! p l xp k xdx = 2l!2k! = Nl,k =... =. 1 1 d l dx lx2 1 l dk dx kx2 1 k dx d l+1 dx l+1x2 1 l dk 1 dx k 1x2 1 k dx Durch Bestimmung der Nullstellen der p k erhlten wir dher die Guß-Formeln zur Approximtion von 1 fxdx: n ω i x i Beispiel 6.15 Wir pproximieren 1 ω 1 = 2 x 1 = 2 ω 1 = ω 2 = 1 x 2 = x 1 = ω 1 = ω 3 = 5 9 x 3 = x 1 = 2 1 ω 2 = 8 9 x 2 = dx x Für die Qudrturformel mit n = 3 erhlten wir = ln2 = x 1 = ω 1 = x 2 = 1.5 ω 2 = 4 9 x 3 = ω 3 = 5 18 und dher 1 I 3 = x Dmit reicht I 3 us, um eine vierstellige Logrithmentfel ufzustellen. 61
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
MehrKapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
Mehr6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral
6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine
MehrKapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35
Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion
MehrTaylorreihen - Uneigentlische Integrale
Anlysis II für M, LG und Ph, WS 2006/07, Übung 2, Lösungsskizze Gruppenübung Tylorreihen - Uneigentlische Integrle G 5 Berechnen Sie die Tylorreihe mit der Entwicklungsmitte 0 von f (x) = log(x + ), f
MehrFernUniversität Gesamthochschule in Hagen
FernUniversität Gesmthochschule in Hgen FACHBEREICH MATHEMATIK LEHRGEBIET KOMPLEXE ANALYSIS Prof. Dr. Andrei Dum Proseminr 9 - Anlysis Numerische Integrtion Ulrich Telle Mtrikel-Nr. 474 Köln, den 7. Dezember
MehrFalls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.
Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester
Mehr9 Das Riemannsche Integral
1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit
Mehrb f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =
Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für
MehrThema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n
Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1
Mehr8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral
8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei
MehrDifferenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016)
1 Vorlesung Mthemtik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016) Kpitel 10: Integrlrechnung einer Veränderlichen Prof. Miles Simon Nch Folienvorlge von Prof. Dr. Volker Kibel Otto-von-Guericke Universität Mgdeburg.
MehrIntegralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1
Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
MehrAufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6
Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.
MehrNumerische Mathematik I
Numerische Mthemtik I Dr. Wolfgng Metzler Universität Kssel unter Mitwirkung von Dipl.-Mth. Mrtin Steigemnn Sommersemester 2005 ii c 2005 Dr. Wolfgng Metzler, Fchbereich Mthemtik und Informtik der Universität
MehrBestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen
III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter
MehrHöhere Mathematik für Elektrotechniker II
Vorlesungsmnuskript zu Höhere Mthemtik für Elektrotechniker II Werner Blser Institut für Angewndte Anlysis Sommersemester 2009 Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 4 11 Riemnn-Summen und Riemnn-Integrl
Mehr10 Anwendungen der Integralrechnung
9 nwendungen der Integrlrechnung Der Inhlt von 9 wren die verschiedenen Verfhren zur Berechnung eines Integrls Der Inhlt von sind die verschiedenen Bedeutungen, die ein Integrl hen knn Die Integrlrechnung
MehrVorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
Mehr- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit
MehrBrückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
Mehr9 Riemann-Integral für Funktionen einer Variablen
9 Riemnn-Integrl für Funktionen einer Vriblen Integrl = (orientierte) Fläche zwischen Funktion f : r, bs Ñ R und der x-achse «ř n px n x n 1 qf pξ n q mit Zwischenpunkten ξ n P rx n 1, x n s x n 1 x n
MehrUnter einer Partition oder Zerlegung eines Intervalls [a, b] verstehen wir eine endliche Menge P = {x 0, x 1,..., x n } mit der Eigenschaft ...
Kpitel 7 Ds Riemnn Integrl 7.1 Unter und Obersummen 7.2 Riemnn Integrl 7.3 Riemnnsche Summen 7.4 Rechenregeln 7.5 Differentition und Integrtion 7.6 Die L p Normen 7.1 Unter und Obersummen Unter einer Prtition
MehrSpektralmethoden mit Anwendungen in Chemie und Physik
Spektrlmethoden mit Anwendungen in Chemie und Physik Eine Einführung zum Seminr und dem Them Steffen Weißer Universität des Srlndes 19. April 2016 Gliederung 1 Zum Seminr 2 Mthemtische Einführung und Überblick
MehrZusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 10
Mthemtik I für E-Techniker C. Erdmnn WS /, Univerität Rotock,. Vorleungwoche Zutzmteril zur Mthemtik I für E-Techniker Übung Uneigentliche Integrle Die Funktion f ei für x definiert und in jedem Intervll
Mehrt 1 t cos(t) sin(t) haben als Spur jeweils den Einheitshalbkreis in der oberen Halbebene.
Kpitel Kurvenintegrle Kurven Sei I = [, b] R ein Intervll Eine Weg ist eine Abbildung dieses Intervlls in den R d, d, : I R d Dbei nennt mn () den Anfngspunkt, (b) den Endpunkt und ds Bild ([, b]) die
Mehr9 Die Prinzipien der Analysis
9 Die Prinzipien der Anlysis 9. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Ds wichtigste Prinzip der Anlysis besgt, dss die Integrtion in gewisser Weise die Umkehrung der Differentition ist. Genuer
Mehr3. Ganzrationale Funktionen
3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)
Mehr4 Stetigkeit. 4.1 Intervalle
4 Stetigkeit Der Grenzwertbegriff für Zhlenfolgen lässt sich uf Funktionen übertrgen. Funktionen (oder Abbildungen) wren bereits im Kpitel über Mengen ufgetreten. Hier wird nun der Fll betrchtet, dss Definitionsbereich
MehrElemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse
Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen
MehrVersuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!
Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben
MehrARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt
MehrAnalysis II. Universität Stuttgart, SS 06 M. Griesemer
Anlysis II Universität Stuttgrt, SS 06 M. Griesemer Inhltsverzeichnis 9 Ds Riemnnsche Integrl 3 9.1 Definition und Beispiele........................... 3 9.2 Elementre Eigenschften..........................
MehrAnalysis 2. Mitschrift von www.kuertz.name
Anlysis 2 Mitschrift von www.kuertz.nme Hinweis: Dies ist kein offizielles Script, sondern nur eine privte Mitschrift. Die Mitschriften sind teweilse unvollständig, flsch oder inktuell, d sie us dem Zeitrum
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 7. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie 25.11.2015
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Anres Herz, Dr. Stefn Häusler emil: heusler@biologie.uni-muenchen.e Deprtment Biologie II Telefon: 089-280-74800 Großhernerstr. 2 Fx:
Mehr2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken
Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,
MehrAnalysis 2. Vorlesungsskript Sommersemester 2014. Bernd Schmidt. Version vom 15. Oktober 2014
Anlysis 2 Vorlesungsskript Sommersemester 214 Bernd Schmidt Version vom 15. Oktober 214 Institut für Mthemtik, Universität Augsburg, Universitätsstr. 14, 86135 Augsburg, bschmidt@mth.uni-ugsburg.de 1 Inhltsverzeichnis
Mehr4 Die Integralfunktion*
Übungsmteril 1 Die Integrlfuntion* In den vorigen Kpiteln hben wir bereits ds unbestimmte und ds bestimmte Integrl und deren Eigenschften ennengelernt. Ersteres liefert die Menge der Stmmfuntionen einer
MehrA.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )
A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.
MehrBeispiel-Abiturprüfung
Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch
Mehr1. Übungsblatt zur Analysis II
Fchereich Mthemtik Prof Dr Steffe Roch Nd Sissouo WS 9/ 69 Üugsltt zur Alysis II Gruppeüug Aufge G Bestimme Sie für jede der folgede Fuktioe f : [, ] R ds utere ud oere Itegrl ud etscheide Sie, o die Fuktio
MehrKurven und Bogenlänge
Kpitel 3 Kurven und Bogenlänge 3.1 Motivtion Der Begriff der Kurve in der Ebene oder im Rum spielt in den Nturwissenschften, insbesondere der Physik, Technik (Robotik) und der Informtik (Computergrphik)
MehrLogarithmen zu speziellen und häufig gebrauchten Basen haben eigene Namen: Der Logarithmus zur Basis 10 heißt dekadischer oder Zehnerlogarithmus:
0 Dr Andres M Seifert Sternstunden in Mthe, Physik und Technik wwwsternstunden-odenwldde Logrithmen Die Gleichung vom Typ b wird mit Hilfe des Logrithmus gelöst Der Logrithmus von zur Bsis b ist die Zhl,
MehrI(f) (x i+1 x i ) f(x i ). i=0
8 Numerisce Integrtion Die Berecnung bestimmter Integrle knn in der Prxis meist nur näerungsweise mit Hilfe von sog. Qudrturformeln erfolgen. Dzu mct mn für eine Funktion f C[, b] den Anstz I(f = f(x dx
Mehrf (j) (x 0 ) (x x 0 ) j. j! j=0 Folgerung 3.1 Das k-te Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt x 0 eines Polynoms f vom Grad höchstens k ist f selbst.
3 Tylorentwicklung In Anlysis I hben wir die Tylorentwicklung von Funktionen einer Vriblen eingeführt. Hier wollen wir die Tylorentwicklung von Funktionen mehrerer Vriblen herleiten. Der Komplettheit hlber
Mehrx usw., wie oben unter 1.) behauptet.]
[Anmerkung zur Berechnung im Beispiel: Ersetzen wir die Zhlen der AzM durch die Koeffizienten, 2, 2 und 22, so lässt sich die Rechnung sowohl für ) ls uch b) gnz nlog durchführen, und es ergibt sich z.
MehrCanon Nikon Sony. Deutschland 55 45 25. Österreich 40 35 35. Schweiz 30 30 20. Resteuropa 60 40 30 55 45 25 40 35 35 J 30 30 20 60 40 30
15 Mtrizenrechnung 15 Mtrizenrechnung 15.1 Mtrix ls Zhlenschem Eine Internetfirm verkuft über einen eigenen Shop Digitlkmers. Es wird jeweils nur ds Topmodel der Firmen Cnon, Nikon und Sony ngeboten. Verkuft
MehrMusterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS
Musterlösung der Präsenzufgben zu Mthemtik I für ET/IT und ITS WS / Bltt 6. Bestimmen Sie zu vorgegebenem Volumen V > die Dose (Zylinder mit der kleinsten Oberfläche und ds Gls (Zylinder ohne Deckel mit
Mehrdefiniert ist, heißt an der Stelle x0
1 Stetigkeit 1 Stetigkeit Bei der Behndlung der bschnittsweise deinierten Funktionen km es vor, dss der Grph dieser Funktion n der Nhtstelle einen Sprung ht. Andere dgegen hben keine Sprungstelle! Doch
MehrAnalysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
MehrBrückenkurs Mathematik
Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..
Mehr1.2 Der goldene Schnitt
Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert
Mehr2.1 Motivation, Zurückführung auf ein Doppelintegral. Wir betrachten einen zylindrischen Körper K, der von der Fläche
Kpitel 2 Ds Flähenintegrl 2.1 Motivtion, Zurükführung uf ein Doppelintegrl Wir betrhten einen zylindrishen Körper K, der von der Flähe z f(x, y, seitlih von einer Zylinderflähe mit Erzeugenden prllel zur
MehrWir wollen dieses Semester beginnen indem wir uns zunächst an den Mittelwertsatz I. 12.Satz 10 erinnern.
Inhltsverzeichnis Tylorpolynome und Tylorreihen.................... Integrlrechnung............................. 6 3 Uneigentliche Integrle.......................... 9 4 Funktionenfolgen und normierte
MehrFormelsammlung. Folgen und Reihen
Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Formelsmmlung Folgen und Reihen en Folge n ) n N0 : D R, n n := n) mit D N 0 n-te Prtilsumme von n
MehrFacharbeit über algebraische Gleichungen vierten Grades
Fchrbeit über lgebrische Gleichungen vierten Grdes inkl. der Crdni schen Formeln und dem Beweis der Formeln. Verfßt von Ing. Wlter Höhlhubmer im Oktober ergänzt im Juli und August und erweitert im Dez.
MehrGrundwissen Abitur Analysis
GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mthem-technolog u sprchl Gmnsium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 9257 PEGNITZ FERNRUF 0924/48333 FAX 0924/2564 Grundwissen Abitur Anlsis Ws sind Potenzfunktion mit ntürlichen
MehrANALYSIS II OLIVER C. SCHNÜRER
ANALYSIS II OLIVER C. SCHNÜRER Zusmmenfssung. Bei diesem Mnuskript hndelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung Anlysis II. Ich hbe sie im Sommersemester 215 in Konstnz benutzt. Inhltsverzeichnis 4. Differentition
MehrNumerische Integration
Numerische Integration home/lehre/vl-mhs-1/folien/uebung/num_integration/cover_sheet_5a.tex Seite 1 von 12. p.1/12 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 2. Newton-Cotes Formeln Rechteckformel Trapezformel Simpsonsche
MehrDifferentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen
Differentilgleichungen Gewöhnliche Differentilgleichungen ( n) + + +... ++ Eplizite Form: (Gleichung lässt sich nch höchster Ableitung uflösen Implizite Form: + 0 Lösung: Durch eine Funktion Lösungsweg:
Mehr4 Die rationalen Zahlen
4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper
MehrMatrizen und Determinanten
Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion
MehrEs soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2
R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise
MehrUmwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke
Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.
MehrAbiturprüfung 2007. Mathematik, Leistungskurs 0,02
M LK HT Seite von Nme: Abiturprüfung 007 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung: Gegeben ist die Funtion f mit Ein Teil des Grphen von f ist für 0,0 t ft () = t e, t IR. 0 t 5 m Ende der Aufgbe uf Seite
MehrPräfixcodes und der Huffman Algorithmus
Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben
MehrÜbungen zur Vorlesung Physikalische Chemie I Lösungsvorschlag zu Blatt 3
Übungen zur Vorlesung Physiklische Chemie I Lösungsvorschlg zu Bltt 3 Prof. Dr. Norbert Hmpp 1. Aufgbe ) Die gegebene Verteilung besteht nur us diskreten Werten! Die durchgezogene Linie würde nur bei einer
MehrSeminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen
Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz sscholz@informtik.tu-cottbus.de Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle
MehrMathematik Brückenkurs
Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Mthemtik Brückenkurs im Fchbereich Informtik & Elektrotechnik Rumpfskript V7 Rumpfskript zur Vorlesung Mthemtik-Brückenkurs /86 Inhltsverzeichnis Mengen...
MehrÜ b u n g s b l a t t 13. Organisatorisches:
MATHEMATIK FÜ INFOMATIKE I WINTESEMESTE 7/8 POF. D. FIEDICH EISENBAND D. KAI GEHS Ü b u n g s b l t t 13 Orgnistorisches: Dieses Übungsbltt wir nicht mehr korrigiert. D ie Aufgben ennoch klusurrelevnt
MehrBrückenkurs MATHEMATIK
Brückenkurs MATHEMATIK Professor Dr. rer. nt. Bernd Bumnn Professor Dr. rer. nt. Ulrich Stein Hochschule für Angewndte Wissenschften Hmburg 5. März 008 VO R B E M E R K U N G E N Liebe Studentin, lieber
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
MehrBerechnung von Flächen unter Kurven
Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert
MehrMathematik fu r Ingenieure (Maschinenbau und Sicherheitstechnik) 2. Semester Apl. Prof. Dr. G. Herbort Dr. T. Pawlaschyk. SoSe16 Arbeitsheft Blatt 3
Mthemtik fu r Ingenieure (Mschinenu und Sicherheitstechnik). Semester Apl. Prof. Dr. G. Herort Dr. T. Pwlschyk SoSe6 Areitsheft Bltt Hinweis: Besuchen Sie die Vorlesung und vervollst ndigen Sie Areitsheft.
MehrNullstellen quadratischer Gleichungen
Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y
MehrTheoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung
Theoretische Informtik und Logik Üungsltt 2 (2013S) en Aufge 2.1 Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik n, welche die folgenden Sprchen erzeugt, sowie einen Aleitungsum für ein von Ihnen gewähltes
MehrKapitel 4. Duale Vektorräume. 4.1 Elementare Vorbemerkungen
Kpitel 4 Dule Vektorräume Zu jedem Vektorrum V gehört der Vektorrum ller lineren Abbildungen von V in seinen Sklrkörper; diese Abbildungen heißen uch Linerformen und bilden den zu V dulen Vektorrum V.
MehrWurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,
Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu
MehrAnalysis 1 und 2. Ernst Albrecht
Anlysis 1 und 2 Ernst Albrecht Vorlesungen im Wintersemester 2005/06 und Sommersemester 2006 Universität des Srlndes Srbrücken Stnd: 20. Juli 2006 Inhltsverzeichnis Kpitel 0. Zur Vorbereitung 1 1. Grundbegriffe
MehrÜbungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12
Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls
MehrAnalysis I - Stetige Funktionen
Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt
MehrRepetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion
Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen
MehrEinführung in Mathcad 14.0 2011 H.
Einführung in Mthc. H. Glvnik Eitieren von Termen Tet schreiben mit Shift " + + Nvigtion mit Leertste un Cursor + Löschen mit Shift + Entf + + 5 sin( ) + Arten von Gleichheitszeichen Definition eines Terms
MehrSpiele und logische Komplexitätsklassen
Spiele und logische Komplexitätsklssen Mrtin Horsch 26. Jnur 2006 Inhlt des Seminrvortrges Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel mit k Mrken Formeln mit k Vrilen und logische Komplexitätsklssen k-vrileneigenschft logischer
MehrAnalysis I/II. Skript zur Vorlesung 2009/2010. Peter Junghanns
Skript zur Vorlesung Anlysis I/II 9/ Peter Junghnns Hinweis: Ds vorliegende Skript stellt nur ein Gerüst zu den Inhlten der Vorlesung dr. Die Vorlesung selbst bietet weiterführende Erläuterungen, Beweise
MehrVorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre
Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt
MehrHöhere Mathematik II. Universität Stuttgart, SS 09 Prof. Dr. M. Griesemer. Integration
Höhere Mthemtik II Universität Stuttgrt, SS 09 Prof. Dr. M. Griesemer Integrtion Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R stetig. Ds bestimmte Integrl von f über [, b] ist die Zhl n f (x)dx = lim f (x k )
MehrEntscheidend ist, dass die Variable P als Funktion der Zeit t positive und negative Werte in beliebigem Wechsel annehmen kann.
Kpitel 6 Integrlrechnung 6.1 Ds bestimmte Integrl 6.1.1 Ds Windrd-Beispiel Ein privt betriebenes Windrd sei mit dem überregionlen Stromnetz verbunden. An der Netzschnittstelle sitze ein Messgerät, welches
MehrMathematik II Mitschrift
Mthemtik II Mitschrift Thilo Fester Till Helge Helwig 19 Juli 2006 Vorlesung wurde gehlten von Dr Michel Huber im Sommersemester 2006 Ds erste Kpitel der Vorlesung bsiert uf Mthemtik für Informtiker I
MehrEin Aufschrieb der Vorlesung Analysis I an der Uni Karlsruhe im Wintersemester 1998/99, gelesen von Priv.-Doz. Dr. G. Herzog.
Anlysis I Ein Aufschrieb der Vorlesung Anlysis I n der Uni Krlsruhe im Wintersemester 1998/99, gelesen von Priv.-Doz. Dr. G. Herzog. GeTEXt von Andres Klöckner (k@ixion.net). Für Kommentre und Berichtigungen
MehrProtokoll zur Vorlesung Theoretische Informatik I
Protokoll zur Vorlesung Theoretishe Informtik I! " # $ % # & ' ( % ) * + & " & & &, " ' % + - + # + & '. / 0 1 # 0 & 2 & # & 3 4 & 5 # 0 + & 6 & ' + 7 7 3 8 4 & 7 + + + % ( % 6 # 9 & 5 # 0 + & 3 8. : &
MehrSchreibweise : Der lineare Unterraum D(A) = L heißt Definitionsbereich. Für häufige Situationen L = X schreiben wir A : X Y.
Kpitel 3 Linere Opertoren 3.1 Grundlegene Definitionen Wir betrchten in diesem Kpitel eine geringfügige Verllgemeinerung der m Ende von Abschnitt 2.1 eingeführten Begriffe des lineren Opertors bzw. der
MehrAnalysis mit dem Voyage 1
Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich
MehrMathematik PM Rechenarten
Rechenrten.1 Addition Ds Pluszeichen besgt, dss mn zur Zhl die Zhl b hinzuzählt oder ddiert. Aus diesem Grunde heisst diese Rechenrt uch Addition. + b = c Summnd plus Summnd gleich Summe Kommuttivgesetz
MehrTeil 1. Kurseinheit 1
Teil 1 Kurseinheit 1 1 Inhlt der Kurseinheit Studierhinweise und Nottionen 5 1 Ds Riemnn-Integrl 13 1.1 Definition und elementre Eigenschften............... 14 Anhng: Gleichmäßige Stetigkeit....................
MehrWir wollen den Inhalt A der Fläche bestimmen, den der Graph von f mit der x-achse und den zu a und b gehörendenden Ordinaten einschließt.
I. Integrlrechnung 1 ================================================================= 1.1 Oer- und Untersumme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrAufgabe 5 (Lineare Nachfragefunktion): Gegeben sei die (aggregierte) Nachfragefunktion des Gutes x durch:
LÖSUNG AUFGABE 5 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK SEITE VON 5 Aufgbe 5 (Linere Nchfrgefunktion): Gegeben sei die (ggregierte) Nchfrgefunktion des Gutes durch: ( = b, > 0, b > 0. Dbei bezeichnen den Preis des Gutes
Mehr