. Vektor von A nach B: AB. = B A ( Endpunkt minus Anfangspunkt ) a 0 = 1 (A + B) S = , CD

Transkript

1 8 Vektoren Sowohl in Wirtschft und Technik ls uch in der Geometrie werden Vektoren verwendet, um dnmische Prozesse zu beschreiben. Zum eispiel stellen viele Grfikprogrmme bewegte ilder mithilfe von Vektoren dr. Vektoren in der Ebene, lso im zweidimensionlen Rum R, deren efinition und rstellung sowie einige Rechenopertionen wurden bereits in nd, bschnitt 9, behndelt. ieser bschnitt widmet sich nun unter nderem uch erechnungen mit Vektoren im dreidimensionlen Rum R. 8. Wiederholung der Grundbegriffe Unter einem Vektor = ( versteht mn die Menge ller gleich lngen, gleich gerichteten und gleich orientierten Pfeile. Ein einzelner Pfeil wird Repräsentnt des Vektors gennnt. Repräsentnten mit dem Ursprung ls nfngspunkt bezeichnet mn ls Ortsvektoren, z O. Vektor von nch : ( Endpunkt minus nfngspunkt etrg (Länge des Vektors : Einheitsvektor: = ( = + = ddition bzw. Subtrktion von Vektoren: ± b = ( ( ± b b ( = ± b ± b Mittelpunkt der Strecke : M = _ ( + S = _ Multipliktion mit einer reellen Zhl: ( s = s ( = s s Schwerpunkt des reiecks : ( + + O O O 8. ür die Erstellung eines Wndbilds wurde ds Sternzeichen Großer Wgen in ein Koordintensstem eingetrgen (Mße in dm. Gib die Vektoren,, und n. er Streckenzug GE stellt die eichsel des Wgens dr. Gib die Vektoren, die die Teilstücke beschreiben, n und berechne die Gesmtlänge der eichsel. ie igur soll so verschoben werden, dss der Punkt im Koordintenursprung liegt. Gib den Vektor n, um den die Punkte jeweils verschoben werden müssen und ermittle die neuen Koordinten ller Punkte. 8. ie Eckpunkte eines Vierecks sind gegeben. Ermittle die Mittelpunkte der Seiten und zeige, dss sie die Eckpunkte eines Prllelogrmms sind. Überprüfe die Ergebnisse nhnd einer Zeichnung. (,, (, (7, ( 7 b (, (, (, ( 8. Von einem reieck sind die Punkte, und gegeben. Ermittle den Schwerpunkt. Prüfe nch, dss gilt: M S = S (, (, ( 7 b (, ( 7, ( lgebr und Geometrie O E G - -

2 8. Normlvektoren 8. Stelle den Vektor = ( grfisch dr. Zeichne einen Vektor mit der gleichen Länge ein, der uf im rechten Winkel steht, und lies seine Koordinten b. eschreibe den Zusmmenhng zwischen den Koordinten der beiden Vektoren. Zwei Vektoren, die norml ufeinnder stehen, werden orthogonl gennnt. ie egriffe orthogonl bzw. Orthogonlität setzen sich us den ltgriechischen Wörtern für gerde, recht, richtig (orthos und Winkel, Ecke (goni zusmmen. wird um 9 in mthem tisch positive Richtung, lso gegen den Uhrzeigersinn (nch links, gedreht. Mn erhält: n L = ( Wird der Vektor = ( um 9 in mthemtisch negtive Richtung, lso im Uhrzeigersinn (nch rechts, gedreht, so erhält mn: n R = ( Z: er Vektor = ( n L - - n R Normlvektoren n L = ( (... der durch Linksdrehung entstndene Normlvektor von = n R = ( (... der durch Rechtsdrehung entstndene Normlvektor von = 8. Ist der gegebene Normlvektor durch eine Rechts- oder durch eine Linksdrehung entstnden? egründe deine ntwort. = ( 8, n = ( 8 b b = ( 7, n b = ( 7 ( c c =, n c = ( 8.6 Gib die Koordinten beider Normlvektoren des Vektors n. (6, ( b (, ( c (, ( d (7 8, ( 8 ufgben : erechne jeweils die fehlenden Koordinten der weiteren Eckpunkte. Überprüfe deine Rechnung nhnd einer Zeichnung. 8.7 ie Strecke mit ( und ( ist eine Kthete eines gleichschenkligrechtwinkligen reiecks, wobei der rechte Winkel im Eckpunkt liegt. Gib beide Lösungen n. 8.8 ie Strecke mit ( und (7 6 ist die Seitenknte eines Qudrts. Gib beide Lösungen n. 8.9 ie Strecke mit (6 und ( 7 ist die igonle e einer Rute. ie igonle f ist doppelt so lng wie die igonle e. b ie Länge der igonle f ist ein rittel der Länge der igonle e. 8. In welchem besonderen reieck ist der Normlvektor einer Seite jeweils ein Vektor in Richtung einer Schwerlinie? egründe deine ntwort. lgebr und Geometrie

3 8. Sklrprodukt zweier Vektoren 8. Zwei Leiterwgerln mit der gleichen Msse werden entlng einer gerden Strecke gezogen. ei welchem ewegungsbluf muss mn sich mehr nstrengen? egründe deine Entscheidung. us dem nturwissenschftlichen Unterricht ist beknnt, dss die rbeit W gleich dem Produkt us den eträgen der vektoriellen Größen Krft in Wegrichtung s und Weg s ist: W = s s bei ist s die Normlprojektion des Vektors uf die Richtung s. Es gilt: cos(φ = K HYP = s s = cos(φ W = s cos(φ und s sind gerichtete Größen, die rbeit W ist ber keine gerichtete Größe, sondern ein so gennnter Sklr. Sie knn ls ds Produkt der eträge der Vektoren und s und dem osinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels φ berechnet werden. iese Multipliktion bezeichnet mn ls sklre Multipliktion der Vektoren und s, ds Ergebnis heißt Sklrprodukt. Mn schreibt: W = s b llgemein gilt für ds Sklrprodukt von zwei Vektoren und b : b = b cos(φ = b b I b... Länge der Normlprojektion von b uf b I Geometrisch knn ds Sklrprodukt ls Größe des lächeninhlts des Rechtecks mit den Seitenlängen und b interpretiert werden. Projiziert mn umgekehrt den Vektor uf b, so erhält mn = cos(φ und es gilt: b = b Ist b =, so erhält mn: = Stehen die beiden Vektoren ufeinnder norml, dnn ist die Länge der Projektion b =. mit ist der lächeninhlt und dher uch ds Sklrprodukt null. Ist ds Sklrprodukt zweier Vektoren null, so bezeichnet mn sie ls orthogonl. Sind in diesem ll beide Vektoren vom Nullvektor o verschieden, so schließen sie einen rechten Winkel ein. er Nullvektor ist zu jedem Vektor orthogonl. Sind, b o, so gilt: b = b Weiters gilt für ds Sklrprodukt: (b + c = b + c und s ( b = (s b = (s b s s Sklrprodukt zweier Vektoren, b b = b cos(φ = b Stehen Vektoren ufeinnder norml, ist ihr Sklrprodukt null. b b lgebr und Geometrie

4 erechnung des Sklrprodukts in Koordintenschreibweise Meist wird ds Sklrprodukt nicht mithilfe der efinition berechnet, sondern nhnd der Koordinten der Vektoren. Mn knn eine ormel zur erechnung des Sklrprodukts mithilfe e der sisvektoren e und e entwickeln. s sind jene Vektoren, die in Richtung der Koordintenchsen verlufen und Einheit lng sind. e Jeder Vektor knn mithilfe der sisvektoren drgestellt werden. e = ( 8 ( = ( + 8 llgemein bezeichnet mn jeden usdruck der orm r + s b, mit r, s R ls Linerkombintion. O ür = ( = e + e und b = ( b b = b e + b e gilt nun: b = ( e + e (b e + b e = Produkt der Linerkombintionen = b e e + b e e + b e e + b e e = b e + ( b + b e e + b e e und e stehen norml ufeinnder: e = = = e e e e = b = b + b e e = { { { e ( e = ( erechnung des Sklrprodukts der Vektoren = ( und b = ( : ie Vektoren und b schließen den Winkel φ = ein.. Möglichkeit:. Möglichkeit: b = b cos(φ b = b + b = 8 = = 6 = + = 6 = b O erechnung des Sklrprodukts in Koordintenschreibweise b = ( ( b b = b + b 8. eschreibe, wie mn nchprüfen knn, ob die gegebenen Vektoren und b norml ufeinnder stehen. = (,, b 7 = (, Zwei Vektoren, b o stehen norml ufeinnder, wenn ihr Sklrprodukt null ist. (, ( 7, =, 7 + (, = 87, 87, = ie beiden Vektoren und b stehen norml ufeinnder. lgebr und Geometrie

5 ds Sklrprodukt uf zwei rten berechnet werden knn, ist es möglich, eine ormel für den Winkel φ zwischen zwei Vektoren nzugeben. b = b b cos(φ cos(φ = b er Scheitel des Winkels φ liegt im gemeinsmen nfngspunkt b der Repräsentnten der Vektoren. nhnd des Vorzeichens des Sklrprodukts knn bereits entschieden werden, ob der Winkel spitz oder stumpf ist. b > < φ < 9 b < 9 < φ < 8 ür den Winkel φ zwischen zwei Vektoren und b gilt: b cos(φ = b O 8. erechne den Winkel φ = PQR mithilfe von u und v. Erkläre, welchen Winkel φ mn erhält, wenn mn den Vektor u irrtümlich mit u = PQ nsetzt. P(, Q(, R( u = QP ( v = QR ( = ( u v = ( ( = ( u v cos(φ = = =,77... φ = rccos(,77... = Wählt mn u = PQ, so muss der nfngspunkt von PQ zuerst in Q verschoben werden. Mn erhält einen stumpfen Winkel: φ = 8 φ = Q u P v O R lächeninhlt von Prllelogrmmen und von reiecken Zwei Vektoren spnnen ein Prllelogrmm uf. essen lächeninhlt knn mithilfe des Sklrprodukts berechnet werden. P = h = h mit h = b b P = b b P = b b = b ( b P = b ( b = ; b = b Mehrmliges usführen des Sklrprodukts und Umformen. P = b b er lächeninhlt eines reiecks knn mithilfe von = _ P berechnet werden. lächeninhlt eines Prllelogrmms: P = b ( b = b b lächeninhlt eines reiecks: = _ P = _ b ( b = _ b b b b I h 6 lgebr und Geometrie

6 8. Von einem Prllelogrmm sind die Punkte (, ( und ( beknnt. ertige eine Zeichnung n und ermittle die Koordinten des Eckpunkts uf zwei rten. erechne den lächeninhlt des Prllelogrmms = ( ( ( = b = ( ( ( = 6 = + b = ( + ( 6 ( = ( oder = = ( ( = ( P = b b = (6 = E b Technologieeinstz: Sklres Produkt TI-Nspire Vektoren werden mithilfe von eckigen Klmmern [ ] oder über mthemtische Vorlgen eingegeben. ei Spltenvektoren werden Strichpunkte zur Eingbe verwendet (z [;], bei Zeilenvektoren verwendet mn eistriche (z [,]. s Sklrprodukt wird mit dem efehl dotp( berechnet, der direkt eingegeben oder über ds Menü 7: Mtri und Vektor, : Vektor, : Sklrprodukt usgewählt werden knn. T E 8. Setze die Worte positiv oder negtiv ein und begründe deine ntwort: Schließen zwei Vektoren einen spitzen Winkel ein, so ist ihr Sklrprodukt..., schließen sie einen stumpfen Winkel ein, so ist es er Vektor b us nebenstehender Skizze knn um einen beliebigen Winkel gedreht werden, während fest bleibt. eschreibe, wie sich dbei ds Sklrprodukt der beiden Vektoren ändert. Welchen Wert nimmt es b höchstens n, welchen mindestens? O 8.7 Schreibe den Vektor ls Summe us einem senkrechten und einem wgrechten Vektor n. ls Linerkombintion der Einheitsvektoren e und e n. (, ( 8 9 b (, ( 7 c (,, (, erechne ds Sklrprodukt der beiden Vektoren. = ( 6 8, b = ( b = ( 9, b = ( ( c =, b = ( 8.9 Überprüfe die ussgen nhnd der Vektoren, b und c. = ( 7, b = ( 8 (, c = 8 b = b (b + c = ( + b c lgebr und Geometrie 7

7 8. Überprüfe uf zwei rten, ob die Vektoren norml ufeinnder stehen. = ( 8, b = (,7 b = ( 6, b = ( 9 8. ie Vektoren = ( und b = ( stehen norml ufeinnder. Ermittle. 8. erechne den Winkel zwischen den Vektoren = und b =. ( 9, (7, ( 7 b (, (9 8, (7 8. erechne die Größen der Innenwinkel des reiecks mit den ngegebenen Eckpunkten. G(, H(6, I( 6 b K(, L(, M(9 8. er Winkel φ zwischen den beiden Vektoren und b ist gegeben. erechne die fehlende Koordinte. Wie viele Lösungen sind möglich? egründe deine ntwort mithilfe einer Zeichnung. = (, b = ( 9 b (, φ = 6 b =, b = (, φ =, 8. Welchen Winkel schließen zwei Vektoren und b ein, wenn folgende ussge gilt? egründe deine ntwort mithilfe einer Skizze. b = b b = b b = _ b 8.6 Überprüfe, ob die Punkte (, (, ( 9 und ( 6 ein Qudrt bilden. b Überprüfe, ob die Punkte (, ( und ( ein rechtwinkliges reieck bilden. 8.7 Ermittle die fehlenden Koordinten sowie den lächeninhlt des ngegebenen Prllelogrmms mithilfe der Vektorrechnung. (, (, (, ( b (, ( 7, (, ( Ein viereckiges Misfeld ist durch die Punkte,, und begrenzt. Im Punkt S befindet sich der Geräteschuppen des uern (siehe Grfik, ngben in m. 9 Gib jeweils die Vektoren der egrenzungslinien, 8 7, und n und berechne den lächeninhlt 6 des Misfelds. Zeige, dss der Schuppen S uf der Strecke liegt. S Es soll ein Verbindungsweg zwischen dem Schuppen und dem Mittelpunkt der Strecke errichtet werden. Ermittle die Länge des Wegs und den Winkel, den er mit der Strecke einschließt. Um die Ernte zu schützen, stellt der uer eine Vogelscheuche V uf. eren Stndort teilt die Strecke im Verhältnis :. Ermittle die Koordinten von V und zeichne die Position der Vogelscheuche in ds Koordintensstem ein. Eine Krähe ist uf der Suche nch einem Nistpltz. Sie fliegt vom Punkt weg. Ihre Nistpltzsuche wird durch folgende Vektoren beschrieben:, b = (, (, c = 7 = ( 6 Zeichne diese Vektoren in ds Koordintensstem ein und gib den Endpunkt n. 8 lgebr und Geometrie

8 8.9 Es soll der lächeninhlt eines reiecks mit den Punkten (6 7, (9 und ( 6 berechnet werden (Einheiten in cm. Kenn rechnet diese ufgbe mithilfe der trigonometrischen lächenformel: ( 8 c =, c = c = 7 cm = (, = = cm cos(β = ( c c = ( 8 7 = =,6... β = rccos(,6... 9, - = c sin(β 7 sin(9, = = 8, cm -6-7 Überprüfe die Rechenschritte und gib n, welchen ehler Kenn gemcht ht. Erkläre, wrum die berechnete Mßzhl des lächeninhlts dennoch richtig ist. Gib zwei weitere Methoden zur erechnung des lächeninhlts n und dokumentiere jeweils die Vorgehensweise. 8. erechne den lächeninhlt des gegebenen reiecks uf drei verschiedene rten. (7, (9, ( 7 b (, (, ( 8 8. Ein gleichschenkliges reieck, ds in mthemtisch positiver Richtung beschriftet ist, ht die sis mit (, ( 7 sowie die Höhe h = E. Ermittle den fehlenden Eckpunkt, berechne den Winkel φ, den mit einschließt sowie den lächeninhlt des reiecks. 8. Ein Viereck ist durch die Punkte ( 6, (7, ( und ( bestimmt. Zeige, dss es sich dbei um ein gleichschenkliges Trpez hndelt. erechne den Umfng, die Innenwinkel sowie den lächeninhlt des Trpezes. 8. ei einem Ruderbewerb müssen uf einem See zwei ojen n den Positionen ( und ( pssiert werden. nch soll zum Strtpunkt zurückgekehrt werden. Ein Rudertem strtet im Punkt ( (ngben in Meter. erechne, in welchem Winkel zur Horizontlen ds Tem die erste oje mindestens nsteuern sollte. Ermittle den Winkel zwischen und. erechne, welche Wsserfläche durch den Prcours eingeschlossen wird. 8. Überprüfe den folgenden Stz nhnd des gegebenen reiecks : ie Verbindungsstrecken zwischen dem Schwerpunkt und den Eckpunkten eines reiecks teilen ds reieck in drei flächengleiche reiecke. (6, (, ( b (, (, ( 8. Zeige, dss die folgenden Eigenschften des Sklrprodukts gelten. egründe dies jeweils, ohne die Koordintenschreibweise zu verwenden. b = b = s ( b = (s b 8.6 eweise den folgenden Stz mithilfe des Sklrprodukts. Stz von Pthgors b Stz von Thles c osinusstz 6 b c lgebr und Geometrie 9

9 8. nwendungen der Vektorrechnung im R Wirken mehrere Kräfte in einem Punkt, so knn die resultierende Krft durch ddition der Einzelkräfte berechnet werden. Grfisch erfolgt dies durch die vektorielle ddition. durch entsteht ein Kräfteeck. ie resultierende Krft verbindet den nfngspunkt mit dem Endpunkt. Ist ds Kräfteeck R geschlossen, so ist die resultierende Krft der Nullvektor und ds Sstem im Gleichgewicht. ei drei Kräften spricht mn dnn von einem Kräftedreieck. ie resultierende Krft von zwei Kräften knn uch mithilfe eines Kräfteprllelogrmms ermittelt werden (siehe nd, bschnitt 9... Soll eine Krft in zwei Kräfte zerlegt werden, deren Wirkungslinien beknnt sind, so knn ds Kräfteprllelogrmm ebenflls verwendet werden. uch ndere gerichtete Größen wie der Weg s oder die Geschwindigkeit v können mithilfe von Vektoren beschrieben werden. 8.7 Eine Lmpe mit dem Gewicht G = G = N soll mithilfe von zwei Stäben s und s n einer senkrechten Wnd montiert werden (bmessungen siehe bbildung. Skizziere ds Kräftedreieck der Kräfte, die im ufhängepunkt der Lmpe wirken, und gib deren Richtungen n. erechne die eträge der Kräfte, die in den Stäben wirken., m, m, m s s G ie Richtung der Krft ergibt sich us der Richtung von G s = (,,. nloges gilt für die Richtung der Krft : s = (, ie Gewichtskrft weist senkrecht nch unten: G = ( ie Summe der in ngreifenden Kräfte muss der Nullvektor sein: G + + = o bzw. + = G r (,, ( + t, ( = I:,r +,t = t = r II:,r + t = I in II:, r = r =, t = Kräftegleichung ls Linerkombintion der Richtungsvektoren der Stäbe Zerlegen der Komponenten in ein lineres Gleichungsstem und Ermitteln der ktoren r und t. = r s = ( = t s = t ( = 7,... N 7 N =,8... N N 8.8 Zwei Kräfte und greifen im selben Punkt n. Ermittle die resultierende Krft R und den Winkel zwischen und (ngben in N. = (, = ( 7 b, = (,7, = (,, c = ( 7, = ( ie Kräfte, und bilden ein Kräftedreieck. Ermittle die fehlende Krft grfisch und rechnerisch so, dss ds Kräftesstem im Gleichgewicht ist (ngben in kn. = (, = (, =? b = (,,, = (,8,6, =? lgebr und Geometrie

10 8. n der Husecke einer uschenschnk ist ein Smbol in orm eines gusseisernen Kelchs mit einer Msse von m = 9 kg montiert (siehe bbildungen. ie wgrechte Strebe s ist cm lng, der Montgepunkt der schrägen Strebe s n der Husecke liegt cm senkrecht unter dem der Strebe s. Skizziere ds Kräftedreieck der Kräfte, die im ufhängepunkt des Kelchs wirken und gib deren Richtungen n. erechne die eträge der Kräfte und die Winkel, die sie miteinnder einschließen. Vektoren 8. ei menbewerben im Sportbogenschießen beträgt die größte Zielentfernung 7 m. ür diese Weite muss eine Zugkrft erreicht werden, die der Gewichtskrft eines Körpers mit einer Msse von lb entspricht und in horizontle Richtung wirkt. ie Länge des ogens wird mit t (engl.: le to le chse zu chse bezeichnet und beträgt 7. Vor dem Schuss spnnt die Sportlerin die Sehne des ogens so, dss der Pfeil uf der uflge in der Mitte des ogens liegt und sich der Schft des Pfeils in der Mitte der gespnnten Sehne befindet. er Pfeil schließt mit der gespnnten Sehne uf beiden Seiten jeweils einen Winkel α = 8, ein. ertige eine Skizze der wirkenden Kräfte n, die den Schzusmmenhng beschreibt. Ermittle die Richtungen und die eträge der Kräfte, die in der Sehne wirken. Hinweis: lb (pound, kg, (Zoll, inch =, cm 8. Vor dem Prdise ech uf einer Urlubsinsel befindet 8 sich ein Leuchtturm L. Ein Motorboot, mit dem Touristen 6 zu verschiedenen Stränden der Insel gebrcht werden, steuert mit einer Eigengeschwindigkeit von v = 6 km h erst L N den Leuchtturm und nschließend die nlegestelle m 8 Prdise ech n (siehe bbildung, ngben in m. 6 Gib n, um welchen Winkel α ds oot m Leuchtturm gewendet werden muss, um zur nlegestelle zu gelngen us südlicher Richtung herrscht eine Meeresströmung mit der Geschwindigkeit v S = m s. Gib n, in welche Richtung der ootsführer den Kurs ändern muss, um vom Punkt zum Leuchtturm L zu gelngen. erechne den etrg der Geschwindigkeit, mit dem sich ds Motorboot nun bewegt. ie Eigengeschwindigkeit des oots muss für den Weg vom Leuchtturm zur nlegestelle um km verringert werden. erechne die Mindestfhrtduer von der h momentnen Position des oots zur nlegestelle uf ruhiger See. 8. Ein Schlitten wird n einem Seil mit einer konstnten Krft entlng einer Strecke s gezogen. s Seil schließt mit dem wgrechten Untergrund einen Winkel φ ein. Gib den Richtungsvektor der Krft n und berechne den etrg der beim Ziehen verrichteten rbeit W. s =,8 km; = = N; φ = 7 b s =, km; = = N; φ = rgumentiere, wie sich die rbeit verändert, wenn der Winkel φ immer kleiner wird. Erkläre, wrum bei einem Winkel von φ = 9 keine rbeit verrichtet wird. 8. Ein Körper wird uf einer Strecke s mit der Steigung k mit einer Krft in Richtung r gezogen. erechne die dbei verrichtete rbeit ( =. s = 6 m; k = %; = 6 N; r = ( b s = 8 m; k = %; = 87 N; r = ( 9 s s lgebr und Geometrie

11 8. Vektoren im Rum 8. In der linken unteren Ecke eines Zimmers, ds m lng, m breit und, m hoch ist, sitzen eine Spinne und eine liege. eide bewegen sich gleichzeitig uf kürzestem Weg zur rechten oberen Ecke uf der gegenüberliegenden Wnd, wobei die Spinne nur entlng der Rumknten krbbeln knn. Skizziere jeweils einen möglichen Weg für die liege und die Spinne. erechne diese Weglängen. Vektoren im Rum werden mithilfe von drei Koordinten beschrieben und in einem dreidimensionlen Koordintensstem vernschulicht. Sie werden ls dreidimensionle Vektoren bezeichnet: = ( z bzw. = (,, z ( Z: = bzw. (,, ie sisvektoren e, e und e sind prweise orthogonl. e = ( ( (, e, e z e e e 6 ei dreidimensionlen Koordintensstemen unterscheidet mn zwei älle: Rechtssstem (Rechtskoordintensstem, rechtshändiges Koordintensstem Es gilt die Rechte-Hnd-Regel. Linkssstem (Linkskoordintensstem, linkshändiges Koordintensstem Linkssstem Rechtssstem lle ormeln, die in nd und nd für zweidimensionle Vektoren ngegeben wurden, gelten sinngemäß uch für dreidimensionle Vektoren. Einige dieser ormeln und Rechenregeln sind hier ngeführt. er etrg eines dreidimensionlen Vektors entspricht der Länge der Rumdigonlen eines Quders mit den Seitenlängen, und z. Vektor von nch : = ( b b b z ( z ( etrg: = z = + + z Einheitsvektor: = ( Nullvektor: o = ddition und Subtrktion: ± b = ( z ( ± b b b z ( = ± b ± b z ± b z Sklre Multipliktion: b = b cos(φ = ( Multipliktion mit einem Sklr: s = s ( z = ( s s s z mit s R z ( b b b z = b + b + z b z lgebr und Geometrie

12 8.6 uf einer Wnderkrte ist die Tlsttion T und die ergsttion Norden einer Seilbhn eingezeichnet. ie ergsttion liegt 97 m höher ls die Tlsttion. ist 6 m in einem Winkel α = in östlicher 6 m Richtung von T entfernt. ertige eine räumliche Skizze n. Lege dzu die Tlsttion in den T Koordintenursprung und die -chse in Richtung Norden. Gib den Vektor b von der Tlsttion zur ergsttion n und berechne dessen Länge. z Norden T = 6 m b = 6 m sin(α = 8,... 8 m b = 6 m cos(α = 7,... 7 m b z b b z = 97 m b = ( 8 7 T b b Osten 97 Osten b = b + b + b z = = 8, , =,... b m 8.7 uf einem lkon soll ein Sonnensegel montiert werden. ür die Plnung wurde eine Skizze mit folgenden Koordinten erstellt (Mße in Meter: P( ; Q(, ; R(,8, Ermittle den Winkel φ = QPR des Sonnensegels. ie von P nch Q führende Strebe soll um, m bis zum Punkt S verlängert werden. Ermittle dessen Koordinten. = PQ (, ; b = PR (,8, b cos(φ = b =, +,8 +,, + + =,6... +,8 +, φ = rccos(,6... = 86, er Winkel φ beträgt rund 86. S Q P z R OS OQ +,... Einheitsvektor von PQ = = 7, (, ( =,98...,7... (,9,7 OS (, ( +,,9,7 (,6, er Punkt S ht die Koordinten S(,6,. lgebr und Geometrie

13 8.8 Welche ussgen sind whr, welche flsch? egründe deine ntworten. E H E GH EH EG 6 G 8.9 er Eckpunkt eines Würfels mit der Kntenlänge s = cm liegt im Ursprung eines krtesischen Koordintensstems. lle Koordinten hben nicht negtive Werte. Ermittle die Koordinten der fehlenden Eckpunkte, der Mittelpunkte der Seitenflächen und des Mittelpunkts des Würfels. E H G 8. Gib den Vektor n und ermittle seine Länge. Vervielfche den Vektor um den ktor k. Gib jenen Vektor n, der dieselbe Richtung wie ht, ber s Einheiten lng ist. (8 6, (6 ; k =,; s = c (, ( 8 ; k = ; s = b (7, (9 9 ; k =,6; s = _ d (7 9 6, (6 ; k = ; s = _ 8. erechne den Winkel zwischen den Vektoren und b. = ( ( b = 7, b = ( 7 ( c = 8 6, b = ( 7, b = ( 8. erechne die fehlende Koordinte, sodss die beiden Vektoren orthogonl sind. = ( 6 9, b = ( b ( b = z, b = ( 8 ( c = 9, b = ( b 8. Erkläre, welchen Winkel Vektoren der orm ( mit dem sisvektor e = ( einschließen. 8. Gib die folgenden Vektoren ls Linerkombintion der Vektoren H, HM und HG n. M J MI E H J G I 8. Mit einem omputerprogrmm soll ein Turm konstruiert z werden, der us Würfeln mit einer Kntenlänge von jeweils, Einheiten bestehen soll (siehe bbildung. Um den Turm zu modellieren, wird jeweils ein Würfel so generiert, dss der Eckpunkt seiner Grundfläche im Ursprung eines dreidimensionlen Koordintensstems liegt. nschließend wird dieser Würfel mithilfe eines Vektors n die gewünschte Position verschoben. Gib jenen Vektor n, mit dessen Hilfe der Eckpunkt von Würfel in den Eckpunkt von Würfel verschoben werden knn. estimme die Koordinten des Mittelpunkts M des Würfels und gib den Verschiebungsvektor zu M in Würfel 6 n. Im Mittelpunkt der obersten egrenzungsfläche des Turms soll eine senkrechte ntenne errichtet werden, die eine Länge von Einheiten ht. Von deren Spitze S us sollen vier Seile gespnnt werden, die jeweils zu den äußeren Eckpunkten von Würfel 9 und Würfel führen. estimme deren Richtungsvektoren und berechne die Gesmtlänge ller Seile. lgebr und Geometrie M

14 lgebr und Geometrie Vektoren 8.6 Zeige, dss die Vektoren b, c und d norml uf stehen. Welche olgerung ergibt sich drus? = ( ; b = ( ( ; c = 7 ; d = ( 8.7 erechne die fehlenden Koordinten des Prllelogrmms. (, (, (, b ( 7, (,, ( In einem Großrumbüro werden zwischen den rbeitsplätzen Trennwände in orm von rechtwinkligen reiecken eingesetzt. ie Hpotenuse eines reiecks ist durch den Vektor OP festgelegt, der rechte Winkel liegt im Eckpunkt P, der die Projektion von P uf die -Ebene ist (Längen in Meter. Gib den Vektor OP n und berechne dessen Länge. erechne den lächeninhlt der Trennwnd mithilfe der Vektorrechnung. 8.9 erechne die beiden Schnittwinkel zwischen den igonlen des Vierecks. (7, (7 6, (7 8 9, ( 6 b (9, ( 8, ( 9, ( 8.6 erechne den Umfng, den lächeninhlt und den Schwerpunkt des reiecks. (, ( 9, (8 b ( 7, (8 9, ( Über dem Eingng des Louvre wurde eine qudrtische Glsprmide errichtet. Legt mn die -Ebene in die Grundfläche und den Ursprung O in den Mittelpunkt M, S so ht die linke vordere Ecke die Koordinten (7,7 7,7 (ngben in Meter. M ie Höhe der Prmide beträgt,7 m. Gib die Koordinten der Punkte,, und S n. Ermittle mithilfe von Vektoren die Oberfläche der Prmide. Ermittle mithilfe von Vektoren den Winkel zwischen einer Seitenfläche und der Grundfläche. 8.6 er Vektor schließt mit der gegebenen chse den Winkel φ ein. erechne die fehlende Koordinte uf zwei ezimlstellen genu. = ( (, φ = 6, -chse b = 6 (, φ =, -chse c = 8 7, φ = 7, z-chse 8.6 Ein ücherregl soll n einer Wnd montiert werden. ie Koordinten der Punkte in der bgebildeten Skizze sind in Zentimeter ngegeben: ( 8, ( 8, ( 8, E( Gib die Koordinten der Punkte und G n. Ermittle die Länge der Strecke E und den Winkel, den diese mit der Wnd einschließt. Ermittle die Koordinten des Punkts so, dss die Strecke norml uf E steht. 8.6 ür den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der igonlen eines Vierecks gilt: M = _ ( Zeige die Gültigkeit nhnd des Vierecks ( 9, ( 7, ( 8, (. eweise die ussge llgemein. O z E z,,6 O z G P P,8

15 8.6 Vektorprodukt (Vektorielles Produkt, Kreuzprodukt 8.6 Ws erfordert weniger Krft zum Zu- bzw. Herusdrehen einer Schrubenmutter, den Schrubenschlüssel so wie in der bbildung oder näher bei der Mutter zu hlten? Überlege, in welche Richtung sich die Mutter jeweils bewegt, wenn der Schrubenschlüssel im bzw. gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird. In bschnitt 8. wurde ds Sklrprodukt verwendet, um unter nderem die n einem Körper, der entlng einer Strecke bewegt wird, verrichtete rbeit zu ermitteln. Zur Untersuchung der uswirkungen von rehbewegungen benötigt mn einen weiteren egriff us der Vektorrechnung. Ein Moment ist ds Mß für die Wirkung einer Krft. us dem nturwissenschftlichen Unterricht ist ds rehmoment M beknnt. Übt mn zum eispiel mithilfe eines Korkenziehers Krft uf einen Korken us, so bewegt sich ds Gewinde entweder in den Korken hinein oder us dem Korken herus, je nchdem, in welche Richtung der Korkenzieher gedreht wird. iese Wirkung, lso ds rehmoment, ist dher eine gerichtete Größe. s rehmoment knn nhnd der ewegung einer Kreisscheibe vernschulicht werden: r r s M r s M ie Scheibe dreht sich nicht, ie Scheibe beginnt sich zu ie Scheibe dreht sich es ist keine Wirkung drehen, die Wirkung M ist nun schneller, M ist vorhnden. erkennbr und messbr. größer., r und M sind gerichtete Größen. er Vektor M steht sowohl uf den Vektor ls uch uf den Vektor r norml. Sein etrg M M hängt von und von s = r sin(φ b. ür ds rehmoment gilt: r M r sin(φ n, n... Einheitsvektor, norml uf r und n M (vergleiche Rechte-Hnd-Regel llgemein gilt für zwei Vektoren und b : er Vektor c, der sowohl uf ls uch uf b norml steht, wird Vektorprodukt, Kreuzprodukt oder vektorielles Produkt der Vektoren und b gennnt. Mn schreibt: c = b [sprich: kreuz b ] b ür den etrg bzw. für die Länge von c gilt: c = b sin(φ b b Vergleicht mn diese ormel mit der trigonometrischen lächenformel = b sin(φ (vgl. bschnitt 6., so sieht mn, dss der etrg des Vektors c der Mßzhl des lächeninhlts des von den Vektoren und b ufgespnnten Prllelogrmms entspricht. Unter Verwendung dieser Schreibweise für ds Vektorprodukt ergibt sich für ds rehmoment: M Krftrm Krft = r { 6 lgebr und Geometrie

16 Vektorprodukt (vektorielles Produkt, Kreuzprodukt s Vektorprodukt von zwei Vektoren und b ergibt einen Vektor c = b, für den gilt: c = b sin(φ... Mßzhl des lächeninhlts des von und b ufgespnnten Prllelogrmms c steht uf und uf b norml;, b und c = b bilden ein Rechtssstem. s Vektorprodukt knn uch in Koordintenschreibweise ngegeben werden. erechnung des Vektorprodukts in Koordintenschreibweise b = ( z ( b b b z ( = z b z z b b b z b b Um sich diese ormel leichter zu merken, gibt es verschiedene Merkhilfen, zum eispiel: Komponentenweise Multipliktion: erechnung mithilfe von Unterdeterminnten: ( z ( b b b z In der eterminnte + b z z b z für die erechnung + = + b der -Komponente b fehlen die ( -Komponenten, usw. z ( b b b z b = ( z b z ( z b b b b b z b z b b 8.66 erechne ds Vektorprodukt c der Vektoren = ( und b = (. Zeige, dss der Vektor c uf die Vektoren und b norml steht. c = b = ( ( ( ( c = ( 7 9 ( 9 ( ( ( = = 7 ( = 7 + ( + 9 ( = 9 = c b = ( 7 9 ( = 7 ( + ( + 9 = + 9 = s Sklrprodukt ht den Wert null, die Vektoren stehen norml ufeinnder. Eigenschften des Vektorprodukts: Vertuscht mn beim ilden des Vektorprodukts c = b die Reihenfolge der Vektoren, so wird mit b ein Linkssstem gebildet. Mn erhält den Gegenvektor von c. s Vektorprodukt ist lso nicht kommuttiv, es gilt jedoch: b = b ( = b = ( ( b = ( ( 6 ( = 6 Es gilt ds istributivgesetz: (b + c = b + c = o lgebr und Geometrie b b b 7

17 lächen- und Volumenberechnungen mithilfe des Vektorprodukts Gemäß der efinition für ds Vektorprodukt gilt b = b sin(φ, wobei φ der Winkel zwischen und b ist und < φ < 8 gilt. ieser etrg entspricht der Mßzhl des lächeninhlts eines von und b ufgespnnten Prllelogrmms: P = b Somit gilt für den lächeninhlt eines von und b ufgespnnten reiecks: = _ b lächeninhlt eines von und b ufgespnnten Prllelogrmms: P = b lächeninhlt eines von und b ufgespnnten reiecks: = _ b 8.67 erechne den lächeninhlt des von = ( = _ b = ( z b z z b b b z b b = _ ( ( 8 und b = ( 8 = _ ( ufgespnnten reiecks. ( 8 ( ( 8 ( ( = _ ( 6 = (6 + ( + ( = 69 = _ 69 =,96... er lächeninhlt beträgt rund,9 E. ( 6 Unter einem Prllelepiped uch Spt gennnt versteht mn einen Körper, der von sechs prweise kongruenten, in prllelen Ebenen liegenden Prllelogrmmen begrenzt wird. s ltgriechische Wort epipedon bedeutet so viel wie läche. ie ezeichnung Spt für ein Prllelepiped bezieht sich uf ds Minerl Klkspt, ds in der bgebildeten orm uskristllisiert. ieser Körper wird durch drei Vektoren im Rum ufgespnnt, sein Volumen entspricht dem etrg des Sptprodukts (, b, c = ( b c = (b c = (c b. ieser Wert ist positiv, wenn es sich bei den drei Vektoren um ein Rechtssstem hndelt, sonst ist er negtiv. Liegen die drei Vektoren in einer Ebene, so ist ds Sptprodukt gleich null. Volumen eines Prllelepipeds Volumen eines Tetreders V = ( b c = (b c = (c b V = _ 6 ( b c h c b b c 8.68 erechne ds Volumen des von = (, b = ( 9 6 V = ( b c = (( ( ( = 7 6 ( s Volumen beträgt 9 E. 6 ( 7 6 ( und c = 7 = 8 + = 9 ufgespnnten Körpers. 8 lgebr und Geometrie

18 Technologieeinstz: Vektorprodukt TI-Nspire 8.69 ür eine Skulptur wird eine Mrmorsäule ngefertigt (vergleiche bbildung. ie Koordinten der Eckpunkte (, (, ( 8 und E( 9 sind gegeben (Mße in cm. Ermittle den lächeninhlt der Grundfläche der Säule. erechne den Winkel, den die Knte mit der Knte E einschließt. E z ie ichte des verwendeten Mrmors beträgt ρ =,9 g. erechne die Msse der Säule in kg. cm ie Vektoren werden gespeichert: =, b = und c = E T E ie Säule ht eine Grundfläche von 8 cm. er Winkel zwischen den Knten und E beträgt rund 86,8. ie Säule ht eine Msse von rund kg. ie Grundfläche ist ein Prllelogrmm, dessen lächeninhlt f = b beträgt. ür die erechnung des Vektorprodukts steht der efehl crossp( zur Verfügung, der eingetippt oder über ds Menü 7: Mtri und Vektor, : Vektor, : Kreuzprodukt ufgerufen werden knn. en etrg des Vektors b erhält mn mithilfe des efehls norm( im Menü 7: Mtri und Vektoren, 7: Normen, : Norm. s Sklrprodukt wird mithilfe des efehls dotp( ermittelt, ds Winkelmß Grd muss eingestellt sein. ρ =,9 g =,9 kg cm cm ie Säule ht die orm eines Prllelepipeds. echte bei der Eingbe der ormel, dss ( b c ein Sklr ist. er etrg einer Zhl knn nicht mithilfe von norm( ermittelt werden, sondern wird mit dem efehl bs( us dem Menü : Zhl, 9: Komple, : etrg ermittelt. lgebr und Geometrie 9

19 Vektoren 8.7 Ermittle ds Vektorprodukt. erechne den etrg des Vektorprodukts. (, ( 9, ( 8 c (6, (, ( b (, ( 7, ( d ( 6, (9, ( 8.7 Gib die Länge und die Richtung des Vektors b n, wenn der Vektor in Richtung der negtiven -chse und b in Richtung der positiven -chse verläuft. 8.7 Vernschuliche durch eine Skizze und beweise rechnerisch: Liegen die Vektoren und b in der -Ebene, so verläuft b prllel zur z-chse. 8.7 Ändert sich ds Vorzeichen von b, wenn die Vorzeichen ller Komponenten von b und b geändert werden? egründe deine ntworten. 8.7 Vergleiche die Ergebnisse ( b c und (b c für = (, b = ( 8 8 (, c = und beschreibe, ws dir uffällt. 8.7 erechne den lächeninhlt des Prllelogrmms, des reiecks, ds von den Vektoren und b ufgespnnt wird. = (, b = ( 7 6 ( b = 9, b = (, b = ( 9 c = ( erechne ds Volumen des Prllelepipeds, ds von den Vektoren, b und c ufgespnnt wird. = ( 6, b = ( 8 (, c = ( b = 9 8 (, c = 7 9, b = ( 8.77 erechne ds Volumen des Tetreders, der von den Vektoren, b und c ufgespnnt wird. = ( 7 9, b = ( 6 (, c = ( b = 7, b = ( 8 (, c = Ein Quder EGH ht die Kntenlängen, b und h. Gib die Koordinten seiner Eckpunkte n, wenn im Koordintenursprung liegt und kein Eckpunkt negtive Koordinten ht. okumentiere nchweislich, wie mithilfe der Vektorrechnung die Volumenformel V = b h hergeleitet werden knn Spezielle Eiswürfel hben die orm von Prllelepipeden. ie prllelogrmmförmige sisfläche wird durch die Vektoren = ( und b = (, ufgespnnt (Mße in cm. Ein Eiswürfel ist, cm hoch, die eckfläche ist im Vergleich zur Grundfläche um, cm in -Richtung verschoben. Lege den Eckpunkt der sis des Eiswürfels in den Ursprung eines Koordintensstems. lle siseckpunkte hben positive Koordinten. Ermittle lle weiteren Eckpunkte des Prllelepipeds. Eine Gussform mit der Msse m G = g fsst solcher Eiswürfel. erechne die Gesmtmsse der gefüllten Gussform in kg (ichte von Eis: ρ =,98 kg dm. lgebr und Geometrie

20 8.7 nwendungen der Vektorrechnung im R Vektoren ür ds Rechnen mit Kräften gelten im R die gleichen Regeln wie im R. Zusätzlich wird uch ds Vektorprodukt bei einigen phsiklischen Größen verwendet: Greift eine Krft in einem bstnd r von einem rehpunkt n, so erzeugt sie ein rehmoment M (vgl. bschnitt 8.6: M r er Impuls p ist ds Produkt us der Msse m eines Mssepunkts und der Geschwindigkeit v : p = m v Wirkt ein Impuls uf einen Mssepunkt in einem bstnd r von einem rehpunkt, so entsteht ein rehimpuls: L = r p ewegt sich eine elektrische Ldung q mit der Geschwindigkeit v durch ein Mgnetfeld mit der mgnetischen eldstärke, so wird sie durch die Lorentzkrft L bgelenkt (Hendrik Lorentz, niederländischer Phsiker, Es gilt: L = q (v L z r Mgnetfeld L m p Stromrichtung v 8.8 Im Rum greifen die beiden Kräfte = ( und = ( selben Punkt n. Ermittle den Vektor und den etrg der resultierenden Krft und berechne den Winkel, den sie mit der -Ebene einschließt (ngben in N. R = + = ( ( + ( = R = R = R + R + Rz = 7,8... N 8 N. Möglichkeit: Winkel zwischen zwei Vektoren cos(φ = R Rp ( ( = 7, = 8 676,... =,... R Rp φ = 9, Möglichkeit: Winkel im rechtwinkligen reieck sin(φ = Rz φ = rcsin R ( Rz R = rcsin ( 7,8... φ = 9, lgebr und Geometrie im 8.8 Im Rum greifen zwei Kräfte und im selben Punkt n. erechne die resultierende Krft R und den Winkel, den R mit der -Ebene einschließt (ngbe in N. = (, = ( 9 b = (,,, = (, c = ( 9 78, = ( Eine Krft schließt mit der z-ebene den Winkel ε und mit der -Ebene den Winkel φ ein. Zerlege die Krft in ihre -, - und z-komponente. = 79 N, ε =, φ = b = 7 N, ε = 8, φ = 8.8 Zerlege die gegebene Krft in die vorgegebenen Richtungen (Kräfte in N. = ( (, = 8 (, =, b = (, b = ( (, c = b = ( 7 z R Rp Rp = ( Projektion von R uf die -Ebene, c = (

21 8.8 Ein Wsserkessel mit einem Gewicht von N soll n einem regelmäßigen reibein ufgehängt werden. ie Grundfläche des reibeins ist ein gleichseitiges reieck mit einer Seitenlänge s = m, die Höhe beträgt h = m. ertige eine Skizze n und beschreibe die Zusmmenhänge. erechne die Kräfte, die in den einen wirken müssen. z die eine gleich lng sind, hängt der Kessel über dem Schwerpunkt des gleichseitigen reiecks. er G Schwerpunkt liegt in diesem ll im P rittelpunkt der Höhe h. b s s c s reibein wird in ein P O h Koordinten sstem gelegt, wobei der Schwerpunkt im Ursprung liegt. h = s_ = _ m P ( s_ h = P ( _ _ P ( _ _, P (, = SP =, ( b = (,,, c = ( G = o G = + + ( ( = r,, + s,, ( ( + t r = s = t = = (, = (, = ( s P estimmen der Koordinten der Eckpunkte die Krftvektoren prllel zu den Vektoren der Stäbe sind, hben sie die gleiche Richtung wie die Stäbe. ie Kräfte müssen im Gleichgewicht sein. ie Linerkombintion us den Kräften führt uf ein Gleichungssstem, ds mit Technologie gelöst werden knn. = = =,9... N N die Vektoren gleich lng sind, sind uch die Kräfte gleich groß. 8.8 Eine Lst mit der Gewichtskrft G wird n drei Stützen ufgehängt (siehe bbildung, Mße in Meter. erechne die Richtungen und die eträge der Stützkräfte. G = N b G =,8 kn z z s G s s s G s s O O lgebr und Geometrie

22 8.86 Zum otogrfieren von Nturmotiven wird eine Kmer mit einer Msse von 9 g im Punkt P( 6 stbil uf einem dreibeinigen Sttiv befestigt. ufgrund von Unebenheiten im Gelände sind die eine unterschiedlich lng. ie erührpunkte der Sttivbeine mit dem Untergrund hben die Koordinten ( 6, ( und ( (Mße in cm. ertige eine Skizze der Kräfte n, die wirken, um die Kmer zu trgen. Ermittle die Richtungsvektoren und die Längen der Sttivbeine s, s und s. erechne die Kräfte, die in den Sttivbeinen wirken. nwendungen des Vektorprodukts 8.87 eschreibe den Unterschied zwischen den rehmomenten M = r und M = r Trge die Richtung des fehlenden Vektors M, r oder und die rehrichtung ein. Verwende die Rechte-Hnd-Regel. r r M r M M 8.89 n einem Mssepunkt im Punkt P( 7 wirkt eine Krft. erechne ds rehmoment bezüglich des Koordintenursprungs (Längen in m, Kräfte in N. = (,, 9 b = (7,, ei strkem Wind wirkt uf die mpel eine Krft = ( 8 N. erechne ds im ußpunkt der Stnge wirkende rehmoment. z 8.9 n einen Körper, dessen Mssenmittelpunkt im Ursprung liegt, greift im Punkt P(r r r z eine Krft in Richtung der -chse n. Von welchen Koordinten von P hängt ds dbei wirkende rehmoment b? 8.9 uf vielen Spielplätzen gibt es Krusselle, die durch Muskelkrft in rehbewegung versetzt werden können. er Mittelpunkt der rehscheibe eines solchen Krussells befindet sich im Punkt (. Ein Erwchsener übt m Rnd des Krussells im Punkt P(,6,8 gegen den Uhrzeigersinn einen Krftstoß us. durch dreht sich ds Krussell mit der Tngentilgeschwindigkeit v =, m s. ie Gesmtmsse des Krussells und der Kinder beträgt m = kg (Längen in Meter. Ermittle den Vektor des Krussellrdius r = P sowie die Richtung der Tngentilgeschwindigkeit. Gib den Impulsvektor p sowie die Richtung und den etrg des rehimpulses L bezüglich des Punkts n. 8.9 ei einem Eperiment bewegen sich Protonen (q =,6 9 mit v =, 8 m s in einem Teilchenbeschleuniger in -Richtung. Es wirkt ein Mgnetfeld mit der Mgnet feldstärke =, T (Tesl bwechselnd in positive und negtive z-richtung. Ermittle die Richtung und den etrg der Lorentzkrft in beiden ällen. rgumentiere, ob es sich uf die Ergebnisse uswirkt, wenn mit L = (q v bzw. v (q gerechnet wird. Überprüfe deine rgumenttion rechnerisch. L m m lgebr und Geometrie

23 8.8 Gerden in der Ebene 8.8. Prmeterdrstellung 8.9 Zeichne die Gerde = + in ein Koordintensstem ein. eschreibe, wie mn einen Vektor in Richtung der Gerden ermitteln knn. X Eine Gerde knn in der Ebene mithilfe eines festen Punkts und eines P Vektors, dem so gennnten Richtungsvektor, beschrieben werden. g Mn erreicht jeden beliebigen Punkt X( einer Gerden, wenn OP OX mn zum Ortsvektor OP eines Punkts P( P P ein Vielfches eines Richtungsvektors = ( O ddiert: g: OX OP + t t R... Prmeter der Punkt und der Richtungsvektor beliebig gewählt werden können, gibt es unendlich viele Prmeterdrstellungen für eine Gerde. Mithilfe des Strhlenstzes erkennt mn, dss mn einen Richtungsvektor der Gerden uch mithilfe der Steigung k der Gerden drstellen knn: ( ( = k Gerde g: ( ( = ( + t = ( ; Setzt mn für den Prmeter t die Werte bzw, ein, so erhält mn die Punkte und. t = : ( = ( + ( = ( + ( = ( 8 ( 8 t =,: ( = ( + (, ( = ( + (, = (, (, ür die Steigung k der Gerden wird ein zu ( prlleler Richtungsvektor der orm ( k ( ermittelt: ( k = g P -,. k = - 6 k Prmeterdrstellung einer Gerden in der Ebene g: OX OP + t bzw. ( ( = P P ( + t mit t R kurz: g: X = P + t rstellung eines Richtungsvektors einer Gerden mithilfe der Steigung k: = ( k 8.9 er Punkt ( liegt uf der Gerden g: ( = ( + t (. Ermittle die fehlende Koordinte. eschreibe deinen Lösungsweg. ( = ( + t ( ( ( = ( + t Liegt der Punkt uf der Gerden g, so muss der Prmeter t sowohl für die - ls uch für die -Koordinte den gleichen Wert = + t t = nnehmen. ie erste Gleichung liefert t = ; = + t dieser Wert wird in die zweite Gleichung = + = ( eingesetzt. lgebr und Geometrie

24 8.96 Ermittle eine Prmeterdrstellung der Gerden g, die durch die Punkte ( 7 und (6 verläuft. eschreibe deinen Lösungsweg. ( 6 7 ( = 9 ( er Vektor ist ein Richtungsvektor der Gerden g, dher ist uch der zu prllele g: OX ( 7 ( + t Vektor ein Richtungsvektor von g. ls Punkt der Gerden knn oder gewählt werden. Lgebeziehungen zwischen Gerden in der Ebene Zwei Gerden in der Ebene können prllel oder ident sein oder einen Schnittpunkt hben. Zur erechnung des Schnittpunkts werden die Prmeterdrstellungen komponentenweise gleichgesetzt. ie nzhl der Lösungen des entstehenden Gleichungssstems hängt von der gegenseitigen Lge b. Eistiert ein Schnittpunkt, so ist ds Gleichungssstem eindeutig lösbr. g: OX ( ( + r ; h: OX = ( + s ( g h: I: + r = s II: + r = + s r =, s = OS ( + ( = ( bzw. OS = ( + ( ( = er Schnittpunkt ht die Koordinten S(. h g S P g - - P h Sind die Gerden prllel bzw. ident, so ht ds Gleichungssstem keine bzw. unendlich viele Lösungen. g: OX ( ( + r 8 ; h: OX = ( + s ( ; k: OX ( 7 g h: g k: + s ( I: + r = s } + I: + r = s } + II: 8r = + s II: 8r = 7 + s 9 = 7 9 = 9 s Gleichungssstem ht s Gleichungssstem ht keine Lösung, die Gerden unendlich viele Lösungen, sind zueinnder prllel. die Gerden sind ident. In beiden ällen sind die Richtungsvektoren zueinnder prllel: ( 8 ( - P g 6 P h P k h g 8.97 erechne die Koordinten der Punkte der Gerden g mit den Prmetern t und t. g: OX ( t ( ; t =, t = b g: OX ( + t ( 8 ; t =, t = _ 8.98 Gib die Gleichung der Gerden g, uf der die beiden Punkte liegen, in Prmeterform n. g: (6, ( b g: M(9, N( 6 c g: R(, S( 9 lgebr und Geometrie

25 8.99 Gib die Gleichung der bgebildeten Gerden in Prmeterdrstellung n, verwende dbei den Punkt und den Vektor. Erkläre ds Prinzip der Prmeterdrstellung nhnd der bgebildeten Punkte P, P und P. Gib für jeden dieser Punkte den Prmeter t n. P P P - - O 8. Welche der folgenden ussgen sind whr, welche flsch? egründe deine ntworten. Gerden mit gleichen Richtungsvektoren sind ident. Hben zwei Gerden verschiedene Richtungsvektoren, so hben sie einen Schnittpunkt. Zwei Gerden sind prllel, wenn ihre Richtungsvektoren prllel sind. 8. Gib die Gleichungen der Gerden in Prmeterdrstellung n und berechne den Schnittpunkt. g : (6 7, (, g : ( 6, (6 b g : (, 9, (9, 7, g : ( 7, ( 8. ür ein Geocching im Schulhof wird der bgebildete Pln entworfen (Mße in Meter. Es gilt: (, (,,... Ecken des Schulhofs (8 6,... um (,... Trinkbrunnen ie ose mit dem Logbuch befindet sich im Schnittpunkt der Strecke mit der Streckensmmetrle von. Gib die Gleichung der Gerden durch sowie die Gleichung der Streckensmmetrle von jeweils in Prmeterdrstellung n. Ermittle die Koordinten des Punkts E, n dem sich ds Logbuch befindet. 8. Lis und Slvi gehen in einer nhegelegenen ebenen Prknlge lufen. lle Wege sind gerdlinig. Lis läuft vom Südtor S(99 direkt zum Nordtor N( 79. Slvi beginnt ihren Luf m Westtor W( 7. Ihr direkter Weg zum Osttor ht die Richtung w (8 (ngben in Meter. Stelle jeweils eine Prmeterdrstellung der Trägergerden der Lufwege von Lis und Slvi uf. erechne, n welchem Punkt und in welchem Winkel sich die beiden Wege kreuzen. Lis bewegt sich mit einer mittleren Geschwindigkeit von 9 km, Slvi legt im Mittel h pro Minute eine Strecke von m zurück. Gib n, ob die beiden reundinnen einnder n der Wegkreuzung treffen, wenn sie gleichzeitig strten. eschreibe deine Vorgehensweise. Slvi benötigt rund Minuten, um vom Westtor zum Osttor zu gelngen. Ermittle die Koordinten des Osttors. Runde uf gnze Meter. Trinkbrunnen E um 6 lgebr und Geometrie

26 8.8. Prmeterfreie rstellung 8. Stelle die Gerde g: OX ( 8 + t ( Vektoren grfisch dr. Ermittle den nstieg der Gerden und den Schnittpunkt mit der -chse us der Zeichnung. Erkläre den Zusmmenhng zwischen dem Richtungsvektor und dem Steigungsdreieck einer Gerden. Eine in Prmeterdrstellung ngegebene Gerde knn prmeterfrei drgestellt werden, indem mn den Prmeter eliminiert. ie Gerde g: OX ( soll in der orm = k + d ngegeben werden. + t ( I: = + t ie Gleichung wird in - und -Koordinten zerlegt. II: = + t I*: = + 6t nschließend wird so multipliziert und zusmmen- II*: = 6 6t gefsst, dss der Prmeter t eliminiert wird. = =,, Probe : Richtungsvektor ( k (, = ( esonders einfch lässt sich eine prmeterfreie rstellung mithilfe X der Normlvektorform ngeben. er Vektor n ist ein Normlvektor n des Richtungsvektors v, P ist ein fier Punkt der Gerden. g v P Es gilt: n (OX OP = n OX n OP us der Normlvektorform knn mithilfe des Sklrprodukts die Gerde unmittelbr in der orm + b = c ngegeben werden. ie Koeffizienten der Gerden entsprechen dbei den Komponenten des Normlvektors, z: ( ( = = Normlvektorform und prmeterfreie orm einer Gerden in der Ebene g: n OX n OP g: + b = c mit n = ( b Technologieeinstz: Gerden in der Ebene GeoGebr Eine Gerde knn in Prmeterdrstellung oder in Normlvektorform drgestellt werden. ei der Prmeterdrstellung definiert mn einen Punkt, z =(-, sowie einen Richtungsvektor, z =(,. nschließend gibt mn die Gleichung g:x=+t* ein. In der lgebr-nsicht wird für den festen Punkt der Gerden der Schnittpunkt der Gerden mit der -chse ngezeigt. Zur rstellung einer Gerden h in Normlvektorform gibt mn die Gleichung ein, z: h:+= Je nch ufgbenstellung knn mn nun mit den Gerden weiter verfhren. lgebr und Geometrie T E 7

27 8. Gib die Normlvektorform und die prmeterfreie orm der Gerden g: ( = ( + t ( 7 n. ( = ( ( 7 + t ( n = 7 ( 7 ( ( = 7 ( g: ( 7 und P( Normlvektor ngeben ( = Normlvektorform g: 7 + = Prmeterfreie orm 8.6 Gib die Gerdengleichung in prmeterfreier orm n. g: OX = ( 9 + t ( 7 b g: OX = ( (6 + r estimme die Normlvektorform der Gerden. g: OX (7 ( + r b g: OX = ( + s ( 7 c g: OX ( 7 ( 8 + s 9 c g: OX ( + t ( okumentiere nchweislich, wie mn die Prmeterdrstellung einer Gerden g: + b = c ermitteln knn. Gib die Gleichung der Gerden in Prmeterdrstellung n. = b = c = 8.9 Ordne den gegebenen Gerden jeweils die idente Gerde zu. OX ( ( + t = 7 OX ( ( + s + = + r ( OX ( = 8. Eine Gerde g ist durch den Punkt ( und den Vektor = ( bestimmt. er Punkt P(, wird n der Gerden gespiegelt. In der bbildung ist eine Möglichkeit drgestellt, wie die Koordinten des gespiegelten Punkts P ermittelt werden können. okumentiere den Rechenweg zur Ermittlung von P. Ermittle die Koordinten des Punkts P rechnerisch. Zeige, dss die Vektoren P und P den gleichen Winkel mit der Gerden g einschließen. 8. Eine Gerde g verläuft durch die Punkte und. Gib die Gleichung von g in Prmeterdrstellung und in Normlvektorform n. Spiegle den Punkt P n der Gerden und gib die Koordinten des gespiegelten Punkts P n. Verwende ufgbe 8.. (, (, P(7 9 b (, (8, P(6 8, 8 lgebr und Geometrie 6 n L P - n 6 R - n P g

28 8.9 Gerden und Ebenen im Rum 8.9. Gerden im Rum Gerden im Rum werden wie Gerden in der Ebene mithilfe einer Prmeterdrstellung ngegeben. es unendlich viele Vektoren gibt, die uf einen Vektor in R norml stehen, gibt es zu jeder Gerden im Rum unendlich viele ndere Gerden, die norml uf diese stehen. Mn knn dher keine Normlvektorform einer Gerden im Rum ngeben. n n v n n Prmeterdrstellung einer Gerden im Rum g: OX OP + t bzw. ( mit t R kurz: g: X = P + t z ( = P P z P ( + t z Lgebeziehungen zwischen Gerden im Rum In der Ebene sind Gerden entweder ident, prllel oder schneidend. Gerden im Rum können ber uch weder ident noch prllel sein, noch einen Schnittpunkt hben. Solche Gerden liegen windschief zueinnder. g g g S Es soll die Lge der Gerden g und h zueinnder untersucht werden. g: ( 9 8 ( + t (, h: ( + t 9 z = ( z = ( die beiden Richtungsvektoren kein Vielfches voneinnder sind, sind sie weder zueinnder prllel noch ident. Zur Untersuchung der Lgebeziehung der beiden Gerden im Rum stellt mn ein lineres Gleichungssstem us drei Gleichungen uf und berechnet s und t: I: + s = + t II: 9 s = t III: 8 s = 9t I*: s t = 6 } s =, t =, II*: s + t = 7 III: 8 s =? 9t III: 8 ( 9, III:, ieses Gleichungssstem ist überbestimmt. her ermittelt mn us zwei der drei Gleichungen eine mögliche Lösung und überprüft nhnd der verbleibenden Gleichung, ob die Werte von s und t uch die dritte Gleichung erfüllen. ie berechneten Werte für s und t erfüllen diese Gleichung nicht. s bedeutet, dss die Gerden keinen Schnittpunkt hben und dher windschief zueinnder liegen. Würden die berechneten Werte uch Gleichung III erfüllen, hätten die Gerden einen Schnittpunkt. essen Koordinten würde mn durch Einsetzen von s bzw. t in eine der beiden Gerdengleichungen erhlten. 8. Gib die Gleichung der -chse, -chse, z-chse in Prmeterdrstellung n. 8. Gib die Gleichung der Gerden durch die Punkte und in Prmeterdrstellung n. g: (7, (7 9 b g: (, ( 8 c g: (9, ( er Punkt P liegt uf der Gerden durch und. Ermittle die fehlenden Koordinten. g: (7 6, ( ; P( z b g: (,, (6, 7; P(, z lgebr und Geometrie 9

29 8. Ermittle, welche Lgebeziehung die Gerden g und h zueinnder hben. g: ( z ( = 8 ( + s 9 (, h: z ( = 7 ( + t 7 9 ( 9 ( ie beiden Gerden sind nicht prllel. 7 9 I: + s = t ufstellen des Gleichungssstems für g h. II: 9s = + 7t III: 8 s = 7 + 9t I*: s + t = } s =, t = II*: 9s 7t = III: 8 = ( = w.. s in g: ( s s z s = ( 8 + ( 9 = ( 7 7 t in h: ( s s z s ( = 7 ( 7 9 ( = ie Gerden g und h schneiden einnder im Punkt S( 7. Ermitteln der Prmeter s und t us den Gleichungen I und II. Einsetzen von s und t in Gleichung III. s und t erfüllen Gleichung III, es eistiert der Schnittpunkt der Gerden g und h. Einsetzen von s in g oder t in h führt uf den Schnittpunkt S. 8.6 Ermittle, welche Lgebeziehung die Gerden g und g zueinnder hben. g : (9, ( ; g : (, ( b g : ( 8, ( ; g : ( 9, ( 8.7 Von einer Rumsttion in der Umlufbhn des Plneten Eldreen E( verlässt eine ähre zum Zeitpunkt t = s den Hngr H( und bewegt sich uf gerdlinigem Kurs durch den Weltrum. Zum Zeitpunkt t = s durchläuft sie den heckpoint (. Ein Rumschiff des befreundeten Volks der ewchccs befindet sich zum Strtzeitpunkt der ähre in (6 und bewegt sich mit der Geschwindigkeit v =, E_ s gerdlinig in Richtung b = ( ( E km. Stelle die Gerdengleichung uf, die den Kurs der ähre in bhängigkeit von der Zeit t beschreibt und berechne die mittlere Geschwindigkeit der ähre bis. Stelle die Gerdengleichung uf, die den Kurs des Rumschiffs beschreibt. Ermittle, welchen Punkt sie nch einer lugzeit von s erreicht. Zeige, dss die beiden Rumfhrzeuge einnder nicht begegnen. 8.8 ür ein Eperiment zur Untersuchung von Interferenzmustern soll ein Lser positioniert werden. Vom Punkt ( geht ein zweiter Lserstrhl us, der den Strhl von Lser im Punkt S(6 9 schneiden soll. er Strhl us Lser soll die Richtung = ( 7 hben (ngben in cm. Ermittle, von welchem Punkt der z-ebene us Lser strhlen muss. Gib eine ormel n, mit der mn den Schnittwinkel der Strhlen berechnen knn. lgebr und Geometrie