Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Herbst 2013

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft an der Fachoberschule im Herbst Fach (A) Prüfungstag. Dezember Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle Arbeitshinweise 9: - : Uhr Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, keine CAS-Rechner, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Das Handbuch muss vorliegen. Sollte Ihr Taschenrechner die Möglichkeit zum numerischen Differenzieren oder Integrieren bieten oder in der Lage sein, Gleichungen oder Gleichungssysteme zu lösen, dürfen Sie bei Ihren Lösungen davon keinen Gebrauch machen. Ihre Lösungswege sind so zu gestalten und zu dokumentieren, wie sie ohne diese Hilfsmittel durchgeführt werden. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der satz besteht aus vier verschiedenen Einzelaufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte und Gesamtnote : Blätter Aufgabe Nr.: Soll Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) 5 5 Summe: Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Datum, Unterschrift: Punkte Note: Punkte Note: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 Fachoberschule Herbst Funktionsuntersuchung / Die Flugbahn eines neuen Testflugzeugs, das nur mit einem Piloten bemanntt ist, lässt sich durch den Graphen der Funktion f mit f ( x) = x + x 75 beschreiben. Das Testflugzeug startet im Koordinatenursprung und fliegt in diee Richtung, die durch die x-achse angegeben wird. Die gesamte Flugbahn befindet sich im I. Quadranten. Hinweise: LE km x: Entfernung vom Startpunkt f ( x ) : Flughöhe. Nach km überfliegtt das Testflugzeug einen, km hohen h Turm. Berechnen Sie den vertikalen Abstand zur Turmspitze inn km.. Genau in dem Moment, in dem das Flugzeug den höchsten Punkt der Flugbahn erreicht, versagt das Triebwerk und das Flugzeug stürzt entlang der d vorgegebenen Flugbahn ab. Ermitteln Sie, in welcher horizontalen Entfernung (in km) zum Startort der höchste Punkt der Flugbahn erreicht wird. Berechnen Sie die maximale Flughöhe in km. [zur Kontrolle: f ( x) = x + 75 x ]. Berechnen Sie, wie weit (in km) vom Startortt entfernt das Testflugzeug aufschlägt.. Kurz nachdem der Pilot den Ausfall des Triebwerks bemerkt, steigt er in, 5 km Höhe aus und schwebt bei völliger Windstille senkrecht mit dem Fallschirm zur Erde zurück. Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Näherungsverfahrens, wiee weit vom Startort entfernt der Pilot landet. Führen Sie zwei Iterationsschritte durch und runden Sie Ihr Ergebnis entsprechend der gefundenen Genauigkeit. Hinweis: Verwenden Sie als Startwert für die Iteration x = 9. / / / /8.5 Ermitteln Sie den Punkt, in dem der Anstiegswinkel der Flugbahn am größten ist. i Bestimmen Sie den Anstiegswinkel der Flugbahn in diesem Punkt. /.6 Zeichnen Sie die Flugbahn für x [ ;] in das Koordinatensystemm auf der nächsten Seite. /5 Koordinatensystem für Aufgabe.6 nächste Seite Abschlussprüfun ng Fachoberschule Herbst () Seite von 5

3 Fachoberschule Herbst Koordinatensystem für Aufgabe.6 Abschlussprüfun ng Fachoberschule Herbst () Seite von 5

4 Fachoberschule Herbst Rekonstruktion /5 Der Graph einer ganzrationalen Funktion f vierten Grades besitzt bei W( y ) W einen Wendepunkt. Die Steigung der zugehörigen Wendetangen nte beträgt dort m = 8. Die Funktion hat eine Nullstellee bei x = und der zugehörige Graph den Tiefpunkt T ( 7). N Bestimmen Sie die Funktionsgleichung derr Funktion f. Hinweis: Wennn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie ersatzweise das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. f ( x) = ax + + ax + ax + ax+ a ; x IR = a 6 = a = a + a + a + a + a 7 = 8 a + a + a + a + a = 8 a + a + a + a Abschlussprüfun ng Fachoberschule Herbst () Seite von 5

5 Fachoberschule Herbst Extremwertaufgabe /5 Einem Dreieck ABC mit der unteren Seite c = cm und der Höhe h = cmc soll ein größtmögliches Rechteck DEFG einbeschrieben werden. Die untere Rechteckseit te liegt auf c und die Eckpunkte F und G jeund b weils auf den Dreiecksseiten a (siehe Abbildung). b G C x h F y a Hinweis: Die Zeichnung entspricht nicht genau den in der stellung angegebenen Maßen.. A D c E B. Bestimmen Sie die Zielfunktion A, mit der der Flächeninhalt des Rechtecks berechnet werden kann. /6 [zur Kontrolle: A( y ) = y y ( ) y [ ] ;,h ]. Berechnen Sie die Seitenlängen des Rechtecks, für die ess den größtmöglichen Flächen- inhalt annimmt.. Berechnen Sie den Flächeninhalt für dieses Rechteck. /8 / Abschlussprüfun ng Fachoberschule Herbst () Seite von 5

6 Fachoberschule Herbst Integralrechnung / Gegeben ist die Funktion f mit: f ( x) = x 9 x x + 6; x IR. +. Bestimmen Sie rechnerisch die Nullstellen der Funktion [zur Kontrolle: x ; ; x =, 5 ; N N x N = ] f. /6. Berechnen Sie den Flächeninhalt A der vom Graphen von f und der x-achse vollständig eingeschlossenen Fläche. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma. K. Berechnen Sie das Integral 7. Gegeben sei außerdem die Funktion g mit g( x) = x + x + x + ; x x IR. Die Graphen der Funktionen f und g schließen auf demm Intervall I =,5;,5 eine Fläche B vollständig ein. Zeigen Sie, dass die Differenzfunktion h mit h ( x) = f ( x) g( x) keine weiteren Nullstellen in dem Intervall I besitzt. [zur Kontrolle: hx ( ) = x Berechnen Sie den Inhalt der Fläche B. f ( x ) dx. Erklären Sie das Ergebnis. E 5 x + 9 ] [ ] /8 / / Abschlussprüfun ng Fachoberschule Herbst () Seite 5 von 5

7 Teilaufgabe Fachoberschule Herbst, () Erwartungshorizont Erwartete Teilleistung. f ( ) =, 5. Das Flugzeug hat über dem Turm eine Flughöhe von,5 km. Die Flughöhe über der Turmspitze beträgt demnach, km. BE in AB I II III. Es gilt: f ( x E ) = und f ( x E ). f ( x) = x + x 75 6 f ( x) = x + x 75 = x + x 75 = x x+ 75 x = ; x = E, E E, x = ist der Startort, daher nicht sinnvoll. f (),5 < ; Hochpunkt f ( ),5 Die maximale Flughöhe wird km vom Startort entfernt erreicht, sie beträgt etwa,5 km.. Nullstellen: f ( x N ) = = x + x 75 = x x+ 75 x = ; x =,, Das Flugzeug schlägt km vom Startort entfernt auf.. Zu lösen ist die Gleichung f ( x) =, 5 bzw. = x + x,5 mit einem Näherungsverfahren. 75 f ( xn) Newton: xn+ = xn f ( x ) Startwert z. B. x = 9 x 9,69988 x 9,89979 n Eine Stelle nach dem Komma stimmt überein, der Pilot steigt etwa 9, km vom Startort entfernt aus. 8 5 Erwartungshorizont A Fachoberschule Herbst Seite von 5

8 Fachoberschule Herbst, () Erwartungshorizont Teilaufgabe Erwartete Teilleistung.5 Am steilsten ist die Flugbahn im Wendepunkt. Für Wendepunkte gilt: f ( x ) = und f ( x ) W 6 f ( x) = x + x f ( x) = x + 75 W BE in AB I II III.6 6 = x + x 75 6 = x x+ 75 x = ; x = 6 W W 6 6 f () = > ; f (6) = < xw = ist der Startpunkt, am steilsten steigt das Flugzeug demnach bei x W = 6. f ( 6),9 P 6,9. Der Punkt des steilsten Anstiegs ist der Wendepunkt ( ) Anstieg bei x W = 6 : f ( 6), 86, arctan(,86),5. 6 km nach dem Start steigt das Flugzeug am steilsten, der Bahnneigungswinkel beträgt dort,5. W 5 Summe 9 7 mögliche BE Erwartungshorizont A Fachoberschule Herbst Seite von 5

9 Fachoberschule Herbst, () Erwartungshorizont Teilaufgabe Ansatz: f ( x) = a x + a x + a x + a x+ a f ( x) = ax + ax + ax+ a f ( x) = a x + 6a x+ a Erwartete Teilleistung Bedingungsgefüge:. f () = (Wendepunkt W( y W ) ). f () = 8 (Steigung der Wendetangente). f () = (Nullstelle x = ). f () = 7 (Tiefpunkt T( 7) ) 5. f () = (Steigung der Tangente im Tiefpunkt) Gleichungssystem: BE in AB I II III 5 I. = a II. 8 = a III. = a + a + a + a + a IV. 7 = 6a + 8a + a + a + a V. = a + a + a + a Lösen des Gleichungssystems (ebenso Ersatz-LGS) Daraus ergibt sich (auch Ersatz-LGS): a = ; a = ; a = ; a = 8; a = 9 Für die Funktionsgleichung gilt: f ( x) = x x 8x+ 9 Summe mögliche BE 5 6 Erwartungshorizont A Fachoberschule Herbst Seite von 5

10 Fachoberschule Herbst, () Erwartungshorizont Teilaufgabe. Bestimmung der Zielfunktion: Erwartete Teilleistung BE in AB I II III A = x y ; Hauptbedingung Die Dreiecke ABC und GFC sind ähnlich. c x = ch ( y) = hx h ( h y) ch ( y) x = ; Nebenbedingung h ch ( yy ) Ay ( ) = ; c= ; h= h ( = y y ) = y,5y. Bestimmung von x und y: A ( y) = 5y A ( y) = 5 A ( y) = 5y= y= A () = 5 < ; Maximum ch ( yy ) x = = 5 h x= 5cm; y= cm Der Inhalt des Rechtecks ist maximal für x = 5cmund y = cm.. A = 5 = Der Flächeninhalt beträgt cm. Summe 9 5 mögliche BE Erwartungshorizont A Fachoberschule Herbst Seite von 5

11 Fachoberschule Herbst, () Erwartungshorizont Teilaufgabe. Nullstellen: f ( ) =... x N Erwartete Teilleistung Erste Nullstelle durch Probieren: f ( ) = xn = Polynomdivision: 9 x x + x+ 6 : ( x+ ) = x x+ 6 x x+ 6 = ; Anwendung der p-q-formel xn =, 5 ; xn =. 6,5 9 A = x x + x+ 6 dx = x x + x + 6x 5, 77 ( ) = 9, 77 9 A = x x + x+ 6 dx = x x x 6x + +,5,5 (5,77) = 9,77 = 9,77 A= A + A 9,77 = 9,5FE 9 x x + x+ 6 dx =, da die beiden Teilflächen entgegengesetzt gleich groß sind, kompensieren sie sich vollständig, die Bilanz ergibt null. f( xs) = g( xs) 9 7 x x + x+ 6= x + x + x + x 5 hx ( ) = x x + 9; hx ( ) = Substitution mit z : = x und p-q-formel liefern z, = ± 9 = ± z = x, =±, 5 ; z = x, =± Keine Nullstellen zwischen, 5 und,5, zu berechnen ist das Integral, B= x x + 9 dx = x x + 9x,5,5 BE in AB I II III 5,5,5 7,99 ( 7,99) = 5,98 FE Summe mögliche BE 8 Erwartungshorizont A Fachoberschule Herbst Seite 5 von 5