Zeigen Sie unter Verwendung der Tatsache, dass (K, +) bereits eine abelsche Gruppe ist:
|
|
|
- Lieselotte Busch
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 FU Berlin: WiSe 1-14 (Analysis 1 - Lehr. Übungsaufgaben Zettel 11 Aufgabe 47 Wir betrachten die Menge K Q Q zusammen mit den Verknüpfungen: (a, b(c, d (a b, c d, a, b, c, d Q (a, b (c, d (ac 2bd, ac bd, a, b, c, d Q Zeigen Sie unter Verwendung der Tatsache, dass (K, bereits eine abelsche Gruppe ist: (a (K,, ist ein Körper. Wie sieht insbesondere das neutrale Element der Multiplikaton und das zu (a, b (0, 0 inverse Element (x, y (a, b 1 K aus? Lösung. Es sind zuerst die Körperaxiome zu zeigen. Unter die Annhame, dass (K, bereits eine abelsche Gruppe ist, es fehlen nur die Axiome für die Multiplikation und die Existent eines bezüglich neutrales und inverses Element. Beachte: Da ein inverse Element für jedes Element existiert, ausser für den - neutrales Element, wissen wir schon, dass (0, 0 das -neutrale Element ist. Wir zeigen zu erst (AG Assoziativgesetz [(a, b (c, d] (e, f (a, b [(c, d (e, f] (DG (a, b [(c, d(e, f] [(a, b (c, d][(a, b (e, f] Beweis. (AG und [(a, b (c, d] (e, f (ac 2bd, ad bc (e, f ((ac 2bde 2(ad bcf, (ac 2bdf (ad bce (a, b [(c, d (e, f] (a, b (ce 2df, cf de (a(ce 2df 2b(cf de, a(cf de b(ce 2df [(a, b (c, d] (e, f. (DG (a, b [(c, d(e, f] (a, b (c e, d f (a(c e 2b(d f, a(d f b(c e (ac 2bd ae 2bf, ad bd af be [(a, b (c, d][(a, b (e, f] 1
2 (IE Wie sieht insbesondere das neutrale Element der Multiplikaton aus? Sei (c, d das neutrale Element der Multiplikation. Es muss gelten: Also: (a, b K : (a, b (c, d (a, b (a, b K : (ac2bd, adbc (a, b (a, b K : ac2bd a adbc b. Wenn es (a, b K gelten muss, es gilt insbesonderes für a 0. Also: Und daraus folgt dass: b K2bd 0 bc b. c 1, d 0. Also, (1, 0 ist das neutrale Element der Multiplikation. (IE Wie sieht das zu (a, b (0, 0 inverse Element (x, y (a, b 1 K aus? Sei (a, b K beliebig, mit (a, b (0, 0. Wir suchen ein Element (x, y so dass: (a, b (x, y (1, 0. Also muss es gelten: ( a 2b ax 2by 1 bx ay 0 b a ( x y ( 1 0 Das Linearessystem muss nach x und y gelöst werden. Mann kan (z.b. zuerst berechnen, und dann einsetzen. Es folgt: und bx ay 0 x a b y y ( a2 b 2b a( a y 2by 1 b b 1 y a 2 2b 2 x a ( b y a b b a 2 2b 2 Also ist ( a a 2 2b, b 2 a 2 2b 2 das inverse Element zu (a, b K. Beachte: a, b Q : a 2 2b 2 0! a a 2 2b 2 (b Durch φ : Q K mit φ(a (a, 0, a Q wird der alte Bereich Q der rationalen Zahlen strukturverträglich in den neuen Zahlbereich K Q Q eingebettet. Das heißt: 2
3 (i φ bildet Q bijektiv auf Q {0} ab, (ii a, b Q, φ(a b φ(aφ(b φ(ab φ(a φ(b Beweis. (i. φ ist injektiv: φ(a φ(b (a, 0 (b, 0 a b. und φ : Q Q {0} ist surjektiv, weil: (a, 0 Q {0}, gilt (aus der Definition (das Urbild ist nicht leer. (ii. φ 1 ({(a, 0} {x Q : φ(x (a, 0} {a} {} φ(a b (a b, 0 Def. von (a, 0(b, 0 Def. von φ φ(aφ(b. φ(a φ(b (a, 0 (b, 0 (ab 2 0 0, a 0 b 0 (ab, 0 φ(ab Def. von (c Zeigen Sie: Die Zahl α (0, 1 K ist Nullstelle des Polynoms f(x x 2 2 Q[x] mit rationalen Koeffizienten. Schreibt man zudem 2 für α (0, 1 so besitzt weiter jedes x (a, b K eindeutig die Darstellung x a b 2. Man schreibt dann für K auch Q( 2 und sagt: Q adjungiert Wurzel 2. Lösung. Wir schreiben zu erst das Polynom f(x mit Hilfe der Einbettung φ(x als f(x x 2 (2, 0 und zeigen dann das α eine Nullstelle in K ist: f(α (0, 1 (0, 1 (2, 0 Definition von (0 2, 0 (2, 0 (0, 0 Wir definieren jetzt die Menge Q adjungiert Wurzel 2 als: Q( 2 {a b 2, a, b Q} (der kleinste Körper der Q und 2 enthält, siehe LinAlg!. Man kann zeigen dass die Körperaxiome (in Teil (a für Q( 2 gelten: Q Q Q( 2 (a, b a b 2 (a, b (c, d (ac2bd, adbc (ab 2(cd 2(ac2bd(adbc 2 (1, 0*-inverse Element ( (a, b 1 a a 2 2b, b (a b 2 1 a 2 a 2 2b 2 a 2 2b b 2 2 a 2 2b 2 α (0, 1 Nullstelle von x Nullstelle von x 2 2
4 Aufgabe 49 Bestimmen Sie für folgende komplexen Zahlen z C die kartesische Darstellung z a ib die konjugiert komplexe Zahl z a ib sowie den Betrag z z z a2 b 2 : (i z 2i i1. Wir bestimmen die Darstellung von z als (a, b R2. z 2i i 1 i 1 i 1 2i (i i 2 Die koniugiert komplexe Zahl und den Betrag lauten: (ii z 10 5i 12i z z, z i 1 2i 1 2i 1 2i 20 15i i z (1, 1 4 i z (4, Die koniugiert komplexe Zahl und den Betrag lauten: (iii z 26 k0 ik Option 1. Wir zeigen zuerst: z 4, z n k0 n1 Beweis (Induktion über n N 0. (IA Für n 0 ist k0 (IB (n n 1. Wir nehmen an dass n k0 ik 1 in1 1 i und berechnen n1 k0 n k0 1 n1 1 Induktionvoraussetzung k1 k2 Also ist die Behauptung bewiesen. n2 4
5 Aus dieser Formel folgt 26 z 27 k ( 11 i i i Also ist: z 1 i 1 i 1 i 2 2i 1 1 Option 2. Es gilt: i z (0, 1. k N 0 : Beweis. Aus i 2 1, und i i folgt 1 2 ( i 0 i i 2 i (1 i 0. Also z kann man umschreiben als: 26 z k0 19 k16 0 k0 0 2 k k k24 11 k k12 0 i 24 (i 0 i i 2 i 2 12 (1 i 1 i. ( Die koniugiert komplexe Zahl und den Betrag lauten: z i, z
6 Rationale Nullstellen eines Polynoms Sei f(x a 0 a 1 x...a n x n ein Polynom mit grad(f n und a 0,..., a n Z. Ist α p Q eine rationale Nullstelle von f(x (mit p und teilerfremd dann muss es gelten: p a 0 a n (p teilt a 0 und teilt a n Beweis. α p ist eine Nullstelle wenn es gilt f(α 0, d.h. f ( p p a 0 a 1 a 2 ( p 2 ( n p... a n 0 Daraus folgt dass Aus der letzter gleichung folgt dass also: 0 a 0 n a 1 p n 1... a n 1 p n 1 a n p n a 0 n ( a 1 n 1... a n p n 1 p, a n p n ( a 0 n... a n 1 p n 1, r s a 0 n rp, a n p n s. Aber das heisst, dass p teilt das Produkt a 0 n sowie teilt das Produkt a n p n. Wenn p aber a 0 n teilt, muss dann p a 0 oder n teilen. Da p und teilerfremd sind, es folgt dass p a 0. Analog, aus a n p n folgt dass a n. Beispiel 1 Wir suchen alle rationale Nullstellen von f(x 4 7x 2 x 4. Schritt 1. Ist α p eine rationale Nullstelle von f(x, dann gilt p 4, (p teilt a 0 und teilt a n. Da die Teiler von 4 nur ±1, ±2, ±4 sind, und die Teiler von nur ±1 und ± sind, gibt es nur 12 mögliche rationale Nullstellen: p ±1 ±2 ±4 1 ±1 ±2 ±4 ± 1 ± 2 ± 4 6
7 Schritt 2. Die Funktion f(x ist gerade (f(x f( x. Also, ist α eine Nullstelle, dann ist auch α eine Nullstelle. Schritt. Wir müssen jetzt nur 6 mögliche Zahlen nachprüfen. f(1 0, f(2 0, f(4 0, f ( 1 0, f Also hat f(x 2 rationale Nullstellen (1 und -1. Beispiel 2 ( 2 0, f ( 4 0. Das Polynom f(x 1 2x 2 0x 4x 4 5x 5 7x 6 x 7 hat keine rationale Nullstelle. Beweis. Wenn f(x eine rationale Nullstelle p hat, dann gilt: p a 0 1 und a n 1. Also p ±1, ±1 d.h., die einzige mögliche rationale Nullstellen sind 1 und -1. Aber: f( , f( Also hat f keine rationale Nullstelle. 7
(das heißt, dass a, b K, a + b K und a b K). (K, +, ) bildet ein Körper wenn die folgenden Axiome gelten:
FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 3 Voraussetzungen Körperaxiome Sei K eine Menge, und seien +, zwei Verknüpfungen + :K K K, : K K K (a, b) a + b (a, b) a b (das heißt, dass
Übungen zu Geometrie und Lineare Algebra für das Lehramt
Übungen zu Geometrie und Lineare Algebra für das Lehramt zusammengestellt von Stefan Haller Sommersemester 2019 (UE250163) 2. Übungsblatt für die Woche vom 11. bis 15. März 2019 Aufgabe 2.1. Wiederhole
Analysis I - Reelle Zahlen
November 17, 2008 Algebraische Grundbegriffe und Körper Definition Sei M eine Menge. Jede Funktion f : M M M heißt eine (binäre, innere) Verknüpfung oder eine Operation auf M. Wir schreiben für (a, b)
Algebraische Strukturen - Aufgabe 4a
Algebraische Strukturen - Aufgabe 4a Behauptung M {a, b, c, d Z 4 ad bc } bildet mit * eine kommutative Gruppe z.z.:. M ist unter der Verknüpfung * abgeschlossen, d.h. a, b, c, d, e, f, g, h Z 4 a, b,
Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15
Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Thomas Timmermann 26. November 2014 Was kommt nach den natürlichen Zahlen? Mehr als die natürlichen Zahlen braucht man nicht, um einige der schwierigsten
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 2003/2004) Aufgabenblatt 6
2 Die Menge der ganzen Zahlen. von Peter Franzke in Berlin
Die Menge der ganzen Zahlen von Peter Franzke in Berlin Das System der natürlichen Zahlen weist einen schwerwiegenden Mangel auf: Es gibt Zahlen mn, derart, dass die lineare Gleichung der Form mx n keine
2 Algebraische Grundstrukturen
30 2 Algebraische Grundstrukturen Definition. Eine Verknüpfung auf einer Menge G ist eine Abbildung : G G G (a, b) a b. Schreibweise. a b, a b, ab, a + b. Beispiele. (i) G = N : N N N (a, b) a + b. G =
01. Gruppen, Ringe, Körper
01. Gruppen, Ringe, Körper Gruppen, Ringe bzw. Körper sind wichtige abstrakte algebraische Strukturen. Sie entstehen dadurch, dass auf einer Menge M eine oder mehrere sogenannte Verknüpfungen definiert
2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).
17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 2
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 2 Aufgabe. Sei R ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit. Setze K := R R\{0}/ mit der Äquivalenzrelation definiert durch (a, b) (a, b ) genau dann, wenn
Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen
Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Wir nehmen an, daß der Körper der rationalen Zahlen bekannt ist. Genauer wollen wir annehmen: Gegeben ist eine Menge Q zusammen mit zwei Verknüpfungen
Einführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 20 Multiplikative Systeme Wir wollen zeigen, dass es zu jedem Integritätsbereich R einen Körper K gibt derart, dass R ein Unterring
Körperaxiome und Anordnungsaxiome. Analysis I. Guofang Wang. Universität Freiburg
Universität Freiburg 25.10.2011 Körperaxiome Wir setzen in dieser Vorlesung die reellen Zaheln als gegeben aus. Mit R bezeichnen wir die Menge aller reellen Zahlen, auf der folgende Strukturen gegeben
Kapitel II. Vektoren und Matrizen
Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft
3. Zahlbereiche und algebraische Strukturen
technische universität dortmund Dortmund, im November 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung von Kapitel 3 3. Zahlbereiche
Komplexe Zahlen. Bemerkungen. (i) Man zeigt leicht, dass C mit diesen beiden Operationen
Komplexe Zahlen Da für jede reelle Zahl x R gilt dass x 0, besitzt die Gleichung x + 1 = 0 keine Lösung in R bzw. das Polynom P (x) = x + 1 besitzt in R (!) keine Nullstelle. Dies führt zur Frage, ob es
FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4)
FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5 Aufgabe 18 (siehe Musterlösung Zettel 4) Aufgabe 20 In der Menge R der reellen Zahlen sei die Relation 2 R 2 definiert durch: x 2 y :
Da diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen
Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die
PROSEMINAR LINEARE ALGEBRA
PROSEMINAR LINEARE ALGEBRA von Daniel Cagara Zunächst benötigen wir einige Elemente der Gruppentheorie. Definition 1. Eine Gruppe ist ein Tupel, bestehend aus einer nicht leeren Menge G und einer Verknüpfung,
Da diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen
Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die
Weitere Eigenschaften
Weitere Eigenschaften Erklärung der Subtraktion: x y := x + ( y) (5) Die Gleichung a + x = b hat die eindeutig bestimmte Lösung x = b a. Beweis: (a) Zunächst ist x = b a eine Lösung, denn a + x = a + (b
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax
17 Lineare Abbildungen
Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:
2. Machen Sie sich klar, dass jede denkbare Festsetzung fur die noch fehlenden\ Dierenzen durch Werte in N 0 unschone\ Konsequenzen hat.
3 Die ganzen Zahlen 3.1 Historisches Die { bisher noch nicht erklarte { Subtraktion ist in N 0 nicht uneingeschrankt durchfuhrbar. Die negativen Zahlen wurden noch zu Zeiten von Rene Descartes als falsche\
2. Gruppen und Körper
2. Gruppen und Körper (2.1) Def. Eine Gruppe ist eine Menge, genannt G, und eine Abbildung ( innere Verknüpfung ) von G G nach G, hier bezeichnet als so daß folgende Eigenschaften erfüllt sind: : G G G,
G. Dobner/H.-J. Dobner: Lineare Algebra Elsevier Spektrum Akademischer Verlag
G. Dobner/H.-J. Dobner: Lineare Algebra Elsevier Spektrum Akademischer Verlag Beantwortung der Fragen und Lösungen der Aufgaben zu Kapitel Version V vom 3.. 28 2 Beantwortung der Fragen zu Kapitel TESTFRAGEN
Vorkurs Mathematik 1
Vorkurs Mathematik 1 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i 2 + 1 = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler
a i x i, (1) Ein Teil der folgenden Betrachtungen gilt auch, wenn man den Körper durch einen Ring ersetzt.
Polynome Definition 1. Ein Polynom f über einem Körper K mit der Unbestimmten x ist eine formale Summe f(x) = i 0 a i x i, (1) wobei nur endlich viele der Koeffizienten a i K von Null verschieden sind.
Stefan Ruzika. 24. April 2016
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers
min(a, b) H(a, b) G(a, b) A(a, b) Q(a, b) max(a, b), (1)
FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 4 Aufgabe 15 Für zwei beliebige reelle Zahlen a > 0, b > 0 bezeichne A(a, b) := a+b, das arithmetische, G(a, b) := ab das geometrische,
Einführung in die lineare Algebra und GeometrieWS 2018/19 October 30, 2018
1 Beweisen Sie folgende Aussage: Das Produkt zweier ungeraden Zahlen ist ungerade Beweisen Sie folgende Aussage: Es gibt keine ganzen Zahlen n, m mit 8m + 4n = 100 [Hinweis: Beweisen Sie indirekt Nehmen
Invertieren von Potenzreihen
Invertieren von Potenzreihen Sei E(x) die Erzeugende Funktion der Reihe, 0, 0, 0,.... E(x) ist neutrales Element der Multiplikation von Potenzreihen. Definition Inverses einer Potenzreihe Sei A(x), B(x)
Grundkurs Mathematik I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2016/2017 Grundkurs Mathematik I Vorlesung 19 Kommutative Ringe Wir erfassen die in der letzten Vorlesung etablierten algebraischen Eigenschaften der ganzen Zahlen mit
= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0.
Def 4 Eine Menge K mit zwei Abbildungen + : K K K und : K K K (heißen Addition und Multiplikation; wir werden a b bzw a+b statt (a,b), +(a,b) schreiben) ist ein kommutativer Ring, falls: (R1) (K, +) ist
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b
1 Aufbau des Zahlensystems
1 Aufbau des Zahlensystems 1.1 Die Menge N der natürlichen Zahlen 1.1.1 Definition Die mathematischen Eigenschaften dieser durch das Abzählen von Gegenständen motivierten Zahlenmenge lassen sich auf die
VII Komplexe Zahlen. Propädeutikum Holger Wuschke. 24. September 2018
Propädeutikum 2018 24. September 2018 Darstellung Rechengesetze Erweiterung der reellen Zahlen um eine imaginäre Einheit. Ursprung: Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0 Komplexe Zahlen C := {a + i b a, b R}
Lösungen zur Übungsserie 1
Analysis 1 Herbstsemester 2018 Prof. Peter Jossen Montag, 24. September Lösungen zur Übungsserie 1 Aufgaben 1, 3, 4, 5, 6, 8 Aufgabe 1. Sei X eine endliche Menge mit n Elementen, und sei Y eine endliche
Kapitel III Ringe und Körper
Kapitel III Ringe und Körper 1. Definitionen und Beispiele Definition 117 Eine Algebra A = S,,, 0, 1 mit zwei zweistelligen Operatoren und heißt ein Ring, falls R1. S,, 0 eine abelsche Gruppe mit neutralem
3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.
3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es
1 Angeordnete Körper und Anordnung
1 ANGEORDNETE KÖRPER UND ANORDNUNG 1 1 Angeordnete Körper und Anordnung Die nächste Idee, die wir interpretieren müssen ist die Anordnung. Man kann zeigen, dass sie nicht über jeden Körper möglich ist.
K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 1. Übung: Woche vom (komplexe Zahlen):
Übungsaufgaben 1. Übung: Woche vom 17.-21.10.16 (komplexe Zahlen): Heft Ü1: 3.9 (a,b); 3.10, 3.12 (a-c); 3.13 (a-c); 3.2 (a,b,d); 3.3 (c,d,f) Wiederholung Komplexe Zahlen Definition (Imaginäre Einheit,
8 Gruppen und Körper
8 Gruppen und Körper (8.) Definition: Eine Gruppe G ist eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung, die jedem Paar (a,b) von Elementen aus G ein weiteres Element a?b aus G zuordnet, so dass die folgenden
Lineare Algebra I. Probeklausur - Lösungshinweise
Institut für Mathematik Wintersemester 2012/13 Universität Würzburg 19. Dezember 2012 Prof. Dr. Jörn Steuding Dr. Anna von Heusinger Frederike Rüppel Lineare Algebra I Probeklausur - Lösungshinweise Aufgabe
Algebra und Zahlentheorie WS 13/14
Algebra und Zahlentheorie WS 13/14 FU Berlin David Müßig http://page.mi.fu-berlin.de/def/auz14/ muessig@mi.fu-berlin.de 21.01.2014 1 Hintergrund: Basen & Vektorräume 1.1 Grundlegende Begriffe Da einige
Übungen zur Diskreten Mathematik I Blatt 6
1 Blatt 6 Aufgabe 19 Es sei M := {n N : n 2} und R := {(n, m) M M : n teilt m}. a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist. b) Überprüfen Sie, ob R eine totale Ordnung auf M ist. c) Zeigen Sie,
3.1 Gruppen, Untergruppen und Gruppen-Homomorphismen
Inhaltsverzeichnis Teil II: Gruppen 2 3.1 Gruppen, Untergruppen und Gruppen-Homomorphismen.................. 2 3.1.1 Gruppen.......................................... 2 3.1.2 Untergruppen.......................................
$Id: funktion.tex,v /11/17 16:00:21 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v /11/17 16:17:18 hk Exp $
$Id: funktion.tex,v 1.29 2017/11/17 16:00:21 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v 1.23 2017/11/17 16:17:18 hk Exp $ 2 Funktionen Wir beschäftigen uns gerade mit dem Begriff der Umkehrfunktion einer Funktion f :
Zahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 08/9 c Dr. K. Rothe Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Hörsaalübung mit Beispielaufgaben zu Blatt Mengen Darstellung durch: a) Aufzählung
Satz 142 (Partialbruchzerlegung)
Satz 142 (Partialbruchzerlegung) Seien f, g K[x] (K = Q, R, C) Polynome mit grad(g) < grad(f), und es gelte f(x) = (x α 1 ) m1 (x α r ) mr mit N m i 1 und paarweise verschiedenen α i K (i = 1,, r) Dann
Der Fundamentalsatz der Algebra. 1 Motivation
Vortrag im Rahmen des Proseminars zur Analysis, 24. April 2006 Micha Bittner Motivation Den ersten des Fundamentalsatzes der Algebra erbrachte C.F. Gauss im Jahr 799 im Rahmen seiner Dissertation. Heute
1.4 Gruppen, Ringe, Körper
14 Gruppen, Ringe, Körper Definition 141 Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M : (a, b a b Die Verknüpfung heißt assoziativ falls gilt: a (b c = (a b c a, b, c M; kommutativ falls
2.9 Die komplexen Zahlen
LinAlg II Version 1 3. April 2006 c Rudolf Scharlau 121 2.9 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in
3. Funktionen. 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3]
![3. Funktionen. 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3]](/thumbs/77/75617183.jpg "3. Funktionen. 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3]")
13 3. Funktionen 3.1 Grundbegriffe [Kö 4.1; Sch-St 4.3] Definition 1. A und B seien Mengen. a Eine Abbildung (oder Funktion f von A nach B (Schreibweise: f: A B ist eine Vorschrift, die jedem x A genau
LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow
LINEARE ALGEBRA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT 1 Grundbegriffe 1 1.1 Aussagen und Quantoren 1 1.2 Mengen 2 1.3 Gruppen 3 1.4 Körper 4 1.5 Vektorräume 5 1.6 Basis und Dimension 7 Aufgaben
b liegt zwischen a und c.
2 DIE ANORDNUNGSAXIOME 5 (2.4) a, b, c R : (a < b 0 < c) ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation Bezeichnungen a > b : b < a (> wird gelesen: größer als ) a b : a < b oder a = b a b : a > b oder a =
WS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch
% 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!
Lineare Algebra I für Mathematiker Lösungen
Lineare Algebra I für Mathematiker Lösungen Anonymous 24. April 2016 Aufgabe 1 Beantworten Sie bitte die folgenden Fragen. Jeder Vektorraum hat mindestens ein Element. Q ist ein R-Vektorraum (mit der Multiplikation
HM I Tutorium 2. Lucas Kunz. 31. Oktober 2018
HM I Tutorium 2 Lucas Kunz 31. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 2 1.1 Körper und Gruppen.............................. 2 1.2 Konstruktion der reellen Zahlen........................ 3 1.3 Natürliche
Übungen zur Vorlesung Einführung in die Mathematik
Übungen zur Vorlesung Einführung in die Mathematik von G. Greschonig und L. Summerer, WS 2017/18 Aufgabe 1. Zeige, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl, vermindert um 1, stets durch 4 teilbar ist. Folgere
Komplexe Zahlen. Darstellung
Komplexe Zahlen Die Zahlenmengen, mit denen wir bis jetzt gearbeitet haben lassen sich zusammenfassen als N Z Q R Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich der Operation des Addierens. Das heisst
Mengenlehre: Mächtigkeit (Ordnung) einer Menge
Mengenlehre: Mächtigkeit (Ordnung) einer Menge Def. Seien A, B Mengen. Wir sagen, dass A höchstens gleichmächtig zu B ist, falls es eine injektive Abbildung f : A B gibt. Schreibweise: A B. Wir sagen,
Klausur vom Algebra I. Rolf Farnsteiner
Klausur vom 12.02.2010 Algebra I Rolf Farnsteiner Lösungen Daiva Pučinskaitė Aufgabe 1. Seien U 1, U 2 G Untergruppen einer Gruppe G. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (1) U 1 U 2 ist
2 Teilbarkeit in Z. (a) Aus a b folgt a b und a b und a b und a b. (b) Aus a b und b c folgt a c.
2 Teilbarkeit in Z Bis auf weiteres stehen kleine Buchstaben für ganze Zahlen. Teilbarkeit. Sei a 0. Eine Zahl b heißt durch a teilbar, wenn es ein q gibt mit b = qa. Wir sagen dann auch: a teilt b (ist
Ferienkurs Analysis 1
Skript Ferienkurs Analysis 1 Fabian Hafner und Thomas Baldauf TUM Wintersemester 2014/15 16.03.2015 Das Skript wurde teilweise übernommen vom Skript des Ferienkurses WS 2014, verfasst von Andreas Wörfel.
Chr.Nelius: Grundzüge der Algebra (WS2005/06) 1. (14.1) DEF: Ein kommutativer Ring (K, +, ) heißt ein Körper, wenn gilt: 1) 1 K 0 K 2) K = K \ {0 K }
Chr.Nelius: Grundzüge der Algebra (WS2005/06) 1 14 Körper (14.1) DEF: Ein kommutativer Ring (K, +, ) heißt ein Körper, wenn gilt: 1) 1 K 0 K 2) K = K \ {0 K } (14.2) BEM: a) Ist K ein Körper, so ist (K
R 3 und U := [e 2, e 3 ] der von e 2, e 3 erzeugte
![R 3 und U := [e 2, e 3 ] der von e 2, e 3 erzeugte](/thumbs/74/70162485.jpg "R 3 und U := [e 2, e 3 ] der von e 2, e 3 erzeugte")
Aufgabe ( Es seien e =, e = Untervektorraum (, e = ( R und U := [e, e ] der von e, e erzeugte Weiter sei G := {A GL(, R A e = e und A U U} (a Zeigen Sie, dass G eine Untergruppe von GL(, R ist (b Geben
Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009
Aufgabensammlung zu Einführung in das mathematische Arbeiten Lineare Algebra und Geometrie WS 2009 Schulstoffbeispiele 1. Lineare Gleichungssysteme. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme.
Mathematische Strukturen
Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 18. April 2012 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de
Ganze algebraische Zahlen
Seminarvortrag Ganze algebraische Zahlen gehalten von Johannes Hölken an der Universität Duisburg-Essen im Sommersemester 2012 im Rahmen des Seminars über Elementrare Zahlentheorie. Kontakt: johannes.hoelken@stud.uni-due.de
ist (oder besser Abspalten von Linearfaktoren beschäftigen. Zu einem beliebigen Körper K betrachten wir die Menge (j,k) N N j+k=n
8. Polynomringe Das Umgehen mit Polynomen, d.h. mit Ausdrücken der Form a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n ist aus der Schule vertraut, falls die Koeffizienten a 0,..., a n ganze oder rationale oder
ANALYSIS 1 Kapitel 2: Reelle und komplexe Zahlen
ANALYSIS 1 Kapitel 2: Reelle und komplexe Zahlen MAB.01012UB MAT.101UB Vorlesung im WS 2017/18 Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens-Universität Graz 2.1 Körperstruktur
8. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker II, SS 2004
8. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker II, SS 2004 MARTIN LOTZ &MICHAEL NÜSKEN Aufgabe 8.1 (Polynomdivision). (8 Punkte) Dividiere a mit Rest durch b für (i) a = x 7 5x 6 +3x 2 +1, b = x 2 +1in
Rechnen mit Klammern
Rechnen mit Klammern W. Kippels 28. Juli 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Gesetze und Formeln zum Rechnen mit Klammern 3 1.1 Kommutativgesetze.............................. 3 1.2 Assoziativgesetze...............................
Analysis I. 8. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 8. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Eine Ordnungsrelation auf einer Menge I. (2)
Einiges über komplexe Zahlen
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für LB WS 2001/2002 Dr. Bruno Riedmüller Einiges über komplexe Zahlen Es muss davon ausgegangen werden, dass der Leser mit komplexen Zahlen wenig oder nicht
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF 07.03.2016-11.03.2016 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 2 1.1 Grundlagen..................................................
Denition 1 (Die Peanoschen Axiome). Es gibt eine Menge N und eine sogenannte Nachfolgefunktion S mit folgenden Eigenschaften.
In dieser Ausarbeitung handelt es sich es um die Menge der natürlichen Zahlen und deren Eigenschaften. In der Analysis werden häug zunächst die reellen Zahlen als vollständig geordneter Körper betrachtet
1 Mengenlehre. Maturavorbereitung GF Mathematik. Aufgabe 1.1. Aufgabe 1.2. Bestimme A \ B. Aufgabe 1.3. Aufgabe 1.4. Bestimme B \ A. Aufgabe 1.
Maturavorbereitung GF Mathematik Kurzaufgaben 1 Mengenlehre Aufgabe 1.1 Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3} und B = {2, 3, 6, 8}. Bestimme A B. Aufgabe 1.2 Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3} und B
Chinesischer Restsatz für Ringe
Chinesischer Restsatz für Ringe Lena Wehlage 22. Mai 2017 1 1 Einleitung Ziel dieses Vortrags zum allgemeinen chinesischen Restsatz ist es, den im letzten Vortrag kennengelernten chinesischen Restsatz
Übung 4 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 15. Oktober 2018 in den Übungsstunden
Mathematik I für Naturwissenschaften Dr. Christine Zehrt 11.10.18 Übung 4 (für Pharma/Geo/Bio Uni Basel Besprechung der Lösungen: 15. Oktober 018 in den Übungsstunden Aufgabe 1 (a Sei f(x = cosx. Der Graph
3. Ringtheorie. 3.1 Definition, Ideale, Kongruenzen
20 3. Ringtheorie 3.1 Definition, Ideale, Kongruenzen Definition 1. a) Eine nicht leere Menge R gemeinsam mit zwei Verknüpfungen + und heißt ein Ring (mit Einselement), wenn folgendes gilt: (R1) (R, +)
Lösungen - Serie 1 zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie
Lösungen - Serie 1 zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie Aufgabe 1: Zeigen Sie die folgenden Identitäten zu Idealen: In Z[ 5] gilt () = (, 1 + 5) (, 1 5) und (1 + 5) = (, 1 + 5)
Lineare Algebra I, Musterlösung zu Blatt 9
Lineare Algebra I, Musterlösung zu Blatt 9 Wintersemester 2007/08 1. Untersuchen Sie, ob die folgenden Matrizen invertierbar sind und bestimmen Sie gegebenenfalls die Inverse. 8 1 3 1 a) A = 3 3 1 1 11
Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07. Kapitel II. Die reellen Zahlen
Version 23.11. November 2006 MIA Analysis einer reellen Veränderlichen WS 06/07 Kurzfassung Martin Schottenloher Kapitel II. Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden in diesem Kapitel axiomatisch eingeführt
Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I
Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I Aufgabe Version A 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. Jochen Schröder Einführung in Algebra und Zahlentheorie Übungsblatt 9 Musterlösung Aufgabe 1 (4
Lineare Algebra 6. Übungsblatt
Lineare Algebra 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik M. Schneider 16.05.01 Konstantin Pertschik, Daniel Körnlein Gruppenübung Aufgabe G19 Berechnen Sie das inverse Element bzgl. Multiplikation in der
Grundlagen der Mathematik
Grundlagen der Mathematik Übungsaufgaben zu Kapitel 1 Einführung 1.1.1 Für reelle Zahlen a und b gilt (a+b) (a-b) = a 2 -b 2. Was ist die Voraussetzung? Wie lautet die Behauptung? Beweisen Sie die Behauptung.
MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016
MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/17 MARK HAMILTON LMU MÜNCHEN 1.1. Grundbegriffe zu Mengen. 1. 17. OKTOBER 2016 Definition 1.1 (Mengen und Elemente). Eine Menge ist die Zusammenfassung
Skript und Übungen Teil II
Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen
Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 5, Wintersemester vom 21. Januar 2006
Prof. E.-W. Zink Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 5, Wintersemester 2005-06 vom 21. Januar 2006 1. Sei (N, v) Peano-Menge
Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I
Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I Es werden folgende Themen behandelt:. Formale und logische Grundlagen 2. Algebraische Grundlagen 3. Vektorräume und LGS 4. Homomorphismen und
Satz 2.8 V sei ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. Für jeden Unterraum
Orthogonalität 123 Dienstag, 27. April 04 Satz 2.8 V sei ein endlichdimensionaler euklidischer Vektorraum. Für jeden Unterraum U von V gilt dann (a) U + U = V, U U = {0}, U, U = 0. (b) (U ) = U. Wir sagen
Analysis für Informatiker
Analysis für Informatiker Wintersemester 2017/2018 Carsten.Schneider@risc.jku.at 1 Bemerkung: Dies ist kein Skript, welches den gesamten Inhalt der Vorlesung abdeckt. Es soll den Studierenden aber während