Unterlagen für die Lehrkraft

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1 Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr / Mathematik D. Juni 9: Uhr Unterlagen für die Lehrkraft

2 . ufgabe: Differential- und Integralrechnung Die ganzrationale Funktion f fünften Grades hat die Nullstellen, ± und ±. Ihr Graph heißt G. Der Punkt P( ) ist Teil von G. f f a) Weisen Sie nach, dass mit f(x) = x x + x; x R eine Funktionsgleichung für die Funktion f mit den oben beschriebenen Eigenschaften gegeben ist. b) Ermitteln Sie, ob G f symmetrisch ist und nennen Sie gegebenenfalls die rt der Symmetrie. Begründen Sie Ihre ussage. c) Berechnen Sie die Koordinaten aller Extrem- und Wendepunkte von G f. Weisen Sie die rt der Extrema nach. d) Zeichnen Sie den Graphen G f im Intervall x in ein kartesisches Koordinatensystem. Nutzen Sie dazu alle vorgegebenen und ermittelten Punkte. e) Berechnen Sie die Maßzahl des gesamten Flächeninhalts aller Flächen, die von G f und der x-chse vollständig eingeschlossen werden. f) Die Gerade t sei die Tangente an G f im Koordinatenursprung. Geben Sie für t eine Funktionsgleichung an. ufgabenteil a) b) c) d) e) f) Summe Punkte 6 7 Mathematik D Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 9 Schuljahr /

3 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) Einsetzen zum Nachweis der Nullstellen: f()=f(-)=f()=f(-)=f()= Punktprobe: f()=, d.h. P liegt auf dem Graphen lternativ ist auch die Rekonstruktion über ein Gleichungssystem möglich. b) Symmetrie f( x) = x f( x) = x + x x x f(x) + x = f(x) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. lternative Begründung auch über die Exponenten von x möglich. c) f (x) = x x + ; f (x) = x x; f (x) = 6x Extrempunkte f (x) = = x x + = z z + ; z,7 ; z, xe,6 ; f (,6) 9, < ; f(,6),6 ; H (,6,6) xe,6 ; f (,6) 9, > ; f(,6),6 ; T (,6,6) xe, ; f (,),7 > ; f(,), ; T (,,) x, ; f (,),7 < ; f(,), ; H (,,) E Wendepunkte f (x) = = x = x(x,) x = ; f () = ; x x W W W = =,, ;,, ; x f() = ; f (,) 9, ; f (,) 9, ; W ( ) f(,), ; f(,), ; W (,,) W (,,) 6 lternativ kann die Symmetrieeigenschaft zur bkürzung der Berechnungen genutzt werden. Mathematik D Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 9 Schuljahr /

4 d) Graph G f e) Flächeninhalt = ( = = = 6, + f(x)dx = x 6 f(x)dx ) 6 = x 6 6 x x + x + x,9,,9 =, 6 Der Flächeninhalt der gesamten eingeschlossenen Flächenstücke beträgt 6, FE. f) Tangentengleichung f (x) = x x + ; f () = = m ; f () = = n t (x) = x Summe 7 Mathematik D Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 9 Schuljahr /

5 . ufgabe: Extremwertaufgabe Ein Hersteller produziert zylindrische Töpfe in zwei Modellvarianten (siehe Skizze). Er untersucht den Materialverbrauch. Zur Vereinfachung werden Topfdeckel und Griffe vernachlässigt, so dass die Töpfe als oben offene Kreiszylinder betrachtet werden können. Skizze: I) II) h=6 cm h=9 cm d=8 cm d= cm a) Für welchen der beiden oben dargestellten Töpfe müsste der Hersteller sich entscheiden, wenn er den Materialverbrauch gering halten möchte? Begründen Sie durch Berechnung des Oberflächeninhalts ihre Entscheidung. Berechnen Sie die Volumen der beiden Töpfe und geben Sie diese in Liter an. b) Ermitteln Sie den Materialkostenunterschied zwischen den Töpfen bei einem Materialpreis von, pro dm². Es soll ein Topfmodell III mit einem Volumen von, Liter (entspricht cm³) und minimalem Materialverbrauch produziert werden. c) Leiten Sie eine Funktion (r) zur Beschreibung des Oberflächeninhaltes eines Topfes in bhängigkeit vom Radius r in cm her. Verschnitt und Materialdicke sind dabei zu vernachlässigen. (zur Kontrolle: (r) = πr + ) r d) Berechnen Sie den Radius r und die Höhe h für das Topfmodell III so, dass der Materialverbrauch minimal ist. e) Ermitteln Sie die Materialersparnis von Topf III im Vergleich zum oben beschriebenen Topf II in Prozent. Welcher Kostenvorteil ergibt sich daraus bei der Produktion von Töpfen? ufgabenteil a) b) c) d) e) Summe Punkte 6 Mathematik D Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 9 Schuljahr /

6 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) = G = πr + M + πrh I : = π 9 + π 9 6 9,76cm,9 dm II : = π + π 9 67,cm 6,7 dm < I II Der Hersteller müsste sich für den Topf I entscheiden. V = πr h I : V = π 9 6 6,8 cm³, dm³ II : V = π 9 9,6 cm³,9 dm³ Das Volumen von Topf I beträgt, l, das Volumen von Topf II,9 l. b) I :,,9 7, II :, 6,7 = 8, 8, 7, =,97 Der Preisunterschied zwischen beiden Töpfen beträgt,97. c) ( r) = πr + πrh V h = = πr πr πr ( r) = πr + πr ( r) = πr + r d) ( r) = πr + r ( r) = πr r ; ( r) = π + 6r = πr r = πr r 7,8 V = = πr π 7,8 ( 7,8) 8,8 > Minimum h 7,8 Das Topfmodell III hat einen Radius von 7,8 cm und eine Höhe von 7,8 cm. Mathematik D Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite von 9 Schuljahr /

7 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. e) Topf III = π 7,8 + π 7,8 7,8 7,86cm,76 dm 6,7 % =,76 p% p% 8,% % 8,% =,67% Der Materialverbrauch ist bei der Topfsorte III um,67 % geringer., (6,7,76) = 88 Der Kostenvorteil beträgt bei der Produktion von Töpfen 88,. Summe Mathematik D Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 6 von 9 Schuljahr /

8 . ufgabe: Stochastik uf dem Schulfest eines Oberstufenzentrums soll eine Tombola für die teilnehmenden Personen veranstaltet werden. Die Organisatoren der Tombola haben zur Vorbereitung Schüler befragt, wie viele Lose sie kaufen werden (siehe Tabelle). Die Ergebnisse dieser Stichprobe sollen auf die gesamte Teilnehmerzahl verallgemeinert werden. nzahl der Lose 6 8 nzahl der Personen 6 Relative Häufigkeit a) Geben Sie die relativen Häufigkeiten je gewünschter Losanzahl in der obigen Tabelle an und stellen Sie die Befragungsergebnisse auf geeignete Weise grafisch dar. b) Zeigen Sie, dass x = 6 der Mittelwert der Stichprobe ist und berechnen Sie die Standardabweichung s dieser Stichprobe. c) Ermitteln Sie, wie viele Lose die Tombola insgesamt umfassen sollte, damit 7 % des durchschnittlichen Bedarfs an Losen für alle Teilnehmer abgedeckt werden können. d) Mit der Tombola soll weder ein finanzieller Gewinn noch ein Verlust erzielt werden. Unter den 6 Losen, die zu jeweils, verkauft werden, befinden sich Hauptgewinne zu einem Wert von jeweils, und 6 Kleingewinne. Berechnen Sie, wie viel Geld für die Gesamtmenge der Kleingewinne zur Verfügung steht und wie teuer ein Kleingewinn im Durchschnitt sein kann. e) Die Organisatoren möchten mit ihren Kenntnissen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung prüfen, wie hoch ihre Gewinnchancen wären, wenn nur noch Lose in der Tombola vorhanden sind, darunter noch ein Haupt- und sechs Kleingewinne. Ein Spieler kauft zwei Lose. Bestimmen Sie mit Hilfe eines geeigneten Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: : Der Spieler erhält zwei Kleingewinne. B: Der Spieler gewinnt nur den Hauptgewinn. C: Der Spieler erhält mindestens irgendeinen Gewinn. ufgabenteil a) b) c) d) e) Summe Punkte 8 Mathematik D Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 7 von 9 Schuljahr /

9 Teil Erwartete Teilleistung Pkt. a) nzahl der Lose 6 8 nzahl der Personen 6 Relative Häufigkeit,7, 6 =,,7 =,,7 =,,7 Personenanzahl Losanzahl lternative Lösungen sind möglich. s = 6 s,98 b) x = ( ) = 6 76 [ ( ) + ( 6) + 6( 6) ( 6) ] =, 87 Der Mittelwert beträgt 6 Lose und die Standardabweichung,98 Lose. (für n = 9 gilt s² 6, und s,) lternative Lösung mit TR möglich. c) 6 = 78 7 % von 78 sind 6 Die Tombola sollte 6 Lose umfassen. d) Einnahmen: 6, = 7 Restgeld für Kleingewinne: 7 = Durchschnittlicher Preis: :6 =, Für die Kleingewinne können die Organisatoren insgesamt ausgeben, also pro Kleingewinn im Durchschnitt,. Mathematik D Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 8 von 9 Schuljahr /

10 e) H Hauptgewinn K Kleingewinn N Niete. Los H 6/9 /9. Los K N / /9 H 6/ K /9 K / /9 /9 N H N 6/9 /9 K N 6 P() = =,% 9 P(B) = + =,% P(C) = P(NN) = = 6,9% 9 7 Summe Mathematik D Zentrale Fachhochschulreifeprüfung Seite 9 von 9 Schuljahr /