9. Teil: Integralrechnung

Transkript

1 Brückenkurs Mthemtik, Institut für Chemie und Biochemie, Freie Universität Berlin 9 Teil: Integrlrechnung Ausgehend von einer gegebenen differenzierbren Funktion f(x gelingt mit den beknnten Ableitungsregeln (s 7 Teil die Berechnung sämtlicher Ableitungen f (k (x dieser Funktion: 2 k f(x f (x f (x f (k (x Es wurde uch schon festgestellt, dss nicht nur f(x, sondern lle Funktionen der Schr f(x+c (C R dieselbe Ableitung f (x hben (s 7 Teil Ds oben gezeigte Schem lässt sich lso verbessern zu 2 k f(x+c f (x f (x f (k (x Kehren wir zurück zur Betrchtung von f(x lleine (ohne dditive Konstnte C Es stellt sich die Frge, ob der durch einen nch rechts weisenden Pfeil ( ngedeutete Vorgng des Differenzierens umgekehrt werden knn, und wenn j, wie und unter welchen Bedingungen dies möglich ist Ws wäre dnn im obigen Schem links von f(x zu finden? 2 k?? f(x f (x f (x f (k (x Es wird nun gezeigt, dss die sogennnte unbestimmte Integrtion die Umkehrung der Differentition ist, und dss sich folglich durch Umkehrung der beknnten llgemeinen Differentitionsregeln llgemeine Integrtionsregeln ergeben Stmmfunktionen und unbestimmte Integrtion Definition: EineFunktionF(xmitF (x = f(xheisststmmfunktion von (oder zu f(x Die Stmmfunktionen, die sich voneinnder nur um eine dditive Konstnte C unterscheiden können (s o, bilden eine Funktionenschr, welche ds unbestimmte Integrl von f(x gennnt wird (ein Integrl ohne Angbe von Integrtionsgrenzen, und mn schreibt f(x = f(x = F(x+C F (x = f(x In diesem Zusmmenhng heisst f(x der Integrnd des unbestimmten Integrls, und die Konstnte C heisst Integrtionskonstnte Durch nicht viel mehr ls die Einführung eines Nmens für ein kurz zuvor noch unbeknntes Objekt (die Stmmfunktion lässt sich ds oben gezeigte Schem jetzt vervollständigen: 2 k F(x+C f(x f (x f (x f (k (x Der Beweis dfür, dss Differentition und unbestimmte Integrtion (beide bzgl der Vriblen x ein Pr von Opertion und zugehöriger Umkehropertion bilden (ähnlich wie Funktion f und zugehörige Umkehrfunktion f, zur Erinnerung: f(f (x = x, erfolgt einfch und direkt: ( Unbestimmte Integrtion von f(x, gefolgt von Differentition, ergibt wieder f(x: d f(x = d ( f(x = d ( df F(x+C = + = F (x = f(x, c W Gns, 2 25; D Andre,

2 Brückenkurs Mthemtik, Institut für Chemie und Biochemie, Freie Universität Berlin (2 Differentition der Stmmfunktionen F(x + C, gefolgt von unbestimmter Integrtion, reproduziert die Schr der Stmmfunktionen: ( d ( F(x+C = f(x = f(x = F(x+C Also lssen sich Stmmfunktionen zu gegebenen Funktionen f(x us Tbellen von Ableitungen blesen, indem die Einträge in diesen Tbellen sozusgen rückwärts gelesen werden Einige Beispiele dzu (unter Verwendung der Tbelle von Ableitungen us dem 7 Teil: ( x s = xs+ x s+ +C (s s+ s+ +C = x s x = ln x +C (ln x +C = x e x = e x +C (e x +C = e x b x = bx ln(b +C ( b x ln(b +C = b x cos(x = sin(x+c (sin(x+c = cos(x sin(x = cos(x+c ( cos(x+c = sin(x D die Regeln zur Berechnung von Ableitungen einer Funktion von einer reellen Vriblen vollständig beknnt sind, knn ein (möglicherweise noch unsicheres oder ungeprüftes Ergebnis einer unbestimmten Integrtion stets leicht durch Differentition überprüft werden Ds bringt uch ds folgende Zitt us einem Mthemtikbuch für Phrmzeuten und Mediziner treffend zum Ausdruck: Merke: Wer gut integrieren will, muss gut differenzieren lernen! 7 Allgemeine Integrtionsregeln für unbestimmte Integrle Diese entstehen durch Umkehrung der llgemeinen Differentitionsregeln Linerität:DsunbestimmteIntegrleiner gewichtetensummevonfunktionen (fchsprchlich: einer Linerkombintion von Funktionen ist die entsprechend gewichtete Summe der zu- gehörigen Stmmfunktionen (α, β sind Konstnten, F (x = f(x, G (x = g(x: (αf(x+βg(x = α f(x+β g(x = αf(x+βg(x+c Diese Regel löst uch ds Problem, wie die unbestimmte Integrtion von Summen (α = β = und Differenzen (α = β = uszuführen ist Prtielle Integrtion: Diese Integrtionsregel entsteht durch Anwendung der unbestimmten Integrtionsopertion uf die (umgestellte Produktregel der Differentition: u (xv(x = (u(xv(x u(xv (x u (xv(x = u(xv(x u(xv (x 7 H Wätzig, W Mehnert, W Bühler: Mthemtik und Sttistik kompkt Grundlgen und Anwendungen in Phrmzie und Medizin, Wissenschftliche Verlgsgesellschft, Stuttgrt, 29, S 65 c W Gns, 2 25; D Andre,

3 Brückenkurs Mthemtik, Institut für Chemie und Biochemie, Freie Universität Berlin Offensichtlich kommt der Nme dieser Regel dher, dss einer der beiden Terme uf der rechten Seite weiterhin ein (noch zu lösendes Integrtionsproblem drstellt Die prtielle Integrtion hilft dher nur dnn weiter, wenn dieses verbleibende Integrtionsproblem einfcher ist ls ds zuvor gestellte Integrtionsproblem uf der linken Seite des Gleichheitszeichens Zwei Beispiele zur prtiellen Integrtion: ln x = ln x = x ln x x = x ln x x = x ln x x+c (flls Sie ds Ergebnis nzweifeln, überzeugen Sie sich von (x ln x x+c = ln x ; xe x = xe x e x = xe x e x +C = (x e x +C Integrtion durch Substitution: Diese Integrtionsregel entsteht durch Umkehrung der Kettenregel der Differentition: d df dg F(g(x = dg = f(g(xg (x f(g(xg (x = f(tdt = F(t+C = F(g(x+C Zur Integrtion wurde hier, von links nch rechts gelesen, von einer (lten Integrtionsvriblen x zu einer (neuen Integrtionsvriblen t gewechselt Dzu wurde die Substitution t = g(x (mit dt = g (x verwendet, um ds Integrl (einfcher lösbr zu mchen (d F(t ls Stmmfunktion zu f(t ls beknnt ngenommen wurde Zum Schluss wird durch Rücksubstitution wieder zur ursprünglichen Vriblen x gewechselt Wichtig: Die Vrible im Differentil des Integrls ( oder dt zeigt unmissverständlich n, über welche Vrible jeweils zu integrieren ist Der Wechsel von lter zu neuer Integrtionsvrible soll dennoch vollständig und in einem Schritt erfolgen Insbesondere sollten niemls Integrle uftreten, die sowohl die lte ls uch die neue Integrtionsvrible enthlten Zwei Beispiele zur Integrtion durch Substitution: x +x = Substitution: 2 t = +x 2 dt = 2x = dt t 2 = dt 2 t = 2 ln t +C = 2 ln(+x2 +C (wrum drf hier im Endergebnis usnhmsweise uf die Betrgsstriche verzichtet werden?; Substitution: sin(2x cos(x = 2 sin(xcos 2 (x = t = cos(x dt = sin(x = 2 t 2 dt = 2 3 t3 +C = 2 3 cos3 (x+c (im ersten Schritt wurde die Identität sin(2x = 2 sin(x cos(x [s 4 Teil] verwendet Unbestimmte Integrtion gelingt llgemein immer ddurch, dss die eben gennnten llgemeinen Regeln in Kombintion mit Eigenschften des Integrnden genutzt werden, um uf sogennnten Grundintegrle (d h Integrle der elementren Funktionen zu kommen Dieser Weg knn mitunter lng und mühsm sein (und scheitert mnchml, wenn sich zeigt, dss es einen Weg zu Grundintegrlen nicht gibt Es gibt umfngreiche Tfelwerke, in welchen mn Integrle ggf nchschlgen knn, z B F W J Olver, D W Lozier, R F Boisvert, C W Clrk (eds: NIST Hndbook of Mthemticl Functions, Cmbridge University Press, 2 c W Gns, 2 25; D Andre,

4 Brückenkurs Mthemtik, Institut für Chemie und Biochemie, Freie Universität Berlin I S Grdshteyn, I M Ryzhik: Tble of Integrls, Series, nd Products, 7th edition, Elsevier & Acdemic Press, 27 Wichtiger Hinweis: In Tfelwerken sind unbestimmte Integrle in der Regel ohne die Integrtionskonstnte C ngegeben, d dies Pltz sprt Diese Nchlässigkeit entbindet nicht von der Pflicht, bei unbestimmten Integrlen nch erfolgreicher Bestimmung einer Stmmfunktion diese Konstnte stets hinzuzufügen (etw in einer Klusurufgbe Kleine Übungsufgbe: Berechnen Sie die unbestimmten Integrle von ( f(x = tn(x und (2 f(x = cot(x (Hinweis: Nutzen Sie Integrtion durch Substitution Bemerkenswert: Differentition und Integrtion verbinden Funktionen miteinnder, die zu Funktionenklssen gehören, welche zuvor ls voneinnder getrennt betrchtet wurden, z B x+b = ln x+b +C (, x b/, x 2 + = ( x 2 rctn +C ( Hier sind die Integrnden einfche gebrochen-rtionle Funktionen, die zugehörigen Stmmfunktionen dgegen sind trnszendente Funktionen Unbestimmte Integrtion gebrochen-rtionler Funktionen BeiderSuchenchStmmfunktionenvongebrochen-rtionlenFunktionenf(x = Z p (x/n q (x hilft oft, den Integrnden in eine Summe einfcher(er Terme umzuformen Dzu werden die für diese Funktionen beknnten Rechentechniken der Polynomdivision und der Prtilbruchzerlegung genutzt Diese sind nlog zu den us dem Rechnen mit Zhlen beknnten Rechentechniken Division mit Rest (7 = 3 2+ (7 = 2+ oder 7 = 3+ und Zerlegen in einfchere echte Brüche (2 = 3 4 = = 2 3 = ( 2DieStmmfunktionengebrochen-rtionler Funktionen mit lineren oder qudrtischen Polynomen im Nenner lssen sich immer mit Hilfe von Logrithmen, inversen Kreis- oder inversen Hyperbelfunktionen ngeben (Einzelheiten dzu finden sich z B in den oben gennnten mthemtischen Hndbüchern Ein Beispiel mit Polynomdivision (unechte gebrochen-rtionle Funktion ls Integrnd: Wegen ist 4x 2 +2x+ = 2x(+6x+ 4x 2 +2x+ = = 2x(+3(+ = + ( + = x 2 +3x+ 2 ln +C Ein Beispiel mit Prtilbruchzerlegung (echte gebrochen-rtionle Funktion ls Integrnd: Wegen 6x 2 x+ x 3 x = 6x2 x+ x(x+(x = A x+ + B x + C x = Ax(x +B(x2 +Dx(x+ x(x+(x mit A = 4, B = und D = 3 (us Koeffizientenvergleich, ist 6x 2 ( x+ 4 = x 3 x x+ x + 3 = 4 ln x+ ln x +3 ln x +C x Ein Beispiel, ds verschiedene Techniken kombiniert: Wegen ( x tnh = 2 sinh(x/2 cosh(x/2 = ex/2 e x/2 e x/2 +e = ex x/2 e x + c W Gns, 2 25; D Andre,

5 Brückenkurs Mthemtik, Institut für Chemie und Biochemie, Freie Universität Berlin ist ( x e tnh = 2 x e x + = Substitution: t = e x dt = e x = = 2 ln t+ ln t +C = 2 ln(e x + x+c ( t dt 2 t+ t = t+ dt t Bestimmte Integrtion Gegeben sei eine in [,b] stetige reellwertige Funktion f(t Dnn knn ds Intervll [,b] in n gleich grosse Teile der Länge t = (b /n zerlegt und die folgende Summe gebildet werden: S n (,b = f(ξ k t = b n f(ξ k (t k ξ k t k, t =, t n = b Derrtige Summen sind ls Riemnn-Drboux-Summen beknnt (nch Bernhrd Riemnn, , und Gston Drboux, Ds folgende Schubild zeigt die Sitution beispielhftfürdenflldernormlprbel(f(t = t 2, =,b =,n = 4,wobeidreiverschiedene Möglichkeiten zur Whl der Stellen ξ k [t k,t k ] gezeigt sind f(t t ( ξ k = t k (ξ k m linken Intervllrnd f(t t (b ξ k = (t k +t k /2 (ξ k in der Intervllmitte f(t t (c ξ k = t k (ξ k m rechten Intervllrnd Definition: Sofern der Grenzwert einer Riemnn-Drboux-Summe S n (,b zur Funktion f(t (s o für n existiert, heisst dieser Grenzwert ds bestimmte Integrl von f(t über t von bis b, und mn schreibt lim S b n(,b = lim n n n f(ξ k = b f(tdt Die Funktion f(t heisst dnn (riemnn-integrierbr im Intervll [, b] AnwendungdieserDefinitionufdieinderobigenAbbildungin(bzw(cgezeigteSitution 8 : f(t = t 2, = t =, b = t n =, t = (b /n = /n, t k = +k t = k/n ( k n Zu (: ξ k = t k = (k /n (linker Intervllrnd, k n, S n (, = t f(ξ k = n ( 2 k = n n 3 = n 3 6 n(n+(2n+ 2 n 3 2 n(n++ n 3n = 6 t 2 dt = lim n S n (, = = 3 8 Es werden benötigt die Potenzensummen = n, ( (k 2 2k + = n 3 n+2n+ n n k = n(n+ 2 und k 2 2 k + n+ n 2 + n 2 k 2 = n(n+(2n+ 6 c W Gns, 2 25; D Andre,

6 Brückenkurs Mthemtik, Institut für Chemie und Biochemie, Freie Universität Berlin Zu (c: ξ k = t k = k/n (rechter Intervllrnd, k n, S n (, = t f(ξ k = n ( 2 k = n n 3 t 2 dt = lim n S n (, = 6 2 = 3 k 2 = n 3 6 n(n+(2n+ = 6 n+2n+ n n Dieses Beispiel zeigt, dss ds Ergebnis der Integrtion nicht von der konkreten Whl der Stellen ξ k in den Intervllen [t k,t k ] bhängt Es hängt uch nicht b von der Art und Weise der Zerlegung des Intervlls [,b] in Teilintervlle t k ( k n, sofern nur bei der Grenzwertbildung dfür gesorgt wird, dss mit dem Anstieg der Anzhl der Teilintervlle (n deren Grösse bnimmt ( t k für lle k Bei der oben verwendeten Form der Riemnn-Drboux-Summe wurden lle t k gleich gross gewählt ( t k = (b /n für lle k und nehmen utomtisch in ihrer Grösse b, wenn n strebt Kleine Übungsufgbe: Versuchen Sie, den Fll (b in der obigen Abbildung nch dem eben für die Fälle ( und (c gezeigten Muster zu behndeln Welches Ergebnis erwrten Sie? Anmerkung: Als Grundlge zur Berechnung der Riemnn-Drboux-Summe, und dmit ls notwendige Vorussetzung zur Existenz des bestimmten Integrls, wurde Stetigkeit des Integrnden f(t ngenommen Solnge die Funktion f(t im Intervll [, b] beschränkt bleibt, drf sie sogr endlich viele Sprungstellen in diesem Intervll hben, ohne dss dies die Existenz des bestimmten Integrls beeinträchtigt Spezielle Rechenregeln für bestimmte Integrle Zusmmenfssen von Integrtionsbereichen oder Zerlegen eines Integrtionsbereiches: Mit c = folgt drus: b f(tdt+ c f(tdt = c b f(tdt ( b c ( f(tdt =, und (2 b f(tdt = b f(tdt Mittelwertstz der Integrlrechnung Ist f(t im Intervll [,b] riemnn-integrierbr, so existiert eine reelle Zhl µ mit b f(tdt = µ(b Diese Zhl µ heisst Mittelwert von f(x im Intervll [,b] Flls f(t in [,b] stetig ist, gibt es mindestens eine Stelle ξ [,b] mit f(ξ = µ (s Abbildung rechts µ = f(ξ b f(t dt ξ b t f(t Die Verbindung zwischen bestimmter und unbestimmter Integrtion wird hergestellt durch den Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (oder den Fundmentlstz der Anlysis: Sei f eine in [, b] stetige reellwertige Funktion Dnn ist F(x = x f(tdt c W Gns, 2 25; D Andre,

7 Brückenkurs Mthemtik, Institut für Chemie und Biochemie, Freie Universität Berlin eine für lle x [,b] stetige und für lle x (,b differenzierbre Funktion mit F (x = f(x Eine solche Funktion heisst Stmmfunktion zu f(x, und sie ermöglicht die einfche Berechnung des bestimmten Integrls von f(t über t von bis b ls b f(tdt = F(t b = F(b F( Anmerkungen: ( Die Integrtionskonstnte C, durch die sich verschiedene Stmmfunktionen voneinnder unterscheiden, fällt bei der Berechnung eines bestimmten Integrls wegen der Differenzbildung herus (2 Der Fundmentlstz der Anlysis wurde, unbhängig voneinndner, von Isc Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz in der 2 Hälfte des 7 Jhdts gefunden Beispiele zur Berechnung bestimmter Integrle mit Hilfe der Stmmfunktion des Integrnden: ( π sin(x = ( cos(x = cos(π+cos( = ( + = 2 (2 2π π sin(x = ( cos(x 2π = cos(2π+cos( = (+ =, lso ist der Mittelwert der Sinusfunktion über eine volle Periode gleich Null! (3 Volumenrbeit bei isothermer Expnsion eines idelen Gses (pv = nrt: W = V2 V pdv = nrt V2 V dv V = nrt( ln(v 2 ln(v = nrt ln Weil ds Gs bei der isothermen Expnsion (V 2 > V n seiner Umgebung Arbeit verrichtet, nimmt seine Energie (sein Energieinhlt b, dher ist W < Wichtig: ( Ds Resultt der Berechnung eines bestimmten Integrls ist eine reelle Zhl (oder der Wert einer physiklischen Grösse G = {G} [G] mit beliebiger reeller Msszhl {G}, pssend zur gewählten Msseinheit [G] Aus dem Integrtionsergebnis knn nicht mehr uf den Integrnden zurückgeschlossen werden (so wie mn j uch einer Summe nicht mehr nsieht, welche Summnden zu ihr beitrugen Zur Erinnerung: Ds unbestimmte Integrl repräsentiert dgegen eine Funktionenschr! (2 Ds Problem der Flächenberechnung führt immer uf ein bestimmtes Integrl, ber ein bestimmtes Integrl ht keineswegs llgemein die Bedeutung eines Flächeninhlts (s ds zweite Beispiel oben Uneigentliche bestimmte Integrle Wenn bei einem bestimmten Integrl der Integrtionsbereich und/oder der Integrnd unbeschränkt ist, dnn nennt mn es ein uneigentliches bestimmtes Integrl Dessen Berechnung erfordert eine weitere (zweite Grenzwertbildung (zusätzlich zur Grenzwertbildung der Riemnn- Drboux-Summe Ds soll hier nur n zwei Beispielen gezeigt werden: ( Der Integrnd strebt n der unteren Integrtionsgrenze gegen + : x = lim ε + (2 Der Integrtionsbereich ist unbeschränkt: e x = lim s s ε = lim 2 x = lim 2( ε = 2( = 2 x ε + ε ε + ( V2 e x = lim ( e x s ( = lim e s + = + = s s V c W Gns, 2 25; D Andre,