Lineare Algebra - Zusammenfassung

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1 Lineare Algebra - Zusammenfassung Xiaojing George Zhang 15. Februar 2008 Zusammenfassung Eine Zusammenfassung basierend auf dem Skript Lineare Algebra für Ingenieure von Prof. H. Knörer und Lineare Algebra von K. Nipp. Der Verfasser dieses Dokuments garantiert auf keinen Fall für die Richtigkeit nachstehender Formeln und kann nicht zur Rechenschaft gezogen werden. Natürlich hat er nicht willentlich Fehler eingebaut. Es kann sein, dass diese Zusammenfassung länger ist als die erlaubte Anzahl Seiten. Wer die verschiedenen Tafeln und Bilder kopieren will, soll dies ohne Nachfrage machen. 1

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Das Gausssche Eliminationsverfahren Vorgehen Existenz einer Lösung Matrizen Definitionen Inverse Rechenregeln für Matrizen Determinanten Eigenschaften Berechnen von Determinanten Determinante LGS Vektorräume VR Teilraum / Unterraum Linearkombination Erzeugendensystem Basis Norm, Skalarprodukt, Gram-Schmidt Norm Skalarprodukt Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren Vektorprodukt in R Lineare Abbildungen Bild und Kern Dimension und LGS: Basis des Kerns Basis des Bildes Struktur des Lösungsraumes Vektorraumoperationen Koordinaten und darstellende Matrizen Transformation der Koordinatenvektoren bei Basiswechsel Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen Transformation der darstellenden Matrix bei Basiswechsel Orthogonale und Unitäre Abbildungen, QR-Zerlegung Orthogonale und unitäre Abbildungen QR-Zerlegung Eigenwerte, Eigenvektoren und Charakteristisches Polynom Berechnung Eigenschaften Diagonalisierbarkeit von Matrizen Eigenschaften Algorithmus für S

3 1 DAS GAUSSSCHE ELIMINATIONSVERFAHREN 3 1 Das Gausssche Eliminationsverfahren 1.1 Vorgehen Gegeben seien m Gleichungen mit n Unbekannten ˆ äquivalente Umformungen 1. Vertauschen von Zeilen (Gleichungen) 2. Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen 3. Multiplizieren einer Zeile mit einem Faktor λ 0 ˆ Eliminationsschritt: lineares Gleichungssystem (erweiterte Koeffizientenmatrix) in Zeilenstufenform (ZSF, Dreiecksgestalt) bringen ˆ Lösen der Gleichungen durch rückwärtseinsetzen oder ZSF in NZSF bringen und Ergebnis ablesen. ˆ Vergträglichkeitsbedingungen bei in einer Zeile kein Pivot steht 000 b 1 + b 2 + b 3 überprüfen freie Parameter treten auf, wo ˆ Rang r des LGS: Anzahl der Zeilen der Koeffizientenmatrix mit Kopf = max. Anzahl lin. unabh. Zeilen/Spalten ˆ freie Parameter: n r, hat die Zeile a i keinen Kopf, so ist x i ein freier Parameter ˆ normierte Zeilenstufenform: Jeder Kopf der NZSF 1 und über jedem Kopf stehen nur noch 0 Resultat direkt ablesbar 1.2 Existenz einer Lösung ˆ RangA < Rang([A b]): keine Lösung ˆ r = n: LGS hat eine eindeutige Lösung ˆ r = m oder r < m und Verträglichkeitsbedingungen erfüllt: mind. eine Lösung ˆ r < m und Verträglichkeitsbedingungen nicht erfüllt: keine Lösung ˆ ein homogenes LGS hat genau dann nicht triviale Lösungen, wenn r < n ist (n-r) freie Parameter ˆ Ist r < m, so lässt sich das LGS nicht für beliebige Seite lösen (Verträglichkeitsbedingungen) ˆ Ein lin. Gleichungssystem ist genau dann für beliebige rechte Seite lösbar, wenn das dazugehörige homogene System nur die triviale Lösung x i = 0 i besitzt.

4 2 MATRIZEN 4 Gleichungssystem A: m x n A: n x n Ax = c Ax = c Ax = 0 Rang(A) = Rang (A c) = r Rang(A) < Rang(A c) det A 0 det A = 0 det A 0 det A = 0 r = n r < n keine Lsg eindeutige Lsg Rang(A) = Rang(A c) = r < n Rang(A) Rang(A c) triviale Lsg x = 0 (n r) freie Parameter eindeutige Lsg (n r) freie Parameter (n r) freie Parameter keine Lsg 2 Matrizen 2.1 Definitionen Matrix: Eine m n-matrix hat m Zeilen und n Spalten. obere Dreieckmatrix: a ij = 0, i > j untere Dreieckmatrix: a ij = 0, i < j Diagonalmatrix: a ij = 0, i j, = diag(x 11,..., x nn ), wobei diag(a 11,..., a nn ) diag(b 11,..., b nn ) = diag(a 11 b 11,..., a nn b nn ) Einheitsmatrix: I n = E n = diag(1, 1,..., 1) symmetrische Matrix: A T = A oder a ij = a ji antisymmetrisch: A = A T a ij = 0, i = j adjungierte Matrix: A = a ij C n,n A := A T a ij := a ji selbst adjungierte: A = A a ij = a ji unitäre Matrix: a ij C A A = I n A = A 1 orthogonale Matrix: A T A = AA T = I n A T = A 1. Eine orthogonale n n-matrix bildet ein Bild längentreu ab. AB ist orthogonal, wenn A, B orthogonal sind, da (AB) T AB = I n Multiplikation: A(m n) B(q p) nur definiert für n=q! AB = n k=1 (A) ik(b) kj Spur: Summe aller Diagonalelemente, wobei spur(ab) = spur(ba)

5 3 DETERMINANTEN Inverse AX = XA = I n, A 1 := X X heisst Inverse der Matrix A. In 1 = I n Satz: Ist A invertierbar, so ist A x = b für jedes b lösbar und A x = 0 hat nur die triviale Lösung 0. Eine invertierbare Matrix heisst regulär, sonst singulär. Die Inverse kann mit dem Gauss (A I n ) (I m A 1 ) bestimmt werden oder mit der folgenden Formel: T A 1,1... A 1,n A 1 = 1 deta..... mit A i,k := ( 1) i+k S ik (A) (was niemand tut) A n,1... A ( n,n ) ( ) a b Bsp: 2 2-Matrix gilt: A = A c d 1 = 1 d b det(a) c a 2.3 Rechenregeln für Matrizen Die Assoziativität, Kommutativität und Distributivität gelten, wobei AB BA und AI n = A! (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T (AB) 1 = B 1 A 1 (A 1 ) T = (A T ) 1 3 Determinanten Jeder quadratischen Matrix kann ein reeller Wert zugewiesen werden, die Determinante det. Die Determinante einer n n-matrix ist das Volumen des von den Spaltenvektoren R aufgespannten Parallelepipedes. Das Vorzeichen ist die Orientierung der Spaltenvektoren relativ zu den Standardbasen. 3.1 Eigenschaften 1. Vertauschen von 2 Zeilen ändert das Vorzeichen der Determinante 2. Wird ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen gezählt, so bleibt die Determinante gleich. 3. Wird eine Zeile/Spalte mit λ multipliziert, so vervielfacht sich die Determinante um λ 4. Sind die Zeilen/Spalten linear abhängig oder besteht eine Zeile/Spalte nur aus Nullen, so ist det = Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Diagonalelemente, deti n = 1 6. Determinante orthogonaler Matrizen gleich ± 1: det(aa T ) = (deta) 2 = 1 7. Ist deta 0 Spalten/Zeilen sind lin. unabh. Rang A = n A 1 8. deta T = deta, deta = deta 9. det(ab) = deta detb, aber det(a + B) deta + detb 10. deta 1 = 1 deta, detb = det(aba 1 ), det(λa) = λ n deta 11. det( a 1 + λ b, a 2, a 3 ) = det( a 1, a 2, a 3 ) + λdet( b, a 2, 2 3 ) 12. spur(a) := d dt det(i n + ta) t=0 = Summe der Diagonalelemente

6 4 VEKTORRÄUME VR Berechnen von Determinanten 1. Matrix mittels Gaussverfahren in Dreiecksmatrix bringen 2. eine Zeile/Spalte der Matrix mit möglichst vielen Nullen erzeugen 3. QR-Zerlegung: detq = ±1, detr = r i=1 a ii 4. Laplascher Entwicklungssatz: deta = A := n k=1 a ik( 1) i+k dets ik (A) (Entwicklung nach Zeile) = n i=1 a ik( 1) i+k dets ik (A) (Entwicklung nach Spalte) mit S ik (A) := Streichungsmatrix mit Zeile i und Spalte k. 3.3 Determinante LGS A = ˆ ist r = n, so ist deta 0 A 1 A x = b immer lösbar b Lösung ist eindeutig A x = 0 hat nur die triviale Lösung x = 0. ˆ für A x = 0 deta = 0 unendliche viele Lsg. RangA < n ˆ für A x = b deta = 0 keine/unendlichviele Lsg a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 4 Vektorräume VR = (a 11a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 ) (a 31 a 22 a 13 + a 21 a 12 a 33 + a 32 a 23 a 11 ) Vektorraum: Ein VR ist eine Menge von Objekten, wo eine Addition und eine Multiplikation mit reellen Zahlen definiert ist, ein neutrales Element ( 0) existiert und Kommutativität, Assoziativität und Distributivität gelten. Und dazu: a V a V mit a+( a) = 0. Dieselben Rechenregeln gelten auch im Raum R m,n aller Matrizen, im Raum R[x] aller Polynome und im Raum C[0, 1] aller stetigen Funktionen. Bsp Vektorräume: R n = x = x 1 x 2. x n x i R oder eine stetige Funktion C[a, b] im I = [a, b], wobei bei beiden (f + g)(x) := f(x) + g(x) und (cf)(x) := cf(x) gelten, d.h. stetige Funktionen haben auch Vektoreigenschaften wie Pfeile. ˆ x 1, x 2,..., x n heissen Koordinaten des Vektors x = n i=1 x i a i in R n bezüglich der Basis a 1, a 2,..., a n ˆ x 1. x n R heisst Koordinatenvektor. ˆ Sei A = ( a 1,..., a k ) eine Matrix. Die max. Anzahl lin. unabh. Vektoren von A ist der Rang r des Gauss-Endschemas. ( a 1,..., a k )(x 1,..., x k ) T = 0. Seien r i1, r i2,..., r in die Pivot-Spalten des Gauss-Endschemas. Dann sind die Vektoren a i1, a i2,..., a in lin. unabh. und bilden eine Basis.

7 4 VEKTORRÄUME VR Teilraum / Unterraum Ein Teilraum bildet selber wieder einen nicht leeren Vektorraum. U V falls a, b U, α R gilt: 1. a + b U 2. α a U 3. 0 und U sind Teilräume von U 4. Sind U 1, U 2 V, so sind auch U 1 + U 2 V, U 1 U 2 V und U 1 U 2 V, aber U 1 U 2 V. Bsp: diff bare Funktionen: C[a, b] = C (0) [a, b] C [a, b] C [a, b]... C (n) [a, b] 4.2 Linearkombination b = x1 a 1 + x 2 a x k a k heisst Linearkombination V mit a i V, x i R. Die Menge all dieser Vektoren nennt man die lineare Hülle. Diese ist ein Teilraum von V. Linear Unabhängig: Wenn für x 1 a 1 + x 2 a x k a k = 0 lediglich die triviale Lösung x 1 = x 2 =... = x k = 0 existiert. Der Nullvektor ist immer linear abhängig. 4.3 Erzeugendensystem Kann jeder Vektor b V als Linearkombination der Vektoren a i V dargestellt werden, so heissen a i ein Erzeugendensystem des Vektorraums V : V = span{ a 1, a 2,..., a n }. V heisst endlichdimensional, wenn er ein Erzeugendensystem ( a 1, a 2,..., a n ) besitzt, so dass V = span{ a 1, a 2,..., a n } gilt. Sonst ist er unendlichdimensional. 4.4 Basis 1. Seien a 1, a 2,..., a n ein Erzeugendensystem und linear unabhängig. Dann nennt man das Erzeugendensystem eine Basis. Eine Basis für Polynome sind beispielsweise die Monome 1, x, x 2, x 3,... oder die Legendre Polynome P 0 (x) = 1, P i (x) = 1 d i (x 2 1) i i > 0. 2 i i! dx i 2 2. Legrend-Polynome sind orthogonal zueinander. P n = 2n+1, P 0(t) = 1, P 1 (t) = t, P n+1 (t) = 2n+1 n+1 tp n(t) n n+1 P n 1(t) (rekursiv definiert). 3. Verschiedene Basen eines Vektorraumes bestehen aus gleich vielen Vektoren. Die Dimension von V ist dimv = maximale Anzahl linear unabhängige Vektoren = Anzahl Elemente einer Basis. dim{ 0} = Sei dimv = n. Mehr als n-vektoren = linear abhängig; weniger als n-vektoren = nicht erzeugend; bei n-vektoren, die linear unabhängig und erzeugend sind Basis. Direkte Summe: R n R m := ( x y ) mit dim = n + m

8 5 NORM, SKALARPRODUKT, GRAM-SCHMIDT 8 5 Norm, Skalarprodukt, Gram-Schmidt 5.1 Norm Eine Vorschrift, die jedem Vektor a V eine reelle Zahl a zuordnet, heiss Norm/Länge in V. 1. a > 0, a = 0 a = 0 2. α a = α a für α = u + iv, α := u 2 + v 2 3. a + b a + b (Dreiecks-Ungleichung) 4. a = < a, a > ˆ Euklidische Norm: x 2 = x x2 2 + x2 3 : Länge des Vektors in R3 ˆ Maximumsnorm: x := max( x 1, x 2, x 3 ) ˆ L p -Norm: x p := p x 1 p + x 2 p + x 3 p p 1 ˆ Normen von Funktionen: f 0 := max x I f(x), f 1 := max x I f(x) + max x I f (x) ˆ A C 2,2 : A 1 = i,k a ik, A = Max a ik ˆ p = N n=0 a nx n : p = N n=0 a n 5.2 Skalarprodukt Vorschrift, die jedem Vektor-Paar x, y eine reelle Zahlen < x, x > zuordnet, heisst Skalarprodukt in V. 1. < x, y 1 + y 2 >=< x, y 1 > + < x, y 2 > 2. < x, α y >= α < x, y > 3. < x, y >=< y, x >= x T y = y T x Standardskalarprodukt in R n < x, y >= < y, x > unitäres Skalarprodukt in C n 4. < x, x > 0, < x, x >= 0 x = 0 5. < x, y >= 0 x, y orthogonal 6. < x, x >= 1 x ist Einheitsvektor 7. < x, y > 2 < x, x >< y, y > < x, y > x y Schwarzsche Ungleichung ˆ Standardskalarprodukt in R n : < x, y >= x 1 y 1 + x 2 y x n y n, x, y V ˆ Standardskalarprodukt in C n : < x, y >= x 1 y 1 + x 2 y x n y n = x 1 y 1 + x 2 y x n y n, x, y C ˆ x = < x, x > heisst Norm ˆ sind x, y orthogonal: x + y 2 = x 2 + y 2 = x y 2 ˆ cos ϕ = < a, b> a b ˆ < f, g >:= b a f(t)g(t)dt < x, y >= 0 (Satz von Pythagoras) ˆ < f, g > in C auf {1, 2,..., N} := f(1)g(1) + f(2)g(2) f(n)g(n) = N n=1 f(n)g(n) ˆ orthogonale Projektion von x auf y: < x, y> < x, x> y ˆ paarweis orthogonale Einheisvektoren sind linear unabhängig und bilden eine orthonormale Basis.

9 6 LINEARE ABBILDUNGEN Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren Basis b 1, b 2,..., b n erzeugt einen n-dimensionalen Verktorraum. Wir suchen eine orthonormale Basis e 1, e 2,..., e n mit < e i, e j >= δ ij, wobei span( e 1 ) = span( b 1 ), span( e 1, e 2 ) = span( b 1, b 2 ),..., span( e 1, e 2,..., e n ) = span( b 1, b 2,..., b n ). 1. e 1 = b 1 = b1 b 1 < b 1, b 1 > 1. Basisvektor normieren 2. (a) Lot fällen: c 2 := b 2 < b 2, e 1 > e 1 (b) Lot normieren: e 2 = c 2 c 2 = b 2 < b 2, e 1 > e 1 b 2 < b 2, e 1 > e 1 3. (a) Lot fällen: c 3 := b 3 < b 3, e 1 > e 1 < b 3, e 2 > e 2, oder c 3 = b 1 b 2 (b) e 3 = c 3 c Vektorprodukt in R 3 u 2 v 3 u 3 v 2 ˆ u v = u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 u = ˆ u v = ( v u) u 1 u 2 u 3 v = v 1 v 2 v 3 R 3 ˆ < u, u v >= 0 Kreuzprodukt steht orthogonal zu u, v ˆ u v 2 = u 2 v 2 < u, v > 2 6 Lineare Abbildungen L : x V (Urbild) y = F ( x) W (Bildraum) heisst lineare Abbildung, falls gilt: 1. L( x + y) = L( x) + L( y) x, y V 2. L(α x) = αl( x) α C/R, x V Die lineare Struktur der Verktorräume bleibt somit erhalten. Bsp: Ableitung von Polynomen. L : x R n y = L( x) := A( x) R m, so ist A eine m n-matrix. 6.1 Bild und Kern Sei L : x V n y = A x V m linear. 1. Menge aller Vektoren, die auf Null abgebildet werden, heisst Kern der Matrix A, Kern(A): Kern(L) := { x V L( x) = 0} Kern(A) := { x V n A x = 0} 2. Menge aller Bildvektoren y V m heisst Bild der Matrix A, Bild(A), Bild(L) := { y W x V, dass y = L( x)} Bild(A) := { y V m x V n, dass y = A x} (a) Der Kern ist ein Teilraum von V n (b) Das Bild ist ein Teilraum von V m

10 6 LINEARE ABBILDUNGEN Dimension und LGS: ˆ b Bild(A) A x = b lösbar ˆ x ist genau dann ein Element vom Kern(A), wenn es A x = 0 löst. ˆ dim(kern(a)) = n r ˆ dim(bild(a)) = dim(bild(a T )) = r haben Spalten, die nach dem Gauss-Endschema einen Kopf ˆ dim(kern(a)) + dim(bild(a)) = dim(urbild(a)) = dim(v n ) = n Basis des Kerns 1. A in NZSF bringen und LGS A x = 0 betrachten 2. Variablen x 1, x 2,..., x n in r Kopfvariablen und n r Nicht-Kopfvariablen unterteilen Nicht-Kopfvariable gleich 1 setzen und alle anderen gleich 0. Homogenes LGS lösen 1. Basisvektor Nicht-Kopfvariable gleich 1 setzen und alle anderen gleich 0. Homogenes LGS lösen 2. Basisvektor 5. usw. Man bekommt so n r Basisvektoren des Kerns Basis des Bildes 1. Matrix A in ZSF bringen 2. Kopfvariablen bestimmen 3. Die Spaltenvektoren von A, die zu einer Kopfvariablen gehören, bilden eine Basis des Bildes ˆ Rang(A) = dim(bild(a)) = Anzahl Kopfvariablen der Matrix A. ˆ Spaltenvektoren von A bilden ein Erzeugendensystem des Bildes von A Struktur des Lösungsraumes L x = b, x 0 sei eine Lösung. Dann ist die Lösungsmenge x 0 + Kern(L) := { x 0 + n n Kern(L)}. Bsp: D sei der Differentialoperator, b = 2x + 1: partikuläre Lsg: p 0 (x) = x 2 + x, Kern von D: alle Konstanten Lösungsmenge: {x 2 + x + a a R} 6.2 Vektorraumoperationen { V W ˆ L, M L(V, W ) L + M v L( v) + M( v) L, M müssen beide von V W gehen. ˆ F : x V n y = A x V m, G : y V m z = B y V p H : x V n z = H( x) = G(F ( x)) V p, wobei H = G F H( x) = (BA)( x) = B(A( x)) Sofern die Abbildungen passen, gelten Assoziativität und Distributivität bei Multiplikation (Bild) ˆ L L(V, V ). L heisst invertierbar, falls M L(V, V ), sodass M L = L M = I v (Identität) M =: L 1. Eine lineare Abbildung ist nur umkehrbar, wenn L regulär ist.

11 7 KOORDINATEN UND DARSTELLENDE MATRIZEN 11 ˆ injektiv: L L(V, W ) Jeder Bildvektor hat einen Urbildvektor: Kern(L) = { 0} dim(kern(l)) = 0 ˆ surjektiv: L L(V, W ) Jeder Vektor im Zielraum W ist Bildvektor: Bild(L) = W dim(bild(l)) = dim(w ) 7 Koordinaten und darstellende Matrizen 7.1 Transformation der Koordinatenvektoren bei Basiswechsel Ein Vektor hat unterschiedliche Koordinatenvektoren (x 1,..., x n ), je nachdem, auf welche Basis sie sich beziehen. Siehe Abbildung 1. Abbildung 1: Transformation der Koordinatenvektoren bei Basiswechsel Konstruktion von S: 1. b 1 ist Linearkombination der Basisvektoren B 2 = { c 1,..., c n }. Die Koeffizienten sind die Koordinaten von b 1 bez. B 2 und bilden den ersten Spaltenvektor von S. 2. b 2 ist Linearkombination der Basisvektoren B 2 = { c 1,..., c n }. Die Koeffizienten sind die Koordinaten von b 2 bez. B 2 und bilden den zweiten Spaltenvektor von S. 3. dito. 7.2 Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V sei ein Vektorraum der Dimenstion n und L eine lineare Abbildung von V nach V. Siehe Abbildung 2. Konstruktion von L B : 1. Jede Komponente der Basis mit L abbilden. 2. Jede abgebildete Basis bezüglich Standardbasis darstellen. 3. Die Koeffizienten der 1. abgebildeten Basis ist 1. Spaltenvektor von L B. 4. Die Koeffizienten der 2. abgebildeten Basis ist 2. Spaltenvektor von L B. 5. dito.

12 8 ORTHOGONALE UND UNITÄRE ABBILDUNGEN, QR-ZERLEGUNG 12 Abbildung 2: Darstellende Matrix L B 7.3 Transformation der darstellenden Matrix bei Basiswechsel Dieselbe lineare Abbildung wird durch verschiedene Matrizen dargestellt, falls sich diese auf verschiedene Basen beziehen. Die erste darstellende Matrix kann somit in die zweite umgerechnet werden. Siehe Abbildung 3 Abbildung 3: Transformation der darstellenden Matrix bei Basiswechsel 8 Orthogonale und Unitäre Abbildungen, QR-Zerlegung 8.1 Orthogonale und unitäre Abbildungen ˆ orthogonale Transformation: < x, y >=< R x, R y > ˆ R ist eine orthogonale Matrix, falls gilt: R T R = I n (orthonormale Spaltenvektoren) ˆ Bild einer ONB unter einer orthogonalen Transformation ist eine ONB. ( ) cos φ sin φ ˆ Bsp: R(φ) = Drehung um φ mit R(φ sin φ cos φ 1 )R(φ 2 ) = R(φ 1 + φ 2 )

13 9 EIGENWERTE, EIGENVEKTOREN UND CHARAKTERISTISCHES POLYNOM 13 ˆ Bsp: Spiegelung an e 1 -Achse: x ( ˆ unitäre Transformation: < U x, U y >=< x, y > ) x ˆ U ist eine unitäre Matrix, falls gilt: U U = I n (Spaltenvektoren bildn Orthonormalbasis in C n ) 8.2 QR-Zerlegung A = Q R, wobei dies ein einfaches Invertieren erlaubt ˆ A R m,n : jede Matrix kann QR zerlegt werden: A = ( a 1, a 2,..., a n ) ˆ Q R m,m : quadratische orthogonale Matrix. Bekommt man, indem man das Gram-Schmidt- Verfahren auf A anwendet: Q = ( q 1, q 2,..., q n ). Ist m > n, so muss man zu den Spalten noch m n Vektoren wählen, sodass man eine Basis im Raum R m erhält. < a 1, q 1 > < a 2, q 1 >... < a n, q 1 > r 11 r r 1n ˆ R R m,n 0 < a 2, q 2 >... < a n, q 2 > : obere Dreiecksmatrix = 0 r r 2n < a n, q n > r nn ˆ A = QR = (r 11 q 1, r 12 q 1 + r 22 q 2,..., r 1n q 1 + r 2n q r nn q n ) 9 Eigenwerte, Eigenvektoren und Charakteristisches Polynom Sei A K n,n. A x = λ x x ist Eigenvektor von A zum Eigenwert λ: Eine Streckung des Vektors selbst. 9.1 Berechnung 1. (A λ I n ) x = 0 2. charakteristisches Polynom von A lösen: p A (λ) = det(a λi n ) = 0 3. Eigenvektoren x i zu Eigenwerten λ i ausrechnen, indem man λ i in 1. einsetzt Matrix: p(λ) = λ 2 λ(spur(a)) + det(a) = 0 5. Für symmetrische Matrizen gelten: (a) Alle Eigenwerte sind reell. (b) Es existieren genau n linear unabhängige Eigenvektoren. (c) Geometrische Vielfachheit = Algebraische Vielfachheit (d) Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind orthogonal. 9.2 Eigenschaften ˆ Spur(A) = λ λ n ˆ det(a) = λ 1 λ 2... λ n ˆ Der Eigenvektor x zu λ spannt einen 1-dimensionalen Teilraum V λ, span{ x} auf: α x ist auch Eigenvektor zum selben λ α C\{0}.

14 10 DIAGONALISIERBARKEIT VON MATRIZEN 14 ˆ Die Algebraische Vielfachheit von λ ist die Multiplizität von λ als Nullstelle. ˆ Die Geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraumes V λ zu einem λ. ˆ Geometrische Vielfachheit Algebraische Vielfachheit: tritt ein Eigenwert k-fach auf, so existieren mind. 1 höchstens aber k linear unabh. Eigenvektoren. ˆ Satz: Seien x 1,..., x k Eigenvektoren mit Eigenwerten λ 1,..., λ k. Sind λ 1,..., λ k verschieden, so sind x 1,..., x k linear unabhängig. 10 Diagonalisierbarkeit von Matrizen Symmetrische, selbstadjungierte (=hermetische), unitäre, quadratische Matrizen sind diagonalisierbar 10.1 Eigenschaften 1. Eine (n n)-matrix A ist diagonalisierbar, falls eine inv bare Matrix S C gibt, sodass Matrix D := S 1 AS diagonal ist. Es gibt eine Basis von Eigenvektoren. 2. Spalten von S bestehen aus Eigenvektoren. 3. Matrizen mit n verschiedenen Eigenvektoren sind diagonalisierbar D = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ). 4. Ist A diagonalisierbar Eigenwerte gilt: algebraische = geometrische Vielfachheit. 5. Die Matrixdarstellung von A zur Basis bestehend aus Eigenvektoren ist diagonal 6. A = S 1 DS A k = S 1 D k S 7. Ist A symmetrisch (A = A T ), so ist A mit einer Orthogonalmatrix diagonalisierbar 8. Ist A selbstadjungiert (A T = A), so ist A mit einer unitären Matrix diagonalisierbar 9. Unitäre Matrizen sind stets diagonalisierbar 10. Ist A m = 0, m 1, so ist A nicht diagonalisierbar Algorithmus für S 1. Eigenwerte der (n n)-matrix mittels charakteristischem Polynom berechnen. 2. Lösungsmenge (= Eigenvektoren) der Gleichungssysteme Kern(A λ i I n ) = { x (A λ i I n ) x = 0} berechnen 3. Gilt für alle Eigenwerte: algebraische = geometrische Vielfachheit? Wenn nein Matrix A ist nicht diagonalisierbar 4. Eine Basis B i in Kern(A λ i I n ) wählen 5. B := {B 1,..., B k } ist eine Basis von Eigenvektoren. Die darstellende Matrix A B ist diagonal.

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