6 Numerische Integration

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1 6 Numerische Integrtion 6.1 Newton-Cotes Formeln In diesem und den folgenden Abschnitten wollen wir ds Integrl fxdx durch ein numerisches Verfhren pproximieren. Durch die linere Trnsformtion x = + tb können wir es uf die Form bringen. fxdx = b f+tb dt Bei den interpoltorischen Qudrturformeln interpolieren wir f n den Stützstellen x,x 1,...,x n [,1] durch ein Polynom p È n und können pxdx ls Näherung für fxdx nehmen. Mit l j x = x x...x x j 1 x x j+1...x x n x x...x j x j 1 x j x j+1...x j x n. gilt nch der Lgrngeschen Interpoltionsformel und mn erhält Die Gewichte Qf = px = fx j l j x È n j= fx j l j xdx = j= α j = fx j j= l j xdx l j xdx = α j fx j. hängen dbei nur von den gewählten Stützstellen x,...,x n, ber nicht von der zu integrierenden Funktion f b. Beispiele 6.1 i Für n = und x =.5 gilt l = 1, 1dx = 1, und wir erhlten die Formel die Rechteck- oder Mittelpunktsregel gennnt wird. fxdx f.5 = Rf, ii Für n = 1 und x =, x 1 = 1 ist l x = 1 x und l 1 x = x. Für die Gewichte erhält mn durch Integrtion α = α 1 =.5 und dmit die Trpezregel fxdx 1 2 f+f1 = Tf. iii Für n = 2, x =, x 1 =.5, x 2 = 1 erhält mn entsprechend die Simpson Regel j= fxdx 1 6 fx +4f.5+f1 = Sf, die in der deutschsprchigen Litertur uch Keplersche Fssregel gennnt wird. 48

2 Die in ii und iii hergeleiteten Formeln, bei denen zwei Stützstellen des Interpoltionspolynoms n den Intervllenden gewählt werden, sind Beispiele für bgeschlossene Newton-Cotes Formeln. Die llgemeine Form dieser Formeln erhält mn durch x j = j/n. fxdx j= α n j f j. n n α n j Nme 1 1/2 1/2 Trpezregel 2 1/6 4/6 1/6 Simpson Regel 3 1/8 3/8 3/8 1/8 3/8 Regel 4 7/9 32/9 12/9 32/9 7/9 Milne Regel Mit den Gewichten wie in dieser Tbelle erhält mn für die Approximtion des Integrls fxdx die Formeln b j= α j fx j, x j = +j b n für j =,1,...,n. Beispiel i zeigt mit der Mittelpunktsformel eine offene Newton-Cotes Formel. Bei diesen werden die Rndpunkte des Intervlls nicht für die Interpoltion verwendet. Außer der Mittelpunktsformel werden diese Formeln nicht mehr benutzt. Für die bgeschlossenen Formeln treten für n 8 wechselnde Vorzeichen uf. Diese Formeln sind dher nfällig für Rundungsfehler. Mn benutzt die Newton-Cotes Formeln dher nur für kleine n uf Teilintervllen von [, b] und summiert uf. Mn erhält dnn die summierten Newton-Cotes Formeln oder zusmmengesetzten Newton-Cotes Formeln. Für äquidistnte Zerlegungen erhlten wir die summierte Rechtecksregel h = b m, x j = +jh, j =,...,m sowie die summierte Trpezregel fxdx h m fx j h 2 = R hf j=1 m 1 1 fxdx h 2 f+ fx j fb = T h f. j=1 6.2 Fehler von Qudrturformeln Wir betrchten ds Integrl If = fxdx und eine zugehörige Qudrturformel, die nicht notwendig vom interpoltorischen Typ ist, mit Qf = ω i fx i, x i [,1], ω i Ê für i =,...,n. i= 49

3 Wir sgen, die Qudrturformel ht die Fehlerordnung m, wenn sie uf den Polynomen vom Grd m 1 exkt ist, genuer i Ip Qp = für lle Polynome p È m 1, ii Ip Qp für ein Polynome p È m. Nch Konstruktion ist eine uf n Stützstellen fußende interpoltorische Qudrturformel mindestens uf È n 1 exkt und dher mindestens von der Ordnung n. Bei der Trpezregel ist dies uch die exkte Fehlerordnung wegen Ix 2 = x 2 dx = 1 3, Tx2 = = 1 2. Dgegen hben die Rechteckregel und lle Newton-Cotes Formeln mit Stützstellen = x,...,x n = 1 mit ungerder Zhl von Stützstellen eine um Eins erhöhte Ordnung. Für die Rechteckformel erhält mn nämlich lso m = 2. Für die Simpson Regel ist Ix = 1 2 = Rx, Ix 3 = 1 4, Sx3 = = 1 4, Ix4 Sx 4, dher m = 4. Für die llgemeine Newton-Cotes Formel mit ungerdem n bleibt der Beweis dem Leser überlssen. Stz 6.2 Es sei Q eine Qudrturformel der Fehlerordnung m 1. Dnn gibt es eine Funktion K : [,1] Ê, so dss der Fehler von Q die Drstellung 6.1 Ef = fxdx Qf = Kxf m xdx für lle f C m [,1] besitzt. Die Funktion K heißt Peno-Kern der Qudrturformel Q. Beweis: Nch dem Stz von Tylor gilt fx = m 1 k= und wegen p È m 1 folgt mit f k x k + k! 1 m 1! x f m tx t m 1 dt = px+rx t k + = { t k flls t, flls t <, k Æ, Ef = Ep+Er = Er { 1 1 x = f m tx t m 1 dtdx m 1! = = 1 m 1! 1 m 1! { t f m tx t m 1 dxdt 1 m 1 tm i= } xi ω i f m tx i t m 1 dt i= ω i i= ω i x i t + m 1 f m tdt, f m tx i t m 1 + dt } 5

4 demnch gilt 6.1 mit Kx = 1 1 m 1! m 1 xm i= ω i x i x m 1 +. Beispiele 6.3 i Für die Trpezregel gilt x =, x 1 = 1, ω = ω 1 =.5, m = 2, lso K T x = x x = 1 2 x1 x. ii Für die Simpson-Regel hben wir x =, x 1 =.5, x 2 = 1, ω = ω 2 = 1/6, ω 1 = 2/3 sowie m = 4, dher K S x = 1 1 3! 4 1 x x x 3. + Wenn wir wissen, dss der Peno-Kern ds Vorzeichen nicht wechselt, so können wir in 6.1 mit dem Mittelwertstz der Integrlrechnung schließen 6.2 Ef = f m ξ c m heißt dnn Fehlerkonstnte der Qudrturformel Q. Kxdx = c m f m ξ, ξ,1. Für die Trpezregel gilt K T x = 1 2x1 x. D T die Ordnung 2 besitzt, erhlten wir E T f = 1 2 f ξ x1 xdx = 1 12 f ξ. Auch für die Simpson Regel hben wir ein einheitliches Vorzeichen, K S x = 1 3! x x x3 +. Durch Integrtion von K erhält mn für den Fehler der Simpson Regel E S f = f4 ξ. Mn knn die Fehlerkonstnte uch ohne explizite Kenntnis des Peno-Kerns bestimmen, wenn mn nur weiß, dss er ds Vorzeichen nicht wechselt. Es gilt nämlich x m m = m! und us 6.2 folgt Ex m = m! c m. Für die Simpson-Regel gilt dher E S x 4 = x 4 dx = = 1 12, c 4 = 1 4! 1 = Kommen wir nun zu Fehlerbschätzungen für die summierte Version der Newton-Cotes Formeln. Wir unterteilen dzu ds Intervll [,b] äquidistnt in n Intervlle der Länge h = b /n und wenden die Formel uf jedes dieser Teilintervlle n. Um Fehlerbschätzungen für solch ein 51

5 summiertes Verfhren zu bekommen, müssen wir erst einml eine Fehlerbschätzung für ein kleines Intervll der Länge h herleiten. Auf α+h wenden wir die Trnsformtion x = α+ht n α+h α fxdx = h α fxdx gtdt, gt = fα+ht = fx. Für ds uf ds Intervll [, 1] trnsformierte Integrl verwenden wir die Qudrturformel Qg = ω i gx i i= und erhlten uf dem Intervll [α,α+h] entsprechend Für den Fehler gilt 6.3 Q [α,α+h] f = h E [α,α+h] f = α+h α = h ω i fα+hx i. i= fxdx Q [α,α+h] f gtdt Qg = heg. In jedem Fll, lso uch wenn der Peno-Kern nicht ds Vorzeichen wechselt, erhlten wir us 6.1 die Fehlerbschätzung Mit folgt us 6.3 Eg mx x [,1] gm Für die summierte Qudrturformel d m g dt m = dm f dx m Kx dx = c m mx x [,1] gm. dx m = h m dm f dt dx m E [α,α+h] f c m h m+1 mx x [,1] fm. Q h f = Q [α+i 1h,α+ih] f erhält mn us der letzten Fehlerbschätzung mit der Dreiecksungleichung fx Q h f = +ih fxdx Q [+i 1h,+ih] f +i 1h E [+i 1h,+ih] f h m+1 c m mx f m x x = nh m+1 c m f m = h m b c m f m. 52

6 Für die summierte Trpezregel erhält mn dher für den Fehler fxdx T h f h2 12 b f, und für die summierte Simpson Regel fxdx S h f h4 288 b f Ds Romberg-Verfhren In diesem Abschnitt pproximieren wir ds Integrl fxdx durch die summierte Trpezregel T h f = h n 1 f+2 fx i +fb, h = b 2 n, x i = +ih. Wir werden eine symptotische Entwicklung in h für dieses Verfhren beweisen, die dnn den Einstz eines Extrpoltionsverfhrens rechtfertigt. Stz 6.4 Euler-Mclurinsche Summenformel Sei g C 2m+2 [,n], n Æ, und T 1 g = 1 n 1 2 g+ gj+ 1 2 gn die summierte Trpezformel zur Schrittweite h = 1. Dnn gibt es Konstnten C 1,...,C m Ê und eine beschränkte Funktion φ 2m+2 : Ê Ê, so dss 6.4 gtdt = T 1 g m C j g 2j 1 n g 2j 1 +R m g j=1 gilt mit 6.5 R m g = φ2m+2 t φ 2m+2 g 2m+2 tdt. Beweis: Mit der periodischen Funktion φ 1 t = t 1 2, t < 1, φ 1t+1 = φ 1 t, t Ê, erhält mn durch prtielle Integrtion für j = 1,...,n j j 1 gtdt = φ 1 tgt j j 1 j j 1 = 1 j gj+gj 1 2 φ 1 tg tdt j 1 φ 1 tg tdt, und durch Summtion 6.6 gt = T 1 g φ 1 tg tdt. 53

7 UmdsIntegrlufderrechtenSeiteumzuformen,benötigenwirdieStmmfunktionenφ j : Ê Ê, j 2, mit φ j = φ j 1. φ 1 besitzt die Fourier-Reihe φ 1 t = 2 k=1 sin2πkt. 2πk Durch wiederholte Anwendung gliedweiser Integrtion erhält mn die Drstellungen φ 2j t = 2 1 j+1 k=1 φ 2j+1 t = 2 1 j+1 k=1 cos2πkt 2πk 2j, j 1, sin2πkt 2πk 2j+1, j, Nch dem Mjorntenkriterium konvergieren die Reihen φ j für j 2 gleichmäßig in Ê. Dher gilt φ j = φ j 1 für j 3. D die Fourierreihe von φ 1 für jedes bgeschlossene Intervll, ds keine gnzzhligen Punkte enthält, gleichmäßig gegen φ 1 konvergiert, gilt uch φ 2 t = φ 1t für lle t /. Dmit folgt us 6.6 gtdt T 1 g = φ 1 tg tdt = φ 2 tg t n + φ 2 tg tdt =... = 2m+1 1 j+1 φ j tg j 1 t n φ 2m+1 tg 2m+1 tdt, j=2 und mit nochmliger prtieller Integrtion Offensichtlich gilt φ 2m+1 tg 2m+1 tdt = φ 2j+1 = φ 2j+1 n =, j Æ, φ 2j = φ 2j n = 1 j+1 Dher folgt die Entwicklung 6.4 mit C j = φ 2j. Bemerkung 6.5 Die Zhlen φ2m+2 t φ 2m+2 g 2m+2 tdt. k=1 2 2πk 2j, j 1. B j = 1 j+1 2j!φ 2j, j Æ, heißen Bernoulli-Zhlen. Mit ihnen lutet die Euler-Mclurinsche Summenformel in der üblichen Drstellung gtdt T 1 g = m j=1 1 j B j g 2j 1 n g 2j 1 +R m g. 2j! Als Folgerung erhlten wir die symptotische Entwicklung des Fehlers der summierten Trpezregel: 54

8 Korollr 6.6 Ist f C 2m+2 [,b] und h = b /n, n Æ, so gilt 6.7 T h f = fxdx+ m c j h 2j +ψ m+1 hh 2m+2, wobei ψ m+1 h M mit einer von h unbhängigen Konstnten M gilt. j=1 Beweis: Mit x = +th und gt = f+th gilt fxdx = h gtdt und T h f = ht 1 g, und dher folgt mit g j t = h j f j +th us der Euler-Mclurinschen Summenformel 6.4 wobei T h f = hr m g = h fxdx+ = h 2m+2 m C j f 2j 1 b f 2j 1 h 2j hr m g, j=1 φ2m+2 t φ 2m+2 g 2m+2 tdt x φ 2m+2 φ 2m+2 f 2m+2 xdx h gilt. D φ 2m+2 ls stetige und periodische Funktion beschränkt ist, ist uch x ψ m+1 h = φ 2m+2 φ 2m+2 f 2m+2 xdx h beschränkt. Wir verwenden ds letzte Korollr, um durch Extrpoltion zu rsch konvergierenden Integrtionsmethodenzugelngen.VernchlässigtmnbeiderEntwicklungvonT h fin6.7dsrestglied, so lässt sich T h f ls ein Polynom in h 2 uffssen, ds für h = den Wert c := fxdx liefert. Wir bestimmen dher zu verschiedenen Schrittweiten h,h 1,...,h m > die Trpezsummen T h f, j =,...,m. Dnn gibt es ein eindeutiges Polynom p È m in h 2 mit ph 2 j = T hj f, j =,...,m. p ist dnn eine verbesserte Näherung von fxdx. D nur der Wert p bestimmt werden soll, bietet sich ds Neville-Schem zu seiner Berechnung n. Sei h = b, h j = h /n j, n j < n j+1, j = 1,...,m, und sei T jj = T hj f die Trpezsumme zur Schrittweite h j. Weiter sei p ij h, i j m, ds Polynom vom Grd j i in h 2, für ds gilt p ij h k = T kk, k = i,...,j. Für die extrpolierten Werte T ij = p ij gilt dnn nch dem Neville-Schem 6.8 T ij = T i+1j + T i+1j T ij 1 hi h j 2 1, i < j m. Dieses Verfhren wurde erstmls von Romberg im Jhre 1955 vorgeschlgen mit den Schrittweiten h i = b 2 i. In diesem Fll bekommen wir die einfcheren Formeln T ij = 4j i T i+1j T ij 1 4 j i. 1 55

9 Für die Näherungen von fxdx T T 11 T 22 T 33 T 44 T 1 T 12 T 23 T 34 T 2 T 13 T 24 T 3 T 14 T 4 gilt dnn: T ist der Wert der Trpezregel uf dem Intervll [,b], T 1 der Wert der Simpson-Regel und T 2 der Wert der Milne-Regel. Die T j stellen für j 3 keine Newton-Cotes Formeln dr. Die Romberg-Folge h i = b 2 i ht den Vorteil, dss mn für die Berechnung von T i+1i+1 uf die schon bei T ii berechneten Funktionswerte zurückgreifen knn. Der Nchteil besteht drin, dss die Zhl der Auswertungen trotz des gerde beschriebenen Spreffekts strk nsteigt. Eine gute Alterntive zur Romberg-Folge stellt dher die Bulirsch-Folge 1, 1 2, 1 3, 1 4, h, h = b, dr. Auch hier knn mn nch den ersten Schritten viele lte Auswertungen wiederverwenden. Beispiel 6.7 Für ds Integrl e x sin5xdx = erhlten wir für T 5 fxdx bei Verwendung der Romberg-Folge Funktionsuswertungen Bulirsch-Folge Funktionsuswertungen Die Bulirsch-Folge ist lso zumindest in diesem Beispiel klr vorzuziehen. Für die Theorie der Romberg-Integrtion muss n die Whl der Schrittweiten h j Folgendes vorusgesetzt werden: Es gibt eine Konstnte η < 1, so dss h j ηh j 1 für lle j erfüllt ist. Für dieromberg-folgeistdiesebedingungmitη = 1 2 erfülltundfürdiebulirsch-folgemitη = 3 4.Unter dieser Vorussetzung knn mn die verbesserte Konvergenz des Extrpoltionsverfhren beweisen. Wir zitieren hier nur ein spezielleres Resultt: Stz 6.8 Seien T ik die Werte des Neville-Schems zur Bestimmung von fxdx unter Verwendung von Trpezsummen mit der Romberg- oder der Bulirsch-Folge. Für genügend oft uf dem Intervll [,b] stetig differenzierbrem f gilt: Für jedes k Æ gibt es ein ξ [,b] mit T ik B k+1 fxdx = b 2k +2! f2k+2 ξ k j= h 2 i j. 6.4 Qudrturformeln von Guß Bisher hben wir in den Newton-Cotes Formeln eine äquidistnte Verteilung der Stützstellen uf dem Intervll [, b] zugrunde gelegt. In diesem Abschnitt frgen wir, ob durch eine geschicktere Whl der Stützstellen noch bessere Fehlerordnungen erzielt werden können. Wit studieren die numerische Approximtion von Integrlen der Form If = 56 ωfxdx

10 mit der Gewichtsfunktion ω. In diesem Abschnitt knn ds Integrl uch ein uneigentliches sein, d.h. die Grenzen können uch die Werte bzw. sein, sofern die Gewichtsfunktion dies zulässt. Ds wichtigste Beispiel ist ωx = exp x 2, bei der im obigen Integrl über gnz Ê integriert werden knn. Genuer setzen wir n die Gewichtsfunktion vorus: i ω ist messbr mit ω in,b. ii Die Momente µ k = existieren für lle k Æ und µ = ωxdx >. iii Für jedes Polynom px mit x k ωxdx gilt ωxpxdx = und px in,b px = in,b. Diese Vorussetzungen sind bei einem beschränkten Integrtionsintervll für ωx = 1 erfüllt. Aufgbe Gesucht sind Stützstellen x 1,...,x n [,b] und Gewichte ω 1,...,ω n Ê, so dss die Formel I n f = ω i fx i für glttes f von möglichst hoher Ordnung ist, d.h. Ip = I n p für lle p È k. Im Folgenden verwenden wir die Bilinerform f,g = ωxfxgx dx. Nch den Vorussetzungen i und iii gilt p,p > für lle Polynome p mit p. Auf dem Rum der Polynome ist, dher ein Sklrprodukt. Mit È i bezeichnen wir die Menge der Polynome vom Grd i mit führendem Koeffizienten i = 1. Stz 6.9 Eigenschften orthogonler Polynome Es gibt eindeutig bestimmte Polynome p i È i mit p i,p k = für i k. Diese genügen den Rekursionsformeln p x = 1 p i+1 x = x δ i+1 p i x γ 2 ip i 1 x, i, mit p 1 x = und δ i+1 = xp i,p i p i,p i, i, für i =, γi+1 2 = p i,p i für i 1. p i 1,p i 1 57

11 Beweis: Wir verwenden ds Schmidtsche Orthogonlisierungsverfhren. p = 1 ist klr. Seien p j È j für j i bereits konstruiert. D diese p j eine Bsis von È i bilden und p i+1 È i+1 folgt p i+1 x = x+c i p i x+c i 1 p i 1 x+...+c p x. Durch geeignete Whl der c j müssen wir die Bedingungen p i+1 p j für j =,...,i erfüllen. Wegen der Induktionsvorussetzung p k,p l = für k < l i gilt für die c i x+ci p i,p i = xp i,p j +c j p j,p j = für j =,...,i 1. Nch Vorussetzung iii gilt p j,p j >, womit die c j eindeutig bestimmt sind. Für j i 2 gilt xp i,p j = p i,xp j = wegen xp j È j+1 und dmit c j = für diese j. Für j = i und j = i 1 erhlten wir Nch Induktionsvorussetzung gilt c i = xp i,p i p i,p i, c i 1 = xp i 1,p i p i 1,p i 1 und dmit p i x = x δ i p i 1 x γ 2 ip i 2 x p i,p i = xp i 1,p i. Dmit ist wie in der Behuptung ngegeben c i = δ i+1 und c i 1 = γ 2 i+1 >. Korollr 6.1 Es gilt p n,p = für lle p È n 1. Stz 6.11 Nullstellen der orthogonlen Polynome Die Nullstellen x 1,...,x n von p n sind einfch, reell und liegen lle im Intervll, b. Beweis: Seien < x 1 <... < x l < b die Nullstellen von p n im Intervll,b, in denen p n ds Vorzeichen wechselt. Wenn l < n, so setze px = l x x i È l. p wechselt in jedem x i ds Vorzeichen, pp n dher nicht. Dies ist ein Widerspruch zu p n,p =. Lemm 6.12 Für beliebige x 1 < x 2 <... < x n ist die Mtrix p x 1 p x n A =.. p n 1 x 1 p n 1 x n regulär. 58

12 Beweis: Wäre A singulär, so gäbe es ein c Ê n \{} mit n 1 qx j = c i p i x j = für j = 1,...,n. i= Dnn wäre wegen grdq n 1 uch q =. Dies ist ein Widerspruch zur lineren Unbhängigkeit der p i. Stz 6.13 Gußsche Qudrturformel Seien x 1,...,x n die Nullstellen von p n und ω 1,...,ω n die Lösung des lineren Gleichungssystems { p,p für k = p k x i ω i = für k = 1,...,n 1. Dnn gilt ω i > sowie ωxpx dx = ω i px i für lle p È 2n 1. b Es gibt keine Qudrturformel mit n Stützstellen, die uf È 2n exkt ist. Beweis: Die ω i sind ls Lösung des lineren Gleichungssystems mit Mtrix A us dem letzten Lemm eindeutig bestimmt. Die Formel I n r = ω i rx i ist nch Konstruktion exkt uf dem Rum È n 1, denn mit n 1 rx = α i p i x folgt i= n 1 ωxrxdx = r,p = α i p i,p = α p,p = I n r. Jedes p È 2n 1 lässt sich eindeutig in der Form px = p n xqx+rx, q,r È n 1 schreiben. Wegen p n q folgt ωxpxdx = p,p = p n,q+r,p = r,p = I n r. Dmit ist die Qudrturformel exkt uf È 2n 1. Für i {1,...,n} setze n qx = x x i 2 È 2n 1. Wegen q, q, folgt < j=1, j i ωxqxdx = I n q = ω i qx i 59

13 und dmit ω i >. b Angenommen, es gibt eine Qudrturformel Ĩ n mit prweise verschiedenen Stützstellen x 1,...,x n [,b], die uf È 2n exkt ist. Ds Polynom erfüllt q, q, dher ws einen Widerspruch bedeutet. < qx = n x x i 2 È 2n. ωxqxdx = Ĩnq =, Die Guß-Formel I n besitzt dher den optimlen Exktheitsgrd. Stz 6.14 Sei f C 2n [,b]. Dnn gilt für die Guß-Formel I n für ein ξ,b. ωxfxdx ω i fx i = f2n ξ p n,p n 2n! Beweis: Sei p È 2n 1 ds hermitesche Interpoltionspolynom 5.1 n den Stützstellen x 1,...,x n. Nch 5.11 gilt für den Interpoltionsfehler rx = fx px = f2n ηx x x x x n 2. 2n! mit einem ηx [,b]. p n È n ht die Nullstellen x 1,...,x n und der führende Koeffizient von p n ist 1. Dher ist p n x = x x 1...x x n und us der letzten Formel erhlten wir 6.9 rx = f2n ηx p 2 2n! nx. Aus der Regel von de l Hospitl folgt, dss f 2n ηx = fx px p 2 2n! nx stetig in [, b] ist. Wir multiplizieren 6.9 mit der Gewichtsfunktion ω, integrieren und können wegen ωxp 2 nx den Mittelwertstz der Integrlrechnung nwenden 6.1 ωxrxdx = f2n ξ 2n! ωxp 2 nxdx = f2n ξ p n,p n, ξ [,b]. 2n! Wegen p È 2n 1 folgt ωxrx dx = = = ωxfxdx ωxfxdx ωxfxdx ωxpx dx ω i px i ω i fx i = If I n f. 6

14 Die Behuptung folgt us der letzten Identität und 6.1. Mn knn dher uch nichtgltte Integrnden behndeln, wenn mn die Singulrität in ω steckt. Sei nun ω = 1 und [,b] = [ 1,1]. Dnn gilt p k x = k! 2k! d k dx kx2 1 k, k Æ. Die p k heißen uch Legendre-Polynome. Wir zeigen, dss dies die gesuchten Polynome sind. Der führende Koeffizient von p k ist k! 2k! d k dx kx2k = x k, lso p k È k. Für l < k folgt mit mehrfcher Anwendung der prtiellen Integrtion 1 l!k! p l xp k xdx = 2l!2k! = Nl,k =... =. 1 1 d l dx lx2 1 l dk dx kx2 1 k dx d l+1 dx l+1x2 1 l dk 1 dx k 1x2 1 k dx Durch Bestimmung der Nullstellen der p k erhlten wir dher die Guß-Formeln zur Approximtion von 1 fxdx: n ω i x i Beispiel 6.15 Wir pproximieren 1 ω 1 = 2 x 1 = 2 ω 1 = ω 2 = 1 x 2 = x 1 = ω 1 = ω 3 = 5 9 x 3 = x 1 = 2 1 ω 2 = 8 9 x 2 = dx x Für die Qudrturformel mit n = 3 erhlten wir = ln2 = x 1 = ω 1 = x 2 = 1.5 ω 2 = 4 9 x 3 = ω 3 = 5 18 und dher 1 I 3 = x Dmit reicht I 3 us, um eine vierstellige Logrithmentfel ufzustellen. 61

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