5.2 Fouriertransformation und Faltung

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1 5.. Fouriertrnsformtion und Fltung Fouriertrnsformtion und Fltung Wir betrchten nun nstelle einer periodischen Funktion eine Funktion f: R C, die lokl integrierbr ist und im Unendlichen so schnell bfällt, dss ds uneigentliche Integrl über f existiert: f(x) dx <. Die Menge ll dieser Funktionen bezeichnen wir mit L 1 (R). Zum Beispiel gehört dzu die Gusssche Glockenkurve, denn es gilt: e 1 x dx =. Auch der Rum Cc der sogennnten Testfunktionen, ds heisst die Menge der beliebig oft differenzierbren Funktionen uf R mit kompktem Träger, bilden eine Teilmenge von L 1 (R). (Mn sgt von einer Funktion f:r C, sie hbe kompkten Träger, flls die Menge {x R f(x) } in R beschränkt ist.) Zu einer Funktion f L 1 (R) können wir nstelle der diskreten Fourierkoeffizienten zum Index k Z einen Ausdruck bilden, der von einem kontinuierlichen Prmeter p R bhängt, nämlich f(p) := 1 f(x)e ipx dx für p R. Die so definierte Funktion f:r C bezeichnet mn ls die Fouriertrnsformierte von f. Sie ist stetig und beschränkt, denn offenbr ist f(p) 1 f(x) dx für lle p. Ausserdem gilt lim p f(p) =. Dies knn mn für stetig differenzierbre Funktionen f mithilfe von prtieller Integrtion und durch Ausschöpfung der reellen Gerden durch immer grösser werdende Intervlle zeigen. Der Allgemeinfll lässt sich druf zurückführen. Dfür brucht mn llerdings weitere Hilfsmittel, die hier nicht zur Verfügung stehen Bemerkung Ist f eine reellwertige, gerde Funktion, dnn ist uch ˆf reellwertig. Ist dgegen f reellwertig und ungerde, dnn ist ˆf rein imginär. Beweis. Übungsufgbe. q.e.d. Weil die Fouriertrnsformierte durch ein Integrl definiert ist, ist die entsprechende Zuordnung L 1 (R) C (R), f f ein linerer Opertor. Die Fouriertrnsformtion erweist sich ls usserordentlich nützlich bei der Lösung von prtiellen Differentilgleichungen. Ich werde druf im nächsten Semester wieder zurückkommen.

2 8 Kpitel 5. Fouriertheorie Die sogennnte inverse Fouriertrnsformtion ist folgendermssen definiert: f( x) = 1 f(p)e ipx dp für x R. Nehmen wir n, dss f wiederum in L 1 (R) liegt. Dnn können wir zunächst die Fouriertrnsformierte von f bilden und nschliessend die inverse Fouriertrnsformtion nwenden und erhlten: f ( x) = 1 f(p)e ipx dp. Dies ist ds kontinuierliche Anlogon der Fourierreihe, bei der die Summtion über bzählbr viele Terme durch ein Integrl ersetzt ist. Wie bereits erwähnt, wird eine bis uf diskret viele Sprungstellen gltte, periodische Funktion fst überll durch ihre Fourierreihe drgestellt. Eine ähnliche Aussge stimmt uch für die Fouriertrnsformtion. Genuer gilt der folgende Umkehrstz: 5.. Stz Sei f L 1 (R) bis uf eine diskrete Menge von Sprungstellen stetig differenzierbr. An jeder Sprungstelle existiere sowohl der rechtsseitige ls uch der linksseitige Grenzwert von f. Dnn ist f(x) = 1 ( f(y)e ip(x y) dy ) dp = 1 f(p)e ipx dp (flls f existiert) n jeder Stelle x, n der f stetig ist. An den Sprungstellen nimmt ds Doppelintegrl den Mittelwert zwischen rechts- und linksseitigem Grenzwert von f n. Ist f sogr stetig, ist die inverse Fouriertrnsformtion lso die Umkehrung der Fouriertrnsformtion, d.h. f ( x) = f(x) für lle x. Wir verzichten hier uf den Beweis dieser Aussge und schuen uns gleich ein konkretes Beispiel n. Um eine Verwechslung der Vriblennmen mit eventuellen Prmetern zu vermeiden, verwenden wir folgende Nottion für die Fouriertrnsformierte f der Funktion f, usgewertet n der Stelle p: f(p) = F[f(x)](p) 5..3 Beispiel Ist > fest gewählt, so gilt: F[e x ](p) = π +p für lle p R.. Um dies einzusehen, werten wir zunächst folgendes Integrl us: e x e ipx dx = e (+ip)x dx = 1 Entsprechend ist +ip e (+ip)x e x e ipx dx = 1 ip. = 1 +ip.

3 5.. Fouriertrnsformtion und Fltung 81 Setzen wir dies ein in F[e x ](p) = 1 e x e ipx dx erhlten wir wie behuptet F[e x ](p) = 1 ( 1 +ip + 1 ) = 1 ip +p = 5..4 Folgerung Sei wieder >. Dnn ist π F[ +x ](p) = e p für lle p R. Dies folgt sofort us dem Umkehrstz. Und hier noch ein Beispiel: 5..5 Beispiel Sei > und f(x) := f(p) = 1 π +p. { 1 flls x <. Dnn ist für p : sonst e ipx dx = 1 ip (eip e ip ) = sin(p). p Und für p = ist f() =. Die Treppenfunktion f ht lso eine gltte Fouriertrnsformierte, die ber nicht in dem Rum L 1 (R) liegt. Denn ds Integrl über gnz R von sinx existiert nicht. Trotzdem können wir den Umkehrstz nwenden x und erhlten hier die Aussge: f(x) = 1 ( ) f(y)e ip(x y) dy dp = π Insbesondere für x = und = 1: f() = 1 = 1 π sin(p) p sin(p) p in Übereinstimmung mit der Berechnung in Beispiel dp e ipx dp für x Stz Sei jetzt f(x) = e 1 x für x R, lso die Funktion zur Gussschen Glockenkurve. Diese Funktion stimmt mit ihrer Fouriertrnsformierten überein, es gilt f(p) = f(p) für lle p R. Beweis. Wir erinnern zunächst drn, dss der Flächeninhlt unter der Gussschen Glockenkurve gerde beträgt. Ausserdem gilt für lle p R (siehe Übungsufgbe): e (x+ip) dx = e x dx.

4 8 Kpitel 5. Fouriertheorie Nun schliessen wir weiter: f(p) = 1 e 1 x e ipx dx = 1 ( ) e 1 (x+ip) dx e 1 p = e 1 p. q.e.d. Die Konstnte in der Definition der Fouriertrnsformierten ist lso so gewählt, dss die Gusssche Normlkurve unter der Fouriertrnsformtion invrint bleibt. Hier nun einige wichtige Eigenschften der Fouriertrnsformtion Stz Ist f L 1 (R) eine stückweise stetig differenzierbre Funktion mit f L 1 (R), und sind,b R fest, dnn gilt für lle x,p R folgendes: Verhlten bei Trnsltionen: F[f(x )](p) = e ip f(p) und dul dzu F[e ix f(x)](p) = f(p ). Verhlten bei Resklierung: F[f(x)](p) = 1 f( p ). Insbesondere F[f( x)](p) = f( p) = ˇf(p). Spiegelsymmetrie: F[F[f(x)](p)](x) = f( x). Ableitungen: F[f (x)](p) = ip f(p) und F[x f(x)](p) = i d dp f(p). Ausserdem ist F[f (x)](p) = p f(p). Unter der Fouriertrnsformtion entspricht lso die Ableitung einer Funktion der Multipliktion mit dem Fktor ip und die zweifche Ableitung der Multipliktion mitdem Fktor p. Dserinnert ndieentsprechende Regel fürdieableitung einer -periodischen Funktion im Fll der diskreten komplexen Fourierkoeffizienten: c k (f ) = k c k (f) Beispiele 1. Die Fouriertrnsformierte der Funktion f(x) = e x ( > fest) lutet f(p) = 1 e p /4. Dies ergibt sich durch Resklierung us der Gussschen Glockenkurve.. Ist f(x) = ( > fest), so ist f(p) = e p. π +x 3. Die Ableitung der Funktion f(x) = lutet f (x) = x. Deshlb ist +x ( +x ) x F[ ](p) = ip π ( +x ) e p. Mithilfe der Regeln knn mn zum Beispiel folgendes schliessen: 5..9 Bemerkung Die Hermitefunktionen, definiert durch h n (x) = exp( 1 x ) dn dx n(exp( x )) für x R, sind Eigenfunktionen der Fouriertrnsformtion. Genuer gilt für lle n N : ĥ n (p) = ( i) n h n (p) für lle p R.

5 5.. Fouriertrnsformtion und Fltung 83 Beweis. siehe Übungen. q.e.d. Die Fouriertrnsformtion verwndelt ds gewöhnliche Produkt von zwei Funktionen in ds sogennnte Fltungsprodukt und umgekehrt Definition Seien f,g zwei uf gnz R definierte Funktionen us L 1 wie oben. Ds Fltungsprodukt von f und g ist folgendermssen definiert: (f g)(x) := Stz Für lle p R gilt: f(x y)g(y)dy für lle x R. F[f(x) g(x)](p) = 1 ( f ĝ)(p) und entsprechend wegen der Spiegelsymmetrie F[(f g)(x)](p) = f(p) ĝ(p). Beweis. Wir rechnen die zweite Behuptung nch: F[(f g)(x)](p) = 1 Mit der Substitution u = x y wird drus 1 1 f(u)e ipu du f(x y)g(y)e ipx dydx. f(u)g(y)e ip(u+y) dydu = g(y)e ipy dy = f(p) ĝ(p). q.e.d. Dies Prinzip knn mn zum Beispiel nwenden, um eine durch eine Fltung gegebene Integrlgleichung zu lösen: 5..1 Folgerung Seien f,g L 1 vorgegeben. Dnn ht die Gleichung die Lösung g(x) = y(t)f(x t) = (y f)(x) x y(x) = 1 F[ĝ(p) ]( x) x. f(p) Weitere wichtige Eigenschften des Fltungsproduktes sind folgende: Stz 1. Ds Fltungsprodukt ist kommuttiv, ssozitiv und distributiv. Ds heisst, für lle f,g,h L 1 (R) gilt: f g = g f, f (g h) = (f g) h und f (g +h) = f g +f h.

6 84 Kpitel 5. Fouriertheorie. Sind f,g usserdem differenzierbr, so gilt (f g) = f g = f g Folgerung Sind f,g C 1 (R) L 1 (R), so gilt für jeden lineren Differentilopertor D mit konstnten Koeffizienten: D(f g) = (Df) g = f (Dg). Ds neutrle Element des Fltungsproduktes ist die sogennnte Dircsche Deltfunktion. Eigentlich hndelt es sich dbei um eine Distribution, lso eine stetige Linerform uf dem Rum der Testfunktionen. Dzu mehr im folgenden Kpitel. 5.3 Dircsche Deltfunktion Die Dircsche δ- Funktion wird von Physikern und Mthemtikern uf unterschiedliche Art definiert. In der Physik geht mn von folgenden Eigenschften us: δ (x) = { für x für x = und δ (x)dx = 1. Diese Eigenschften sind plusibel, wenn mn δ ls Grenzwert einer Folge von immer enger und höher werdenden Glockenfunktionen uffsst: n δ (x) = lim π e n x. n Jede einzelne Glockenfunktion ist so normiert, dss die Gesmtfläche unter der Kurve 1 beträgt, lso sollte ds uch für ds Grenzobjekt gelten, uch wenn es eigentlich keine Funktion mehr ist und deshlb ds uneigentliche Integrl gr nicht existiert. Im mthemtischen Sinn hndelt es sich bei δ nicht um eine Funktion, sondern um eine sogennnte Distribution. Festgelegt sind nicht primär die Werte von δ, sondern nur die Integrle n δ (x)ψ(x)dx := lim π e n x ψ(x)dx = ψ() für ψ Cc (R). n Dbei bezeichnet Cc (R) wie eben die Menge der beliebig oft stetig differenzierbren Funktionen uf R mit kompktem Träger. Die Zuordnung C c (R) R, ψ δ,ψ := δ (x)ψ(x)dx = ψ() ist stetig und liner, es hndelt sich lso um eine Linerform uf dem unendlichdimensionlen Vektorrum Cc (R), nämlich die Auswertung bei. Entsprechend induziert für jedes festgewählte R die Auswertungsbbildung bei eine Linerform: δ :C c (R) R, ψ δ,ψ = δ (x)ψ(x)dx := ψ(). Wir können dies Integrl uch ls Fltungsprodukt schreiben: ψ() = δ (x)ψ(x)dx = δ ( x)ψ(x)dx = (δ ψ)().

7 5.3. Dircsche Deltfunktion 85 Ds bedeutet lso: δ ψ = ψ. Schliesslich können wir die Dircsche Deltfunktion uch ls Ableitung der Heviside-Funktion uffssen, { und zwr in folgendem Sinn. Die Heviside-Funktion ist für x < definiert durch h(x) := 1 für x. Sei jetzt f C c (R) eine Funktion mit kompktem Träger. Dnn schreiben wir in formler Anlogie zur Regel der prtiellen Integrtion, weil f im Unendlichen verschwindet: Ds heisst h (x)f(x)dx = h(x)f (x)dx = lim x (f(x) f()) = f(). h (x)f(x)dx = δ (x)f(x)dx = f(). f (x)dx = Auf der Ebene der Integrle hben lso h und δ denselben Effekt uf sämtliche Testfunktionen f. Deshlb identifiziert mn δ ls Distribution mit der Ableitung der Heviside-Funktion h. Ds Konzept der Fltung spielt bei der Lösung inhomogener Differentilgleichungen eine wichtige Rolle. Betrchten wir etw eine gewöhnliche linere Differentilgleichung n-ter Ordnung mit konstnten Koeffizienten (n ). Im homogenen Fll bilden die Lösungen einen n-dimensionlen Vektorrum, und eine Bsis des Lösungsrums (ds sogennnte Fundmentlsystem) lässt sich leicht explizit ngeben. Im inhomogenen Fll ber ist es schwieriger, eine Lösung zu finden. Schuen wir uns diese Sitution genuer n. Sei f:r R eine vorgegebene stetige Funktion und bezeichne D den Differentilopertor D(y) = y (n) + n 1 k= ky (k) ( k R konstnt). Um eine Lösung der inhomogenen Differentilgleichung D(y)(t) = f(t) (t ) zu finden, bestimmen wir zunächst die eindeutige Lösung ϕ des folgenden Anfngswertproblems der zugehörigen homogenen Differentilgleichung D(y) =, y (k) () = für lle k n, y (n 1) () = 1. Nun bilden wir ds Produkt e(t) := ϕ(t)h(t) (t R) von ϕ mit der Heviside- Funktion h. Die Funktion e wird ls Elementrlösung des Differentilopertors D bezeichnet Stz Wir setzen die Funktion f durch f(t) = für lle t < uf gnz R fort. Dnn ist die Fltung der Elementrlösung e mit der Inhomogenität f wohldefiniert u(t) := (e f)(t) = e(t s)f(s)ds = ϕ(t s)f(s)ds.

8 86 Kpitel 5. Fouriertheorie Die so definierte Funktion u ist eine Lösung der Differentilgleichung n 1 D(y)(t) = y (n) (t)+ k y (k) (t) = f(t) (t > ). k= Zu zeigen ist lso D(u) = D(e f) = f. Nch den Rechenregeln über die Fltung ist dies äquivlent zu D(e f) = D(e) f = f (für lle Inhomogenitäten f). Ds neutrle Element des Fltungsproduktes ist ber gerde die Dircsche Deltfunktion. Deshlb schreibt mn uch D(e) = δ, und fsst e ls Lösung der inhomogenen Differentilgleichung zur Inhomogenität δ uf. Hier wird nur der Beweis für n = ngegeben. Der Allgemeinfll ist entsprechend. Dfür benötigen wir folgende Aussge über prmeterbhängige Integrle: 5.3. Bemerkung Sei g:r R R eine stetige, bezüglich der ersten Vriblen differenzierbre Funktion und R. Dnn gilt für t : d dt Beweis. Für h > ist 1 h (+h g(t,s)ds = g(t,t)+ g(t+h,s)ds t g(t,s)ds. ) g(t,s)ds = 1 t+h 1 g(t+h,s)ds+ h t h (g(t+h,s) g(t,s))ds. Durch Grenzübergng h folgt nun die Behuptung. q.e.d. Beweis des Stzes für n =. Um D(u) uswerten zu können, berechnen wir zunächst die erste und die zweite Ableitung von u und benutzen dbei die eben gezeigte Bemerkung. Für t > gilt: u (t) = d dt ϕ(t s)f(s)ds = ϕ()f(t)+ ϕ (t s)f(s)ds. Wegen der Anfngsbedingung ϕ() = ist lso u (t) = ϕ (t s)f(s)ds. Drus folgt mit der Bedingung ϕ () = 1: u (t) = ϕ ()f(t)+ ϕ (t s)f(s)ds = f(t)+ Setzen wir nun ein in den Differentilopertor D, erhlten wir: D(u)(t) = u (t)+ 1 u (t)+ u(t) = f(t)+ ϕ (t s)f(s)ds. D(ϕ)(t s)f(s)ds. Nun ist ber nch Konstruktion D(ϕ) = und dher D(u)(t) = f(t) für lle t. Also ist u wie behuptet eine Lösung der inhomogenen Differentilgleichung. q.e.d.

9 5.3. Dircsche Deltfunktion Beispiel Sei λ > vorgegeben. Betrchten wir die inhomogene Differentilgleichung y (t) λ y(t) = f(t) für t. Hier lutet die entsprechende homogene Differentilgleichung y = λ y. Die Lösungen sind die Funktionen der Form ϕ(t) = c 1 e λt + c e λt. Die Anfngsbedingungen ϕ() = und ϕ () = 1 sind erfüllt, wenn c 1 = c = 1 ist. Durch Multipliktion λ mit der Hevisidefunktion erhlten wir die Elementrlösung e(t) = { 1 λ (eλt e λt ) flls t sonst. Durch Fltung der Elementrlösung mit f wird drus die folgende Lösung der inhomogenen Differentilgleichung: u(t) := (e f)(t) = 1 λ (e λ(t s) e λ(t s) )f(s)ds. Ist konkret f(t) = e t für t, so ist (flls λ ±1) u(t) = 1 ( 1 λ 1 λ (et e λt ) 1 ) 1+λ (et e λt ) für t.