3 Numerische Integration

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1 3 Numerische Integrtion In vielen Fällen möchte ds bestimmte Integrl I(f) = f(x) dx (3.) näherungsweise bestimmen. Dies knn notwendig werden, wenn die Berechnung der exkten Lösung zu ufwendig oder die exkte Lösung nicht in geschlossener Form drstellbr ist. Ein Beispiel ist π cos(4x) cos [3 sin(x)] dx = π ( ) 4 3 ( 9/4) i i!(i + 4)!. (3.) i= Eine Näherung des exkten Ergebnisses erhält mn, wenn mn die unendliche Reihe bei i = n bbricht. Typischerweise sucht mn Näherungen der Form f(x) dx i f(x i ), (3.3) i= Roger Cotes wobei x i [, b] Stützpunkte innerhlb des bgeschlossenen Intervlls sind und i zugehörige Gewichtskoeffizienten. Dmit ht mn ds kontinuierliche Problem (3.) in ein diskretes Problem (3.3) überführt (diskretisiert). Diese Art der Approximtion wird Qudrtur gennnt. Zur Bestimmung der Koeffizienten i wird die Funktion f(x) typischerweise durch eine ndere Funktion p(x) ersetzt, die n den vorb gewählten Stützstellen x i mit der Funktion f identisch ist (p(x i ) = f(x i )), ber wesentlich leichter zwischen den Stützstellen integriert werden knn. Ds exkte Integrl läßt sich dnn f(x) dx p(x) dx = n i= if(x i ) schreiben. Zur Approximtion ls Summe verwendet mn oft Polynome oder Exponentilfunktionen. 3. Newton-Cotes-Formeln Die einfchste Möglichkeit besteht drin, die Funktion f durch eine Konstnte zu ersetzen, die mit dem Funktionswert m linken Rnd f() übereinstimmt (mn Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften 45

2 3 Numerische Integrtion knn uch f(b) nehmen). Dnn erhält mn die Rechteck-Regel f(x) dx (b )f(). (3.4) Mn knn für die Konstnte uch einen Werte us dem Innern des Intervlls nehmen. Meist wird der Mittelpunkt ( + b)/ genommen. Mn gewinnt dnn die Mittelpunktsregel (mid-point rule) ( ) b + f(x) dx (b )f. (3.5) Ein besseres Ergebnis erhält mn, wenn mn die Funktion nicht durch eine Konstnte, sondern durch eine linere Funktion pproximiert, die durch die beiden Punkte f() und f(b) geht. Mn erhält dnn die Trpez-Regel f(x) dx (b ) [f() + f(b)]. (3.6) Hierbei wird ds Integrl durch eine Fläche in Trpez-Form ersetzt. Als weitere Verbesserung ist es nheliegend, ein interpolierendes Polynom zweiten Grdes zu verwenden, ds mit den Funktionswerten von f n den Stellen, b und dem Mittelpunkt ( + b)/ übereinstimmt. Mn findet dnn die Simpson-Regel [ ( ) ] (b ) + b f(x) dx f() + 4f + f(b). (3.7) 6 Thoms Simpson 7 76 Die gennnten Approximtionen sind in Abb. 3. grphisch drgestellt. Mn knn nun so weitermchen und ds Integrl [, b] in n äquidistnte Teilintervlle (inklusive und b) unterteilen. Um die n+ unbeknnten Koeffizienten i in der Newton-Cotes-Formel zu bestimmen, knn mn verlngen, dß die Näherung (3.3) exkt erfüllt ist, wenn f(x) ein beliebiges Polynom vom mximlen Grde n ist. Am einfchsten erscheint die Forderung, dß die Approximtion für f = x j mit j =,..., n exkt ist. Diese Bedingungen luten dnn x j dx = bj+ j+ j +! = i= i x j i, j =,,..., n (3.8) Diese n + Bedingungen führen uf ds linere Problem... b x x x x n... = (b )/., (3.9) x n x n x n... x n n n (b n+ n+ )/(n + ) Thoms Simpson (7 76): Englischer Mthemtiker. Neben der nch ihm bennnten Qudrturformel gehen die heutzutge üblichen Bezeichnungen Sinus, Cosinus, Tngens und Cotngens uf ihn zurück sowie uch die differentielle Form des Newton-Verfhrens. 46 Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften

3 3. Newton-Cotes-Formeln f () Rechteck-Regel f (b) Mittelpunktsregel f(x)dx f(x)dx b x ( + b)/ b x f (c) Trpez-Regel f (d) Simpson-Regel f(x)dx f(x)dx b x ( + b)/ b x Abbildung 3.: Approximtion des bestimmten Integrls durch Approximtion des Integrnden mittels verschiedener Interpoltionen. Die qudrtische Interpoltion in (d) ist nur schemtisch gezeigt. wobei die Mtrix die schon beknnte Vndermondesche Gestlt (.6) (trnsponiert) ht. Sie ist regulär, wenn die Punkte x i prweise verschieden sind. Wenn mn die Punkte drüber hinus uch noch äquidistnt wählt, erhält mn genu (3.3) und nennt die Formel Newton-Cotes-Formel. Dieselbe Lösung erhält mn, wenn mn f(x) durch ds Lgrngesche Interpoltionspolynom (.) vom Grde n pproximiert f(x) p(x) = i= f(x i ) L (n) i (x) (3.) mit L (n) i (x) = n k= k i x x k x i x k, i =,,..., n, (3.) wobei ds Lgrngesche Interpoltionspolynom n den Stützstellen x i mit f(x i ) Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften 47

4 3 Numerische Integrtion übereinstimmt. Ds Integrl wird dnn pproximiert ls f(x) dx p(x) dx = i= f(x i ) L (n) i (x) dx = f(x i ) i= (x) dx. } {{ } i (3.) Hiern knn mn die Gewichte i blesen. Als Beispiel betrchten wir n = mit x = und x = b und den zugehörigen Funktionswerten f = f() und f = f(b). Die beiden Lgrngeschen Polynome sind L () = x b b Dmit erhlten wir die Approximtion von f(x) Für die Gewichte erhält mn dnn nch (3.) = L (n) i und L () = x b. (3.3) p(x) = L () (x)f + L () (x)f. (3.4) L () x b (x) dx = b dx = [ ] (x b) b = b b. (3.5) Anlog erhält mn = = (b )/. Dies liefert genu die Trpezregel (3.6). 3. Summierte Formeln An Abb. 3. ist ersichtlich, dß die Newton-Cotes-Formeln für Polynome niedriger Ordnung sehr fehlerbehftet sein können. Dher könnte mn versuchen, bessere Approximtionen ddurch zu erhlten, dß mn den Grd der Polynome sukzessive erhöht. Dieses Verfhren ist ber nicht prktikbel, d bei Polynomen mit Grd n 8 uch negtive Koeffizienten i uftreten. Dmit können jedoch Auslöschungseffekte uftreten (siehe Kp..). Außerdem ist nicht sichergestellt, dß die Folge der Approximtionen für n ttsächlich gegen ds gesuchte Integrl konvergiert. Aus diesem Grund ist es meist wesentlich besser, ds Integrl in viele Teilintervlle [x i, x i ] mit x = und x n = b zu zerlegen und eine Polynom-Approximtion stückweise zu verwenden, wobei die Ordnung der Polynome reltiv niedrig sein knn. Dzu schreibt mn f(x) dx = xi x i f(x) dx. (3.6) Siehe die Problemtik der Punkteverteilung innerhlb des Intervlls bei der Lgrnge- Interpoltion; Kp Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften

5 3.3 Fehlerbetrchtungen Wenn mn nun die Rechteck-Regel nwendet, erhält mn die summierte Rechteck- Regel (SR) I SR (f) = h i f(x i ), (3.7) wobei h i = x i x i die Länge der Teilintervlle ist. In nloger Weise erhält mn die summierten Mittelpunkts- (SM), Trpez- (ST) und Simpson-Regeln (SS) ( ) xi + x i I SM (f) = h i f, (3.7b) h i I ST (f) = [f(x i) + f(x i )], (3.7c) [ ( ) ] h i xi + x i I SS (f) = f(x i ) + 4f + f(x i ). (3.7d) 6 Bei diesen Approximtionen wurde der Integrnd durch stückweise konstnte (SR,SM), linere (ST) oder qudrtische Polynome (SS) pproximiert. 3.3 Fehlerbetrchtungen 3.3. Diskretisierungsfehler Bei der Approximtion der Integrle treten zwei Fehlerquellen uf. Einerseits ist dies der Fehler, den mn bei der Approximtion der Funktion durch ein Polynom mcht (Diskretisierungsfehler). Hinzu kommt ndererseits der Rundungsfehler, der durch die diskrete Drstellung der Zhlen und die diskreten Rechenopertionen entsteht. Der Diskretisierungsfehler lutet E = [f(x) p(x)] dx. (3.8) Diesen Fehler können wir mit Hilfe des Fehler der Polynom-Approximtion (.) weiter bschätzen ls E = (n + )! (x x )...(x x n ) f (n+) [z(x)] dx, (3.9) wobei x,...,x n die Interpoltionspunkte sind und z(x) [, b] eine von x bhängige Zwischenstelle ist. Für die Rechteck-Regel (R) können wir den Diskretisierungsfehler betrgsmäßig bschätzen E R = (x )f [z(x)] dx mx b f (z) z (x ) dx = M }{{} (b ). M (3.) Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften 49

6 3 Numerische Integrtion Für die Mittelpunktsregel (M) erhält mn mit x = ( + b)/ E M = ( x + b ) f [z(x)] dx M ( x + b ) dx = M 4 (b ). (3.) ähnlich wie für die Rechteck-Regel. Bei der Mittelpunktsregel ist diese Abschätzung llerdings zu grob. Mn knn ihn zu M (b ) 3 /4 bschätzen. 3 Für die Trpez-Regel (T) sind die Interpoltionspunkte x = und x = b und wir erhlten die Abschätzung E T = (x )(x b)f [z(x)] dx M (x )(x b) dx = M (b )3, (3.) wobei M = mx z f (z). Für die Simpson-Regel erhält mn us der Stndrd-Abschätzung (3.9) in nloger Art E S M 4 88 (b )5. (3.3) Bei ll diesen Abschätzungen geht eine Potenz der Intervllänge (b ) k ein. Wenn b = O() groß ist, wird uch der Fehler groß sein. Wenn ber b klein ist gegenüber, dnn wird der Fehler umso kleiner, je höher die Potenz k ist. Dies ist der Fll bei den summierten Formeln, für welche j eine sehr feine Intervllunterteilung ngestrebt wird. Jedoch ddieren sich bei der Summenbildung 3 Eine bessere Abschätzung für die Mittelpunktsregel erhält mn, wenn mn den Integrnden in dem Fehler (3.8) in eine Tylor-Reihe um den Mittelpunkt x m (+b)/ des Intervlls entwickelt. Mit p(x) = f(x m ) erhlten wir p(x) + f(x) = f(x m ) + f(x m ) }{{} +(x x m)f (x m ) + (x x m) f (x m ) +... Dmit erhlten wir den Betrg des Diskretisierungsfehlers [ E M = (x x m )f (x m ) + ] (x x m) f (x m ) +... dx (x x m )f (x m )dx + (x x m ) f (x m )dx +... f (x m ) (x x m )dx + f (x m ) (x x m ) dx +... }{{} = M 4 (b ) Die durch... ngegebenen Terme sind für b zu vernchlässigen. Mn sieht durch diese Abschätzung, dß der Fehler geringer ist (höhere Potenz von (b )), ls derjenige, den mn durch die einfche Abschätzung (3.) erhält. 5 Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften

7 3.3 Fehlerbetrchtungen uch die Fehler, so dß wir für die summierte Rechteck-Regel beispielsweise den Fehler E SR M h i (3.4) erhlten, wobei h i = x i x i die i-te Intervllänge ist. Hierbei hben wir M über ds gesmte Intervll [, b] mximiert, obwohl es eine günstigere Abschätzung gäbe, wenn wir die Abschätzung intervllweise durchgeführt hätten. Für die Fehlerordnung spielt dies ber keine Rolle. Im wichtigen Spezilfll einer homogenen Unterteilung h i = h = (b )/n des Gesmtintervlls erhlten wir E SR M (b )h = O (h). (3.5) Der Fehler der summierten Rechteck-Regel ist von erster Ordnung. Mn sgt uch: Die Fehlerordnung ist O(h ). Dies bedeutet, dß der Fehler bei einer Verringerung der Intervllänge liner mit h kleiner wird. Für äquidistnte Intervllunterteilungen erhält mn in nloger Art die Fehler der summierten Mittelpunkts-, Trpez- und Simpson-Regeln zu E SM M 4 (b )h = O ( h ), (3.5b) E ST M (b )h = O ( h ), (3.5c) E SS M 4 88 (b )h4 = O ( h 4). (3.5d) Die Simpson-Formel ist noch reltiv einfch, ber trotzdem schon von vierter Ordnung. Dher wird sie häufig verwendet. Die konstnte Sub-Intervllänge h stellt eine gewisse Einschränkung dr. Denn es gibt Integrnden, die in einem Gebiet strk vriieren und in nderen Gebieten nur lngsm. Dnn knn es sinnvoll sein, die Intervllänge dptiv zu wählen. Eine mögliche Strtegie besteht drin, die Intervllänge zu hlbieren und ds Integrl über h mit demjenigen über die zwei Intervlle mit jeweils h/ zu vergleichen. Flls der Unterschied kleiner ist ls der tolerierte Fehler, dnn werden die beiden Intervlle nicht weiter verfeinert, während die nderen Intervlle uf jeweils h/4 verkleinert werden. Dieser Prozeß wird fortgesetzt, bis mn überll die gewünschte lokle Genuigkeit erreicht ht Rundungsfehler Flls wir eine exkten Zhlendrstellung hätten, könnten wir ein Integrl beliebig genu berechnen. Die Computer-Arithmetik stellt die Zhlen jedoch mit einer endlichen Genuigkeit dr. Wenn wir den Rundungsfehler von x i mit ǫ i bezeichnen und Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften 5

8 3 Numerische Integrtion E Rundungsfehler Diskretisierungsfehler h h Abbildung 3.: Qulittives Verhlten des gesmten Fehlerbetrgs E (Diskretisierungsfehler und Rundungsfehler) ls Funktion der Intervllänge h. den Fehler der kombinierten numerischen Addition und Multipliktion (mit h/) mit η, dnn gilt zum Beispiel für die summierte Trpez-Regel I num ST = h [f (x i) + ǫ i + f (x i ) + ǫ i ] + η. (3.6) Während der Diskretisierungsfehler für h gegen Null geht, steigt der Fehler durch Rundungen für h. Wenn wir die Summen seprt nehmen, können wir schreiben I num ST = h [f (x i) + f (x i )] + }{{} I ST h (ǫ i + ǫ i ) + η. (3.7) Dmit können wir den Betrg des Fehlers E folgendermßen bschätzen (ungünstigster Fll) E = I num ST Mit h = (b )/n ist dnn I ST h mx ǫ i + mx η. (3.8) E (b ) mx ǫ i + b mx η. (3.9) }{{}} h {{} beschränkt für h Der Fehler, der von den diskreten Opertionen (Multipliktion und Addition) herrührt, knn für h im ungünstigsten Fll h kkumulieren. Dher knn mn den gesmten Fehler (Diskretisierungsfehler und Rundungsfehler) schemtisch wie in Abb. 3. drstellen. Ds Optimum (Minimum des Fehlers) liegt meist bei sehr viel kleineren Werten von h, ls sie in der Prxis verwendet werden. 5 Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften

9 3.4 Romberg-Verfhren 3.4 Romberg-Verfhren Mit Hilfe des Romberg-Verfhrens lssen sich Integrle genuer berechnen ls mit den Newton-Cotes-Formeln. Die Idee besteht drin, ds Intervll sukzessive äquidistnt zu verfeinern und dbei nicht nur ds Ergebnis uf dem feinsten Gitter zu verwenden sondern uch noch zusätzliche Informtionen us den Ergebnissen, die mn uf den gröberen Gittern erhlten ht. Die Nutzung dieser Zustzinformtion beruht uf der Richrdson-Extrpoltion. Wir nehmen n, dß wir ds gesuchte Integrl uf einem groben Gitter der Weite H und einem feiner Gitter der Weite h berechnet hben. Weiter sei der Fehler der in beiden Fällen verwendeten Approximtion von m-ter Ordnung. Dnn gilt I(f) = I H + c H H m, I(f) = I h + c h h m. (3.3) (3.3b) Lewis Fry Richrdson Dies Gleichungen enthlten die drei Unbeknnten I, c H und c h. Die beiden Koeffizienten c H und c h sind verschieden, ber fst identisch. Wenn wir nun näherungsweise c H = c h nnehmen, dnn können wir (3.3) lösen und I(f) berechnen. Durch Bilden der Differenz erhlten wir mit c H = c h = c = I H I h + c (H m h m ), (3.3) worus folgt. Eingesetzt erhlten wir so c = I h I H H m h m (3.3) I(f) = I h + I h I H = I H m h mhm h + I h I H (H/h) m. (3.33) Dies gilt ntürlich nicht exkt, weil wir nur näherungsweise c H = c h gesetzt hben. Aber mn knn erwrten, dß (3.33) ein besseres Ergebnis liefert ls I h llein. Als Beispiel betrchten wir nun die Trpezregel und wenden die Richrdson- Extrpoltion uf zwei Intervllteilung n mit h = b n und H = h = b n. (3.34) Der Fehler der summierten Trpezregel ist nch (3.5c) von zweiter Ordnung m =. Aus (3.33) folgt dnn I(f) = I h + I h I H (H/h) = I n + I n I n/. (3.35) Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften 53

10 3 Numerische Integrtion n = n = n = 4 n = 8 k = k = k = k = 3 I () I () I (3) I (4) I () I () I () 4 I () 8 I () I () 4 I () 8 I (3) 4 I (3) 8 I (4) 8 Abbildung 3.3: Schemtische Drstellung des Romberg-Verfhrens. f f f f h H h x Abbildung 3.4: Zur Berechnung des Fehlers der Richrdson-Extrpolierten bei Verwendung der Trpezregel. Hierbei hben wir nun die Anzhl der Intervlle ls Index verwendet. D diese Lösung nur pproximtiv gilt, schreiben wir I () = I () n + I() n I () n/, (3.36) wobei der oben geklmmerte Index die Ausgngsnäherung () und die erste Richrdson-Extrpoltion () kennzeichnet. Mn knn nun diese erste Richrdson-Extrpoltion für die Pre mit folgenden Intervllängen berechnen: (, ), (, 4), (4, 8), und so weiter. Dies ist in Abb. 3.3 skizziert. Dnn erhält mn die verbesserten Näherungen I n (). Jetzt knn mn einen Schritt weiter gehen und us den ersten Extrpoltionen I n () wiederum in der gleichen Art den Fehler eliminieren. Dzu benötigen wir ber die Fehlerordnung der Näherungen I (). Dzu betrchten wir zunächst nur ein Intervll der Länge H mit den beiden Teilintervllen der Länge h = H/ (Abb. 3.4). Nch (3.6) Werner Romberg gilt dnn 99 3 I () n/ = H (f + f ), (3.37) I () n = h (f + f ) + h (f + f ) = H 4 (f + f + f ). (3.37b) 54 Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften

11 3.4 Romberg-Verfhren Eingesetzt in (3.36) erhlten wir I () = H H 4 (f 4 + f + f ) + (f + f + f ) H(f + f ) 3 = H ( f + f + f + (f ) + f + f ) (f + f ) 4 3 = H ( f f 3 + f ) = H 3 6 (f + 4f + f ). (3.38) Dies ist gerde die Simpson-Formel (3.7) und deren Fehler ist, wie wir in (3.3) gesehen htten, von fünfter Ordnung. Wir benötigen hier ber die summierte Formel und diese ist nch (3.5c) von vierter Ordnung. Dmit gilt für den Fehler ( ) 4 E n () = MH4. (3.39) n In Anlogie zu (3.36) würde dnn die zweite Richrdson-Extrpoltion (nun mit m = 4) luten I (3) = I n () + I() n I () n/ 4. (3.4) Dieses Verfhren führt mn nun bis zu einer mximlen Anzhl von Intervllteilungen fort. Dbei nutzt mn us, dß für den Fehler in der (k )-ten Richrdson- Extrpolierten gilt (ohne Beweis) E (k) n und konstruierte die Interpoltionen gemäß I (k+) = I (k) n ( ) k, (3.4) n + I(k) n I (k) n/ k. (3.4) In Abb. 3.3 ist dies bis zur dritten Intervllteilung (k = 3) drgestellt. Als Beispiel betrchten wir die Romberg-Intergtion von x 4 uf [, ] [ ] x I(f) = x 4 5 dx = =.. (3.43) 5 Wir werden die Intergtion bis n = 4 bzw. k = durchführen. Mit Hilfe der Trpezregel (3.6) verschffen wir uns zunächst die Ausgngsintegrle I () = [f() + f()] =.5, (3.44) I () = 4 [f() + f(.5) + f()] = [ ] =.85, 4 (3.44b) I () 4 = [f() + f(.5) + f(.5) + f(.75) + f()] 8 = [ ] =.735 (3.44c) 8 Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften 55

12 3 Numerische Integrtion Richrdson-Extrpoltion liefert dnn I ().85.5 = I () 4 = = , (3.45) Die zweite Richrdson-Interpoltion liefert dnn = (3.45b) I (3) = =.. (3.46) 4 Dieses Ergebnis stimmt mit mindestens 9 Dezimlstellen mit dem exkten Ergebnis überein. 3.5 Guß-Qudrtur Bei den Qudrturen nch Newton-Cotes sind wir von fest vorgegebene Stützstellen x i usgegegngen. Ds Problem bestnd drin, die n + Gewichtsfktoren i geeignet zu bestimmen. Sie wurden so festgelegt, dß Polynome bis zum Höchstgrde n exkt integriert werden. Wir betrchten wieder eine Approximtion des Integrls in der Form 4 I G (f) = i f (x i ). (3.47) Johnn Crl Friedrich Guß Die Idee der Guß-Qudrtur ist es, neben den n Gewichten i uch die n Stützstellen x i ls Unbeknnte ufzufssen und diese so zu bestimmen, dß ds resultierende Ergebnis möglichst genu ist. Dmit ht mn dnn doppelt so viele freie Prmeter wie bei dem Newton-Cotes-Anstz. Ähnlich wie in (3.8) knn mn nun x i und i so wählen, dß Polynome bis zum Grde n exkt integriert werden. Dher wird eine wesentlich höhere Genuigkeit erwrtet. Allgemein bezeichnet mn lle Integrtionsformeln, bei denen lle Gewichte und lle Stützstellen vriiert werden, ls Guß-Qudrtur. Um die Guß-Methode zu nutzen, ist es sinnvoll, ds Integrtionsintervll [, b] mit Hilfe von x = b + + b ξ (3.48) uf ds Intervll [, ] bzubilden. Dies ist keine Einschränkung, denn mit dx = (b )dξ/ gilt f(x) dx = b f [x(ξ)] dξ. (3.49) 4 Die Summe beginnt hier bei und nicht bei wie in (3.3). 56 Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften

13 3.5 Guß-Qudrtur Punkt-Guß-Qudrtur Bevor wir uns dem llgemeinen Fll zuwenden, betrchten wir n =. Die -Punkt- Näherung des Integrls lutet I (f) = f(x ) + f(x ). (3.5) Mit dieser Formel sollten wir Polynome bis zur Ordnung (n ) exkt integrieren können. Für n = ht ds llgemeine Polynom die Form Ds exkte Integrl über [, ] lutet I(f) = f(x) = c + c x + c 3 x + c 4 x 3. (3.5) f(x) dx = [ c x + c ] 3 3 x3 = c + 3 c 3. (3.5) Dies Ergebnis soll nun identisch sein mit I (f). Wenn wir jeden Summnden von f mittels (3.5) integrieren erhlten wir c I () + c I (x) + c 3 I (x ) + c 4 I (x 3 )! = c + 3 c 3. (3.53) Die Qudrturformeln für die einzelnen Potenzen luten I () = +, I (x) = x + x, I (x ) = x + x, I (x 3 ) = x 3 + x 3. (3.54) (3.54b) (3.54c) (3.54d) Ein Koeffizientenvergleich in (3.53) ergibt ds nichtlinere Gleichungssystem für die Unbeknnten,, x und x + =, (3.55) x + x =, x + x = 3, x 3 + x 3 =. (3.55b) (3.55c) (3.55d) Ds System knn mn lösen und erhält = =, (3.56) x = 3 x =. 3 (3.56b) Dmit lutet die -Punkt-Guß-Qudrtur ( I (f) = f ) ( ) + f. (3.57) 3 3 Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften 57

14 3 Numerische Integrtion 3.5. n-punkt-guß-qudrtur Für n knn mn ds resultierende nichtlinere Gleichungssystem nicht mehr so einfch lösen. Dnn benötigt mn einen nderen Zugng. Mn knn nun zeigen, dß die n-punkt-guß-qudrtur (3.47) ein beliebiges Polynom (n )-ter Ordnung exkt integriert, wenn die Stützstellen x i die Nullstellen eines Polynoms n-ter Ordnung P n (x) = (x x )(x x )...(x x n ) (3.58) sind, welches orthogonl ist zu jedem beliebigen Polynom Q(x) von höchstens (n )-ter Ordnung. Orthogonlität bedeutet in diesem Zusmmenhng, dß P n Q := P n (x)q(x) dx =. (3.59) Wenn wir jetzt ds Polynom höchstens (n )-ter Ordnung f(x) = P n (x)q(x) betrchten, so gilt offenbr (3.59) exkt = P n (x)q(x) dx Guss Qudr. = }{{} f(x) i = (3.58) i P n (x i )Q(x i ) =, (3.6) }{{} f(x i ) d P n (x i ) = für i =,...,n. Im Anhng B wird gezeigt, dß lle Polynome der Ordnung m n exkt integriert werden. Von zentrler Bedeutung für die Guß-Qudrtur sind dmit orthogonle Polynome. Die Stützstellen der Guß-Qudrtur der Ordnung n sind gerde die Nullstellen des orthogonlen Polynoms der Ordnung n. Wenn die Stützstellen beknnt sind, knn mn die Gewichtsfunktionen i us der Lösung eines (dnn lineren) Gleichungssystems wie (3.54) erhlten. Die Gewichte i knn mn uch nders berechnen. Dzu pproximieren wir f(x) durch ds Lgrngesche Interpoltionspolynom wie in (3.). Dnn erhält mn wie in (3.) für die Qudrturformel der Ordnung n I n (f) = ( L (n) i (x)f(x i ) ) dx = f(x i ) L (n) i (x) dx } {{ } i = i f(x i ). (3.6) Die Gewichte i ergeben sich demnch ls Integrle über die zu den Stützstellen x i gehörigen Lgrnge-Polynome L (n) i (x) i = L (n) i (x) dx. (3.6) 58 Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften

15 3.5 Guß-Qudrtur Orthogonle Polynome Orthogonle Polynome {f n (x)} n N sind chrkterisiert durch die Orthogonlitätsreltion w(x)f n (x)f m (x) dx = h n δ n,m. (3.63) Hierbei nennt mn... :=...dx uch Sklrprodukt.5 Es gibt verschiedene Systeme von orthogonlen Polynomen. Ds jeweilige System wird durch die Gewichtsfunktion w(x) bis uf einen Normierungsfktor eindeutig festgelegt. Die Polynome sind von der Form f n (x) = k n x n + k n xn (3.64) Sie erfüllen die Rekursion f n+ = ( n + xb n )f n c n f n, (3.65) mit b n = k n+ k n, n = b n ( ) k n+ k n, c n = k n+k n h n. (3.66) k n+ k n knh n Legendre-Polynome Im einfchsten Fll ist [, b] = [, ] und w(x) =. Die resultierenden Polynome heißen Legendre-Polynome und werden mit P n (x) bezeichnet. 6 Mit den ersten Polynomen P (x) = und P (x) = x knn mn us der Rekursionsformel (n + )P n+ (x) = (n + )xp n (x) np n (x), n =,,... (3.67) lle Legendre-Polynome sukzessive konstruieren. Sie sind entsprechend (3.63) orthogonl. Die Legendre-Polynome niedriger Ordnung luten 7 P (x) =, P (x) = x, P (x) = (3x ), P 3 (x) = (5x3 3x), P 4 (x) = 8 (35x4 3x + 3), P 5 (x) = 8 (63x5 7x 3 + 5x). (3.68) (3.68b) (3.68c) (3.68d) (3.68e) (3.68f) Sie sind in Abb. 3.5 drgestellt. Der Normierungsfktor ist h n = /(n + ). Mn 5 Durch Vergleich von (3.63) mit e i e j = δ i,j erkennt mn die Anlogie zwischen der Orthogonlität von Funktionen {f(x)} und der Orthogonlität von Einheitsvektoren { e i } imr N. 6 Adrien-Mrie Legendre, , frnzösischer Mthemtiker. 7 Numerisch können die Legendre-Polynome mit Hilfe des Grm-Schmidt schen Orthogonlisierungsverfhren usgehend von den Monomen (x n ) n N itertiv erzeugt werden. Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften 59

16 3 Numerische Integrtion () (b).5 P 3 P4 P.5 P n P 3.5 P.5.5 x.5.5 x.5 Abbildung 3.5: Legendre-Polynome P n (x). Im Limes hoher Ordnung n fllen die Funktionen sehr schnell vom Rndwert b und besitzen im Innern eine fst konstnte Oszilltionsmplitude. Die Oszilltionen sind in Rndnähe schneller ls im Zentrum. sieht, dß die oben in (3.56) berechneten Stützstellen der -Punkt-Guß-Qudrtur gerde die Nullstellen von P (x) sind. Die Legendre-Polynome 8 bilden ein vollständiges Orthogonlsystem. Ds heißt, mn knn jede reelle Funktion uf [, ] nch Legendre-Polynomen entwickeln f(x) = c n P n (x). (3.69) n= Die Koeffizienten c m ergeben sich durch Projektion mittels des Sklrprodukts 8 Die Legendre-Polynome P n (x) sind Lösungen der Legendreschen Differentilgleichung ( x )f xf + n(n + )f =, n N. Diese Gleichung ist ein Grenzfll (m = ) der llgemeinen Legendre-Differentilgleichung ) ( x )f dx xf + (l[l + ] m x f =, mit l und m gnzzhlig und m l. Ihre Lösungen sind die sogennnten zugeordneten Legendre-Polynome f = P (m) l (x). Die llgemeine Legendresche Differentilgleichung resultiert, wenn mn Lösungen der Lplce-Gleichung in Kugelkoordinten sucht. Die Differentilgleichung beschreibt dnn den meridionlen Anteil (x = cosθ) der Lösung. Der zimutle Anteil ist e imϕ. Dies spielt z.b. eine Rolle in der quntenmechnischen Berechnung des Wsserstofftoms oder bei nderen Problemen mit Kugelsymmetrie (Elekrosttik, Geodäsie). Für den Fll m = sind die zugeordneten Legendre-Polynome identisch mit den Legendre-Polynomen P (m) l (x) = P l (x). 6 Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften

17 3.5 Guß-Qudrtur (3.63) uf die Legendre-Polynome P m P m (x)f(x) dx = n= c n P m (x)p n (x) dx = c n P m (x)p n (x) dx = c m. } {{ } δ n,m (3.7) n= Chebyshev-Polynome Ein nderes populäres System orthogonler Polynome erhält mn für [, b] = [, ] und w(x) = ( x ) /. Dnn ergeben sich die Chebyshev-Polynome T n (x). Ds Sklrprodukt lutet dnn { T n (x)t m (x) π, n =, dx = h n δ n,m = δ n,m x π/, n. (3.7) Mit T () = und T = (x) erhält mn die übrigen Chebyshev-Polynome mit der einfchen Rekursion T n+ (x) = xt n (x) T n (x). (3.7) Die ersten Polynome luten 9 T (x) =, T (x) = x, T (x) = x, T 3 (x) = 4x 3 3x, T 4 (x) = 8x 4 8x +, T 5 (x) = 6x 5 x 3 + 5x. (3.73) (3.73b) (3.73c) (3.73d) (3.73e) (3.73f) Sie sind in Abb. 3.6 gezeigt. Mit Hilfe von x = cos θ knn mn die Chebyshev Polynome uch schreiben ls T n (x) = cos(nθ) = cos [n rccos (x)]. (3.74) Auch die Chebyshev-Polynome bilden ein vollständiges Orthogonlsystem. Mn knn jede reelle Funktion uf [, ] drstellen ls f(x) = c i T i (x). (3.75) i= 9 Die Chebyshev-Polynome sind Lösung der Chebyshev-Differentilgleichung ( x )f xf + n f =. Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften 6

18 3 Numerische Integrtion () (b).5 T 3 T.5 T n T 4 T 3.5 T.5.5 x.5.5 x.5 Abbildung 3.6: Chebyshev-Polynome T n (x). Sie oszillieren m Rnd sehr viel schneller ls im Innern. Alle loklen Extrem sind vom Betrge eins. Wenn mn die Reihe bei i = n bbricht, knn mn die n + Koeffizienten erhlten, indem mn die f(x) mittels des Sklrprodukts (3.63) uf die Chebyshev Polynome projiziert. Dieses Verfhren wird Glerkin-Methode gennnt. Alterntiv knn mn die Funktion f n den Extremstellen x j von T n+ (x) uswerten, d.h. f(x j ) = n i= c it i (x j ), um die Koeffizienten c i zu bestimmen (Kolloktions- Methode). Diese Extremstellen von T n+ (x) heißen Chebyshev-Guß-Lobtto-Punkte ( ) jπ x j = cos, j =,,..., n. (3.76) n Wir htten sie schon oben in (.3) zur Vermeidung des Runge-Phänomens verwendet. Für weitere Systeme von orthogonlen Polynomen sei uf Abrmowitz & Stegun (97) verwiesen Bezug zur Guß-Qudrtur Für die Guß-Qudrtur werden die Nullstellen der Legendre-Polynome benötigt. Die Nullstellen für die N-Punkt-Legendre-Guß-Qudrtur knn mn us der Rekursion (3.67) gewinnen. Sei x i [, ] irgend ein Punkt. Dnn gilt nch (3.67) oder (n + )P n+ (x i ) = (n + )x i P n (x i ) np n (x i ), n =,,..., (3.77) n + n + P n+(x i ) + n n + P n(x i ) = x i P n (x i ), n =,,... (3.78) Dies knn mn verllgemeinern. Die llgemeine Rekursion (3.65) knn mn in der Form schreiben n p n+ (x i ) + b n p n (x i ) + c n p n (x i ) = x i p n (x i ), n =,,... (3.79) 6 Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften

19 3.5 Guß-Qudrtur Wenn wir nun den Vektor p = [p (x i ), p (x i ),..., p N (x i )] T der Länge N definieren, können wir die Gleichungen für n =,,,..., N in Mtrixform schreiben b c b c b p = x i p. (3.8) c N b N N c N b N In der ersten Zeile tucht c nicht uf, d p nicht existiert. In der letzten Zeile müßte eigentlich noch N uftuchen. Dies ist ber nicht der Fll, genu dnn wenn x i gerde eine Nullstelle von p N (x) ist. Denn der Vorfktor N vor p N (x i ) = wird dnn mit Null multipliziert und der Term verschwindet. Die Rekursion bricht dnn b. Gleichung (3.8) definiert über die tridigonle Mtrix ein Eigenwertproblem. Die Eigenwerte der Mtrix sind gerde die Nullstellen x i von p N (x), d.h. die gesuchten Stützstellen der Guß-Qudrtur. Die Komponenten der Eigenvektoren sind die nderen orthogonlen Polynome p n (x i ) mit n < N n den Stützstellen. Wie mn derrtige Probleme lösen knn, wird in Kp. 6 behndelt. Ht mn die Nullstellen x i der Legendre-Polynome P N (x) uf diese Weise gefunden, ergeben sich die Gewichtskoeffizienten für die Legendre-Guß-Qudrtur ls (ohne Beweis) i = ( x i )[P N (x. (3.8) i)] Für niedrige Werte von n sind diese Größen in Tb. 3. ufgelistet. Anstelle der Legendre-Polynome knn mn in (3.58) uch Chebyshev-Polynome oder ndere orthogonle Polynome verwenden. Mn muß nur ds Integrl in eine Form bringen, in der uch die Gewichtsfunktion für ds Sklrprodukt der Chebyshev-Polynome uftritt. Die wird durch die Funktion g(x) erreicht, für die gilt g(x) f(x) dx = dx. (3.8) x Als Stützstellen fungieren dnn die Nullstellen des n-ten Chebyshev-Polynoms. Mn knn mit Hilfe der Beziehung = T n (x i ) = cos(nθ i ) berechnen. Hierus folgt nθ i = (i + )(π/) mit i =,..., n. Wegen θ = rccos(x) folgt ( ) i + x i = cos n π, i =,..., n. (3.83) Diese Punkte heißen Chebyshev-Knoten. Ds resultierende Verfhren wird Chebyshev-Guß-Qudrtur gennnt. Mit diesen Stützpunkten gilt dnn g(x) dx i g(x i ). (3.84) x Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften 63

20 3 Numerische Integrtion Punktezhl n Stützstellen x i Gewichte i ± /3 3 8/9 ± 3/5 5/9 ( 4 ± 3 ) /5 /7 36 ( ± 3 + ) 8 3 6/5 / /5 ± /7 3 9 ± /7 3 9 Tbelle 3.: Stützstellen x i und Gewichte i für die Guß-Legendre-Qudrtur. Die Gewichtskoeffizienten sind konstnt i = π/n. Bei den gennnten Verfhren werden nur Stützpunkte im Innern des Intervlls für die Qudrtur verwendet. Mnchml ist es ber wichtig, uch die Rndpunkte selbst zu verwenden. Hierfür existieren gewissen Modifiktionen (siehe z.b. Cnuto et l. 988), die nur geringfügig ungenuer sind ls die Verfhren ohne Verwendung der Rndpunkte. Wird ein einziger Rndpunkt verwendet, spricht mn von Guß- Rdu-Qudrtur, werden beide Rndpunkte verwendet heißt ds Verfhren Guß- Lobtto-Qudrtur. Diese Verfhren integrieren dnn nur noch Polynome bis zur Ordnung N (Guß-Rdu) bzw. N 3 (Guß-Lobtto) exkt, nstelle von N für die Formeln ohne die inneren Rndpunkte. In Mtlb ist eine dptive Guß-Lobtto-Qudrtur im Befehl q = qudl(fun,,b) implementiert. Hierbei muß die Funktion fun definiert sein. Sie wird über ds Intervll [,b] integriert. Der Befehl q = qud(fun,,b) verwendet eine dptive Simpson-Regel. 64 Numerische Methoden der Ingenieurwissenschften