Kapitel 8. Integralrechnung 8.1. Begriff des Riemannschen Integrals

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1 Kpitel 8. Integrlrechnung 8.1. Begriff des Riemnnschen Integrls Neben dem Ableitungsbegriff spielt ds Integrl in der Anlysis eine zentrle Rolle. Es wurde n Hnd vereinzelter Beispiele schon im klssischen Altertum betrchtet, jedoch systemtisch entwickelt wurde dieser Begriff seit dem 17. Jhrhundert beginnend mit Leibniz und Newton. Der enge Zusmmenhng zwischen Integrl und Differentilquotient ermöglicht die Entwicklung eines lgebrischen Klküls zur Integrlberechnung, welcher heute einer Computerimplementtion zugänglich ist. Wir beginnen mit der nschulichen Motivtion des Integrls ls Flächeninhlt. 1

2 y y=f(x) F b b x Gegeben sei eine stetige positive Funktion f : [, b] R. Unter dem Integrl der Funktion f zwischen den Grenzen und b versteht mn den Flächeninhlt F b begrenzt durch die Kurve y = f(x), die gerden Linien x = und x = b sowie die x-achse. Um diesen Flächeninhlt zu berechnen, pproximieren wir ihn durch eine Summe von Rechteckflächen und führen einen Grenzübergng durch. 2

3 Wie immer steht K für R oder C. Definition. Eine Teilung T des Intervlls [, b] ist eine endliche Teilmenge T = {x 0, x 1,..., x N }, = x 0 < x 1 < < x N = b. Unter dem Korn T von T versteht mn die Länge des längsten Teilintervlls: T = mx (x n x n 1 ). 0<n N Ein zu T gehöriger Stz von Messpunkten ist ein N-Tupel (ξ 1,..., ξ N ) mit x n 1 ξ n x n. Unter der Riemnnschen Summe einer Funktion f : [, b] K zur Teilung T mit einem zugehörigen Stz von Messpunkten versteht mn die Grösse R T (f) := N f(ξ n )(x n x n 1 ). n=1 3

4 y y=f(x) x = ξ x =ξ x ξ x =ξ x ξ x =b x Abbildung 1: Riemnnsche Summe R T (f). Der Riemnnschen Summe R T (f) entspricht geometrisch eine Summe von Rechteckflächen. 4

5 Ds Integrl der Funktion f zwischen den Grenzen und b wird definiert ls Grenzwert von Riemnnschen Summen b f(x)dx := lim R T (f). T 0 Wir werden später zeigen, dss diese Definition wirklich sinnvoll ist. Mn bechte usserdem, dss die Nottion ds Wesen des Integrls ls Grenzwert Riemnnscher Summen typogrphisch zum Ausdruck bringt. Ds Differentil dx soll mn nicht ls mthmtisches Objekt sondern nur ls eine Rechenmrkierung betrchten, die ngibt, nch welcher Vriblen zu integrieren ist. Mn knn genusogut einen nderen Vriblennmen wählen, z.b. t sttt x: b f(x)dx = b f(t)dt. 5

6 Beispiel 1 Die Interprettion des Integrls ls Flächeninhlt zeigt, dss b xdx = b b Abbildung 2: Trpezfläche = +b 2 (b ) = b Wir weisen diese Beziehung nun durch Bestimmung des Grenzwertes Riemnnscher Summen nch. 6

7 Beispiel 2 Wenn mn die Methode des letzten Beispiels verllgemeinern möchte, um ds Integrl (α R, 0 < < b) b x α dx =? zu berechnen, so wird mn uf die Aufgbe geführt, die Summe der endlichen Reihe zu bestimmen. 1 α + 2 α + 3 α + + N α Um dies zu vermeiden, verwenden wir sttt der äquidistnten Teilung des Intervlls eine in geometrischer Progression. Wir setzen q := N b und definieren die Teilung T q x 0 =, x 1 = q, x 2 = q 2,..., x N = q N = b. 7

8 Die Grenzwertbestimmung des letzten Beispiels ist schon ziemlich trickreich. Zum Glück werden wir mit dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung ein Hilfsmittel kennenlernen, ds es uns erluben wird, Integrle uf einem nderen, einfcheren Weg zu berechnen. Bevor wir dies im nächsten Abschnitt besprechen, möchten wir die Integrldefinition noch uf eine subere Grundlge stellen. 8

9 Schwnkungssummen Im folgenden bezeichne f : [, b] K eine beschränkte Funktion. Unter der Schwnkung von fuf einem Teilintervll [c, d] verstehen wir die Grösse f[c, d] := sup{ f(x) f(x ) x, x [c, d]}. Die Schwnkung gibt n, wie weit zwei in [c, d] ngenommene Funktionswerte mximl useinnderliegen können. y f(c,d) c d x Abbildung 3: Schwnkung f[c, d] der Funktion f uf [c, d]. 9

10 Die Schwnkungssumme der Funktion f D T (f) := N f[x n 1, x n ] (x n x n 1 ) n=1 zur Teilung T = {x 0, x 1,... x N } ist ein Mss dfür, wie gut die Riemnnsche Summe R T (f) ds bestimmte Integrl pproximiert. b Abbildung 4: Schwnkungssumme D T (f) (Fläche des schrffierten Bereichs). 10

11 Wir benötigen zwei Hilfssätze über Schwnkungssummen. Entsteht eine Teilung T us einer Teilung T 0 durch Hinzufügen weiterer Teilungspunkte (und Umnumerierung), so heisst T feiner ls T 0. Lemm 1. Ist die Teilung T feiner ls die Teilung T 0, so gilt R T (f) R T0 (f) D T0 (f), D T (f) D T0 (f). Lemm 2. Sind T 1 und T 2 Teilungen von [, b], so gilt R T1 (f) R T2 (f) D T1 (f) + D T2 (f). 11

12 Definition und Chrkterisierung der Integrierbrkeit Definition. Eine beschränkte Funktion f : [, b] K heisst (Riemnn-)integrierbr, wenn für jede Folge (T k ) von Teilungen mit lim k T k = 0 gilt, dss lim k D Tk (f) = 0. Die Definition wird gerechtfertigt durch den folgenden fundmentlen Stz. 12

13 Stz. Ist f : [, b] K integrierbr, so gibt es eine wohlbestimmte Zhl S K mit der Eigenschft lim R T k (f) = S k für jede Folge (T k ) von Teilungen (mit zugehörigen Messpunkten) des Intervlls [, b] so, dss lim k T k = 0. Die Zhl S heisst ((Riemnnsches) Integrl von f über [, b] und wird bezeichnet mit b f(x)dx. 13

14 Eigenschften: Linerität und Positivität Stz. Sind die Funktionen f, g : [, b] K integrierbr und λ K, so sind uch die Funktionen f + g, λf, f integrierbr und zwr gilt: (1) b (f(x) + g(x))dx = b f(x)dx + b g(x)dx, (2) (3) (4) b b b λf(x)dx = λ b f(x)dx, f(x)dx 0, sofern f(x) 0 für lle x [, b], f(x)dx b f(x) dx. 14

15 Eigenschften: Additivität bezüglich Integrtionsbereiche Stz. Es sei < b < c. Ist die Funktion f : [, c] K integrierbr über [, b] und über [b, c], so uch über [, c], und umgekehrt. Es gilt dnn c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx. 15

16 Stückweise stetige Funktionen sind integrierbr Definition. Eine Funktion f : [, b] K heisst stückweise stetig, wenn es eine Teilung T = {x 0, x 1,..., x N } von [, b] gibt, so dss die Einschränkung von f uf lle Teilintervlle [x n 1, x n ] stetig ist. Stz. Stückweise stetige Funktionen sind integrierbr. Für den Beweis des Stzes genügt es zu zeigen, dss stetige Funktionen integrierbr sind. Dies beruht im wesentlichen uf folgendem Hilfsstz über die sogennnte gleichmässige Stetigkeit. 16

17 Hifsstz. (Gleichmässige Stetigkeit) Sei f : X K eine stetige Funktion uf einem kompkten Intervll X. Dnn existiert für jede Tolernz ɛ > 0 eine Schrnke δ > 0 so, dss für beliebige Punkte x, x K folgendes gilt: x x < δ = f(x) f(x ) < ɛ. (1) Mn vergleiche diese Aussge mit der Definition der Stetigkeit. Zur Erinnerung: Eine Funktion f heisst stetig im Punkt x 0 X, flls für jede Tolernz ɛ > 0 eine Schrnke δ > 0 existiert so, dss für lle x X gilt: x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ɛ. Mn bechte, dss die Schrnke δ > 0 hier priori vom Punkt x 0 bhängt. Der obige Hilfsstz besgt gerde, dss mn eine Schrnke δ > 0 finden knn, die für lle Punkte x 0 X gut ist. 17

18 8.2. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Ds Integrl b f(x)dx einer Funktion f hängt von der Whl der Integrtionsgrenzen und b b. Die entscheidende Verbindung zwischen Differentil- und Integrlrechnung wird hergestellt, indem mn ds Integrl ls Funktion einer vriierenden oberen Grenze betrchtet. Ds heisst, wir betrchten die Funktion F F : x x f(t)dt (die Integrtionsvrible wurde zu t umbennnt). Wir zeigen nun, dss diese Funktion F der oberen Grenze ls Ableitung die Funktion f ht, sofern f stetig ist. 18

19 Dies ist nschulich plusibel: Für x 0 < x gilt F (x) F (x 0 ) = x x 0 f(t)dt. Wenn x nhe bei x 0 liegt, so ist dieses Integrl ungefähr gleich der Rechteckfläche f(x 0 )(x x 0 ), somit ist der Differenzenquotient F (x) F (x 0 ) x x 0 f(x 0 ). 19

20 Hier ist die präzise Formulierung dieses Schverhltes: Huptstz A Sei f : [, b] K stetig. Dnn ist die Funktion F : [, b] K, F (x) = der oberen Grenze differenzierbr mit Ableitung f. x f(t)dt 20

21 Um die volle Bedeutung dieses Stzes zu erfssen, treffen wir folgende Definition. Eine Funktion F : I K heisst Stmmfunktion einer Funktion f : I K, flls F differenzierbr mit Ableitung f ist, d.h. F = f. Unser Huptstz A impliziert lso, dss stetige Funktionen stets eine Stmmfunktion besitzen, nämlich die Funktion der oberen Grenze. Folglich unterscheiden sich zwei Stmmfunktionen nur um eine dditive Konstnte. 21

22 Drus schliessen wir die zweite Fssung des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung: Huptstz B Sei F eine beliebige Stmmfunktion der stetigen Funktion f : I K. Dnn gilt für, b I mit < b, dss b f(t)dt = F (b) F (). 22

23 Beispiele Mit Hilfe dieses Stzes können wir jetzt mühelos zhlreiche Integrle berechnen. Wir verwenden dzu die nützliche Schreibweise F (x) := F (b) F (). b Beispiel 1. Die Funktion F (x) = 1 α+1 xα+1 ist eine Stmmfunktion von f(x) = x α, wie mn sofort durch Ableiten nchprüft. Also folgt mit Huptstz B für 0 < < b vgl. früher. b x α dx = F (x) b = F (b) F () = 1 α + 1 (bα+1 α+1 ), 23

24 Beispiel 2. Die Funktion sin ist Stmmfunktion von cos. Also folgt für < b b cos xdx = sin b sin. Zum Beispiel ist π/2 π/2 cos xdx = sin π ( 2 sin π ) 2 = 2. 24

25 Wir führen folgende Nottion ein: gilt < b, so setzen wir forml b f(t)dt := b f(t)dt sowie f(t)dt := 0. Wir bemerken, dss mit dieser Festsetzung die Formel des Huptstzes B b f(t)dt = F (b) F () für beliebige Grenzen, b im Definitionsintervll I von f gilt. 25

26 Unbestimmtes Integrl Die Berechnung von Integrlen läuft somit uf die Bestimmung von Stmmfunktionen hinus. Um dies systemtisch nzugehen, treffen wir folgende Definition Definition. Unter dem unbestimmten Integrl f(x)dx einer Funktion f : I K versteht mn die Menge ller Stmmfunktionen von f. Zur Unterscheidung von unbestimmten Integrlen nennt mn die Objekte b f(x)dx uch bestimmte Integrle. 26

27 Für eine Funktion F 0 : I K bezeichnen wir mit dem Symbol F 0 := {F 0 + C C K} die Menge der Funktionen, die sich von F 0 um eine dditive Konstnte unterscheiden. Es gilt lso nch Def. f(t)dt = F 0, wenn F 0 Stmmfunktion von f ist. 27

28 Zunächst stellen wir fest, dss die Zuordnung f f(x)dx liner ist. Dies bedeutet, dss für stetige Funktionen f und g definiert uf dem gleichen Intervll folgendes gilt: f(x)dx + g(x)dx = (f(x) + g(x))dx, λ f(x)dx = λf(x)dx. Dmit diese Beziehungen uch Sinn mchen, müssen wir die Summe und die Sklrmultipliktion von unbestimmten Integrlen erklären. 28

29 Dies geschieht durch die offensichtliche Festsetzung F 0 + G 0 := F 0 + G 0, λ F 0 := λf 0 (λ K). Mn bechte, dss diese Festsetzung Sinn mcht, weil Unbhängigkeit von der Whl der Representnten vorliegt. Ist z.b. F 0 = F 1 und G 0 = G 1, so heisst dies F 1 = F 0 + C, G 1 = G 0 + C mit Konstnten C, C. Also folgt F 1 + G 1 = F 0 + G 0 + C + C und dmit F 1 + G 1 = F 0 + G 0. 29

30 Eigenschften des unbestimmten Integrls Wir stellen zusmmen, ws wir über ds unbestimmte Integrl unserer Grundfunktionen bereits wissen: x α dx = 1 α+1 xα+1 (α R, α 1, x > 0) 1 xdx = log x (x 0) Verifiziere dies! e λx dx = 1 λ eλx (λ C \ 0) cos xdx = sin x, 1 1+x dx = rctn x 2 sin dx = cos x 1 1 x dx = rcsin x ( x < 1) 2 30

31 Beispiel Zum Beispiel folgt mit Huptstz B us der Ttsche 1 dx = rctn x 1 + x2 sofort, dss b 1 dx = rctn b rctn. 1 + x2 Hierus folgt zum Beispiel b lim b 0 1 dx = lim 1 + x2 rctn b = π b 2. 31

32 Kunst des Integrierens Während die Differentition einer zusmmengesetzten Funktion ohne Probleme utomtisch mit unseren Regeln durchgeführt werden knn, ist der umgekehrte Prozess der Integrtion erheblich komplizierter. Weil neben der Konsulttion von Integrltfeln oftmls Erfhrung und Einfllsreichtum zur Bestimmung eines Integrls in geschlossener Form nötig sind, sprch mn früher von der Kunst des Integrierens. Heutzutge sind in den gängigen Computerlgebrpketen zhlreiche Algorithmen implementiert, die einem diese Arbeit bnehmen. 32

33 8.3. Prtielle Integrtion und Substitution Ds Ziel dieses Abschnittes ist die Besprechung einiger Techniken, die es erluben, unbestimmte Integrle von komplizierteren Funktionen us Integrlen einfcherer Funktionen herzuleiten. Zuerst behndeln wir die prtielle Integrtion. Eine Funktion heisst stetig differenzierbr, wenn sie differenzierbr ist und ihre Ableitung stetig ist. 33

34 Prtielle Integrtion Stz. (Prtielle Integrtion) Für stetig differenzierbre Funktionen f, g : I K gilt f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx, und für, b I b f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx. Bei der Anwendung der prtiellen Integrtion ist ds Ziel, rechter Hnd ein einfcheres Integrl zu erhlten ls links. Wir illustrieren dies n einigen Beispielen. 34

35 Prtielle Integrtion: Beispiel 1 Beim Integrl x n e x dx lässt sich der Exponent n N durch prtielle Integrtion um eins erniedrigen und somit rekursiv uf 0 bringen. Wir erhlten für n 1 x n e x dx = x n e x nx n 1 e x dx indem wir den Stz mit f(x) = x n, g (x) = e x, d.h. g(x) = e x nwenden. 35

36 Insbesondere folgt für n = 1 xe x dx = xe x e x dx = xe x e x = (x 1)e x. Für n = 2 erhält mn x 2 e x dx = x 2 e x 2 xe x dx = x 2 e x 2 (x 1)e x = (x 2 2x + 2)e x und so fort. Mn bechte dss sich die Ergebnisse durch Differenzieren sofort nchprüfen lssen. 36

37 Prtielle Integrtion: Beispiel 2 Wir berechnen (x > 0) log xdx = (log x) 1dx = (log x) x 1 x xdx = x log x x = x (log x 1) indem wir forml den Fktor 1 einführen, d.h. wir setzen f(x) = log x und g (x) = 1. 37

38 Prtielle Integrtion: Beispiel 3 Wir berechnen ds Integrl (β 0) J := e αx sin(βx)dx durch zweimlige prtielle Integrtion. Wir setzen in Tbellenform f(x) = e αx, f (x) = αe αx, g(x) = 1 β cos(βx), g (x) = sin(βx) und erhlten dmit e αx sin(βx)dx = 1 β eαx cos(βx) + α β e αx cos(βx)dx. 38

39 Anlog berechnen wir e αx cos(βx)dx = 1 β eαx sin(βx) α β e αx sin(βx)dx. Auf der rechten Seite erscheint wieder unser Ausgngsintegrl J, ds wir eigentlich berechnen wollen! Der Misserfolg ist nur scheinbr. Durch Kombintion der beiden Gleichungen erhält mn J = 1 β eαx cos(βx) + α β 1 β eαx sin βx ( ) 2 α J β und durch Auflösen nch J J = e αx α 2 + β 2 (α sin(βx) β cos(βx)). 39

40 Substitutionsregel I Während die Regel der prtiellen Integrtion eine unmittelbre Folge der Produktregel der Differentition ist, folgt die sogennnte Substitutionsregel sofort us der Kettenregel. Wir verwenden die folgende Schreibweise für den Ausdruck einer zusmmengesetzten Funktion f(x) x=ϕ(t) := f(ϕ(t)). Stz. (Substitutionsregel I) Ist ϕ: I J stetig differenzierbr und f : J K stetig, so gilt f(ϕ(t))ϕ (t)dt = f(x)dx x=ϕ(t), (i) bzw. für, b I b f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ() f(x)dx. (ii) 40

41 Die Substitutionsregel I ist nur nwendbr uf Integrnden, die sich in der speziellen Form f(ϕ(t))ϕ (t) schreiben lssen. Ds Vorgehen für unbestimmte Integrtion lässt sich so beschreiben. 1. Substituiere forml ϕ(t) durch x und ϕ (t)dt durch dx. 2. Integriere die resultierende Funktion von x. 3. Substituiere im Ergebnis x wieder durch ϕ(t). Den ersten Schritt knn mn sich forml so merken: x = ϕ(t), dx dt = ϕ (t), dx = ϕ (t)dt. Der Vorteil der Leibnitzschen Schreibweise wird deutlich: mn knn mit den Grössen dx, dt hier wie mit Zhlen rechnen. Mn bechte, dss es sich nur um eine Merkregel hndelt! 41

42 Substitutionsregel I: Beispiel 1 Wir berechnen ds Integrl der Form ϕ (t) ϕ(t) dt. Die Substitutionsregel I liefert durch Substitution x = ϕ(t) ϕ (t) 1 ϕ(t) dt = x dx x=ϕ(t) = log x = log ϕ(t). x=ϕ(t) Zum Beispiel erhlten wir (x = 1 + t 2, dx = 2t dt) t 1 + t 2 dt = 1 2 2t 1 + t 2 dt = x dx x=1+t 2 = 1 2 log x x=1+t 2 wie mn durch Differentition sofort nchprüft. = 1 2 log(1 + t2 ), 42

43 Beispiel 2: Affine Vriblentrnsformtion Ist f = F und α 0, so gilt (x = αt + β, dx = αdt) f(αt + β)dt = 1 f(αt + β)αdt = 1 α α = 1 F (αt + β). α f(x)dx x=αt+β Zum Beispiel erhält mn für > t dt = ( t dt = )2 = rcsin x = rcsin t x=t/. 1 1 x 2 dx x=t/ 43

44 Beispiel 3: Bestimmtes Integrl Ein Beispiel für bestimmte Integrle (x = λt, dx = λdt): b cos(λt)dt = 1 λ b cos(λt)λdt = 1 λ λb λ cos xdx = 1 λ sin x λb = 1 (sin(λb) sin(λ)). λ λ Mn bechte, dss uch die Integrtionsgrenzen zu trnsformieren sind! 44

45 Substitutionsregel II Die zweite Substitutionsregel funktioniert in der umgekehrten Richtung wie die erste. Um ein Integrl f(x)dx zu berechnen, wählt mn eine geeignete Substitutionsfunktion x = ϕ(t) und verwndelt ds Integrl in die Form f(ϕ(t))ϕ (t)dt, welche einfcher zu behndeln sein sollte. Allerdings muss es möglich sein, die Rücktrnsformtion t = ϕ 1 (x) vorzunehmen; wir setzen deshlb vorus, dss ϕ bijektiv ist. (Ds Symbol ϕ 1 bezeichnet die Umkehrfunktion von ϕ.) Der Beweis ist nlog zur Substitutionsregel I. 45

46 Stz. (Substitutionsregel II) Ist ϕ: I J stetig differenzierbr und bijektiv und f : J K stetig, so gilt f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t)dt t=ϕ 1 (x) bzw. für, b J b f(x)dx = ϕ 1 (b) ϕ 1 () f(ϕ(t))ϕ (t)dt. 46

47 Wir berechnen ds Integrl Substitutionsregel II: Beispiel 1 + ex dx mit der Substitution t = 1 + e x. Unter Bechtung von erhlten wir dt dx = e x e = t2 1 x 2t 1 + ex dx = 2, dx = 2t t 2 1 dt t 2 t 2 1 t= 1+e x. 47

48 Letzteres Integrl lässt sich schreiben ls t 2 ( t 2 1 dt = ) t 2 dt = t t 2 1 dt. Wir verwenden nun, dss wobei ( t < 1) 1 t 2 dt = rtnh t, 1 rtnh t = 1 2 log 1 + t 1 t die Umkehrfunktion des hyperbolischen Tngens ist. Insgesmt erhält mn die Formel 1 + ex dx = e x 2rtnh 1 + e x. 48

49 8.4. Anwendungen In diesem Abschnitt wollen wir n einigen wichtigen Beispielen die vielfältigen Anwendungen der Integrlrechnung ufzeigen. Die ursprüngliche Motivtion des Integrlbegriffs wr j die Berechnung von Flächeninhlten. Wir berechnen zuerst die Fläche eines Kreises. 49

50 Kreisfläche Der Kreis mit Mittelpunkt im Koordintenursprung und mit Rdius r > 0 ist gegeben durch die Gleichung x 2 + y 2 = r 2. Durch Auflösen nch y erhält mn y = ± r 2 x 2 für x r. Der Grph der Funktion [ r, r] R, x r 2 x 2 beschreibt deshlb den Hlbkreis der nichtnegtiven y-werte. Ds Integrl I := 4 r 0 r2 x 2 dx ist deshlb der Flächeninhlt eines Kreises mit Rdius r und sollte den Wert r 2 π hben, wie mn in der Geometrie lernt. Wir zeigen dies jetzt mit den nlytischen Methoden der Integrlrechnung. 50

51 Eine erste Substitution x = rξ liefert I = r2 r 2 ξ 2 rdξ = 4r ξ2 dξ. Eine weitere Substitution ξ = sin t zeigt (bechte dξ = cos t dt) ξ2 dξ = rcsin 1 rcsin 0 1 sin 2 t cos tdt = π/2 0 cos 2 tdt. Wir zeigen, dss letzteres Integrl den Wert π/4 ht. Ds heisst, es ist ttsächlich I = r 2 π. 51

52 Wir mchen die Substitution t = π 2 von cos( π 2 u) = sin u u, dt = du und erhlten unter Verwendung π/2 0 cos 2 tdt = 0 π/2 cos 2 ( π 2 u)du = π/2 0 sin 2 u du. Wegen folgt ttsächlich π/2 0 cos 2 tdt + π/2 0 π/2 0 cos 2 tdt = sin 2 tdt = π/2 0 π/2 0 sin 2 tdt = π/4. dt = π/2 52

53 Bogenlänge von Kurven Als nächste Anwendung zeigen wir, dss wir die Bogenlänge von Kurven durch ein Integrl usdrücken können. Gegeben sei eine stetig differenzierbre Funktion f : [, b] R. Wir wollen die Bogenlänge des Grphen von f bestimmen. Hierzu wählen wir eine Teilung T = {x 0, x 1,..., x N }, = x 0 < x 1 < < x N = b des Intervlls [, b] und pproximieren die Bogenlänge des Grphen durch die Länge L T des Polygonzugs gegeben durch die Punkte im R 2, wobei y n := f(x n ). P 0 = (x 0, y 0 ), P 1 = (x 1, y 1 ),..., P N = (x N, y N ) 53

54 Die Länge L T knn folgendermssen geschrieben werden L T = N (xn x n 1 ) 2 + (y n y n 1 ) 2, n=1 d.h. wir pproximieren die Bogenlänge durch Polygonzüge. 54

55 Der Mittelwertstz besgt, dss y n y n 1 x n x n 1 = f(x n) f(x n 1 ) x n x n 1 = f (ξ n ) für geeignete Zwischenpunkte ξ n ]x n 1, x n [. Hierus erhlten wir L T = = N n=1 1 + ( y n y n 1 x n x n 1 ) 2(xn x n 1 ) N 1 + f (ξ n ) 2 (x n x n 1 ). n=1 Dies ist gerde die Riemnnsche Summe der Funktion g(x) := 1 + f (x) 2 zur Teilung T mit entsprechenden Messpunkten. 55

56 Es gilt deshlb lim L T ξ = k b 1 + f (x) 2 dx für jede Folge (T k ) von Teilmengen von [, b] deren Korn gegen Null konvergiert. Wir interpretieren deshlb ds Integrl L := b 1 + f (x) 2 dx ls die Bogenlänge des Grphen von f. 56

57 Kreisumfng Der Grph der Funktion f(x) = r 2 x 2 uf [ r, r] ist ein Hlbkreis mit Rdius r. Der Kreisumfng des Einheitskreises ist gemäss vorher gegeben durch U := 4 r f (x) 2 dx. Die Ableitung von f ist f x (x) = r2 x, 2 folglich ist Der Kreisumfng ist somit 1 + f (x) 2 = 1 + x2 r 2 x 2 = U = 4r r 0 1 r2 x 2 dx. r2 r 2 x 2. 57

58 Durch die Substitution x = rξ erhält mn U = 4r r2 r 2 ξ rdξ = 4r 2 = 4r rcsin ξ 1 = 2πr, 0 wie mn us der Geometrie weiss ξ 2 dξ 58

59 Hrmonischen Zhlen Die hrmonischen Zhlen sind uns schon des öfteren begegnet. H n = n ν=1 1 ν Wir sind nun in der Lge, ds symptotische Wchstum von H n genu zu beschreiben. Stz. Es gilt H n = log n + C + o(1) (n ), wobei C = die sogennnte Eulersche Konstnte ist. Die hrmonischen Zhlen wchsen lso etw gleich lngsm wie der ntürliche Logrithmus. 59

60 Die im Beweis verwendete Technik der Untersuchung des Integrls n 1 f(x)dx, um Aussgen über ds Konvergenzverhlten einer Reihe n f(ν) zu mchen, wird häufig verwendet. ν=1 60

61 Stirlingsche Formel Wir bringen zum Schluss hierzu eine in der Whrscheinlichkeitstheorie, Kombintorik und theoretischen Informtik besonders wichtige Anwendung. Wir wollen herusfinden, wie schnell die Fkultäten n! nwchsen. Dzu verwndeln wir log n! in eine Reihe: ( n ) log n! = log ν ν=1 = n log ν. ν=1 Als erste Approximtion ersetzen wir die Summe durch ein Integrl n 1 log xdx = x log x x n 1 = n log n n + 1 = log [ ( n n ) ] e. e 61

62 Wir erwrten deshlb, dss n! ( n e n ) n. Im folgenden Stz präzisieren wir dies. Stz. (Stirlingsche Formel) Es gilt die folgende Abschätzung für n 1 ( n ) n ( n 2πn n! 2πn e e ) n e 1 4n. Die Stirlingsche Approximtion 2πn( n e )n unterschätzt lso die Fkultät n! mit einem multipliktiven Fehler e 1 4n, der gegen 1 konvergiert für n. Dies bedeutet, dss der reltive Fehler der Stirlingpproximtion gegen Null konvergiert. 62

63 Beispiel. Für n = 10 erhält mn ! = Der reltive Fehler der Stirlingpproximtion ist bereits kleiner ls 1 %. 63