Kapitel 4. Numerische Integration

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1 Kpitel 4. Numerische Integrtion 4.1 Interpoltorische Qudrturformeln 4.2 Gußsche Qudrturformeln 4.3 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren 4.4 Prktische Aspekte der Integrtion Numerische Mthemtik I 147

2 Interpoltorische Qudrturformeln 4.1 Interpoltorische Qudrturformeln Ziel: Näherungswerte für bestimmte Integrle, wenn sich keine geschlossene Form der Stmmfunktion finden lässt. Beispiele: Die Stmmfunktion F(x) = x 0 e t2 dt benötigt mn in der Whrscheinlichkeitstheorie, um Werte der Normlverteilung zu berechnen. Der Integrlsinus x 0 sint t Integrl-Exponentilfunktion dt spielt eine Rolle in der Signlverrbeitung x e t t dt und Integrl-Logrithmus x 0 dt lnt Numerische Mthemtik I 148

3 Interpoltorische Qudrturformeln Möglichkeiten zur numerischen Berechnung von Näherungswerten: Potenzreihe der Stmmfunktion bilden und die Prtilsummen n den Integrtionsgrenzen uswerten Hier: Formeln für Näherungsflächen verwenden (z.b. Trpezregel, Keplersche Fss-Regel) Numerische Mthemtik I 149

4 Interpoltorische Qudrturformeln Definition: Qudrturformel Definition: Qudrturformel Eine Näherung des bestimmten Integrls Qudrturformel ngegeben, wobei I n (f;[,b]) = f(x)dx wird durch die n ω i f(x i ) x 0 < x 1 < < x n die Knoten (meistens in [,b] gewählt) und ω 0,ω 1,...,ω n R die Gewichte bezeichnen. Die Qudrturformel heißt interpoltorisch, wenn ihre Gewichte i=0 ω k = L n,k (x)dx, k = 0,...,n sind, wobei L n,k (x) = n j=0 j k x x j x k x j die Lgrnge-Grundpolynome bezeichnen. Numerische Mthemtik I 150

5 Interpoltorische Qudrturformeln Definition: Qudrturformel Bechte: Für jedes Polynom p P n gilt n p(x) = p(x k )L n,k (x). p interpoliert sich selbst k=0 Also liefert jede interpoltorische Qudrturformel mit n + 1 Knoten n I n(p;[,b]) = ω k p(x k ) = p(x) dx, k=0 d.h. sie ergibt den exkten Wert des Integrls von p. Definition und Bemerkung Eine Qudrturformel ht den Exktheitsgrd m (oder die Ordnung m + 1), flls sie für lle Polynome p P m vom Grd kleiner oder gleich m den exkten Wert p(x)dx liefert. Jede interpoltorische Qudrturformel (mit n + 1 Knoten) ht mindestens den Exktheitsgrd n und höchstens den Exktheitsgrd 2n + 1. Denn: mindestens Exktheitsgrd n: Definition interpoltorisch höchstens Exktheitsgrd 2n+1: für q(x) = n j=0 (x x j) 2 gilt q(x)dx > 0, ber In(q) = 0. Numerische Mthemtik I 151

6 Interpoltorische Qudrturformeln Beispiele: Beispiele: Für f(x) dx verwendete Qudrturformeln ( ) +b ) (b )f Mittelpunktsregel 2 b) c) b 2 b 6 (f() + f(b)) ( f()+4f ( +b 2 ) ) +f(b) uch ls Keplersche Fss-Regel bezeichnet. Trpezregel Simpsonregel Numerische Mthemtik I 152

7 Interpoltorische Qudrturformeln Beispiele: Durch Aufteilen des Intervlls [,b] in N Teile [ k 1, k ] mit k = +k b N, k = 0,1,...,N, und verwenden der Mittelpunkte y k = k 1+ k 2, lso = 0 < y 1 < 1 < y 2 < < N 1 < y N < N = b erhält mn die summierten Regeln: ) summierte Mittelpunktsregel b ) summierte Trpezregel I Σ 0 (f;n) = b N (f(y 1)+f(y 2 )+ +f(y N )) I Σ 1 (f;n) = frcb 2N (f()+2f( 1)+2f( 2 )+ +2f( N 1 )+f(b)) c ) summierte Simpsonregel I Σ 2 (f;n) = b 6N (f()+4f(y 1)+2f( 1 )+4f(y 2 )+ +2f( N 1 )+4f(y N )+f(b)) Numerische Mthemtik I 153

8 Interpoltorische Qudrturformeln Definition: Newton-Cotes Formeln Systemtik zur Definition der einfchen Regeln: Gegeben sei ds Integrl f(x)dx Definition: Newton-Cotes Formeln Für gegebenes n N wählen wir die Knoten x k = +k b n, k = 0,1,...,n, die Gewichte ω k = Qudrturformel. L n,k (x)dx wie üblich für eine interpoltorische Bemerkung: Der Exktheitsgrd der Newton-Cotes Formeln mit n + 1 Knoten ist n für ungerdes n, n+1 für gerdes n. Numerische Mthemtik I 154

9 Interpoltorische Qudrturformeln Definition: Newton-Cotes Formeln Beispiele: Die Newton-Cotes Formeln mit n = 1: Trpezregel n = 2: Simpsonregel n = 3: 3 8 -Regel f(x)dx b 8 ( f()+3f ( 2+b 3 ) +3f ( +2b 3 ) ) +f(b) Numerische Mthemtik I 155

10 Interpoltorische Qudrturformeln Bemerkung: Bemerkung: Ein einfcher Weg zur Berechnung der Gewichte: Ansttt der Formel ω k = L n,k(x)dx knn mn die Gewichte uch us den Exktheitsforderungen bestimmen: 1dx = ω 0 + ω ω n (x )dx = ω 0(x 0 ) + ω 1 (x 1 ) + + ω n (x n ). (x )n dx = ω 0 (x 0 ) n + ω 1 (x 1 ) n + + ω n (x n ) n Dies ist ein lineres Gleichungssystem mit den Unbeknnten ω 0,...,ω n und der rechten Seite (b, (b )2 2,..., (b )n+1 n+1 ) T, ds für vorgegebene Knoten x 0 < x 1 < < x n eindeutig lösbr ist (Trnsponierte der Vndermonde-Mtrix!). Numerische Mthemtik I 156

11 Interpoltorische Qudrturformeln Bemerkung: Bemerkung: Als Vrinte verwendet mn uch die offenen Newton-Cotes Formeln, bei denen die Rndpunkte des Intervlls keine Knoten sind: Knoten x k = +k b n+2, k = 0,2,...,n, Gewichte wie üblich (interpoltorisch) Der Exktheitsgrd der offenen Newton-Cotes Formeln mit n + 1 Knoten ist wieder n für ungerdes n, n+1 für gerdes n. Als Beispiel für n = 0 ergibt sich die Mittelpunktsregel. Numerische Mthemtik I 157

12 Interpoltorische Qudrturformeln Stz: Fehler der Qudrturformel Die Exktheit für Polynome vom Grd n führt zur Drstellung des Fehlers der Qudrturformel Stz: Fehler der Qudrturformel Für eine interpoltorische Qudrturformel mit n+1 Knoten x 0,...,x n gilt f(x)dx I n (f;[,b]) = f[x 0,...,x n,x] n (x x j )dx. j=0 Numerische Mthemtik I 158

13 Interpoltorische Qudrturformeln Stz Stz Für eine (m +1)-ml differenzierbre Funktion f : [,b] R gelten die folgenden Aussgen: ) n = 0, m = 1: Mittelpunktsregel b) n = 1, m = 1: Trpezregel ( ) +b f(x)dx (b )f = 2 (b )3 24 f (ξ) c) n = 2, m = 3: Simpsonregel f(x)dx b 6 f(x)dx b 2 ( f()+4f (b )3 (f()+f(b)) = 12 ( +b 2 f (ξ) ) ) (b )5 +f(b) = 2880 f (4) (ξ) Hierbei ist m jeweils der Exktheitsgrd der Qudrturformel, n + 1 ihre Knotenzhl und ξ [,b] ein geeigneter Punkt. Numerische Mthemtik I 159

14 Interpoltorische Qudrturformeln Stz Stz Für die summierten Qudrturformeln (Aufteilung von [, b] in N Teilintervlle der Länge h = (b )/N) gelten die folgenden Aussgen (mit geeignetem ξ [,b]): ) summierte Mittelpunktsregel: f(x)dx b N (f(y (b )h2 1)+f(y 2 )+ +f(y N )) = 24 f (ξ) b ) summierte Trpezregel: f(x)dx b 2N (f()+2f( 1)+2f( 2 )+ +2f( N 1 )+f(b)) = (b )h2 f (ξ) 12 c ) summierte Simpsonregel: f(x)dx b 6N ( f()+4f(y 1 )+2f( 1 )+4f(y 2 )+ ) (b )h4 +2f( N 1 )+4f(y N )+f(b) = f (4) (ξ) 2880 Numerische Mthemtik I 160

15 Interpoltorische Qudrturformeln Beispiel: Beispiel: Zur Berechnung von 2 1 dx = ln2 = verwenden wir die Mittelpunkts-, Trpez- und 1 x Simpsonregel sowie die summierten Regeln mit N = 2 und N = 4 Teilintervllen: N Trpezregel Mittelpunktsregel Simpsonregel Die Simpsonregel mit N = 4 Teilintervllen liefert schon 4 Nchkommstellen. Sie erfordert die Auswertung des Integrnden n 9 Stellen. Numerische Mthemtik I 161

16 Interpoltorische Qudrturformeln Beispiel: In Anwendungen wird eine Fehlertolernz ǫ > 0 vorgegeben. Dnn muss die Anzhl N der Teilintervlle so bestimmt werden, dss die summierte Qudrturformel die Fehlertolernz nicht überschreitet Beispiel: Wie groß muss N für die Aufteilung in Teilintervlle der Länge h = (b )/N 2 1 gewählt sein, dmit die Berechnung von dx = ln2 = mit der Fehlertolernz 1 x ǫ = 10 6 erfolgt: f(x) = 1 x, f (x) = 1 x 2, f (x) = 2 x 3, f (x) = 6 x 4, f (4) (x) = 24 x 5. In den Fehlerdrstellungen verwenden wir mx f (ξ) = 2, ξ [1,2] mx f (4) (ξ) = 24. ξ [1,2] (b )h2 summierte Trpezregel: f (ξ) N 2 < 10 6 gilt für N > 10 6 /6, lso N 409. Dfür sind N +1 = 410 Auswertungen von f erforderlich. (b )h2 summierte Mittelpunktsregel: f (ξ) N 2 < 10 6 gilt für N > 10 6 /12, lso N 289. Dfür sind N = 289 Auswertungen von f erforderlich. (b )h4 summierte Simpsonregel: f (4) (ξ) N 4 < 10 6 gilt für N > /120, lso N 10. Dfür sind 2N +1 = 21 Auswertungen von f erforderlich. Numerische Mthemtik I 162

17 Gußsche Qudrturformeln 4.2 Gußsche Qudrturformeln Frge: Können noch bessere Annäherungen erzielt werden, indem uch die Knoten x 0,...,x n geschickter gewählt werden? Als positive Antwort werden die Guß-Formeln entwickelt. Dzu wählen wir die Knoten x k und die Gewichte ω k, 0 k n, so, dss der größtmögliche Exktheitsgrd 2n + 1 erzielt wird. Heuristische Überlegung: Die Exktheitsbedingungen zum Grd 2n + 1 ergeben 2n+2 nichtlinere Gleichungen mit den 2n+2 Unbeknnten x 0,...,x n und ω 0,...,ω n. Numerische Mthemtik I 163

18 Gußsche Qudrturformeln Beispiel: Beispiel:: Zwei-punktige Guß-Formel uf dem Intervll [ 1, 1] Die Exktheitsbedingungen luten 1 dx = 2 = ω 0 + ω 1 1 x dx = 0 = ω 0x 0 + ω 1 x 1 1 x2 dx = 2 3 = ω 0 x ω 1 x x3 dx = 0 = ω 0 x ω 1 x 3 1 Die eindeutige Lösung lutet: lso erhlten wir die Guß-Qudrturformel f(x)dx f 1 x 0 = 3/3, x 1 = 3/3, ω 0 = ω 1 = 1, ( ) ( ) 3/3 +f 3/3. Bechte: Symmetrie der Knoten (x 0 = x 1 ) und Gewichte (ω 0 = ω 1 ) Numerische Mthemtik I 164

19 Gußsche Qudrturformeln Stz: Nullstellen der Orthogonlpolynome Stz: Nullstellen der Orthogonlpolynome Ds gewichtete Sklrprodukt, ω für C[ 1,1] erfülle die Vorussetzung der 3-Term Rekursion in Stz Dnn gilt für die Orthogonlpolynome p n (mit Höchstkoeffizient 1): p n ht n einfche Nullstellen im Intervll ( 1,1), 1 < ξ (n) 1 < < ξ (n) n < 1. Die Nullstellen von p n 1 trennen die Nullstellen von p n, 1 < ξ (n) 1 < ξ (n 1) 1 < ξ (n) 2 < ξ (n 1) 2 < ξ (n) n 1 < ξ(n 1) < ξ n (n) < 1. Numerische Mthemtik I 165

20 Gußsche Qudrturformeln Stz: Nullstellen der Orthogonlpolynome Beweis: ) Setze N := {ξ ( 1,1) : ξ ist Nullstelle von p n mit ungerder Vielfchheit}. Zu zeigen ist #N = n. Flls #N < n, setze q(x) = ξ N (x ξ) P n 1. Dnn ht q p n keine Vorzeichenwechsel in [ 1,1], lso ist q(x) p n(x)ω(x)dx 0, 1 im Widerspruch zur Orthogonlität von p n zu P n 1. Numerische Mthemtik I 166

21 Gußsche Qudrturformeln Stz: Nullstellen der Orthogonlpolynome b) per Induktion nch n N 0 : Die Nullstellen von p 0 (keine) trennen die von p 1. Es gelte die Trennungseigenschft für die Nullstellen von p n 1 und p n. Insbesondere ist p n 1 (ξ (n) j ) 0 für j = 0,...,n. Die Drei-Term-Rekursion ergibt für p n+1 usgewertet n den Nullstellen von p n: ( ) sign( p n+1 (ξ (n) j )) = sign γ n p n 1 (ξ (n) }{{} j ) = sign( p n 1 (ξ (n) j )). >0 Wegen Höchstkoeffizient 1, Betrchtung der Grenzwerte für x ± und Lge ller Nullstellen in ( 1, 1) ist ußerdem sign p n+1 (1) = sign p n 1 (1) = 1, sign p n+1 ( 1) = sign p n 1 ( 1) = ( 1) n 1. Die Trennungseigenschft der (einfchen) Nullstellen von p n 1 ergibt sign p n 1 (ξ (n) j ) = ( 1) n j, j = 1,...,n, lso für p n+1 sign p n+1(ξ (n) j ) = ( 1) n+1 j, j = 1,...,n. Drus erhlten wir je eine Nullstelle von p n+1 in den offenen Intervllen ( 1,ξ (n) 1 ), (ξ(n) 1 ),ξ(n) 2 ),...,(ξ(n) n 1 ),ξ(n) n ), (ξ n (n) ),1). Dies ist die Trennungseigenschft der Nullstellen von p n und p n+1. Numerische Mthemtik I 167

22 Gußsche Qudrturformeln Stz: Guß-Formeln uf [ 1, 1] Stz: Guß-Formeln uf [ 1, 1] Für jedes n N 0 existieren eindeutig bestimmte Knoten 1 < x 0 < x 1 < < x n < 1 und Gewichte ω k > 0, so dss die Qudrturformel I n (f;[ 1,1]) = den Exktheitsgrd 2n+1 ht. n ω k f(x k ) Die Knoten sind die Nullstellen des Legendre-Polynoms L n+1 in Die Gewichte erfüllen ω k = L n,k (x)dx = 1 1 Es gelten die Symmetrie-Eigenschften k=0 (L n,k (x)) 2 dx > 0, k = 0,...,n. x k = x n k, ω k = ω n k, k = 0,1,...,n. Numerische Mthemtik I 168

23 Gußsche Qudrturformeln Stz: Guß-Formeln uf [ 1, 1] Beweis: Wir wählen x 0,...,x n ls die Nullstellen von L n+1 und die Gewichte für die interpoltorische Q.f. ls ω k = L n,k (x)dx Diese Q.f. ht den Exktheitsgrd 2n+1: Sei q P 2n+1. Polynomdivision ergibt Dmit ist einerseits und ndererseits 1 q = pl n+1 +r mit p,r P n. q(x)dx = 1 I n(q) = p(x)l n+1 (x)dx } {{ } =0 wg.orth. + r(x) dx, 1 n ) ω k (p(x k )L n+1 (x k ) +r(x k ) = I n(r). }{{} k=0 =0 wg.nullst. Die Exktheit von I n für P n folgt us der Whl der Gewichte, lso insgesmt q(x)dx = r(x)dx = I n(r) = I n(q). 1 1 Numerische Mthemtik I 169

24 Gußsche Qudrturformeln Stz: Guß-Formeln uf [ 1, 1] 2. Drstellungen der Gewichte und Symmetrie: Für die Gewichte dieser Q.f. folgt us L 2 n,j P 2n und der Exktheit für P 2n+1 sofort lso insbesondere ω k > 0 für k = 0,...,n. n ω k = ω j (L n,j (x k )) 2 = (L n,j (x)) 2 dx, j=0 1 Symmetrie der Knoten: L n+1 ist gerde bzw. ungerde. Symmetrie der Gewichte: L n,k (x) = L n,n k ( x) 3. Eindeutigkeit: Sei I n eine Q.f. mit prweise verschiedenen Knoten x 0,...,x n, Gewichten ω 0,...,ω n und Exktheitsgrd 2n +1. Für ds zugehörige Knotenpolynom w(x) = n j=0 (x x j) gilt w P n+1, n q(x)w(x) dx = ω k q(x k )w(x k ) = 0 für lle q P n. 1}{{}}{{} k=0 P 2n+1 =0 Also ist w P n; sein Höchstkoeffizient ist 1, und deshlb ist w = L n+1. Numerische Mthemtik I 170

25 Gußsche Qudrturformeln Stz: Guß-Formeln uf [ 1, 1] Beispiele: L 1 (x) = x ht die einzige Nullstelle x 0 = 0. Die Ein-punktige Guß-Formel ist die Mittelpunktsregel. L 2 (x) = x ht die Nullstellen x 0 = 3/3, x 1 = 3/3. Dies sind die Knoten der Zwei-punktigen Guß-Formel in Bsp L 3 (x) = x x ht die Nullstellen x 0 = 3/5, x 1 = 0 und x 2 = 3/5. Die Gewichte der 3-punktigen Guß-Formel werden durch 3 linere Gleichungen us den Exktheitsbedingungen zum Grd 2 ermittelt: ω 0 = ω 2 = 5 9, ω 1 = 8 9. Numerische Mthemtik I 171

26 Gußsche Qudrturformeln Stz: Fehlerformel Stz: Fehlerformel Die Guß-Formel I n, deren Knoten die Nullstellen des Legendre-Polynoms L n+1 sind, erfüllt die Fehlerformel 1 f(x)dx I n (f) = 22n+3 ((n+1)!) 4 [(2n+2)!] 3 (2n+3) f (2n+2) (ξ), mit ξ [ 1,1] Numerische Mthemtik I 172

27 Gußsche Qudrturformeln Stz: Fehlerformel Beweis: Wir betrchten neben der Guß-Formel uch die Hermite-Qudrturformel I n(f;[ 1,1]) = J n(f;[ 1,1]) = n ω k f(x k ) k=0 n (α k f(x k )+β k f (x k )), wobei die Whl der Gewichte α k = H n,k (x)dx, β k = H n,k (x)dx 1 1 k=0 mit den Hermite-Grundpolynomen zu den doppelten Knoten x 0,...,x n erfolgt (siehe Übungsbltt 7). Die Qudrturformel J n besteht us Integrtion des Hermite-Interpoltionspolynoms p(x) = n n f(x k )H n,k (x)+ f (x k ) H n,k (x) k=0 und besitzt deshlb den Exktheitsgrd 2n + 1. Die Integrle der Hermite-Grundpolynome sind (wegen Exktheitsgrd 2n+1 sowohl von J n ls uch von I n) Also stimmen I n und J n überein! k=0 α k = 1,1 H n,k(x)dx = I n(h n,k ) = ω k, β k = 1,1 H n,k (x)dx = I n( H n,k ) = 0. Numerische Mthemtik I 173

28 Gußsche Qudrturformeln Stz: Fehlerformel Der Qudrturfehler wird mit Hilfe des Interpoltionsfehlers der Hermite-Interpoltion bestimmt (vgl. Stz mit dem erweiterten Knotenvektor) f(x)dx I n(f) = f[x 0,x 0,...,x n,x n,x] 1 n (x x j ) 2 dx. j=0 Die dividierte Differenz ht die Ordnung 2n +2, ds Produkt ist (L n+1 (x)) 2. Der verllg. MWS und die Normlisierung in Beispiel ergeben f(x)dx I n(f) = f[x 0,x 0,...,x n,x n,ξ] (L n+1 (x)) 2 dx 1 = f (2n+2) (η) ((n +1)!) 4 2 2n+3 (2n +2)! ((2n +2)!) 2 2n+3. Numerische Mthemtik I 174

29 Gußsche Qudrturformeln Stz: Fehlerformel Bemerkung: ) Die Guß-Formel für ergibt die Knoten f(x) dx erhält mn durch Vriblentrnsformtion: x [ 1,1] t(x) = + b (1+x) [,b] 2 und die Gewichte t k = + b 2 (1+x k) (x k Knoten in [ 1,1]) η k = b 2 ω k. b) Eine weitere Erhöhung der Genuigkeit erzielt mn durch Aufteilen des Intervlls in Teilintervlle (summierte Guß-Formeln) Numerische Mthemtik I 175

30 Gußsche Qudrturformeln Beispiel: Beispiel: 2 1 Für dx = ln2 = verwenden wir die uf ds Interll [1,2] 1 x trnsformierten Guß-Formeln mit 2 bzw. 3 Knoten und die der summierten Guß-Formeln mit 2 Teilintervllen. Zum Vergleich geben wir jeweils die Werte der Simpson-Regel n. N 1 2 Simpsonregel punkt. Guß-Formel punkt. Guß-Formel Numerische Mthemtik I 176

31 Gußsche Qudrturformeln Ergänzung: gewichtetes Integrl Ergänzung: gewichtetes Integrl Für ds gewichtete Integrl 1 f(x)ω(x)dx erhält mn den Exktheitsgrd 2n+1, wenn die Knoten x k ls Nullstellen des Orthogonlpolynoms p n+1 vom Grd n+1 und die Gewichte ω k = 1 L n,k (x)ω(x)dx = 1 (L n,k (x)) 2 ω(x)dx > 0, k = 0,...,n, gewählt werden. Dnn ist der Qudrturfehler mit einem ξ ( 1,1) 1 f(x)ω(x)dx n k=0 ω k f(x k ) = f (2n+2) (ξ) (2n+2)! 1 ( p n+1 (x)) 2 ω(x)dx. Numerische Mthemtik I 177

32 Gußsche Qudrturformeln Ergänzung: gewichtetes Integrl Speziell für ω(x) = 1 1 x 2: Die Guß-Tschebyscheff-Qudrturformeln hben die Knoten x k = cos ( π 2 2k +1 n+1 ), k = 0,...,n, dies sind die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms T n+1 erster Art (bsteigend sortiert), siehe Beispiel 3.3.9(b). Alle Gewichte dx ω k = L n,k (x) 1 1 x 2 sind gleich, ds liefert I n(f) = π n+1 n k=0 f(x k). Der Qudrturfehler ht die Drstellung f(x) 1 dx 1 x 2 In(f) = π 2 2n+1 (2n +2)! f (2n+2) (ξ), ξ ( 1,1). Numerische Mthemtik I 178

33 Gußsche Qudrturformeln Ergänzung: gewichtetes Integrl Beweis: Wir zeigen die Exktheit für P n, indem wir den Qudrturfehler für T m, m = 0,...,n, berechnen. { 1 dx T m(x) = π, m = 0, 1 1 x 2 0, m 1 I n(t m) = π n ( ) { mπ 2k +1 π, m = 0, cos = n+1 2 n +1 0, 1 m n. k=0 Die Summe 0 ergibt sich mit Hilfe der Eulerschen Formel us e i mπ 2 2n+1 n+1 n ( mπ cos 2 k=0 2k +1 n+1 ) = = n k=0 2n+1 k=0 ( e i mπ 2 2n+2k+2 n+1 +e i mπ 2 ) 2n 2k n+1 e imπ n+1 k = 1 ei2mπ 1 e i n+1 mπ = 0. Die Konstnte in der Fehlerdrstellung ergibt sich us (w(x)) 2 dx = x 2 2 2n (T n+1 (x)) 2 dx = π 1 1 x 2 2 2n+1. Mn bechte hierbei, dss T n+1 (x) = 2 n w(x) gilt, weil T n+1 den Höchstkoeffizienten 2 n ht. Numerische Mthemtik I 179

34 Gußsche Qudrturformeln Stz: Konvergenz der Guß-Formeln Die Positivität der Gewichte der Guß-Formeln bewirkt, dss die Opertor-Norm von I n uf C[ 1,1] unbhängig von n N 0 den Wert I n = sup{ I n f : f C[ 1,1], f = 1} I n = n ω k = k=0 ht. Drus resultiert eine wichtige Folgerung. 1 ω(x) dx Stz: Konvergenz der Guß-Formeln Für die Guß-Formel I n mit n+1 Knoten zum gewichteten Integrl f(x)ω(x)dx und jede Funktion f C[ 1,1] gilt 1 lim I n(f) = f(x)ω(x)dx. n 1 Numerische Mthemtik I 180

35 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren Huptstz: Entwicklung des Qudrturfehlers nch h-potenzen 4.3 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren Die Verwendung der summierten Trpezregel zu verschiedenen Schrittweiten wird ls Ausgngspunkt zur Schrittweiten-Extrpoltion nch Romberg verwendet Huptstz: Entwicklung des Qudrturfehlers nch h-potenzen Für f C 2m+2 [,b] und N N, h = (b )/N, sei (h) = I1 Σ (f;n) = h N 1 2 f()+h f(+jh)+ h 2 f(b). Es gilt die Euler-Mclurinsche Summenformel j=1 (h) = f(x)dx + m k=1 (b ) B 2m+2h 2m+2 (2m+2)! f (2m+2) (ξ) B 2k h 2k (2k)! (f (2k 1) (b) f (2k 1) ()) + mit einem ξ [,b] und den Bernoulli-Zhlen B 2k. Numerische Mthemtik I 181

36 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren Definition: Bernoulli-Polynome und Bernoulli-Zhlen Definition: Bernoulli-Polynome und Bernoulli-Zhlen Die Polynome b k P k, k N 0, mit b 0 (x) = 1, b k (x) = kb k 1(x) und b k (x)dx = 0 für k 1, 0 heißen Bernoulli-Polynome, ihr Funktionswert B k := b k (0) heißt Bernoulli-Zhl. Bemerkung zu den Bernoulli-Zhlen: ) Bernoulli-Zhlen sind B 0 = 1, B 1 = 1 2, B 2 = 1 6, B 3 = 0, B 4 = 1 30, B 5 = 0, B 6 = 1 42 b) Für k N ist B 2k+1 = 0. c) Rekursionsformel: B 0 = 1, k 1 ( k ) B j B k = j k j +1 j=0 für k = 1,2,... d) Die Bernoulli-Zhlen treten vielfch uf, z.b. bei den Reihenwerten 1 n n=1 2k = ( 1)k 1 π 2k 2 2k 1 B 2k (2k)! Numerische Mthemtik I 182

37 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren Eigenschften der Bernoulli-Polynome: Eigenschften der Bernoulli-Polynome: (i) Für k 2 ist b k (1) = b k (0) = B k, weil b k (x)dx = k b k 1 (x)dx = 0 gilt. 0 0 (ii) Für k N 0 gilt B 2k = mx x [0,1] b 2k (x). (ohne Beweis) (iii) Für k 0 ist b k (x) = ( 1) k b k (1 x): Beweis: klr für k = 0, per Induktion mit d dx [b k ( 1) k b k (1 )] (x) = k ( ) b k 1 (x) ( 1) k 1 b k 1 (1 x) = 0, lso b k ( 1) k b k (1 ) = c k mit einer Konstnten c k R für k 1. Mn berechnet b k (0) b k (1) = 0 für gerdes k 2 wegen (i), c k = (b k (x)+b k (1 x))dx = 0 für ungerdes k 1 wegen 0 b k(x)dx = 0. 0 Numerische Mthemtik I 183

38 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren Eigenschften der Bernoulli-Polynome: (iv) Die Bernoulli-Polynome können mit Hilfe ihrer erzeugenden Funktion definiert werden: te xt e t 1 = k=0 b k (x) k! t k, x R, 0 < t < 2π. Mit dieser Drstellung lssen sich die meisten Eigenschften der b k beweisen, indem mn einen Koeffizientenvergleich für Potenzreihen verwendet. (Übungsufgbe) (v) Einsetzen von x = 0 ergibt die erzeugende Funktion der Bernoulli-Zhlen t e t 1 = k=0 B k k! tk, 0 < t < 2π. Numerische Mthemtik I 184

39 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren Eigenschften der Bernoulli-Polynome: Beweis von Stz 4.3.1: Für f C 2m+2 ([0,N]) folgt durch prtielle Integrtion f(x +l)dx = b 0 (x)f(x +l)dx 0 0 = 1 2 (f(l)+f(l+1)) b 1 (x)f (x +l)dx 0 = 1 2 (f(l)+f(l+1)) B 2( f (l+1) f (l) ) + b 2 (x)f (x +l)dx... 0 = 1 m+1 2 (f(l)+f(l+1)) B ( ) 2k f (2k 1) (l+1) f (2k 1) (l) + (2k)! k=1 1 b 2m+2 (x) 0 (2m +2)! f (2m+2) (x +l)dx. Hierbei wurde b k (1) = b k (0) = B k und B 2k+1 = 0 für k 1 benutzt. Der letzte Summnd zusmmen mit dem letzten Integrl ergibt b 2m+2 (x) B 2m+2 f (2m+2) (x +l)dx. 0 (2m +2)! }{{} festesvorzeichen Ds feste Vorzeichen von b 2m+2 (x) B 2m+2 ergibt sich us Eigenschft (ii). Numerische Mthemtik I 185

40 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren Eigenschften der Bernoulli-Polynome: Beim Zusmmensetzen der Integrle von 0 bis N fllen einige Summnden wie bei einer Teleskopsumme weg. Wir erhlten N f(x)dx = 1 N (f(n)+f(0))+ m B ( ) 2k f(j) f (2k 1) (N) f (2k 1) (0) + (2k)! j=1 k=1 N b 2m+2 (x) B 2m+2 f (2m+2) (x)dx. 0 (2m +2)! Dbei ist b 2m+2 die periodische Fortsetzung von b 2m+2 vom Intervll [0,1] uf [0,N], die Differenz b 2m+2 (x) B 2m+2 ht lso festes Vorzeichen uf [0,N]. Mit dem erweiterten Mittelwertstz folgt N 0 mit ξ [0,N]. b 2m+2 (x) B 2m+2 (2m +2)! N b f (2m+2) (x)dx = f (2m+2) 2m+2 (x) B 2m+2 (ξ) dx 0 (2m +2)! = NB 2m+2 (2m +2)! f (2m+2) (ξ) Die Aussge von Stz folgt durch Koordintentrnsformtion von [0, N] uf [, b]. Numerische Mthemtik I 186

41 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren Stz: Romberg-Verfhren Direkte Anwendung des Extrpoltionsstzes 3.2.3: Stz: Romberg-Verfhren Gegeben seien f C 2m+2 [,b] sowie eine monoton wchsende Folge (N j ) j N0 ntürlicher Zhlen mit 0 < N j N j+1 ρ < 1, j N 0. Zu den Werten der summierten Trpezregel j,0 = (h j ) = I Σ 1 (f;n j ), h j = b N j, luten die Einträge der Extrpoltionstfel (nch Romberg) j,k = j,k 1 + j,k 1 j 1,k 1 ( hj k h j ) 2 1, k = 1,...,m, j = k,...,m. Numerische Mthemtik I 187

42 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren Stz: Romberg-Verfhren Für 0 k m gilt f(x)dx j,k = O(h 2k+2 j k ) für k j. Speziell für h j = 2 j h 0 gilt lso f(x)dx j,k = O(h 2k (2k+2)(j k) ) für k j. Numerische Mthemtik I 188

43 Ds Rombergsche Integrtionsverfhren Folgerung für periodische Funktionen: Folgerung für periodische Funktionen: Für periodische Funktionen f C 2m+2 (R) mit Periodenlänge b fällt die summierte Trpezregel zur Schrittweite h = (b )/N mit der Rechteckregel zusmmen: I1 Σ (f;n) = h N 1 2 f()+h f( +jh)+ h N 1 2 f(b) = h f(+jh). j=1 Außerdem fllen die Terme f (2k 1) (b) f (2k 1) () = 0 in der Euler-Mclurinschen Summenformel weg, d.h. N 1 (h) = h f( +jh) = j=0 Die Extrpoltion führt hier zu keiner Verbesserung. j=0 f(x)dx +O(h 2m+2 ). Ist sogr f C (R) periodisch mit Periodenlänge b, so konvergiert die Rechteckregel zur Schrittweite h schneller gegen f(x)dx ls jede Potenz von h. Die Verwendung komplizierterer Qudrturformeln wäre hierfür eher schädlich! Numerische Mthemtik I 189

44 Prktische Aspekte der Integrtion 4.4 Prktische Aspekte der Integrtion Ziel: Kriterien für die Whl der Schrittweite der zusmmengesetzten Qudrturformeln zum Erzielen der Genuigkeit ǫ (oder eps) Die priori-berechnung durch Verwendung der Fehlerformeln verlngt Kenntnisse einer hohen Ableitung von f. Dies ist für prktische Zwecke nicht sinnvoll. Typ 1: Verwendung zweier Formeln zur Einschließung des Integrlwerts. Typ 2: Verwendung zweier Schrittweiten zur numerischen posteriori-schätzung des Fehlers. Numerische Mthemtik I 190

45 Prktische Aspekte der Integrtion Typ 1: Einschließung des Integrlwerts Typ 1: Einschließung des Integrlwerts Die summierte Simpson-Regel zu N Unterteilungen, h = (b )/N, ht die Fehlerformel f(x)dx I Σ )h4 2 (f;n) = (b f (4) (ξ) mit ξ [,b] Die summierte Form der offenen Newton-Cotes Formel (mit 3 Knoten pro Intervll) lutet Ĩ Σ 2 (f;n) = b 3N N 1 (2f( k +h/4) f( k +h/2)+2f( k +3h/4)), k=0 und ht die Fehlerformel f(x)dx ĨΣ 2 (f;n) = 7(b )h f (4) (ξ) mit ξ [,b]. k = +kh, Vergleich der beiden Fehlerterme zeigt, dss bei konstntem Vorzeichen von f (4) im Intervll [, b] der exkte Wert durch beide Qudrturformeln eingeschlossen wird, lso gilt. Ĩ2 Σ (f;n) f(x)dx I2 Σ (f;n) oder IΣ 2 (f;n) f(x)dx ĨΣ 2 (f;n) Numerische Mthemtik I 191

46 Prktische Aspekte der Integrtion Typ 1: Einschließung des Integrlwerts Die Vorussetzung n f (4) ist i.a. nicht für [,b] erfüllt, jedoch für (fst) lle Teilintervlle. Als numerische Einschließung knn mn dher N 1 min{i 2 (f;[ k, k+1 ]), Ĩ2(f;[ k, k+1 ])} k=0 f(x)dx N 1 mx{i 2 (f;[ k, k+1 ]), Ĩ2(f;[ k, k+1 ])} k=0 verwenden. Numerische Mthemtik I 192

47 Prktische Aspekte der Integrtion Typ 2: -posteriori Fehlerschätzung Typ 2: -posteriori Fehlerschätzung Es wird die Fehlerdrstellung der summierten Qudrturformel zur Schrittweite h = (b )/N in der Form f(x)dx In Σ (f;n) = c f h k +r(f,h)h k+1 mit einer Konstnten c f und einer beschränkten Funktion r(f,.) vorusgesetzt. Es stehen zwei Werte I Σ n (f;n 1 ) und I Σ n (f;n 2 ) zu den Schrittweiten h 1 > h 2 > 0, h j = (b )/N j, j = 1,2, zur Verfügung. Dnn knn die Konstnte c f geschätzt werden durch Lösen von ) c f (h1 k hk 2 (I ) = n Σ (f;n 1) In Σ (f;n 2) +O(h k+1 1 ). Für h 1 1 folgt c f IΣ n (f;n 1) In Σ(f;N 2) h1 k. hk 2 Die richtige Schrittweite h für die vorgegebene Tolernz ǫ ist nun h = (ǫ/c f ) 1/k. Numerische Mthemtik I 193

48 Prktische Aspekte der Integrtion Prktischer Aspekt: dptive Unterteilung Prktischer Aspekt: dptive Unterteilung Bei den summierten Qudrturformeln zur Schrittweite h = (b )/N treten in den Teilintervllen gnz unterschiedliche Fehlergrößen uf: f(x) = x 0.7 ist bei x = 0.7 nicht differenzierbr, zu erwrten sind große Fehler in diesem Abschnitt. Dher wird die Schrittweite nicht überll hlbiert, sondern nur in Intervllen [ k, k+1 ], wo ein Fehlerschätzer signlisiert, dss k+1 f(x)dx I n (f,[ k, k+1 ]) > ǫ( k+1 k ) k (b ) gilt. Ddurch entsteht eine dptive Unterteilung von [, b]. Numerische Mthemtik I 194

49 Prktische Aspekte der Integrtion Beispiel: Beispiel: Der Mtlb/Octve Befehl qud verwendet eine dptive summierte Simpson-Regel. Die Integrtion x 0.7 dx 0 zur Genuigkeit ǫ = 10 4 und Ausgbe der einzelnen Unterteilungsintervlle (mit Hilfe der trce-vriblen) lutet f=inline( sqrt(bs(x-0.7)) ); trce=1; q=qud(f,0,1,1e-4,trce) Die lte Mtlb-Version R12 verwendet dptive Hlbierung des Intervlls [0, 1] und erhält die Zwischenpunkte ( 0 = 0), 1 = 0.5, 2 = 0.625, 3 = , 4 = 0.75, ( 5 = 1) ( Bumstruktur der Unterteilung). Die neue Version (Mtlb R2012) verwendet eine willkürliche Anfngs-Unterteilung in 3 Teilintervlle [, (b )], [ (b ),b (b )], [b (b ),b] und beginnt dnn mit dptiver Hlbierung. Numerische Mthemtik I 195

50 Prktische Aspekte der Integrtion Beispiel: 0.9 dptive summierte Simpson Regel Numerische Mthemtik I 196

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