Grundwissen Mathematik JS 10 Geometrie 7. Juli 2012

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1 GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ mathem-technolog u sprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 97 PEGNITZ FERNRUF 094/48 FAX 094/4 Grundwissen Mathematik JS 0 Geometrie 7 Juli 0 Definiere die wichtigesten Strecken und Kreisteile, die im Zusammenhang mit Kreisen auftreten können Eine Sehne ist die Stecke zwischen zwei beliebigen Kreispunkten Eine Sehne, die durch den Kreismittelpunkt geht, heißt Durchmesser Eine Strecke, die den Kreismittelpunkt mit einem Punkt der Kreislinie verbindet, heißt Radius Ein zusammenhängender Teil der Kreislinie heißt Kreisbogen Die Flächenfigur, die vom Kreisbogen und { } der Sehne durch die Endpunkte des Kreisbogens den Radien in den Endpunkten des Kreisbogens { } Segment eingeschlossen wird heißt Sektor (Kreis-)Bogen Sektor Radius Durchmesser Sehne Segment Wie lauten die Grundformeln für (a) den Durchmesser d, den Kreisumfang U und die Bogenlänge b (Spezialfälle), (b) die Kreisfläche A und die Sektorfläche A S (Spezialfälle)? eines Kreises (a) d = r U = rπ b = α 80 rπ Spezialfälle: Halbkreis: b = rπ Viertelkreis: b = rπ (b) A = r π A S = α 0 r π Spezialfälle: Halbkreis: A = r π Viertelkreis: A = 4 r π Drittelkreis: b = rπ Sechstelkreis: b = rπ Drittelkreis: A = r π Sechstelkreis: A = r π (a) Wie lauten die Formeln für das Volumen V und die Oberfläche S einer Kugel? (b) Wie verändert sich die Oberfläche einer Kugel, wenn man ihren Radius um den Faktor, m verändert? (c) Wie verändert sich das Volumen einer Kugel, wenn man ihren Radius um den Faktor, m verändert? (d) Wie verändern sich die Oberfläche bzw das Volumen eines beliebigen Körpers, wenn man ihn um den Maßstab m R streckt? (a) V = 4 r π S = 4r π (b) Die Oberfläche wächst quadratisch mit dem Radius, dh wird der Radius verdoppelt, verdreifacht, ver-m-facht, verändert sich die Oberfläche um den Faktor 4,9,m (c) Das Volumen wächst kubisch mit dem Radius, dh wird der Radius verdoppelt, verdreifacht, ver-m-facht, verändert das Volumen um den Faktor 8,7,m (d) Genau so wie eine Kugel (e) r E 70km, U E 40000km (e) Welchen mittleren Radius und welchen Äquatorial-Umfang besitzt die Erde?

2 4 Wie werden die sin- und die cos-funktion für beliebige Winkel definiert? Welches Vorzeichen haben sin und cos in den verschiedenen Quadranten? Nenne die wichtigsten Zusammenhänge zwischen sin und cos Man zeichnet um den Ursprung eines Koordinatensystem einen Einheitskreis Für jeden Punkt P( y) auf dem Einheitskreis ist die -Koordinate gleich cosϕ und die y-koordinate gleich sin ϕ Dabei ist ϕ gleich dem Drehwinkel <)(pos -Achse [OP]) sinϕ ϕ cosϕ P( y) sin cos (sinα) +(cosα) = (a) Wie lang ist die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge a? (b) Wie lang ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a? (c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Gradmaß α und dem Bogenmaß ϕ eines Winkels? (d) Wie groß sind sin, cos und tan und das Bogenmaß ϕ von 0, 0, 4, 0 und 90? (a) a (b) a (c) α 80 = ϕ π (d) α π π π π ϕ 0 4 sin 0 cos 0 tan 0 (a) Wie lautet der Sinussatz (für beliebige Dreiecke)? (b) Wie lautet der Kosinussatz (für beliebige Dreiecke)? (c) Warum kann der Kosinussatz als Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras betrachtet werden? In einem Dreieck mit den Standardbezeichnungen gilt: (a) sinα a = sinβ b = sinγ c (b) a = b +c bccosα b = a +c accosβ c = a +b abcosγ (c) Für γ = 90 ist cosγ = 0 und damit c = a +b

3 Algebra 7 Welche Eigenschaften besitzen die sin- und die cos-funktion? cos π sin sin-funktion cos-funktion Nullstellen: kπ (k Z) Nullstellen: π +kπ (k Z) sin( ) = sin() cos( ) = cos() (punktsym zum Ursprung) (achsensym zur y-achse) sin() = cos( π ) cos() = sin(+ π ) Periode π Wertemenge [ ; ] 8 Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Graphen der Funktionen mit den Gleichungen (a) y = sin und y = asin? (b) y = sin und y = sin+d? (a) y = asin ist gegenüber y = sin um den Faktor a entlang der y-achse gedehnt Falls a < 0 ist, kommt noch eine Spiegelung an der -Achse hinzu sin π sin sin (b) y = sin+d ist gegenüber y = sin um den Betrag von d in y-richtung verschoben Falls d < 0 ist nach unten, falls d > 0 nach oben π sin+ sin sin 9 Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Graphen der Funktionen mit den Gleichungen (a) y = sin und y = sin(b)? (b) y = sin und y = sin(+c)? (a) y = sin(b) ist gegenüber y = sin um den Faktor b entlang der -Achse gestaucht Falls b < 0 ist, kommt noch eine Spiegelung an der y-achse hinzu sin( ) y sin sin() π (b) y = sin(+c) ist gegenüber y = sin um den Betrag von c in -Richtung verschoben Falls c < 0 ist nach rechts, falls c > 0 nach links sin(+π) sin sin( π ) π

4 0(a) Wie ist die allgemeine Eponentialfunktion definiert? (b) Welche Eigenschaften besitzt die allgemeine Eponentialfunktion? (a) Die Funktion mit der Gleichung y = a (a R + \ {}) heißt Eponentialfunktion zur Basis a (b) y ( D = R, W = R+ ( ) ( 4 4 ) ) Jeder Graph geht durch (0 ) a > 0 ( R) Nullstellen: keine Spiegel man den Graph derfunktion a an dery-achse, erhält man den Graph von ( a) Die -Achse ist horizontale Asymptote des Graphen jeder Eponentialfunktion (a) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es, wenn die Größe y mit der Größe linear bzw eponentiell wächst? (b) Wie kann man im linearen und im eponentiellen Fall an der Funktionsgleichung erkennen, ob es sich um ein Wachsen oder ein Fallen handelt? (a) lineares Wachstum eponentielles Wachstum Nimmt um Einheit zu, so wächst y stets den festen Summanden a festen Faktor a 0 0 y b b+a b+a b+a y b ba ba ba Das Wachstum wird beschrieben mit der Gleichung y = b+a y = b a dabei istbgleich dem Bestand zum Zeitpunkt = 0 Der Graph ist eine Gerade mit der Steigung a Eponentialkurve mit der Basis a (b) Beim linearen Wachstum ist die Steigung a positiv bei der linearen Abnahme negativ Beim eponentiellen Wachstum ist der Wachstumsfaktor (=Basis) a größer, beim Zerfall liegt er zwischen 0 und Welche Sachaufgaben lassen sich mit Eponentialfunktionen beschreiben? Welche Bedeutung haben die Parameter? Beispiel! Prozentuale Wachstums- und Zerfallsvorgänge, also auch Zinseszins-Rechnungen Beispiel: Eine Population K wächst/schrumpft pro Jahr um p% Wie groß ist sie nach n Jahren? Für die Population K(n) nach n Jahren gilt dann ( K(n) = K ± p ) n 00 ZB wächst die Weltbevölkerung von, Mrd Menschen derzeit um,% In 0 Jahren würden dann K(0) =,,0 0,8 Mrd Menschen auf der Erde leben

5 (a) Was ist log b k? (b) Welche Rechenregeln gelten für das Rechnen mit Logarithmen? (a) Für b R + \ {} und k R + ist log b k die Lösung der Gleichung b = k (b) Für alle a,b R + \{}, k,,y > 0 und r R ist log b = 0 log b (y) = log b ()+log b (y) log b ( y ) = log b () log b (y) log b ( r ) = r log b () log b b r = r b log b r = r b r = k r = log b k 4(a) In welchem mathematischen Zusammenhang istderbegriff Halbwertszeit vonbedeutung? (b) Wie berechnet man die Halbwertszeit eines Prozesses? (c) Was ist falsch an der Aussage: Ein radioaktives Präperat mit einer Halbwertszeit von 0 Tagen weist nach 0 Tagen keine radioaktive Strahlung mehr auf? (a) Bei eponentiellen Zerfallsprozessen K(t) = K 0 a t (a < ) versteht man darunter die Zeitspanne t H, innerhalb welcher sich der Bestand jeweils halbiert (b) t H = log a 0, (c) Die Zerfallskurve ist keine fallende Gerade, sondern wird immerflacher Nach 0 Tagen istnoch die Hälfte der Strahlung vorhanden, die nach 0 Tagen vorhanden war, also ein Viertel der Anfangsstrahlung K 0 /K 0 /4K 0 /8K 0 th th th Erkläre an einfachen Beispielen, wie man Eponential- und Logarithmusgleichungen auflöst Musterbeispiele: + = lg lg(+) = + = Rechenbefehl log +=log auflösen nach = log Logarithmus vereinfachen = log = log 4 Zur Sicherheit abschließend die Probe machen lg lg(+)= log zusammenfassen lg + = Rechenbefehl a + =0 vereinfachen 0, 0,=0 vereinfachen =0, < = 0,4 > Auf jeden Fall die Probe machen L = {0,}

6 (a) Wie lautet die allgemeine Geradengleichung einer Gerade g Wie bezeichnet man die Parameter? (b) Welche Aussagen kann man über den Verlauf des Graphen einer linearen Funktion machen, wenn man nur die Funktionsgleichung kennt (c) Welche Geraden des Koordinatensystems lassen sich nicht durch die allgemeine Geradengleichung darstellen? Wie lauten ihre Zuordnungsgleichungen? (a) y = m + t; m heißt Steigungsfaktor, t heißt y- Achsensabschnitt (b) Je größer m, desto steiler verläuft g m > 0 : g steigt nach rechts an m < 0 : g fällt nach rechts ab m = 0 : g verläuft parallel zur -Achse g schneidet die y-achse im Punkt T(0 t) t = m = m = m = m = (c) Die Parallelen zur y-achse haben keine Funktionsgleichung weil zu jedem -Wert viele y-werte gehören Ihre Zuordnungsgleichung lautet zb = oder = 7(a) Wie kann man zu einer vorgegebenen Geradengleichung den dazugehörigen Funktionsgraphen finden? Gib zwei Möglichkeiten an (b) Wie kann man die Zuordnungsgleichung einer Gerade aus ihrem Graphen bestimmen? Beispiel: y = + (a) Mit Hilfe einer Miniwertetabelle sucht man zwei Punkte des Funktionsgraphen, die nicht zu eng aneinander liegen y 4 y-achsenabschnitt markieren (+) und ein nicht zu kleines Steigungsdreieck m = y anhängen Steigungsdreiecke im Beispiel: m = y = = 4 = (cm oder KäE) (b) Wenn die Gerade parallel zur y-achse verläuft, hat sie die Gleichung = Nullstelle, wenn nicht, so liest man am y-achsenabschnitt t ab und berechnet mittels Steigungsdreieck m = y y = = 4 = 8 Was sind Potenzfunktion? Welche Eigenschaften besitzen sie? Beschreibe die Graphen f() = n (n N) mitd = R heißt n-ten Potenzfunktion, der dazughörige Graph G f heißt Parabel n-ter Ordnung n gerade n ungerade W = R + 0 W = R G f parabelartig, liegt im G f sesselartig, liegt im I und II Quadranten I und III Quadranten G f ist y-achsensymm G f pkt-symm zu (0 0) (± ), (0 0) G f (± ±), (0 0) G f Je größer n, desto kanntiger der Graph

7 9 Was ist eine quadratische Funktion? Wie bestimmt man ihre Achsenabschnitte, ihren Scheitelpunkt, ihre Normal-, ihre Scheitelpunktsform, ihre vollständige Faktorisierung? Beispiel y = a +b+c,a 0 heißt (Normalform einer) quadratische(n) Funktion y-achsenabschnitt: c -Achsenabschnitte (= Nullstellen ) mit Mitternachtsformel (in einfachen Fällen durch ausklammern oder direkt auflösen) Faktorisierung: y = a( )( ) (falls Nullstellen vorhanden) Scheitelpunkt: s = b in F-Gleichung einsetzen = a y s = S( s y s) Scheitelpunktsform: y = a( s) +y s Die Normalform erhält man i Allg durch ausmultiplizieren 0 Beschreibe allgemein, wie man aus dem Graphen einer quadratischen Funktion möglichst schnell den dazugehörigen F-Term bestimmen kann und umgekehrt Beispiele Graph Gleichung: Zuerst den Scheitelpunkt S( s y s) ablesen Dann vom Scheitelpunkt ausgehend um eine Einheit nach rechts wandern, und die vorzeichenbehaftete Strecke in y-richtung bis zum nächsten Punkt auf dem Graphen ablesen Dieser Wert ist gleich a Damit hat man die Scheitelpunktsform y = a( s) +y s Gleichung Graph: Scheitelpunkt bestimmen, vom Scheitelpunkt ausgehend die markanten Punkte (± a), (± 4a), (± 9a) eintragen Ggf auch Achsenpunkte und andere bekannte Punkte eintragen ( ) + ( + ) + Beschreibe, an einem Beispiel, wie eine Polynomdivision durchgeführt wird und wie die Probeaufgabe dazu heißt ( ) : ( ) = Probe: ( ++) ( )+0 = = +4 D

8 Beschreibe wie man (a) Polynome faktorisiert und (b) Polynomengleichungen löst Beispiele (a) In folgender Reihenfolge versuchen zu faktorieren: ausklammern auf binomische Formel untersuchen Mitternachtsformel Substitution Polynomdivision Beispiel: + = ( 4 +) { 4 Subst u = u u+ = 0 u = Somit ist u u+ = (u+)(u 4) = = ( +)( 4) = ( +)( )(+) und damit ist + = ( +)( )(+) (b) PN-Gleichungen werden gelöst, indem man sie auf die Form Polynom= 0 bringt und dann aus der Faktorisierung des Polynoms die Lösungen abliest + = hat also die Lösungsmenge {= 0;± (siehe oben) (a) Was verseht man unter einer ganzrationalen Funktion vom Grad n? Beispiele (b) Wie nennt man ganzrationale Funktionen noch? (c) Welche Spezialfälle von ganzrationalen Funktionen gibt es? (d) Was verseht man unter einer gebrochen rationalen Funktion? Beispiele (a) Für n N heißt eine Funktion der Form f() = a n n +a n n ++a +a +a 0 (a n 0) ganzrationale Funktion ZB sind f() = und f() = 7 + ganzrationale Funktionen, nicht aber f() = oder f() = (b) Ganzrationale Funktionen heißen auch Polynomfunktionen (c) lineare (n = ), quadratische (n = ) und Potenz- Funktionen (a n =, alle anderen a i = 0) (d) Eine gebrochen rationalen Funktion ist der Quotient zweier Polynomfunktionen? Beispiele: f() = 4, f() = 4 Was lässt sich über die Nullstellen einer Polynomfunktion von Grad n sagen? Eine Polynomfunktion f() = a n n +a n n +a n n ++a +a +a 0 hat maimal n Nullstellen, kann genau dann auf die Form ( ) g() gebracht werden, wenn eine Nullstelle von f() ist g() ist dann vom Grad n Man findet g() zb mittels Polynomdivision von f() : ( ) Sie schneidet/berührt die -Achse bei genau dann, wenn eine Nullstelle ungerader/gerader Ordnung ist 4 dreifach einfach doppelt 4 f() = 7 ( ) ( )( +)

9 Was lässt sich über (a) das Grenzwertverhalten und (b) das Symmetrieverhalten einer Polynomfunktion von Grad n sagen? Sei f() = a n n +a n n +a n n ++a +a +a 0 (a) n gerade n ungerade lim f() für a n > 0 für a n < 0 für a n > 0 für a n < 0 lim f() für a n > 0 für a n < 0 für a n > 0 für a n < 0 (b) Falls f() nur ungerade -Potenzen aufweist und a 0 = 0 ist, ist ihr Graph punktsysmmetrisch zum Ursprung, falls f() nur gerade -Potenzen aufweist, ist ihr Graph y- achsensymmetrisch Wie kann man sich schnell einen Überblick über den wesentlichen Verlauf des Graphen einer Polynomfunktion machen? Man faktorisiert die Polynomfunktion vollständig und liest an dem faktorisierten Term die Nullstellen samt Vielfachheit ab Man bestimmt weiter markante Punkte der Funktion (zb den y-achsenabschnitt) und untersucht das Grenzwertverhalten Man trägt alle bekannten Punkte ins Kosy ein Bei Nullstellen ungerader Ordnung hat f() einen Vorzeichenwechsel, bei gerader Ordnung nicht Beispiel: siehe Frage 7(a) Was versteht man unter dem Grenzwert einer Funktion? Wie schreibt man das? (b) Gib die Grenzwerte einiger typischer Funktionen an (c) Wann heißt eine Funktion (bestimmt) divergent? (a) Unterscheiden sich die Funktionswerte einer Funktion f für beliebig große -Werte immer weniger von einer festen Zahl a, dann heißt a der Limes von f für Man schreibt lim f() = a Entsprechendes gilt für lim f() (b) lim = 0 4 lim ± + = 4 Zahl lim ± PN-Fkt = 0 (c) EineFunktion heißtbestimmtdivergentfür (analog ), falls lim f() = ± ist Ist auch das nicht der Fall, heißt sie divergent zb divergiert für bestimmt gegen ;sindivergiertfür ±,aber nicht bestimmt

10 8 Beschreibe allgemein, wie sich der Term einer Funktionen verändert, wenn man den dazugehörigen Graph im Koordinatensystem verschiebt oder verzerrt Beispiele f() -Achse y-achse Verschiebung um a in Richtung f( a) f()+a Streckung um c > 0 in Richtung f ( ) c c f() Spiegelung an der f() f( ) Verschiebung Streckung Spiegelung 4 ( ) ( ) (+) ( ) ( ) ( ) ( )

11 Stochastik 9 Welche Gesetzmäßigkeiten an Wahrscheinlichkeitsbäumen gibt es? Beispiele! Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem zugehörigen Pfad ( Pfadregel) ZB P(gs) = = Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen (vollständigen) Pfade ( Pfadregel) Beispiel: r g s P(r) = + + = r g s 0 r g s r g s r g 0(a) Was versteht man anschaulich unter der bedingten Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung B? Beispiel! (b) Nenne die allgemeine Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit und erkläre ihren Zusammenhang mit einem Baumdiagramm (a) Die bedingte Wahrscheinlichkeit P B (A) gibt die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A an, wenn man schon weiß, dass Ereignis B eingetreten ist Wenn zb gilt: A: richtige im Lotto und B: richtige im Lotto, dann ist P B (A) := 44 (b) P B (A) := P(A B) P(B), (P(B) 0) P(A B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse A und B eintreten P(B) B P B (A) P B ( A ) A P(A B) A P ( A B ) P ( B ) B P B (A) P B ( A ) A P ( A B ) A P ( A B )