Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Herbst 2012

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Fach Name, Vorname Klasse Aschlussprüfung an der Fachoerschule im Herst 0 (A) Prüfungstag 9..0 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Areitshinweise Spezielle Areitshinweise 09:00 - :00 Uhr Mathematische Formelsammlungen (keine selst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, keine CAS-Rechner, frei programmierare Speicher müssen gelöscht sein. Das Handuch muss vorliegen. Sollte Ihr Taschenrechner die Möglichkeit zum numerischen Differenzieren oder Integrieren ieten oder in der Lage sein, Gleichungen oder Gleichungssysteme zu lösen, dürfen Sie ei Ihren Lösungen davon keinen Gerauch machen. Ihre Lösungswege sind so zu gestalten und zu dokumentieren, wie sie ohne diese Hilfsmittel durchgeführt werden. Bleistifte dürfen nur für Skizzen enutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den esonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgae ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu eginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Azug von is zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der Aufgaensatz esteht aus vier verschiedenen Einzelaufgaen, die Sie alle eareiten müssen! Gesamtzahl der agegeenen Lösungslätter (Reinschrift): Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte und Gesamtnote : Blätter Aufgae Nr.: Soll % Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Summe: 00 Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Datum, Unterschrift: Punkte Note: Punkte Note: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 Aschlussprüfung Fachoerschule Herst 0 Aufgaenvorschlag A /40 Die Flugahn eines Basstölpels (s. Bild), der von seinem Nistplatz auf einem 0m hohen Felsplateau üer die Klippe fliegt, um im Wasser nach Fischen zu jagen, kann annähernd durch den Graphen der Funktion f ( x) = x x 0,4x + 0,48 ; x IR eschrieen werden. Daei gilt für die x-achse: LE 0m, die Felskante liegt ei x = 0. Gültig ist die Funktion vom Nistplatz ei x, 4 is x = 4. Foto: H. Nieel/J. Lehnen. Ermitteln Sie rechnerisch, wie weit von der Felskante entfernt der Vogel ins Wasser ein-, und wo er wieder auftaucht. /8. Bestimmen Sie die Höhe, in der der Vogel die Felskante üerfliegt. /. Berechnen Sie, wie tief der Tölpel ins Wasser eintaucht und wie groß seine maximale Flughöhe ezogen auf den Meeresspiegel ist. /0.4 Bestimmen Sie den Punkt, in dem die Flugahn des Vogels während des Sinkfluges am steilsten ist. /5.5 Ein einzelner Fels ragt 0m von der Felskante entfernt 9m hoch aus dem Wasser. Prüfen Sie, o der Vogel den Fels üerfliegen kann, ohne ihn zu erühren. /.6 Berechnen Sie den Winkel α, unter dem der Vogel ins Wasser eintaucht. Hinweis: Achten Sie hierei auf die Skalierung..7 Der Vogel ist direkt aus seinem Nest heraus gestartet. Berechnen Sie den Astand des Nestes von der Felskante mit Hilfe eines geeigneten Näherungsverfahrens (z. B. Newtonsches Näherungsverfahren). Führen Sie zwei Iterationsschritte durch und runden Sie Ihr Ergenis entsprechend der gefundenen Genauigkeit. Aufgaenvorschlag A Aschlussprüfung Fachoerschule Herst 0 /5 /7 Seite von 4

3 /5 Der Graph der ganzrationalen Funktion vierten Grades esitzt ei W (0 0) einen Wendepunkt. Die x-achse ist Wendetangente in diesem Wendepunkt. Ein weiterer Wendepunkt des Graphen der Funktion f ist W ( ). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion. Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie ersatzweise das folgende Gleichungssystem und estimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. f( x) = ax + ax + ax + ax+ a ; x IR = a 0 0 = a 0 = a - = a 4 + a + a + a 0 = 4 a 4 + a + 4 a Aufgaenvorschlag A Aschlussprüfung Fachoerschule Herst 0 Seite von 4

4 /5 Das Volumen eines Fruchtsafts eträgt Liter (000 cm ). Um das Aufschütteln des Saftes zu ermöglichen, liegt das Volumen der Verpackung (Tetra Pack ) 0% üer dem Volumen des Saftes. Die Verpackung wird aus einem Stück eschichteten Karton (Kantenlängen:, h) hergestellt (siehe Aildung). Zur Vereinfachung werden die Falzungen vernachlässigt und nur die Außenflächen etrachtet. h. Berechnen Sie das Volumen V der Fruchtsaftpackung in cm. /. Zeigen Sie, dass O eine Zielfunktion ist, mit der der Oerflächeninhalt des Fruchtsaftkartons erechnet werden kann: ] [ 4400 O ( ) = + ; D O = 0; ( LE cm zw. VE cm ) /6. Ermitteln Sie diejenigen Werte für h und, für die der Materialverrauch ei der Verpackung minimal wird. /6.4 Berechnen Sie den Oerflächeninhalt für diese optimierte Verpackung. / Aufgaenvorschlag A Aschlussprüfung Fachoerschule Herst 0 Seite von 4

5 4 /0 Gegeen sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung: 4 f( x) = x + 8,5x + 4,5 ; x IR und den Nullstellen x = und x = Berechnen Sie das estimmte Integral ( x + 8,5x + 4,5) dx und erläutern Sie, o der gefundene Wert mit dem Inhalt der vom Graphen von f und der x-achse eingeschlossenen Fläche üereinstimmt. Begründen Sie Ihre Aussage. 4. Gegeen sei nun außerdem die Funktion g mit gx ( ) =,75x + 4,75 ; x IR. Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von g mit den Koordinatenachsen sowie dem Graphen von f und zeichnen Sie ihn in das oige Koordinatensystem ein. 4. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen von f und g vollständig eingeschlossen wird. 4.4 Bestimmen Sie den jeweiligen prozentualen Anteil der einzelnen Teilflächen an der von den eiden Graphen eingeschlossenen Gesamtfläche. /4 / /9 /5 Aufgaenvorschlag A Aschlussprüfung Fachoerschule Herst 0 Seite 4 von 4

6 Erwartungshorizont A Teil- Erwartete Teilleistung aufgaen. Nullstellen: f ( x N ) = 0 Die erste Lösung kann der Zeichnung entnommen oder geraten werden: Polynomdivision: ( x x 0,4x + 0,48) : ( x ) = x 0,4 ; x =, ; x =,. Im Wasser liegen nur x und x, wegen der Skalierung LE = 0m taucht der Vogel also ei 0m unter und ei m wieder auf.. f (0) = 0,48 ; ezogen auf den Meeresspiegel also 0,48m; ezogen auf die Felskante 0,48m.. Gesucht sind die Extrema der Bahnkurve. Notw. und hinr. Bed.: f ( xe) = 0 und f ( xe) 0 ; f ( xe ) = x 4x 0,4 = 0 ; daraus ergeen sich die Extremstellen xe, und xe, 65 ; f ( x) = 6x 4 f (,) =,86 < 0 HP f (, 65) =,9 > 0 TP Flughöhe und Tauchtiefe entsprechen den Funktionswerten der Extremstellen: f(,) 8, ; f(, 65), 09 Die maximale Flughöhe eträgt 8,m, die max. Tauchtiefe eträgt,09m..4 Gesucht ist hier der Wendepunkt; notw. und hinr. Bed.: f ( xw) = 0 und f ( xw) 0. f ( xw) = 6x 4= 0 xw = f ( ) = 6 > 0 rechts-links-wechsel f( ),06 P(,06) zw. ei Berücksichtigung der Skalierung: P(6, 67 m, 06 m) 4.5 f() = 9, 4m; der Vogel üerfliegt den Fels..6 m = tanα arctan( m ) = α t t f () = 6, 4 die x-achse ist um Faktor 0 gestaucht, gesucht ist also arctan( 0,64) =,96, der Vogel taucht unter einem Winkel von etwa ins Wasser ein..7 Die Höhe des Nestes entspricht dem Funktionswert f( x ) = 0, zu lösen ist also die Gleichung 0 0 = x x 0, 4x+ 0, 48 zw. 0 x x 0, 4x 0, 48 = + Erwartungshorizont A Aschlussprüfung Fachoerschule Herst 0 Seite von 6

7 Erwartungshorizont A Teilaufgaen Erwartete Teilleistung Newtonsche Näherungsformel: f( xn ) x = n x + n mit f ( x ) x 0 =, 4 (s. Einleitung), f x x x x ( ) = 0, 4 + 0, 48 sowie f x = x x ( ) 4 0,4 n Damit wird x,869 und x,85 ; die ersten drei Nachkommastellen stimmen üerein, entsprechend gerundet ergit sich x,8 ; das Nest ist also etwa,8m von der Felskante entfernt. Summe 5 4 mögliche BE 40 Erwartungshorizont A Aschlussprüfung Fachoerschule Herst 0 Seite von 6

8 Erwartungshorizont A Teil- Erwartete Teilleistung aufgaen Ansatz: 4 f( x) = ax + ax + ax + ax+ a f ( x) = 4ax 4 + ax + ax + a f ( x) = ax + 6ax+ a Bedingungsgefüge:. f (0) = 0 ( a 0 = 0 ). f (0) = 0 (Steigung der Tangente). f (0) = 0 (Wendepunkt ei W (0 0) ) 4. f () = (Wendepunkt ei W ( ) ) 5. f () = 0 (Wendepunkt ei W ( ) ) Gleichungssystem: I. 0 = a 0 II. 0 = a III. 0 = a IV. - = a 4 + a + a + a + a 0 V. 0 = a 4 + 6a + a Lösen des Gleichungssystems (eenso Ersatz-LGS) 5 Daraus ergit sich (auch Ersatz-LGS): a 4 = ; a = ; a = 0; a = 0; a0 = 0 Für die Funktionsgleichung gilt: 4 f( x) = x x Summe mögliche BE 5 Erwartungshorizont A Aschlussprüfung Fachoerschule Herst 0 Seite von 6

9 Erwartungshorizont A Teil- Erwartete Teilleistung aufgaen. Volumen der Fruchtsaftpackung: V = 000cm, = 00cm. Bestimmung der Zielfunktion: O = + 4 h O(, h) = + 4h Hauptedingung V= h V= = h daraus folgt: 00 h = ; Neenedingung daraus folgt: O( ) = + 4 = + ; Zielfunktion. Bestimmung von h und : 4400 O ( ) = O ( ) = O ( E) = 0;4E = 0; E 0 E 4E 4400 = 0 ; E = 00 ; E = 00 0, O ( 00) > 0 ; Minimum O = 00 h = 0, ( 00) 69,6 Der Inhalt der Oerfläche ist minimal für = 0,cm und h = 0,cm..4 O ( 00) = 69,6 Der Oerflächeninhalt eträgt 69,6cm. Summe 9 5 mögliche BE 5 Erwartungshorizont A Aschlussprüfung Fachoerschule Herst 0 Seite 4 von 6

10 Erwartungshorizont A Teil- Erwartete Teilleistung aufgaen ( x + 8,5 x + 4,5) dx = x x ,5 x 8,8 Der Wert des Integrals entspricht dem Flächeninhalt, da die Grenzen des Integrals mit den Nullstellen üereinstimmen (s. Skizze) und auf dem etrachteten Intervall keine Vorzeichenwechsel zu finden sind. 4. Achsenschnittpunkte des Graphen von g: y-achse: g(0) = 4,75 S y (0 4,75) x-achse: f( xn) = 0 =, 75xN + 4, 75 x, =± Sx ( 0) ; Sx( 0) Schnittpunkte der Graphen von f und g: f( x) = gx ( ) S S 4 x + 8,5x + 4,5 =, 75x + 4, = x, 5x + 0, 5 Sustitution liefert x, =± und x,4 =±,5 ; mit f ( ± ) = 0 und f ( ±,5) = 8,565 8,56 ergit sich S,( ± 0) und S,4( ±,5 8,6). Skizze: Erwartungshorizont A Aschlussprüfung Fachoerschule Herst 0 Seite 5 von 6

11 Erwartungshorizont A Teil- Erwartete Teilleistung aufgaen 4. Zu erechnen ist unter Berücksichtigung der Symmetrie: A = ( A + A ) woei ges,5 4 (, 5 0, 5) A = x x + dx 0 5,5 5 x,75x 0, 5x 0 = + = 9, 75 FE und 4 (, 5 0, 5) A = x x + dx,5 A ges 5 5 x,75x 0, 5x,5 = + =,75 =,75FE = (9, 75 +,75) = 0,75 = 60, 75FE 4.4 Die drei Teilflächen haen einen Flächeninhalt von 9, 75 = 8, 475FE zw.,75fe. 60, 75 00%, 8, 475 x% per Dreisatz ergit sich für die mittlere Fläche ein Anteil von 6,%, die Differenz zu 00% eträgt 6,67% ; d.h. für die eiden Außenflächen leien jeweils 8,%. Summe 4 mögliche BE 0 Erwartungshorizont A Aschlussprüfung Fachoerschule Herst 0 Seite 6 von 6