1 Quadratintegrable periodische Funktionen

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1 65 Kpitel Fouriernlyse Qudrtintegrble periodische Funktionen Inhlt: Periodische Funktionen, trigonometrische Polynome, qudrtintegrble Funktionen, L -Norm, ON-Systeme, Konvergenz im qudrtischen Mittel, die trigonometrischen Systeme, Prsevlsche Gleichung. Zur Erinnerung: Definition: Eine Funktion f : R C heißt periodisch mit Periode T, flls T ist und für lle t R gilt: f(t + T ) f(t). Beispiele.. Die Funktionen sin(t) und cos(t) hben die Periode π, der Tngens ht die Periode π.. Die Eulerfunktion e j t cos(t) + j sin(t) ht die Periode π. 3. Die Menge Per(f) ller Perioden der Funktion f bildet einen Modul, d.h. es gilt: T, T Per(f) T ± T Per(f). Ht lso f die Periode T, so sind uch T, 3T,... Perioden von f. 4. Eine konstnte Funktion f(t) c ht jedes T R ls Periode. Wie ds letzte Beispiel zeigt, knn der Periodenmodul Per(f) us gnz R bestehen. Ist f llerdings nicht konstnt und ht f uf einem Periodenintervll höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen, so knn mn zeigen, dß f eine kleinste positive Periode T besitzt. Dnn besteht Per(f) us llen gnzzhligen Vielfchen von T. Z.B. ist die Zhl π die kleinste (positive) Periode beim Sinus. Ein typisches Beispiel ist die hrmonische Schwingung

2 66 Kpitel Fouriernlyse f(t) : A sin(ωt + ϕ). Dbei heißt A die Amplitude, ω die Frequenz und ϕ die Anfngsphse. f ht die Periode T (π)/ω und erfüllt offensichtlich die DGL y + ω y. Wendet mn ds Additionstheorem n, so erhält mn die Drstellung mit A sin(ϕ) und b A cos ϕ. f(t) cos(ωt) + b sin(ωt), Ht f die Periode T, so ht F (t) : f( T π t) die Periode π, denn es ist F (t + π) f( T (t + π)) π f( T π t + T ) f( T π t) F (t). Deshlb ist es keine Einschränkung der Allgemeinheit, wenn wir nur Funktionen mit der Periode π betrchten. Wenn nichts nderes gesgt wird, bedeutet hier künftig periodisch stets periodisch mit Periode π. Ds muß llerdings nicht in jedem Fll die kleinste Periode sein. Ist nun I [, + π] und f eine Funktion uf I mit f( + π) f(), so knn mn f periodisch uf gnz R fortsetzen: -π π π + π Dbei spielt es keine Rolle, mit welchem Intervll (der Länge π) mn begonnen ht, es kommt immer die gleiche Funktion herus. Wir verwenden hier meistens ds Intervll I [, +π], mnchml ber uch ds Intervll [, π]. Wichtigstes Beispiel sind die sogennnten trigonometrischen Polynome Sie hben lle die Periode π. T N (t) N + ( n cos(nt) + b n sin(nt) ).

3 Qudrtintegrble periodische Funktionen 67 Es sei S (I) die Menge der stückweise stetigen Funktionen uf I. Bei diesen Funktionen existiert in jedem x I der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert, llerdings bruchen die beiden Grenzwerte nicht übereinzustimmen. Es sind endlich viele solcher Sprungstellen erlubt, ber keine schlimmeren Unstetigkeiten. Sei I [, b], mit b π. Mit R(I) bezeichnen wir die Menge ller Funktionen f : I C, die höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen hben und für die ds (eventuell uneigentliche) Integrl f(t) dt Re(f(t)) dt + j Im(f(t)) dt existiert. Wir sprechen vom Rum der integrierbren Funktionen. Offensichtlich ist S (I) R(I). Ein Element f R(I) heißt bsolut integrierbr, flls ds Integrl f(t) dt ( (Re f(t)) + (Im f(t)) ) / dt existiert. Mn bechte, dß stets Re f(t) f(t) und Im f(t) f(t) ist. Aus der bsoluten Integrierbrkeit folgt lso uch im Komplexen die gewöhnliche Integrierbrkeit. Ist f bsolut integrierbr und g beschränkt und integrierbr, so ist uch f g bsolut integrierbr. Mit P(I) bezeichnen wir die Menge ller Funktionen f R(I), für die gilt: f() f(b). Ds sind diejenigen integrierbren Funktionen uf I, die sich periodisch uf gnz R fortsetzen lssen. D wir ber unsere Funktionen problemlos in einem einzelnen Punkt bändern können, spielt die Zustzbedingung über die Rndwerte eigentlich keine Rolle. Alle betrchteten Funktionenmengen sind (komplexe) Vektorräume. P(I) ist ein Untervektorrum von R(I) und P(I) S (I) ist ein Untervektorrum von S (I). Definition: Eine Funktion f R(I) heißt qudrtintegrbel, flls f integrierbr ist. Die Zhl ( ) / f : f(t) dt nennt mn die L -Norm von f. Ds sind nicht die im Riemnnschen Sinne integrierbren Funktionen (die unendlich viele Unstetigkeitsstellen hben könnten) und es sind uch nicht die integrierbren Funktionen im Sinne von Mthemtik (die immer eine Stmmfunktion hben).

4 68 Kpitel Fouriernlyse Beispiel. f(t) : t liegt in R([, ]), ist ber nicht qudrtintegrbel. Summe und Produkt von qudrtintegrblen Funktionen f, f seien qudrtintegrbel. Dnn ist f ±f qudrtintegrbel und f f bsolut integrierbr. Außerdem ist und es gilt die Schwrzsche Ungleichung: f (t) f (t) dt [ ( f ) + ( f ) ] f (t) f (t) dt f f. Beweis: Es ist ( f f ) f f f + f, lso f f ( f + f ). Ds liefert die erste Ungleichung und die bsolute Integrierbrkeit von f f. Wegen f f ist uch f qudrtintegrbel und dmit Re(f f ) integrierbr. Für λ C hben wir ußerdem die Gleichung f + λf (f + λf ) (f + λf ) f + Re(λf f ) + λ f. Ds zeigt, dß f + λf qudrtintegrbel ist. Weiter gilt : f + λf dt f dt + λ f f dt + λ f f dt + λ f dt. Mit A : f dt, B : f f dt und C : f dt liefert ds die Ungleichung A + Bλ + Bλ + C λ (für lle λ C). Ist C, so setze mn λ : B/C. Dnn erhält mn die Ungleichung AC BB + B, lso B AC.

5 Qudrtintegrble periodische Funktionen 69 Ist C und A, rgumentiert mn nlog. Ist C A, so setze mn λ B. Dnn erhält mn BB, lso uch B. Dmit ist die Schwrzsche Ungleichung bewiesen. Es folgt, dß die qudrtintegrblen Funktionen uf I einen C-Vektorrum Q I bilden. Definition: Für qudrtintegrble Funktionen f, g uf I [, b] sei <f, g> : f(t)g(t) dt. Ds Sklrprodukt <f, g> ist R-biliner, und es gilt: <f, g> <g, f>. Für c C ist <c f, g> c <f, g>, ber <f, c g> c <f, g>. Es liegt lso ein hermitesches Sklrprodukt vor. Außerdem ist f <f, f> /. Bei einem richtigen Sklrprodukt müßte eigentlich noch gelten: Ist f, so ist f. Ds ist hier nicht der Fll, f knn j in endlich vielen Punkten einen Wert hben. Diese Schwierigkeit tritt übrigens nicht uf, wenn mn nur mit stetigen Funktionen rbeitet. Eigenschften der L -Norm. c f c f.. f + g f + g (Dreiecksungleichung). 3. <f, g> f g (Schwrzsche Ungleichung). Beweis: ) ist trivil. 3) Die Schwrzsche Ungleichung hben wir oben schon bewiesen. ) Die Dreiecksungleichung folgt wie üblich us der Schwrzschen Ungleichung:

6 7 Kpitel Fouriernlyse ( f + g ) <f + g, f + g> <f, f> + <f, g> + <g, f> + <g, g> ( f ) + ( g ) + Re <f, g> ( f ) + ( g ) + <f, g> ( f ) + ( g ) + f g ( f + g ). Definition: Zwei Funktionen f, g Q I heißen orthogonl zueinnder, flls <f, g> ist. Im Folgenden bezeichne... die L Norm. Stz des Pythgors Ist <f, g>, so ist f + g f + g. Der Beweis erfolgt fst genuso wie im Flle des euklidischen Sklrproduktes im R n : f + g <f + g, f + g> <f, f> + <f, g> + <g, f> + <g, g> f + Re <f, g> + g f + g. Definition: Eine (bzählbre) Teilmenge S {ϕ, ϕ, ϕ,...} Q I heißt ein ON-System, flls gilt:. <ϕ n, ϕ m > für n m.. ϕ n für lle n. Es sei drn erinnert, dß eine unendliche Teilmenge B eines Vektorrumes V liner unbhängig heißt, wenn jede beliebige endliche Auswhl von Elementen von B liner unbhängig ist.

7 Qudrtintegrble periodische Funktionen 7 Orthonormlsysteme sind liner unbhängig Ist S Q I ein ON-System, so ist S liner unbhängig. Beweis: Sei I N endlich und i I c i ϕ i. Dnn folgt: < i I c i ϕ i, ϕ j > i I c i <ϕ i, ϕ j > i I c i δ ij c j, für j I. Dmit ist die linere Unbhängigkeit gezeigt. Wir werden jetzt einige Beispiele von ON-Systemen betrchten. Ds trigonometrische System (T) Sei I [, π]. Dnn bilden die Funktionen g (t) : π, ein ON-System in Q I. g n (t) : π cos(nt) für n und h n (t) : π sin(nt) für n Beweis: Wir betrchten zunächst die Funktionen, cos(nt) und sin(nt). Dbei benutzen wir die Additionstheoreme ) Es ist <, > ) <, cos(nt) > 3) <, sin(nt) > sin(α + β) sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) und cos(α + β) cos(α) cos(β) sin(α) sin(β). dt π. cos(nt) dt sin(nt) n sin(nt) dt cos(nt) n π. π. 4) Wegen sin(α) cos(β) [sin(α + β) + sin(α β)] ist

8 7 Kpitel Fouriernlyse < sin(nt), cos(mt) > sin(nt) cos(mt) dt sin((n + m)t) dt + sin((n m)t) dt für beliebiges n und m. 5) Wegen cos(α) cos(β) [cos(α + β) + cos(α β)] ist < cos(nt), cos(mt) > cos(nt) cos(mt) dt cos((n + m)t) dt + { π flls n m sonst. 6) Wegen sin(α) sin(β) [cos(α β) cos(α + β)] ist < sin(nt), sin(mt) > sin(nt) sin(mt) dt cos((n m)t) dt { π flls n m sonst. Ds gewünschte Ergebnis knn mn nun direkt blesen. cos((n m)t) dt cos((n + m)t) dt Ds komplexe trigonometrische System (E) Sei I [, π]. Dnn bilden die Funktionen ein ON-System in Q I. f n (t) : π e j nt, n Z, Beweis: Es ist < e j nt, e j mt > { π flls n m, e j (n m)t dt sonst. Ds Rechnen im Komplexen ist erheblich einfcher! Sei I [, b], V : Q I und F : (f i ) i N ein ON-System in V. Für eine endliche Teilmenge J N sei V J der von den Funktionen f i, i J, ufgespnnte Untervektorrum von V.

9 Qudrtintegrble periodische Funktionen 73 Ist f V beliebig und i N, so nennt mn f(i) : <f, f i > den i-ten (formlen) Fourierkoeffizienten von f bezüglich F. Ds Element p J (f) : i J f(i) f i V J nennt mn die orthogonle Projektion von f uf V J. Eigenschften der orthogonlen Projektion. f p J (f) f p J (f) (Pythgors).. f p J (f) f g für lle g V J. 3. p J (f) f(i) f. i J Beweis: Es sei c i : f(i), für i N. Dnn gilt für j J : <f p J (f), f j > <f, f j > i J c i <f i, f j > c j i J c i δ ij c j c j. f g f p J (f) g V J Also ist <f p J (f), h> für lle Elemente h V J, insbesondere <f p J (f), p J (f)>. Nch dem Stz von Pythgors ist lso f f p J (f) + p J (f) und p J (f) f. Für g V J ist ußerdem <f p J (f), p J (f) g>,

10 74 Kpitel Fouriernlyse lso f g (f p J (f)) + (p J (f) g) f p J (f) + p J (f) g. Ds bedeutet, dß f p J (f) f g für g V J ist. Schließlich ist p J (f) <p J (f), p J (f)> < i J c i f i, j J c j f j > i,j c i c j <f i, f j > i J c i. Der Stz besgt, dß f unter llen Elementen von V J durch p J (f) m besten pproximiert wird (in der L -Norm). Mn nennt p J (f) dher uch die Bestpproximtion von f in V J. Aus den obigen Abschätzungen folgt insbesondere: Besselsche Ungleichung Ist c i f(i) für i N, so ist c i f. i Ds bedeutet insbesondere, dß die Reihe gegen Null konvergiert. c i konvergiert und die Folge (c i ) i Definition: Eine Folge von Funktionen f n Q I konvergiert im qudrtischen Mittel gegen eine (qudrtintegrble) Funktion f, wenn gilt: lim f f n. n Dies ist ein neuer Grenzwertbegriff, und er ist mit Vorsicht zu genießen. Ist fst überll f g, so ist g f n (f f n ) + (g f) f f n. Ds ht zur

11 Qudrtintegrble periodische Funktionen 75 Folge, dß der Grenzwert einer (im qudrtischen Mittel) konvergenten Folge nicht eindeutig bestimmt ist. Für f Q I und ein vorher festgelegtes ON-System F (f n ) sei künftig Die Reihe S f : S n (f) : n f(i) f i i n <f, f i > f i. i f(i) f i nennt mn die Fourier-Reihe von f. Mn interessiert i sich dfür, unter welchen Umständen und uf welche Art f S f ist. Sei F (f n ) ein ON-System in Q I. Definition: F heißt vollständig, flls für lle f Q I gilt: lim f S n(f), n wenn lso die formle Fourier-Reihe S f immer im qudrtischen Mittel gegen f konvergiert. Chrkterisierung vollständiger ON-Systeme Sei F ein ON-System in Q I. Dnn sind folgende Eigenschften äquivlent:. Alle f Q I erfüllen die Prsevlsche Gleichung: f <f, f i >. i. F ist vollständig. Beweis: Sei f Q I beliebig vorgegeben und c i : <f, f i > für i N. Dnn ist f S n (f) f S n (f) (Pythgors) n f c i. Also konvergiert f S n (f) genu dnn gegen Null, wenn f i c i ist. i

12 76 Kpitel Fouriernlyse Die Vollständigkeit des trigonometrischen Systems Ds trigonometrische System (T) der Funktionen g (t) : π, g n (t) : π cos(nt) und h n (t) : π sin(nt), für n, ist vollständig. Den Beweis können wir hier leider nicht usführen. Unmittelbr folgt jetzt, dß uch ds komplexe trigonometrische System (E) vollständig ist. Wir betrchten nun Fourierreihen. Beginnen wir mit dem System (T) : g (t) : π, g n (t) : π cos(nt) und h n (t) : π sin(nt), für n. Aus historischen Gründen setzt mn : π n : π und b n : π f(t) dt Dnn ht die formle Fourierreihe S f die Gestlt S f (x) < f, g > g (x) + es ist lso π + π π < f, g >, f(t) cos(nt) dt π < f, g n > f(t) sin(nt) dt π < f, h n >. ( < f, g n > g n (x)+ < f, h n > h n (x) ) ( ( π n ) π cos(nx) + ( πb n ) S f (x) + ( n cos(nx) + b n sin(nx)). ) sin(nx), π Mn bechte, dß die Koeffizienten n, b n hier nicht mit den zuvor definierten formlen Fourierkoeffizienten übereinstimmen. Aus historischen Gründen nennt mn, n und b n dennoch die Fourierkoeffizienten von f (bzgl. (T) ). Wir kommen jetzt zum System (E):

13 Qudrtintegrble periodische Funktionen 77 Setzt mn c n : ( n jb n ) und c n : ( n +jb n ) c n, für n, sowie c :, so folgt: n c n e j nt c + c + (c n e j nt + c n e j nt ) ((c n + c n ) cos(nt) + j (c n c n ) sin(nt)) + ( n cos(nt) + b n sin(nt)). Dmit hben wir die komplexe Form der Fourierreihe von f gefunden: S f (x) n c n e j nt. Die komplexen Fourierkoeffizienten c n knn mn übrigens uch direkt berechnen, ohne den Umweg über die n und b n. Es ist nämlich c π und c n π f(t) dt f(t)e j nt dt (für n ). D (T) (und dmit uch (E)) vollständig ist, konvergiert die Fourierreihe S f qudrtischen Mittel gegen f, und es gilt die Prsevlsche Gleichung: lso Ds heißt: < f, g > + π + ( < f, g n > + < f, h n > ) f, ( πn + πb n ) f(t) dt. + ( n + b n) π oder (mit den komplexen Fourierkoeffizienten) f(t) dt im c n π f(t) dt. Bei der hrmonischen Anlyse versucht mn, eine periodische Bewegung in ihre hrmonischen Bestndteile zu zerlegen. Ein guter Kndidt ist die Fouriersche

14 78 Kpitel Fouriernlyse Reihe, deren Koeffizienten wir j schon bestimmen können. Wir müssen jetzt llerdings wissen, wnn eine Funktion ttsächlich durch ihre Fourierreihe drgestellt wird, wnn die Reihe lso zumindest punktweise gegen die Funktion konvergiert. Mn nennt ds uch ds Konvergenzproblem.

15 Konvergenz von Fourierreihen 79 Konvergenz von Fourierreihen Inhlt: Dirichlet-Kern, stückweise gltte Funktionen, Riemnn-Lebesguesches Lemm, Dirichletsche Integrlformel, Huptstz der hrmonischen Anlyse, gleichmäßige Konvergenz, Gibbs schen Phänomen, Beispiele von Fourierentwicklungen. Hilfsstz Für x kπ ist N + cos(nx) sin(n + )x sin x. N Beweis: Sei D N (x) : e j nx. Dnn gilt: n N N N (e j x )D N (x) e j (n+)x n N n N e j (N+)x e j Nx. e j nx Multipliktion mit e j x ergibt: (e j x e j x ) DN (x) e j (N+ )x e j (N+ )x, lso D N (x) sin(n + )x sin x für x kπ. Drus folgt:

16 8 Kpitel Fouriernlyse ( N + cos(nx) + ( + N n N ) N cos(nx) ) N (e j nx + e j nx ) e j nx sin(n + )x sin x. Bemerkung. Die Gleichung bleibt uch für x kπ richtig, wie mn durch Anwendung von de l Hospitl uf der rechten Seite sehen knn. Der Wert ist dnn N +. Die Funktion D N (x) : N n N e j nx sin(n + )x sin x N + cos(nx) heißt (N ter) Dirichlet Kern. Hilfsstz Es ist D N ( x) D N (x) und D N (x) dx π. Beweis: Die erste Aussge ist trivil, und weil N D N (x) + cos(nx) ist, folgt: D N (x) dx π + N n sin(nx) π π. Ist die Funktion f (uf einem beschränkten Intervll) stückweise stetig, so ist sie bis uf endlich viele Stellen stetig, und ls Unstetigkeiten kommen höchstens Sprungstellen vor. Ist eine solche Sprungstelle, so existieren die einseitigen Grenzwerte

17 Konvergenz von Fourierreihen 8 f( ) lim x und f(+) lim x + Wir setzen M f () : (f( ) + f(+)). Ist f in stetig, so ist M f () f(). An den Sprungstellen ist M f gerde der Mittelwert der beiden einseitigen Grenzwerte. Um die Konvergenz der Fourierreihe gegen die Funktion beweisen zu können, müssen wir stärkere Bedingungen n die Glttheit der Funktion stellen. Dzu noch eine Bemerkung über Differenzierbrkeit in Unstetigkeitsstellen: Ist eine Funktion f : [, b] R zwr nicht in x stetig, existiert ber der rechtsseitige Grenzwert f(x+), so heißt f in x rechtsseitig differenzierbr, wenn der Grenzwert f f(x + t) f(x+) (x+) : lim t t t> existiert. Anlog definiert mn die linksseitige Differenzierbrkeit und die linksseitige Ableitung f (x ). Definition: Eine Funktion f : [, b] R heißt stückweise gltt, wenn sie bis uf endlich viele Ausnhmen stetig differenzierbr ist, und wenn in den Ausnhmepunkten die einseitigen Grenzwerte f(x ) und f(x+) und die einseitigen Ableitungen f (x ) und f (x+) existieren. Ist f stückweise gltt, so ist f stückweise stetig, lso insbesondere integrierbr. Ist f sogr stetig, so ist f Stmmfunktion von f. Ist f stückweise gltt und stetig und g stetig differenzierbr, so gilt (vgl.. Semester, Kp. 4, 4): f (t)g(t) dt (f(t)g(t)) b f(t)g (t) dt. Hilfsstz Sei f : [, b] C stetig. Dnn gibt es zu jedem ε > eine stückweise gltte und stetige Funktion g : [, b] C, so dß gilt: f(x) g(x) < ε für x b.

18 8 Kpitel Fouriernlyse Beweis: Wir können Relteil und Imginärteil gesondert behndeln. Deshlb nehmen wir n, dß f reellwertig ist. In Mthemtik (Kpitel 4, 3, Beweis der Integrierbrkeit stetiger Funktionen) wurde folgende Ttsche bewiesen: Es gibt eine Zerlegung des Intervlls, x < x <... < x m b, so dß für i,..., m gilt: sup{f(x) : x i x x i } < inf{f(x) : x i x x i } + ε. Für x [x i, x i ] sei nun λ i (x) : f(x i ) + f(x i) f(x i ) x i x i (x x i ). Ds ist eine linere Approximtion von f, die in den Endpunkten des Teilintervlls mit f übereinstimmt. Die Werte von λ i liegen zwischen min(f(x i ), f(x i )) und mx(f(x i ), f(x i )). Dher ist ε + f(x) < λ i (x) < f(x) + ε, für x [x i, x i ], lso λ i (x) f(x) < ε uf [x i, x i ]. f λ i x i x i Wir setzen g(x) : λ i (x) uf [x i, x i ], für i,..., m. Offensichtlich ist g stückweise gltt und stetig. Hilfsstz Sei f : [, b] C bsolut integrierbr. Dnn gibt es zu jedem ε > eine stückweise gltte und stetige Funktion g : [, b] C, so dß gilt: f(x) g(x) dx < ε. Beweis: Wir nehmen wieder n, dß f reellwertig ist. Definitionsgemäß besitzt f nur endlich viele Unstetigkeitsstellen. Wir können Intervlle um diese Stellen herum finden, so dß ds Integrl über f und diese Intervlle insgesmt kleiner ls ε/3 bleibt. Ersetzt mn f uf den gennnten Intervllen durch Null, so entsteht eine beschränkte integrierbre Funktion f (mit endlich vielen Unstetigkeitsstellen).

19 Konvergenz von Fourierreihen 83 Als nächstes wählen wir Intervlle um die Unstetigkeitsstellen von f herum, deren Gesmtlänge L folgende Bedingung erfüllen soll: sup f L < ε [,b] 3. Wenn mn jetzt uf diesen Intervllen die Unstetigkeiten durch ein lineres Stück überbrückt, erhält mn eine stetige Funktion f, und es gilt: f f Unstetigkeitsstelle von f f (x) f (x) dx sup f L < ε [,b] 3. Nch dem vorigen Hilfsstz gibt es eine stetige und stückweise gltte Funktion g uf [, b], so dß gilt: ε f (x) g(x) < für x b. 3(b ) Dnn ist f (x) g(x) dx < ε, und es folgt: 3 f(x) g(x) dx f(x) f (x) dx + + f (x) g(x) dx < ε 3 + ε 3 + ε 3 ε. f (x) f (x) dx Riemnn-Lebesguesches Lemm Sei f : [, b] R bsolut integrierbr und Dnn ist lim F (y). y + F (y) : f(t) sin(yt) dt.

20 84 Kpitel Fouriernlyse Beweis: Wir können nnehmen, dß f stetig und stückweise gltt ist. Dnn ist g(t) sin(yt) dt ( g(t) y cos(yt)) b Dieser Ausdruck strebt für y gegen Null. + y g (t) cos(yt) dt. Bemerkung. Die gleiche Aussge gilt mit der Cosinus-Funktion. Es folgt, dß die Fourier-Koeffizienten einer bsolut integrierbren Funktion eine Nullfolge bilden. Für qudrtintegrble Funktionen hben wir ds schon im vorigen Prgrphen gesehen. Wir können jetzt den entscheidenden Schritt in Richtung uf einen llgemeinen Konvergenzbeweis hin tun: Dirichletsche Integrlformel Es sei f stückweise stetig und periodisch, und T f,n (x) : N + ( n cos(nx) + b n sin(nx)) ds N-te Fourierpolynom von f. Dnn ist T f,n (x) π f(x + t)d N (t) dt. Beweis: Setzt mn die Integrldrstellungen der Koeffizienten, n und b n in die Definition von T f,n (x) ein, so erhält mn: T f,n (x) π π π π f(t) f(t) [ N ] + (cos(nt) cos(nx) + sin(nt) sin(nx)) dt N ] + cos(n(t x)) dt [ f(t) D N(t x) dt f(x + τ)d N (τ) dτ. Beim letzten Schritt wurde die Substitution t(τ) x + τ (mit t (τ) ) vorgenommen. Die Integrtionsgrenzen mußten wegen der Periodizität des Integrnden nicht verändert werden!

21 Konvergenz von Fourierreihen 85 Huptstz der hrmonischen Anlyse Die Funktion f sei stückweise gltt und periodisch. Dnn konvergiert die Fourierreihe von f punktweise gegen M f. Beweis: Wir beweisen den Stz zunächst nur für stetige Punkte von f. Sei x (, +π) ein solcher Punkt. Wegen der Periodizität können wir immer nnehmen, dß der Punkt im Innern des Periodenintervlls liegt. Nch der Dirichletschen Integrlformel ist Nun sei T f,n (x) f(x) π ϕ(t) : f(x + t) f(x) sin t [ f(x + t) f(x)] D N(t) dt. f(x + t) f(x) t t/ sin(t/). Der erste Fktor bleibt für t beschränkt, weil f in der Nähe von x stetig ist und der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten existiert (f ist j stückweise gltt). Der zweite Fktor strebt für t gegen und bleibt uf [, π] stetig. Es folgt, dß ϕ bsolut integrierbr und ußerhlb von t sogr stückweise gltt ist. Nun ist ber T f,n (x) f(x) π ϕ(t) sin(n + )t dt. Nch dem Riemnn-Lebesgue-Lemm strebt T f,n (x) f(x) dnn für N gegen Null. Den Beweis für die unstetigen Punkte trgen wir später nch. Wir betrchten zunächst ein besonders wichtiges Beispiel: -π -π - π π Sei f (x) : π x für < x < π, für x und x π.

22 86 Kpitel Fouriernlyse Wir wollen die Fourierkoeffizienten von f berechnen. Es ist und sowie π π cos(nx) dx x cos(nx) dx x sin(nx) n π π x sin(nx) dx x cos(nx) n sin(nx) dx, π π sin(nx) dx cos(nx) n n π n sin(nx) n π n. π π + π cos(nx) n dx π, Also ergibt sich: π n π und b n π π π π π x dx π (πx x ) (π x) cos(nx) dx Die Fourierreihe von f ht lso die Gestlt π, (π x) sin(nx) dx π x sin(nx) dx π n. S f (x) sin(nx). n Wir wissen schon, dß S f (x) für x πk punktweise gegen f (x) konvergiert. Ist x πk, so ist S f (x) die Nullreihe. D M f (x) in diesen Punkten ebenflls den Wert Null nnimmt, konvergiert lso die Fourierreihe von f überll gegen M f. Wir können jetzt den fehlenden Teil des Beweises des Huptstzes nchtrgen. Die stückweise gltte Funktion f sei in x unstetig. Es liege eine Sprungstelle der Höhe h vor. Sei g(x) : h π f (x x ). Ds ist eine stückweise gltte Funktion mit einer einzigen Sprungstelle der Höhe h bei x, und die Fourierreihe von g konvergiert überll gegen M g. Weil die Annäherung n x bei f g von links und von rechts den gleichen Wert ergibt, ist die Funktion f g in x stetig! Also konvergiert die Fourierreihe von f g in x gegen (f g)(x ) M f (x ) M g (x ). Dmit ist

23 Konvergenz von Fourierreihen 87 S f (x ) S f g (x ) + S g (x ) (M f (x ) M g (x )) + M g (x ) M f (x ) und der Huptstz ist uch in unstetigen Punkten bewiesen. Wir wollen jetzt etws genuer untersuchen, wie gut die Fourierreihe konvergiert. Sei I R ein Intervll und (f n ) eine Folge von (reell- oder komplexwertigen) Funktionen uf I. Definition: Die Funktionenfolge (f n ) konvergiert uf I gleichmäßig gegen eine Funktion f, wenn gilt: ε > n N, s.d. für n n und lle x I gilt: f n (x) f(x) < ε. Ist f reellwertig, so können wir die gleichmäßige Konvergenz noch nschulicher deuten: Die Menge U ε (f) : {(x, y) R : x I und f(x) ε < y < f(x) + ε} knn mn ls ε-schluch um G f bezeichnen. Die gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dß in jedem ε-schluch die Grphen fst ller Funktionen f n liegen. Stz Ist eine Funktionenreihe uf I norml konvergent, so konvergiert die Folge ihrer Prtilsummen gleichmäßig uf I. Beweis: Wir betrchten die Funktionenreihe f n. Dß die Reihe norml konvergiert, bedeutet: Die Reihe konvergiert punktweise gegen eine Funktion f, und es gibt reelle Zhlen n, so dß n konvergiert und f n (x) n uf gnz I gilt. N Sei S N (x) f n (x) die N-te Prtilsumme. Zu vorgegebenem ε > gibt es ein n, so dß nk+ n < ε für k n ist. Dnn gilt für x I und m > k : m nk+ f n (x) m nk+ f n (x) m nk+ n < ε. Läßt mn m gegen gehen, so bleibt für k n die Abschätzung

24 88 Kpitel Fouriernlyse Ds ergibt die gleichmäßige Konvergenz. f(x) S k (x) f n (x) ε. nk+ Beispiel. Wir betrchten noch einml die Funktion π x für < x < π, f (x) : für x und x π. Sie ht die Fourierreihe S f (x) sin(nx). n Behuptung: Die Fourierreihe von f Intervll [ε, π ε]. konvergiert gleichmäßig uf jedem Beweis dzu: Es sei R N (x) : T f,n(x) f(x) N für ε x π ε und kleines ε >. Dnn ist R N (x) N x x π x sin(nx) n x cos(nt) dt + π π N ] + cos(nt) dt [ π D N (t) dt x π dt (π x) sin(n + )t sin t Dieses Integrl werten wir mit Hilfe von prtieller Integrtion us. Außerdem benutzen wir noch den. Mittelwertstz der Integrlrechnung: Sind f, p : [, b] R stetig, p, so gibt es ein c [, b] mit f(x)p(x) dx f(c) p(x) dx. Mit einem geeigneten c zwischen π und x ist dher dt.

25 Konvergenz von Fourierreihen 89 x π sin(n + )t sin t dt cos(n + )t (N + ) sin t cos(n + )x (N + ) sin x cos(n + )x (N + ) sin x (N + ) sin x x x cos(n + + )t π π N + + cos(n + )c N + x ( ) dt sin t ( ) dt π sin t + cos(n + )c ( ) N + sin x ( cos((n + )x) + cos((n + ( )c) sin x ) ). Für ε x π ε ist ε x π ε, lso < sin ε sin x und dmit Außerdem ist sin x sin x sin ε. <. Drus folgt: R N (x) (N + ) sin x (N + ) sin ε für ε x π ε. Ds bedeutet ber, dß (R N ) für N gleichmäßig gegen Null konvergiert, und dmit (T N,f ) gleichmäßig gegen f. In der Nähe von x ist die Konvergenz nicht mehr gleichmäßig. Wie mcht sich ds bemerkbr? N sin(nx) Wir müssen die Werte der Prtilsummen T N (x) in der Nähe n von x bschätzen. Um etwige Mxim zu ermitteln, berechnen wir die erste Ableitung: T N(x) N cos(nx) sin(n + )x sin x. Also ist T N(x) sin(n + )x sin x. Bei festem N knn x so klein gewählt werden, dß

26 9 Kpitel Fouriernlyse < x < (N + )x < π ist. D der Sinus zwischen und π jeden Wert (zwischen und ) genu zweiml nnimmt, und zwr symmetrisch zu x π, tritt die erste positive Nullstelle von T N genu dort uf, wo x + (N + )x π ist, lso bei x x N : π N +. D T N () und T N (x N ) > ist und dzwischen kein Extremwert liegt, muß T N in x N ein Mximum besitzen. Wir wollen den Wert von T N in diesem Mximum berechnen: T N (x N ) T N (x N ) T N () xn sin(n + )t sin t Für großes N und t x N ist sin( t ) < t, lso xn dt x N. T N(t) dt T N (x N ) > xn sin(n + )t t dt x N. Mit der Substitution u u(t) (N + )t ist mit ε N : N +. xn sin(n + )t t dt ( εn ) sin(u) u π Läßt mn N gegen Unendlich gehen, so strebt ε N gegen Null und gegen N+ Null. Also nähert sich T N (x N ) für großes N einem Wert, der über der festen Zhl sin(u) du u liegt, während lim f(x) π x ist. Die Prtilsummen der Fourierreihe schießen in der Nähe der Unstetigkeitsstelle um einen unngenehm hohen Betrg über ds Ziel hinus, und die Approximtion wird um so schlechter, je größer ds N ist. Dieses Verhlten wird ds Gibbs sche Phänomen gennnt, und es ist bei llen unstetigen stückweise gltten periodischen Funktionen zu beobchten. Betrchten wir noch zwei Prtilsummen im Bild: du

27 Konvergenz von Fourierreihen 9 T 4 (x) -π -π - π π T 8 (x) -π -π - π π Stz über gleichmäßige Konvergenz von Fourierreihen Die Funktion f sei stückweise gltt, periodisch und zusätzlich stetig. Dnn konvergiert die Fourierreihe von f gleichmäßig gegen f. Beweis: Sei S f (x) + ( n cos(nx) + b n sin(nx)). Die Funktion g : f ist stückweise stetig, lso knn mn forml uch ihre Forierreihe bilden: S g (x) c + (c n cos(nx) + d n sin(nx)). Weil f stetig und stückweise gltt ist, knn mn prtielle Integrtion nwenden: und c n π f (t) cos(nt) dt π (f(t) cos(nt)) π n b n + π f(t)n sin(nt) dt

28 9 Kpitel Fouriernlyse Außerdem ist d n π f (t) sin(nt) dt π (f(t) sin(nt)) π n n. c π π f (t) dt π f(t) π Nun erinnern wir uns n die Besselsche Ungleichung: Drus folgt, dß die Reihe Also ist (c n + d n) π und f(t)n cos(nt) dt f(t) dt.. (c n + d n) konvergent ist. Andererseits gilt: ( c n ) c n ( d n n n c n n + n ) d n d n n + n. n + b n c n n + d n n (c n + d n + n ). Dmit besitzt S f (x) eine konvergente Mjornte, und nch dem Weierstrß Kriterium ist S f (x) gleichmäßig konvergent. sin(nx) Im Beispiel der Reihe htten wir etws mehr herusbekommen, nämlich n die gleichmäßige Konvergenz uf jedem bgeschlossenen Intervll, ds keine Unstetigkeitsstelle enthält. Auch ds ist gnz llgemein richtig: Konvergenzverhlten ußerhlb der Sprungstellen Ist f stückweise gltt und periodisch und [, b] ein bgeschlossenes Intervll, ds keine der Unstetigkeitsstellen von f enthält, so konvergiert die Fourierreihe S f (x) uf [, b] gleichmäßig gegen f. sin(nx) Beweis: Sei ψ(x) : die Funktion us dem Beispiel. Dnn ht ψ in n [, +π] genu eine Sprungstelle der Höhe π, nämlich bei x.

29 Konvergenz von Fourierreihen 93 Sei x [, π] ein Punkt, h eine reelle Zhl. Dnn ht die Funktion h π ψ(x x ) nur jeweils in den Punkten x + kπ eine Sprungstelle (von der Höhe h ), und von diesen Stellen liegt nur x selbst in [, π]. Ht jetzt f(x) in [, π] die Sprungstellen x, x,..., x k mit den Höhen h, h,..., h k, so ht k h i F (x) : f(x) π ψ(x x i) überhupt keine Sprungstellen mehr. Die Fourierreihe S F konvergiert überll gleichmäßig, und die Fourierreihe des Korrekturterms konvergiert uf jedem bgeschlossenen Intervll gleichmäßig, ds keine der Sprungstellen x, x,..., x k enthält. Drus folgt die Behuptung. i Fourierkoeffizienten gerder und ungerder Funktionen S f (x) + ( n cos(nx) + b n sin(nx)) sei die (formle) Fourierreihe einer stückweise stetigen Funktion f(x). Dnn gilt:. Ist f gerde (lso f( x) f(x) ), so ist b n für n.. Ist f ungerde (lso f( x) f(x) ), so ist n für n. Beweis: Ist f gerde, so ist f(x) sin(nx) für jedes n ungerde, und dnn ist b n π f(t) sin(nt) dt, weil sich die positiven und die negtiven Teile gerde wegheben. Ist f ungerde, so ist und f(x) cos(nx) ungerde, lso uch n für n. Beispiele.. Wir beginnen mit einer Fourierreihe, zu der wir die pssende Funktion suchen: cos(nx) Sei F (x) :. D die konvergente Reihe eine Mjornte ist, n n konvergiert F (x) überll gleichmäßig, stellt lso eine stetige Funktion dr.

30 94 Kpitel Fouriernlyse sin(nx) Die gliedweise differenzierte Reihe x π konvergiert uf n jedem Intervll I ε [ε, π ε] gleichmäßig. Auf solchen Intervllen ist lso F (x) x π ( ) x π, d.h. F (x) + C mit einer Konstnten C. Die Gleichung gilt zunächst nur ußerhlb der Punkte nπ, ber d F (x) ls gleichmäßiger Limes von stetigen Funktionen selbst wieder stetig ist, gilt sie sogr überll. Nun ist π F (x) dx π ( ) x π dx + πc (x π)3 π3 6 + πc π +πc und ndererseits wegen der gleichmäßigen Konvergenz von F (x) π F (x) dx π sin(nx) n 3 cos(nx) n dx π. Also ist C π und cos(nx) n ( x π ) π. Der Fll x ergibt insbesondere die Formel n π 6. So liefert uns die Fouriertheorie den Grenzwert einer Reihe, deren Konvergenz uns schon lnge beknnt ist.. Als nächstes betrchten wir die Fourierreihe einer stetigen Funktion:

31 Konvergenz von Fourierreihen π -π π π Wir definieren f(x) : x uf [, π] und setzen wie üblich periodisch fort. Dnn erhlten wir folgende Fourierkoeffizienten: π π f(t) dt t dt π π t π, n π f(t) cos(nt) dt t cos(nt) dt π [( t sin(nt) ) π π ] sin(nt) dt π n n π cos(nt) π (cos(nπ) ) n n π { flls n gerde n π (( )n ) 4 flls n ungerde n π und b n, weil f eine gerde Funktion ist. Also erhlten wir die Fourierreihe S f (x) π 4 π k cos((k + )x) π (k + ) 4 cos(3x) (cos(x)+ + cos(5x) + ). π 3 5 Hier ist schon T 5 (x) eine gute Approximtion:

32 96 Kpitel Fouriernlyse 3 -π -π π π Insbesondere ergibt sich für x : π 4 π (k + ), lso k k (k + ) π Schließlich betrchten wir noch einen typischen Rechteckimpuls : flls π < x <, f(x) : für x, flls < x < π. -π -π π - π D f eine ungerde Funktion ist, ist n für lle n. Weiter gilt: b n π π f(t) sin(nt) dt sin(nt) dt π cos(nt) n π πn (( )n ) { flls n gerde, 4 πn flls n ungerde.

33 Konvergenz von Fourierreihen 97 Die Fourierreihe ht lso die Gestlt S f (x) 4 π k sin((k + )x). k + Wegen der Unstetigkeitsstellen tritt ntürlich wieder ds Gibbs sche Phänomen uf! Wir skizzieren ds Polynom T 9 (x) : -π -π - π π

34 98 Kpitel Fouriernlyse 3 Die Fouriertrnsformtion Inhlt: Die Fouriertrnsformierte, einfche Beispiele und Regeln, Fouriertrnsformtion und Ableitung, die Fltung, ds Fourier-Integrl-Theorem, Rücktrnsformtion mit Hilfe des Residuenstzes, strk bfllende Funktionen und Distributionen. Sei f : R C eine stückweise stetige Funktion, so dß ds uneigentliche Integrl f(t) dt konvergiert. Dnn knn mn zeigen, dß ds Integrl F (ω) : f(t)e j ωt dt eine stetige Funktion uf R drstellt. Außerdem ist lim F (ω). Ist sogr t f(t) ω über R bsolut integrierbr, so ist F stetig differenzierbr und F (ω) j t f(t)e j ωt dt. F (ω) : Definition: heißt die Fourier-Trnsformierte von f. f(t)e j ωt dt Mn schreibt uch F (ω) f(ω) oder F F[f]. f heißt Originlfunktion oder Urbildfunktion, F heißt Spektrlfunktion oder Bildfunktion. Den Zusmmenhng zwischen Originlfunktion und Bildfunktion mcht mn uch mit folgender Symbolik deutlich: f(t) F (ω) Bemerkung. Die Fourier-Trnsformierte f ist wie folgt beschränkt: f(ω) f(t)e j ωt dt f(t) dt.

35 3 Die Fouriertrnsformtion 99 Die Funktionen f f(t) sind im sogennnten Originl- oder Zeitbereich ngesiedelt. Mn knn sich drunter irgendwelche eingehenden elektromgnetischen Signle vorstellen. Mit Hilfe der Fourier-Trnsformtion wird ds Signl wie beim Empfng durch eine Antenne ls kontinuierliche Überlgerung von hrmonischen Schwingungen drgestellt. Die im Bild- oder Frequenzbereich ngesiedelte Fourier- Trnsformierte F F (ω) beschreibt, welchen Beitrg die verschiedenen Frequenzen leisten. Beispiele.. Wir beginnen mit dem Rechteck-Impuls π(t) : { für t für t >. Die Fourier-Trnsformierte F F[π] ist gegeben durch Führen wir die Schreibweise ein, so erhlten wir: F (ω) e j ωt dt j ω e j ωt j ω (e j ω e j ω ) ω sin(ω). si(x) : sin x x π(t) si(ω).. Als nächstes betrchten wir den symmetrisch bfllenden Impuls f ist stetig und bsolut integrierbr: f(t) dt f(t) : e t. e t dt e t. t

36 Kpitel Fouriernlyse Die Fourier-Trnsformierte ist gegeben durch F (ω) e t e j ωt dt e (+j ω)t dt + e ( +j ω)t dt + j ω e (+j ω)t + j ω e ( +j ω)t + j ω + j ω ω ω +. Also hben wir: / e t + ω. ω Mn bechte, dß mn zu vielen Stndrd-Funktionen nicht die Fourier-Trnsformierte bilden knn (z.b. Konstnte, sin, cos usw.)! Eigenschften der Fourier-Trnsformtion. F[f + f ] F[f ] + F[f ].. Ist α C, so ist F[α f] α F[f]. 3. f(t c) f(ω)e j ωc. 4. f(t) f ( ω ). Beweis: () und () sind trivil.

37 3 Die Fouriertrnsformtion Zu (3): Zu (4): f(t c)e j ωt dt Sei ϕ(t) : t. Im Endlichen gilt : Also gilt uch β α g(t) dt f(s)e j ω(s+c) ds e j ωc f(s)e j ωs ds. β α β g(ϕ(t))ϕ (t) dt α β g(s) ds α g(s) ds. f(t)e j ωt dt f(s)e j ω s ds f ( ω ). Beispiele.. Wir betrchten einen etws modifizierten Rechteck-Impuls: π A,T : A π( { A für t T T t) für t > T. Dnn gilt: π A,T A T si( T ω).. Als nächstes untersuchen wir einen modifizierten und verschobenen Rechteck- Impuls: f(t) : π( t { für t T T ) für t > T. Wir gehen us von der Beziehung π(t) si(ω). Sei f (t) : π(t T ). Dnn ist f(t) π( T t T ) f ( t). Dmit folgt: T f (t) π(ω)e j ω T si(ω)e j ω T und f(t) T f (T ω) T si(t ω)e j ω.

38 Kpitel Fouriernlyse Trnsltion im Bildbereich Wenn f(t) F (ω), dnn e j ω t f(t) F (ω ω ). Beweis: Es ist F (ω ω ) f(t)e j (ω ω )t dt [ f(t)e j ω t ] e j ωt dt. Beispiel. Wir berechnen die Fourier-Trnsformierte einer mplitudenmodulierten Cosinus- Schwingung: f(t) : e t cos(ωt), Ω, R, >. π t Wir erinnern uns n die Formeln e j z cos z + j sin z und e j z cos z j sin z. Also ist cos z (ej z + e j z ) und f(t) e t (e j Ωt + e j Ωt ). Nun hben wir:

39 3 Die Fouriertrnsformtion 3 e t F (ω) + ω, lso e t e j Ωt F (ω Ω) und e t e j Ωt F (ω + Ω) und dmit e t cos(ωt) + (ω Ω) + + (ω Ω) + (ω + Ω), + (ω + Ω). +Ω Ω Ω ω Die Fouriertrnsformierte der Ableitung Sei f : R C stetig und stückweise gltt. Außerdem seien f und f über R bsolut integrierbr. Dnn gilt: f (t) j ω f(ω). Beweis: Auf Grund der Vorussetzungen muß lim x f(x) lim x f(x) sein. Außerdem knn mn prtielle Integrtion nwenden: M N f (t)e j ωt dt f(t)e j ωt M N M f(t)( j ω)e j ωt dt. N Für N, M strebt der erste Summnd uf der rechten Seite gegen und der zweite gegen j ω f(ω). Bemerkung. Bei höherer Differenzierbrkeit erhält mn die Formel f (n) (t) (j ω) n f(ω). Auf die Einzelheiten gehen wir hier nicht ein.

40 4 Kpitel Fouriernlyse Die Ableitung der Fouriertrnsformierten Sei f stückweise stetig. Die Funktionen f und t t f(t) seien über R bsolut integrierbr. Dnn ist f stetig differenzierbr, und es gilt: t f(t) j f (ω). Beweis: Auf Grund der Vorussetzungen existiert f und ist stetig differenzierbr. Außerdem gilt: f (ω) Drus folgt die Behuptung. Beispiel. j f(t)( j t)e j ωt dt j F[t f(t)]. t f(t)e j ωt dt Sei f(t) : e t. Die Funktion ist stetig, und über R bsolut integrierbr. Also existiert die Fourier-Trnsformierte f(t) F (ω) f(t)e j ωt dt. f ist sogr stetig differenzierbr, und f (t) t e t t f(t) ist ebenflls bsolut integrierbr. Wir hben deshlb zwei Drstellungsmöglichkeiten für die Fourier-Trnsformierte von f (t) : f (t) j F (ω) (Ableitung der Fouriertrnsformierten) und f (t) j ωf (ω) (Fouriertrnsformierte der Ableitung) Also ist F (ω) ω F (ω) und F () π. Ds ist eine gewöhnliche DGL. Ordnung mit Anfngsbedingung. Die Lösung ist einfch: (ln F ) (ω) F (ω) F (ω) ω,

41 3 Die Fouriertrnsformtion 5 lso ln F (ω) ω 4 + const., d.h. F (ω) C e (ω /4), und wegen der Anfngsbedingung ist C π. Also hben wir: Jetzt folgt: f(t) e t F (ω) πe (ω /4). Fixpunkt der Fouriertrnsformtion e (t /) πe (ω /). Beweis: Wir verwenden die Formel f(t) f ( ω ). Drus ergibt sich (mit F (ω) : πe (ω /4) ) : e (t /) e (t/ ) F ( ω) πe (ω /). Ttsächlich ist e (t /) nicht wirklich ein Fixpunkt der Fouriertrnsformtion. Setzen wir ber F[f(t)] : F[f(t)] f(t)e j ωt dt, π π so ergibt sich: F[e (t /) ] e (ω /). Deshlb findet sich in der Litertur häufig uch F ls Fourier-Trnsformtion. Existenz der Fltung f und g seien stückweise stetig, beschränkt und über R bsolut integrierbr. Dnn ist die Fltung (ds Konvolutionsprodukt) (f g)(t) : f(t τ)g(τ) dτ eine stetige und bsolut integrierbre Funktion uf R. Außerdem ist f g g f.

42 6 Kpitel Fouriernlyse Wir verzichten hier uf den Beweis. Beispiel. Wir wollen sehen, ws heruskommt, wenn mn den Rechteckimpuls π mit sich selbst fltet: Es ist (π π)(t) π(τ)π(t τ) dτ π(t τ) dτ. Der Integrnd uf der rechten Seite ist, wenn τ und t τ ist, sonst ist er. Nur wenn t ist, überlppen sich die beiden Bereiche: x t Ist x die Länge des Überlppungsbereiches, so ist Drus folgt: x t, lso x t. (π π)(t) { flls t t flls t <. Ds ist ein Dreiecks-Impuls der Breite 4 und der Höhe. t Fouriertrnsformtion der Fltung Die Funktionen f und g seien stückweise stetig, beschränkt und über R integrierbr. Dnn gilt: (f g)(t) f(ω) ĝ(ω).

43 3 Die Fouriertrnsformtion 7 Beweis: Es gilt: f(ω) ĝ(ω) ĝ(ω)f(t)e j ωt dt ( e j ωt e j ωτ g(τ) dτ e j ω(t+τ) g(τ)f(t) dτ dt e j ωu g(τ)f(u τ) dτ du e j ωu (g f)(u) du (f g)(u)e j ωu du. ) f(t) dt Beispiel. Es ist (π π)(t) π(ω) π(ω) 4si (ω). 4 π ω Fourier-Integrl-Theorem Sei f stückweise gltt und bsolut integrierbr. Dnn ist [f(x ) + f(x+)] π C.H. f(ω)e j ωx dω. (Cuchyscher Huptwert) Auf den Beweis müssen wir hier verzichten. In einem speziellen Fll können wir ber die Rücktrnsformtion prktisch usführen. Wir nehmen zusätzlich n, dß f Einschränkung einer meromorphen Funktion F uf C ist (Achtung!! F ist hier nicht die Fourier-Trnsformierte, sondern deren Fortsetzung ins Komplexe).

44 8 Kpitel Fouriernlyse Wir nehmen ußerdem n, dß F nur endlich viele Polstellen ht und dß z F (z) für großes z beschränkt bleibt, und wir betrchten zunächst nur den Fll t >. Dnn benutzen wir folgenden Integrtionsweg: γ r r r Nch dem Residuenstz ist r F (z)e j zt dz + γ r r f(ω)e j ωt dω πj Im(z)> res z (F (z)e j zt ). Ist z F (z) M für z R, so gilt für r R : F (z)e j zt dz F (re j s )j re j s e j γr(s)t ds γ r M M r F (re j s ) e rt sin s ds / e rt sin s ds e rt sin s ds. Um ds verbliebene Integrl uszuwerten, müssen wir die Sinusfunktion näher untersuchen: Ist s π, so ist sin s s, lso π Dmit ist e rt sin s e rt π s. und es folgt: / e rt sin s ds / ( e rt π s ds ) e rt π s π/ rt π rt ( e rt ),

45 3 Die Fouriertrnsformtion 9 Drus folgt: F (z)e j zt dz Mπ γ r rt ( e rt ) für r. f(t) π C.H. π lim r j Im(z)> r r f(ω)e j ωt dω f(ω)e j ωt dω res z ( F (z)e j zt ). Die Formel gilt nur für t >. Ist t <, so muß mn durch die untere Hlbebene lufen und erhält: ( f(t) j res ) z F (z)e j zt. Im(z)< Wir wollen ds Ergebnis uf rtionle Funktionen F (z) nwenden: Ist F (z) p(z) mit deg(q) deg(p) +, so ist z F (z) im Unendlichen beschränkt. Für unsere Zwecke reicht diese Bedingung, denn für die Rücktrnsform- q(z) tion bruchen wir nur den Cuchyschen Huptwert, nicht die Existenz des uneigentlichen Integrls von bis +. Beispiel. Gegeben sei die Funktion f(ω) :, mit einer Konstnten >. Dnn ω + ist f Einschränkung einer meromorphen Funktion F (z) : (z j )(z + j ), die zwei einfche Polstellen ufweist. Sie erfüllt lle Bedingungen, die wir bruchen, um die Rücktrnsformtion vornehmen zu können. Es ist res j (F (z)e j zt ) j e t j e t und res j (F (z)e j zt ) j et j et. Drus folgt: Für t > ist f(t) j res j (F (z)e j zt ) e t, und für t < ist f(t) j res j (F (z)e j zt ) t.

46 Kpitel Fouriernlyse Zusmmen ergibt ds: f(t) e t. Ds ist genu ds, ws wir erwrtet hben. Wir beschließen den Prgrphen mit einem Ausblick uf weitere Aspekte der Theorie der Fourier-Trnsformtionen: Definition: S : {f C (R, C) : sup x p f (q) (x) < für p, q N } x R heißt Rum der strk bfllenden Funktionen. S ist ein Vektorrum von komplexwertigen Funktionen. Die Funktion e x gehört dzu, und ntürlich jede C -Funktion mit kompktem Träger. Mit f gehört uch die Ableitung f zu S. Ds Produkt eines Elementes von S mit einem Polynom gehört wieder zu S. Zu jedem f S existiert die Fourier-Trnsformierte f, und uch sie liegt wieder in S. f läßt sich us f zurückgewinnen, mit der Umkehrformel f(t) π f(ω)e j ωt dω. Mn knn eine Funktion ϕ S mit folgenden Eigenschften konstruieren:. ϕ(t) für lle t und ϕ(t) für t.. ϕ( t) ϕ(t) für lle t. 3. ϕ(t) streng monoton wchsend für < t <. 4. ϕ(t) dt. 5. ϕ (q) () für lle q.

47 3 Die Fouriertrnsformtion Wir setzen ϕ ε (t) : ε ϕ( t ε ). Dnn ht ϕ ε ähnliche Eigenschften wie ϕ, ber der Träger schrumpft nun uf ein Intervll der Länge ε, und ds Mximum bei wächst mit fllendem ε. Ds Integrl über die gnze Achse behält immer den Wert. Sei nun f uf R stetig und bsolut integrierbr und t R. Behuptung lim f(t)ϕ ε (t t ) dt f(t ). ε Beweis: Wir können den Beweis nur skizzieren: Es ist f(t)ϕ ε (t t ) dt f(t ) ε und dieser Ausdruck strebt gegen für ε. Ist f stetig und bsolut integrierbr, so wird durch T f [ϕ] : eine Abbildung (ein Funktionl, ein Opertor) (f(t) f(t ))ϕ ε (t t ) dt ( t t ϕ ε ) (f(t) f(t )) dt ϕ(s)(f(sε + t ) f(t )) ds, f(t)ϕ(t) dt, (für ϕ S ) T f : S C definiert. Mn überzeugt sich sofort dvon, dß T f liner ist, wir können lso uch von einer Linerform uf S sprechen. Wir hben oben gezeigt, dß mn die Funktionswerte von f us den Integrlen T f [ϕ], ϕ S, wieder berechnen knn. Anders usgedrückt: Sind f, g zwei stetige und bsolut integrierbre Funktionen, und ist T f [ϕ] T g [ϕ] für lle ϕ S, so ist uch f g. Ds linere Funktionl T f ist somit nur eine ndere Erscheinungsform der Funktion f. Wir können f und T f miteinnder identifizieren. Aber die Beschreibung einer Funktion ls Linerform uf dem Rum der strk bfllenden Funktionen erlubt es jetzt, den Funktionsbegriff zu verllgemeinern:

48 Kpitel Fouriernlyse Definition: Eine stetige Linerform T : S C nennt mn eine verllgemeinerte Funktion oder (temperierte) Distribution. Bemerkung. Generell nennt mn linere Funktionle uf einem Funktionenrum Distributionen. Von temperierten Distributionen spricht mn, wenn der Grundrum der Rum S der strk bfllenden Funktionen ist. Sehr wichtig ist uch der Rum der Schwrtzschen Distributionen, die Linerformen uf dem Rum der C -Funktionen mit kompktem Träger sind. Die Stetigkeit von T bedeutet: Wenn (ϕ n ) in S gegen ϕ konvergiert, dnn konvergiert uch T [ϕ n ] in C gegen T [ϕ]. Wir verzichten ber druf, hier die Folgenkonvergenz in S zu definieren. Für den Anwender ist ds nicht so relevnt, lle hier vorkommenden Distributionen sind in der Tt stetige Linerformen. Die Menge ller Distributionen (lso ller stetigen Linerformen uf S ) bezeichnen wir mit D. Wir hben gesehen, dß die Zuordnung f T f (von der Menge der stetigen bsolut integrierbren Funktionen nch D ) eine injektive Abbildung ist, so dß wir jede solche Funktion f uch ls Distribution uffssen können. Umgekehrt geht es nicht! Es gibt Distributionen, die nicht irgendwelchen Funktionen entsprechen. Beispiel. Durch δ[ϕ] : ϕ() wird eine Distribution definiert, die sogennnte Dirc sche δ-distribution. Dzu muß nur nchgerechnet werden, dß δ liner uf S operiert, ber ds ist trivil. Dß δ uch stetig ist, muß hier ohne Beweis kzeptiert werden. Wir nehmen nun n, es gäbe eine Funktion f, so dß δ T f ist! Dnn wäre (für t R ) f(t ) lim f(t)ϕ ε (t t ) dt ε lim T f [ϕ ε (t t )] ε lim δ[ϕ ε (t t )] ε lim ϕ ε ( t ) ε { für t sonst.

49 3 Die Fouriertrnsformtion 3 Aber eine solche Funktion gibt es nicht! Die Distributionen sind lso wirklich verllgemeinerte Funktionen. Wir betrchten nun eine Distribution T T f, die zu einer stetig differenzierbren Funktion f gehört. Ist uch f bsolut integrierbr, so können wir f ls Distribution uffssen: T f [ϕ] f(t)ϕ(t) T f [ϕ ]. f (t)ϕ(t) dt f(t)ϕ (t) dt Wir hben ein Gesetz gefunden, dß sich uf beliebige Distributionen verllgemeinern läßt. Definition: Ist T D eine beliebige Distribution, so definiert mn die Ableitung T von T durch T [ϕ] : T [ϕ ]. Bei stetig differenzierbren Funktionen mit bsolut integrierbrer Ableitung ist die distributionelle Ableitung nichts nderes ls die gewöhnliche Ableitung. Beispiel. Wir beginnen mit der Funktion { für t f(t) : t für t >. f ist stetig differenzierbr, ber leider nicht bsolut integrierbr. D jedoch mit ϕ S uch t n ϕ(t) für jedes n eine strk bfllende Funktion ist, wird uch durch T f [ϕ] : eine Distribution definiert. Nun ist f(t)ϕ(t) dt t ϕ(t) dt

50 4 Kpitel Fouriernlyse (T f ) [ϕ] T f [ϕ ] t ϕ (t) dt [(t ϕ(t)) T f [ϕ]. tϕ(t) dt tϕ(t) dt] Auch hier ist die distributionelle Ableitung gleich der gewöhnlichen Ableitung. Die Funktion { für t f (t) t für t > ist stetig, ber nicht bsolut integrierbr. Wie schon f selbst definiert f ber dennoch eine Distribution. f ht eine Knick-Stelle und ist dher im gewöhnlichen Sinne nicht mehr differenzierbr, wohl ber im Distributions-Sinne: (T f ) [ϕ] T f [ϕ ] [(tϕ(t)) tϕ (t) dt ϕ(t) dt T H [ϕ], ϕ(t) dt] wobei H die sogennnte Heviside-Funktion ist, definiert durch { für t H(t) : für t >. H ist nun nicht einml mehr stetig! Dennoch ist T H eine Distribution. Mn bechte ber, dß H durch T H nicht mehr eindeutig bestimmt ist. Wir können den Wert von H in t beliebig bändern, ohne dß sich T H ändert. Die Injektivität der Zuordnung f T f gilt nur für stetige Funktionen! Nichts knn uns drn hindern, T H erneut zu differenzieren: (T H ) [ϕ] T H [ϕ ] Also ist (T H ) δ die Dirc-Distribution! ϕ (t) dt ϕ(t) ϕ().

51 3 Die Fouriertrnsformtion 5 Und nun differenzieren wir δ ein weiteres Ml: δ [ϕ] δ[ϕ ] ϕ (). Offensichtlich knn mn ds beliebig oft so weitertreiben und erhält schließlich δ (n) [ϕ] ( ) n ϕ (n) (). Distributionen sind immer beliebig oft differenzierbr. Nun kommen wir endlich wieder zu den Fourier-Trnsformtionen zurück. Ist f stetig und bsolut integrierbr, so existiert die Fourier-Trnsformierte f. Sie ist stetig und beschränkt und definiert dher eine Distribution. Dnn gilt: T f[ϕ] T f [ ϕ]. f(t)ϕ(t) dt ϕ(t) f(s) f(s) ϕ(s) ds f(s)e j st ds dt ϕ(t)e j st dt ds Also bietet sich folgende Verllgemeinerung der Fourier-Trnsformtion n: Definition: Ist T eine Distribution, so wird ihre Fourier-Trnsformierte T definiert durch T [ϕ] : T [ ϕ]. Beispiel. Wir berechnen die Fourier-Trnsformierte der Dirc-Distribution: Also ist δ. δ[ϕ] δ[ ϕ] ϕ() T [ϕ]. ϕ(t) dt