Ü b u n g s b l a t t 2

Transkript

1 Mathe B für Wirtschaftswissenschaftler Sommersemester 01 Walter Oevel Ü b u n g s b l a t t Wir bieten an, bearbeitete Aufgaben zu korrigieren, falls sie zum unten angegebenen Zeitunkt abgeliefert werden. Mit und Punktangaben gekennzeichnete Aufgaben können dazu verwendet werden, Bonus Punkte zu erwerben. Aufgabe 4*: Summen, Reihen, Grenzwerte Punkte Bestimme die angegebenen Summen bzw. Reihen unter Angabe von Zwischenschritten: a n 1 i, b i3 1 i 7 5 i, c 3 i 4 i. a Bekannt ist i n n + 1/. Hiermit folgt n 1 i i3 n 1 n 1 n i 1 3 b Bekannt ist c Bekannt ist n n 1 3 n n 6 i n+1 1. Hiermit folgt 1 1 i 7 5 i 7 1 i 5 i 7 1 n + n 3. 5 i i 1, falls < 1. Hiermit folgt 1 3 i 4 i 3 i Aufgabe 5: MuPAD Lese die MuPAD Hilfeseite zu sum interaktiv durch?sum aufzurufen. a Bestimme exlizite Formeln für i und i 3. b Bestimme den Grenzwert der Folge s n 1 n n 3 i für n. i4

2 a >> sumi^,..n factorsumi^,..n 3 n n n /6 n n + 1 n >> sumi^3,..n factorsumi^3,..n b 3 4 n n n /4 n n >> limit1/n^3*sumi^, i4..*n, ninfinity; 8/3 Aufgabe 6*: arithmetische Summen 3 Punkte Walter möchte eine Anschaffung vornehmen, für die er 1 00 DM benötigt. Ein Bankkredit würde ihn 7% Jahreszinsen kosten er würde den Kredit nach Ablauf eines Jahres zurückzahlen. Alternativ besitzt er ein leeres Konto, auf dem ihn ein Überziehungskredit 11% Jahreszins kosten. Durch sarsamen Lebenswandel wäre er in der Lage, jeden Monat 100 DM auf das Konto einzuzahlen. Beim Überziehungskredit berechnet die Bank monatlich die fälligen Zinsen, fordert diese aber erst am Ende des Jahres ein. Welche Variante ist günstiger? Seien S die Schulden. Der Bankkredit würde 0.07 S 0 DM 84 DM Zinsen kosten. Beim Überziehungskredit mit dem jährlichen Zinssatz von 0.11 und den Ratenzahlungen R 100 würde ihm die Bank nach einem Jahre für den ersten Monat S 0 1 Zinsen, den zweiten Monat S 0 R 1 Zinsen, den dritten Monat S 0 R 1 Zinsen,... den zwölften Monat S 0 11 R 1 Zinsen fordern. Zu Beginn des 13-ten Monats wäre die Schuld getilgt. Die Zinsforderungen addieren sich auf zu beachte n i n n + 1/: 1 S 0 i 1 R 1 S 0 R 1 1 S 0 R i S 0 R 11 1 S R S 0 R 11 1 i 1

3 Die Überziehungskredit-Variante ist damit günstiger. Aufgabe 7: Katialaufbau durch Renteneinzahlung Bei der Geburt eines Kindes richtet eine Familie ein Konto ein, das jährlich 5.5% Zinsen bringt. Zu jedem Geburtstag wird ein fester Betrag R eingezahlt. Wo groß muss die jährliche Einzahlung R sein, damit das Kind an seinem 18-ten Geburtstag DM zur Verfügung hat? Anleitung: Nach der Einzahlung der n-ten Rate beträgt das Kaital mit Zinseszinsen R q n + R q n R mit q 1 +. Jede Einzahlung vergrößert sich ro Jahr um den Faktor q 1 +. Nach n Jahren mit dem Zinssatz ist die bei Geburt eingezahlte Rate auf R q n gewachsen, die beim ersten Geburtstag eingezahlte Rate auf R q n 1 gewachsen, die beim zweiten Geburtstag eingezahlte Rate auf R q n gewachsen, die beim n 1-ten Geburtstag eingezahlte Rate auf R q gewachsen. Die beim n-ten Geburtstag eingezahlte Rate ist R. Das ergibt zusammen mit der beim n-ten Geburtstag eingezahlten Rate ein Kaital von R q n + R q n R q + R R q n + q n q + 1 R Damit dies DM ergibt, muß als jährliche Rate eingezahlt werden: R qn+1 1 q R q 1 q n q i R qn+1 1 q Aufgabe 8*: Katialabbau durch Rentenauszahlung Punkte Betrachte Beisiel 1.33 der Vorlesung. Ein Kaital K 0 wird mit dem jährlichen Zinssatz von 5% verzinst. Welchen Bruchteil des Startkaitals K 0 kann ich mir als Rente jährlich auszahlen lassen, wenn ich vorhabe, mein Kaital in a 5 Jahren, b 10 Jahren, c 0 Jahren aufzubrauchen? Die Sarkassenformel aus Beisiel 1.33 der Vorlesung für den Kaitalabbau durch Auszahlung einer festen Rente R bei einem Zinssatz besagt, daß das Kaital K n zu Beginn des n-ten Jahres K n K 0 q n R qn 1 q 1 q1+ K n R 1 + n 1

4 beträgt. Nach n Jahren soll das Kaital verbraucht sein, also K n 0 K n R 1 + n 1 R K n 1 + n 1. Mit 0.05 ergibt sich für n 5 bzw. n 10 bzw. n 0 Jahre: n 5 R K 0 n 10 R K 0 n 0 R K K , K , K Man kann also jeweils etwa 3% bzw. 13% bzw. 8% des Startkaitals jährlich als Rente entziehen. Abgabe: Dienstag, , in der Vorlesung. Bearbeitungen bitte heften! Beiliegendes Formblatt vorheften, Name, Vorname, Matrikelnummer, Grue leserlich! angeben.

5 Dieses Formblatt bitte bei der Abgabe von Übungen vorn anheften und ausfüllen! Mathe B für WiWi, Blatt, Abgabe: Vorname: Name: Matrikelnummer: Grue unbedingt ankreuzen!: Di 16 18, D1.38 Koch Grue Do 9 11, P703 Kaminski Grue 7 Do 14 16, H4.113 Koch Grue 4 Do 16 18, H7.31 Ettler Grue 1 Do 16 18, D1.338 Hufnagel Grue 5 Fr 11 13, N4.35 Hufnagel Grue 3 Fr 11 13, P1611 Morschel Grue 6 Fr 11 13, D1.338 Kaminski Grue 8 Fr 11 13, D1.38 Ettler Grue 9 keine Gruenzugehörigkeit