Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 7. Aufgabe 7.1. ETH Zürich D-MATH. Dr. V. Gradinaru K. Imeri. Herbstsemester 2018

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1 Dr V Gradinaru K Imeri Herbstsemester 8 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 7 Aufgabe 7 7a) Welche der folgenden Abbildungen sind linear: (i) F : x ax + b mit x, a, b R Falsch F(x + y) = ax + ay + b ax + ay + b = F(x) + F(y) für b (ii) F : x Ax + b mit x R n, A R m n und b R m Falsch F(x + y) = Ax + Ay + b Ax + Ay + b = F(x) + F(y) für b (iii) F : x Ax mit x R n, A R m n Richtig Für alle A R m n, x, y R n, α R gilt: F(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = F(x) + F(y) F(αx) = A(αx) = α(ax) = αf(x) (iv) F : x x + x mit x R Falsch F(x + y) = (x + y) + (x + y) x + x + y + y = F(x) + F(y) für mindestens ein x, y (v) F : x exp(x) mit x R Falsch F(x + y) = exp(x + y) = exp(x) exp(y) exp(x) + exp(y) = F(x) + F(y) für mindestens ein x, y (vi) F nimmt eine Funktion f aus der Menge der stetigen Funktion von [, ] nach R, notiert als C([, ]), und gibt die Funktion x x f(t)dt in C([, ]) zurück Richtig Für alle f, g C([, ]) und alle α R gilt: ( x ) F(f + g) = x f(t) + g(t)dt = F(αf) = ( x x ( x x ) ( αf(t)dt = x α f(t)dt + x x ) g(t)dt = F(f) + F(g) ) f(t)dt = αf(f) Seite

2 7b) Wir betrachten die Ebene E in R, gegeben durch x = x, und die lineare Abbildung F : R R, die jedes x R senkrecht auf E projiziert Welche Aussagen treffen zu? (i) Die Matrix A, welche F bezüglich der Standardbasis beschreibt, lautet (ii) Die Matrix A, welche F bezüglich der Standardbasis beschreibt, lautet Lösung: Betrachte die Standardbasis e (), e (), e () Da e () bereits in E liegt, folgt: ( F e ()) = e () = =: a () Um F(e () ), F(e () ) zu bestimmen, betrachte die Ebene {x = (siehe Bild) Die Abbildung F projiziert e () (bzw e () ) senkrecht auf E (also parallel zu (,, ) ) Es folgt aus dem Bild (zb mit Pythagoras) und aus Symmetriegründen, dass ( F e ()) ( = F e ()) = =: a () = a () Es folgt A = Seite

3 7c) Gegeben ist ein Autokonstruktionsroboter, welcher immer die gleiche Drehung mit einem Stoss durchführt, um ein Element in die Karosserie einzufügen Die dazugehörige lineare Abbildung ist F : R R, die jedes (x, x, x ) R x auf x abbildet Nun, der Roboter operiert x 5 nicht bezüglich unserer Standardbasis, sondern bezüglich der Basis, 5, Welche Aussagen 7 treffen zu? (i) Die Matrix A, welche F bezüglich der Standardbasis beschreibt, lautet (ii) Die Matrix A, welche F bezüglich der Standardbasis beschreibt, lautet Lösung: Sei k B der Basiswechsel der einem Vektor inder Standardbasis die Koordinaten in der vom 5 Roboter gehandhabten Basis, also B =, 5,, wiedergibt Damit haben wir folgendes Diagramm: 7 R B k B F R B k B R Ges lin Abb Std Basis R Std Basis Um k B zu bestimmen, nutzen wir, dass B bereits in der Standardbasis ausgedrückt wird, das heisst k B ((,, ) ) = (,, ), k B ((,, ) ) = (5, 5, 7), k B ((,, ) ) = (,, ) Somit ist die zu k B zugehörige Matrix 5 5 Somit folgt, dass die zu k B zugehörige Matrix, die Inverse zu der Matrix von k B ist Die 7 Inverse finden wir durch Lösen von Mittels Gausselimination erhalten wir Dies ist die Matrix, bezüglich k B Um die gesuchte 5 5 lineare Abbildung zu erhalten, folgen wir dem Diagramm und erkennen, dass die lineare Abbildung durch k B F k B ausgedrückt wird Die dazugehörige Matrix erhalten wir also durch = Bemerkung: Die falsche Matrix in der Aufgabe stammt aus der Berechnung von k B F k B Seite

4 Aufgabe 7 Koordinatentransformation zur geometrischen Interpretation Gegeben sei der Vektorraum V = R mit der Standardbasis Die Matrix 5/6 /6 / A = /6 5/6 / / / / definiert eine lineare Abbildung von V nach V 7a) Durch die Wahl der neuen Basis,, werden neue Koordinaten eingeführt Bestimmen Sie die Matrix T der Koordinatentransformation, welche neue Koordinaten in alte überführt Lösung: Bezeichne mit x die alten Koordinaten und mit y die neuen: x = T y = y t () + y t () + y t () y = y + y + y = y {{ y =:T 7b) Durch welche Matrix à wird die lineare Abbildung in den neuen Koordinaten (in W = R mit der neuen Basis in W ) beschrieben? Lösung: Es gilt also à = T AT, wobei AT = x V T y W A à x V T y W = Statt T zu berechnen, lösen wir T à = AT mit Gausselimination nach à auf (das ist effizienter!): (E) 6 Durch Rückwärtseinsetzen erhalten wir (E) à = Seite 4 5

5 7c) Interpretieren Sie die Abbildung in den ursprünglichen Koordinaten (in V ) geometrisch Lösung: à ist die Darstellung der linearen Abbildung in den neuen Koordinaten Aus der Diagonalform von à kann man sehen, dass es sich in diesen neuen Koordinaten um eine Projektion entlang des Basisvektors e () auf die Ebene, die durch die zwei Basisvektoren e () und e () aufgespannt wird, gefolgt durch eine Punktspiegelung um den Nullpunkt handelt In den alten Koordinaten ist A somit eine Projektion entlang t () = auf die Ebene { span t (), t () = span,, gefolgt durch eine Punktspiegelung um den Nullpunkt (oder äquivalent dazu, da t () orthogonal zu t () und t () steht: gefolgt durch eine Drehung um 8 Grad um die t () -Achse) Aufgabe 7 Matrixdarstellung einer linearen Polynomabbildung Seien G = span{, t, t 4 und U = span{t, t zwei Vektorräume Betrachten Sie die folgende Abbildung A von G nach U : A : G U x tx 7a) Zeigen Sie, dass A eine lineare Abbildung ist Lösung: Zunächst ist A wohldefiniert in den angegebenen Räumen, da t() = U, t(t ) = t U und t(t 4 ) = t U Ausserdem gilt für alle x, y G, α R, dass Somit ist A linear A(x + αy) = t(x + αy ) = tx + αty = Ax + αay 7b) Durch welche Matrix A wird A beschrieben, wenn wir die Monome als Basen in beiden Räumen verwenden? Lösung: Es gilt und somit A =, At = t, At 4 = t A = [ ] 7c) Zeigen Sie, dass {p, p, p und {q, q Basen von G beziehungsweise U sind, wobei p (t) = + t, p (t) = t, p (t) = + t + t 4, q (t) = t und q (t) = t + t Lösung: Es gilt = (p +p )/, t = (p p )/ und t 4 = p t = p (p +p )/ (p p )/, sowie t = q, t = (q q )/ Somit ist span{p, p, p = span{, t, t 4 = G und span{q, q = span{t, t = U Da dim G = und dim U =, muss es sich um Basen handeln Um zu zeigen, dass dim G =, ist es hinreichend, lineare Unabhängigkeit von, t und t 4 nachzuweisen Nehmen wir also an, dass α, β, γ R existieren, so dass α + βt + γt 4 = G für alle t R Indem wir t = setzen, erhalten wir α =, das heisst, t (β + t γ) =, t R Dies impliziert β = γt für alle t, was ein Widerspruch ist Analog zeigt man dim U = Seite 5

6 7d) Welches ist die neue Matrix B, die A nach diesem Basiswechsel (die neuen Basen sind in Teilaufgabe 7c) gegeben) beschreibt? Lösung: Die (neue) Basis q, q schreibt sich in der (alten) Basis t, t mittels der Matrix [ ] C = und analog beschreibt D = die (neue) Basis p, p, p mittels (der alten), t, t 4 Wir erhalten für die Darstellung B von A in den neuen Basen [ ] B = C 6 AD = 6 Aufgabe 74 Polynomielle Projektion In dieser Aufgabe betrachten wir den Polynomraum P d ([, ]) der Polynome vom Grad kleiner oder gleich d auf dem Interval [, ] für d N Er ist ausgestattet mit dem Skalarprodukt und der Monombasis p, q := p(t)q(t) dt, für alle p, q P d ([, ]), {t, t t, t t,, t t d Weiter seien die linearen Abbildungen L d : P d ([, ]) R definiert durch [ ] p( ) L d (p) =, p P p() d ([, ]) Schliesslich sind die ersten drei der sogenannten Legendre-Polynome gegeben durch P (t) =, P (t) = t, P (t) = 5 (t ) Wir betrachten nun Konzepte, wie sie im Zusammenhang mit der Diskussion linearer Abbildungen in der Vorlesung besprochen worden sind, für diesen Polynomraum 74a) Geben Sie die Matrixdarstellung L von L bezüglich der monomialen Basis von P ([, ]) und der Standardbasis von R an Lösung: Es ist und somit gilt [ ] { L d (t i ( ) i ) = i = [ ] i gerade ] i ungerade, L = [ ] Seite 6

7 74b) Zeigen Sie, dass P i, P i = für i = {,, und P i, P j = für i j { i = j Lösung: Wir müssen zeigen, dass P i, P j = für i, j =,, Da das Skalarprodukt symmetrisch ist, genügt es, die Fälle i j i j anzuschauen: P, P = P, P = dt = t t= t t dt = t = + = t= = + = 5 P, P = 8 (t ) dt = 5 9t 4 6t + dt 8 = 9 8 t5 8 t t = 9 t= = P, P = t dt = 4 t = t= P, P = 4 (t ) dt = 4 t 4 t = t= 5 5 P, P = 4 (t t) = 4 ( 4 t4 t ) = 74c) Bestimmen Sie nun die Matrixdarstellung L von L bezüglich der Basis {P, P, P von P ([, ]) und der Standardbasis des R Lösung: Wir können entweder einen Basiswechsel mit dem Resultat aus 74a) durchführen oder erhalten durch einfaches Einsetzen der Basis in die Funktion, dass 5 L = 5 t= 74d) Der Rang einer linearen Abbildung f : V W zwischen zwei Vektorräumen V und W ist definiert als die Dimension ihres Bildes f(v ) als Unterraum von W (siehe Vorlesung) Er entspricht dem Rang jeder zugehörigen Abbildungsmatrix Was ist für allgemeines d der Rang von L d? Begründen Sie Ihre Antwort [ ] ( ) Lösung: Wie wir in Aufgabe 74a) gesehen haben, gilt L d (t i i ) = Mit Gausselimination erhalten wir L d = [ ] i [ wobei L d R (d+) die Abbildungsmatrix von L d bezüglich der monomialen Basis von P d ([, ]) und der Standardbasis von R darstellt Weil der Rang von L d mit demjenigen jeder beliebigen Abbildungsmatrix von L d übereinstimmt (das heisst, es kommt nicht auf die Wahl der jeweiligen Basen an), folgt {, d = Rang L d = Rang L d =, d ], Seite 7

8 74e) Zeigen Sie, dass für d B Kern = {t t, t t( t ), t t ( t ),, t t d ( t ) eine Basis von Kern(L d ) ist Hinweis: Bestimmen Sie zunächst dim Kern(L d ) mithilfe der Dimensionsformel und Teilaufgabe 74d) Zeigen Sie dann, dass B Kern im Kern enthalten und linear unabhängig ist Lösung: Mithilfe von 74d) und der Dimensionsformel erhalten wir: dim P d ([, ]) = dim Kern(L d ) + dim Bild(L d ) {{ =Rang L d dim Kern(L d ) = dim P d ([, ]) Rang L d = d + = d Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass B Kern = {p (t) = t, p (t) = t( t ), p (t) = t ( t ),, p d (t) = t d ( t ) im Kern enthalten und linear unabhängig ist Diese d linear unabhängigen Vektoren bilden dann automatisch eine Basis von Kern(L d ) B Kern Kern(L d ): L d (p i ) = [ ( ) i ( ( ) ] ) i ( = ) B Kern linear unabhängig: Seien α, α,, α d R mit d α i p i = i= Wir müssen zeigen, dass dann α = α = = α d = folgt In der Monombasis erhalten wir das Gleichungssystem α α = α d {{ R d+ d Durch sukzessives Addieren der i-ten zur i + -ten Zeile für i =,, d erhalten wir das äquivalente Gleichungssystem α α [ Id ] α d =, und somit auch die einzige Lösung α i = für i =,, d Seite 8

9 74f) Berechnen Sie für die Vektoren t t n P d ([, ]), n {,,, d, die jeweiligen Orthogonalprojektionen auf P ([, ]), also diejenigen Polynome in P ([, ]), deren Differenz zum ursprünglichen Polynom senkrecht zu P ([, ]), bezüglichen dem obigen Skalarprodukt, steht Hinweis: Verwenden Sie, dass sich die Orthogonalprojektion wegen dem Resultat aus Teilaufgabe 74b) leicht berechnen lassen Lösung: Aus 74b) wissen wir: B = {P, P, P ist Orthonormalbasis von P ([, ]) Somit ist die Orthogonalprojektion auf P ([, ]) für jedes p P d ([, ]) gegeben durch P P ([,])(p) = p, P j P j, j= P P ([,])(t t n ) = t t n, P P + t t n, P P + t t n, P P = ( ) also Wir berechnen { t t n, P = t n dt = n+ n gerade n ungerade { t t n, P = t n+ dt = n gerade 6 n+ n ungerade t t n, P = 5 t n (t ) dt = 5 t n+ t n dt = 5 ( n + tn+ n + tn+ ) t= { 5 = ( n+ n+ ) n gerade n ungerade und somit ( ) = = { n ( n+ n+ )(t ) n gerade + n+ t + n ungerade { 9 4(n+) 5 4(n+) ( n+ n+ )t n gerade n+ t n ungerade Aufgabe 75 Zirkulante Matrizen In dieser Aufgabe betrachten wir eine spezielle Menge von Matrizen, die sogenannten zirkulanten Matrizen, die in Anwendungen, zum Beispiel in der digitalen Signalverarbeitung, eine grosse Rolle spielen Definition Eine quadratische Matrix Z R n n, n N, heisst zirkulant, wenn { (Z) i,j, falls j {,, n, (Z) i,j = i {,, n (75) (Z) i,n, falls j =, Seite 9

10 75a) Lösung: Schreiben Sie die Menge der zirkulanten - und -Matrizen in parameterisierter Form [ ] a a R, a a a a a a a a R, a a a a i R 75b) Wie erhält man eine Zeile bzw Spalte einer zirkulanten Matrix aus der darüber bzw links davon stehenden? Hinweis: Bringen Sie in Erfahrung, was man unter einer zyklischen Permutation versteht Lösung: Auszug aus Wikipedia: Das erste Element des Zyklus wird dabei auf das zweite abgebildet, das zweite Element auf das dritte, und so weiter bis hin zum letzten Element, das wieder auf das erste abgebildet wird Wir ersetzen Zyklus durch darüber liegende Zeile (oder vorangehende Spalte), das entspricht genau der Definition 75c) Zeigen Sie, dass die Menge Zirk n der zirkulanten n n-matrizen ein Unterraum von R n n ist Lösung: Damit Zirk n ein Unterraum aller n n-matrizen ist, muss gelten: Für Z, Y Zirk n ist auch Z + Y Zirk n Für Z Zirk n, α R ist auch αz Zirk n Beweis: W := Z + Y Einsetzen in (75) ergibt: { (Y + Z) (Z + Y ) i,j = i,j, falls j {,, n, i {,, n (Y + Z) i,n, falls j =, { (W ) i,j, falls j {,, n, (W ) i,j = i {,, n (W ) i,n, falls j =, Wir setzen W := αz und benutzen (75) analog zum vorherigen Schritt 75d) Bestimmen Sie eine Basis von Zirk n und damit dim Zirk n Lösung: Als Einstieg bestimmen wir eine Basis für die zyklischen -Matrizen Jede zyklische - Matrix lässt sich schreiben als Z = a + a + a Folglich gilt Zirk = span {[ ], [ ], [ ] Sei nun circmat(z,, z n ) die zyklische n n-matrix, welche in der ersten Zeile die Einträge z,, z n stehen hat Eine Basis für Zirk n lässt sich dann ablesen aus { Zirk n = span circmat(e () ),, circmat(e (n) ), wobei e (i) der i-te Einheitsvektor aus R n ist Seite

11 75e) Zeigen Sie, dass Z Y Zirk n Z, Y Zirk n Hinweis: Wenden Sie direkt Definition an und betrachten Sie ein Element des Matrixprodukts mit allgemeinen Indizes i und j Verifizieren Sie dann durch Nachrechnen (75) Lösung: Man zeigt, dass Z Y die Definition einer zirkulaten Matrix (75) erfüllt Für i, j : n n (ZY ) i,j = (Z) i,k (Y ) k,j = ((Z) i,k (Y ) k,j ) + (Z) i,n (Y ) n,j = (ZY ) i,j k= Für i, j = : (ZY ) i, = k= n (Z) i,k (Y ) k, = k= n (Z) i,k (Y ) k,n + (Z) i,n (Y ) n,n = (ZY ) i,n k= 75f) ist Zeigen Sie, dass die Inverse einer invertierbaren zirkulanten Matrix wieder eine zirkulante Matrix Hinweis: Betrachten Sie die j-te Spalte der Inversen Z einer zirkulanten Matrix Z, die natürlich erfüllt, dass Z(Z ) :,j = e (j), wobei e (j) der j-te Einheitsvektor ist Nehmen Sie nun an, dass Z zirkulant ist und erinnern Sie sich an Teilaufgabe 75b), die Ihnen sagt, wie man die (j + )-te Spalte von Z aus der j-ten erhält Was müssen Sie dann für Z(Z ) :,j+ zeigen? Verwenden Sie für Ihre Überlegungen, dass die Inverse einer Matrix eindeutig ist Lösung: Die zyklische Permutation angewandt auf einen Vektor x lässt sich als Matrix-Vektor-Operation P x schreiben: x x n x = x {{ x n x n =:P Es lässt sich leicht einsehen, dass P T P = I Man nimmt nun an, dass Z zirkulant ist und Z(Z ) :,j = e (j) erfüllt Die (j+)-te Spalte aus Z ergibt sich aus der zyklischen Permutation der j-ten Spalte (Z ) :,j+ = P (Z ) :,j Beachten Sie, dass eine zyklische Permutation angewandt auf die Spalten, gefolgt von einer zyklischen Permutation angewandt auf die Zeilen einer zirkulanten Matrix Z, wieder die Matrix Z ergibt Somit ist P T ZP = Z, siehe auch Abbildung 7 Aus diesen Überlegungen folgt P T {{ ZP (Z ) :,j = e (j) =Z P P T ZP (Z ) :,j = P e (j) (j) P {{ P T Z P (Z ) :,j = P {{{{ e =I (Z e ) (j+) :,j+ Z(Z ) :,j+ = e (j+) Induktion, die Eindeutigkeit der Inverse einer Matrix, sowie die Tatsache, dass die rechtsseitige Inverse gleich der linksseitigen Inverse einer Matrix ist, zeigen folglich, dass die Inverse einer invertierbaren, zirkulanten Matrix wieder eine zirkulante Matrix ist Seite

12 (a) Z (b) P T Z (c) P T ZP = Z Abbildung 7: Zyklische Permutation P angewandt auf eine zirkulante Matrix Z Seite