Einführung in numerische Simulation mit Python

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1 Einführung in numerische Simulation mit Python Alexander Schlemmer, Jan Schumann-Bischoff, Tariq Baig Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation, Biomedizinische Physik Nichtlineare Dynamik Praktikum

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 3

3 Python Universelle Skriptsprache, meistens interpretiert Fokus auf gute Lesbarkeit von Sourcecode Open Source (Python Software Foundation License) Existiert seit 1991 Wird gepflegt und weiter entwickelt von der Python Software Foundation Aktuell zwei (z.t. inkompatible) Hauptversionen: Python 2.7 und Python 3.4

4 Python: Merkmale Große Anzahl an (frei) verfügbaren Bibliotheken Im wissenschaftlichen Bereich: numpy, scipy, matplotlib Dynamische Typisierung Objektorientierung Reduzierte, übersichtliche Syntax, wenige Schlüsselwörter Leicht zu lernen Als interpretierte Sprache eher langsam Höhere Geschwindigkeit durch Vektorisierung von numerischen Operationen Schlechte Unterstützung von Threads (Multithreading)

5 Python ausführen Python-Interpreter ausführen: python # Python 2 ( a uf den m e i s t e n Rechnern ) python3 Skript / Programm ausführen: python s k r i p t. py Äußerst praktische interaktive Shell: i p y t h o n Interaktives (Web-)Notebook: i p y t h o n notebook

6 Einfache Beispiele Erstes Beispiel >>> print("hello World!") Hello World! >>> # Das ist ein Kommentar >>> a = 42 # Variablendeklaration >>> print(a * abs(-0.1))

7 Variablendeklaration >>> v = 1 >>> type(v) <type int > >>> st = "str" >>> type(st) <type str > >>> y = j >>> type(y) <type complex > >>> tr = True >>> type(tr) <type bool > >>> x = >>> type(x) <type float > Mehr zu Typen unter:

8 Mathematische Operationen (1) >>> # Einfache Ausdrücke: >>> 42 * / (17 + 4) + a 260 >>> # Division: >>> 43.0 / >>> 43 / 3 # Unterschied zw. Python 2 und 3! 14 >>> 43 // 3 # Ganzzahl-Division 14 >>> 43 % 3 # Modulo 1

9 Weitere Operatoren >>> # Potenzieren: >>> # Komplexe Zahlen: >>> 8**3 >>> c = 2 + 3j 512 >>> c.real >>> 9**(-2) >>> c.imag >>> # Vergleichen: 3.0 >>> 4 < 3 >>> c.conjugate() False (2-3j) >>> "str" == "str" >>> abs(c) True >>> 68 >= 17*4 True >>> (not True == True) or (4 > 3 and 8!= 99) True

10 Mathematische Standardfunktionen >>> from math import sqrt, exp >>> from math import pi,sin,acos >>> sqrt(2) >>> exp(a*-7) e-128 >>> sin(0.5*pi) 1.0 >>> acos(1) 0.0 >>> import cmath >>> cmath.exp(-1/2*pi*1j) ( e-16j) >>> cmath.log(32, 2) (5+0j) >>> cmath.log(-2).imag

11 Listen >>> liste = [1, 3, 4, 5] >>> liste[0] >>> liste.append(7) 1 >>> liste.extend([2, 3]) >>> liste[6:8] >>> liste.reverse() [7, str ] >>> liste >>> liste[-4] [3, 2, 7, 5, 4, 3, 1] 5 >>> liste.sort() >>> liste[-3:] >>> liste [7, str, [1, 3]] [1, 2, 3, 3, 4, 5, 7] >>> liste[-1][1] * 72 >>> liste.append("str") 216 >>> liste.append([1, 3]) >>> liste [1, 2, 3, 3, 4, 5, 7, str, [1, 3]]

12 Bedingungen if-elif-else-block >>> if a < 7:... b = print(a*7)... elif a > 7:... print(a/7)... else:... print(a)... 6

13 Schleifen (1) for-loop über Liste >>> for l in liste[0:2]:... print(l) for-loop über Range >>> for l in range(-2,2):... if l % 2 == 0:... print(l)

14 Schleifen (2) while-loop >>> i = 0 >>> while(i < 7):... i += 2 # i = i >>> print(i) 8 Mehr zu Control-Flow:

15 Funktionen Funktionen definieren >>> def f(x, y):... print("funktionsaufruf")... b = a * x + y... return(b)... Funktionen aufrufen >>> f(23, -2) * 4 Funktionsaufruf 3856 Mehr zu Funktionen: controlflow.html#defining-functions

16 Numpy ist elementares Python Paket für numerische Berechnungen in Python Numpy bietet: N-dimensionales Array Objekt Indizierung ganzer Array Bereiche Sehr schnelle Berechnung elementweiser Operationen (Vektorisierung) Viele Lineare Algebra Routinen wie Matrix Multiplikation, SVD, Eigewertberechnungen, Invertierung, Zufallszahlengeneratoren, Foiurier-Transformation,...

17 Indizierung von Python Arrays Indizierung in Python ist Null-basiert (wie C)! Numpy Arrays sind keine Listen oder Listen von Listen Listen können zu Numpy Arrays konvertiert werden. Eindimensionales Array (1) >>> import numpy as np >>> a = np.array([1., 4.5, 6.3, 4.1, 0.3, 9.4, 7.1]) >>> a array([ 1., 4.5, 6.3, 4.1, 0.3, 9.4, 7.1]) >>> a[2] >>> a.shape (7,)

18 Index von : bis : Schrittweite gibt Bereich im Array an Eindimensionales Array (2) >>> a = np.array([1., 4.5, 6.3, 4.1, 0.3, 9.4, 7.1]) >>> a[:3] # Das dritte Element ist NICHT enthalten! array([ 1., 4.5, 6.3]) >>> a[3:] # Das dritte Element IST enthalten! array([ 4.1, 0.3, 9.4, 7.1]) >>> a[1:-2] # Indizierung bis vorvorletztem Element array([ 4.5, 6.3, 4.1, 0.3]) >>> a[::2] # Indizierung mit Schrittweite 2 array([ 1., 6.3, 0.3, 7.1]) >>> a[1:5:2] array([ 4.5, 4.1]) >>> a[::-1] # Reihenfolge umdrehen array([ 7.1, 9.4, 0.3, 4.1, 6.3, 4.5, 1. ])

19 Zweidimensionale Arrays >>> a = np.array([[4.2, 8.1, 7.9], [2.3, -7.6, 0.3]]) >>> a array([[ 4.2, 8.1, 7.9], [ 2.3, -7.6, 0.3]]) >>> a.shape (2, 3) >>> a[:,2] array([ 7.9, 0.3]) >>> a[1,1:] array([-7.6, 0.3]) >>> a.t # transponieren array([[ 4.2, 2.3], [ 8.1, -7.6], [ 7.9, 0.3]])

20 Verändern von Elementen in Arrays >>> a = np.array([[4.2, 8.1, 7.9], [2.3, -7.6, 0.3]]) >>> a[0,2] = 1 >>> a array([[ 4.2, 8.1, 1. ], [ 2.3, -7.6, 0.3]]) >>> a[:,1] = [8, 9] >>> a array([[ 4.2, 8., 1. ], [ 2.3, 9., 0.3]]) >>> a[-1,:] = 3 >>> a array([[ 4.2, 8., 1. ], [ 3., 3., 3. ]])

21 Rechnen mit Arrays Elementweises Rechnen in Numpy deutlich schneller als mit eigenen Schleifen (wie in C, Fortran,... üblich). Quellcode sollte also vektorisiert sein. >>> a = np.array([[4, 8, 7], [2., -7, 0]]) >>> a + 3 array([[ 7., 11., 10.], [ 5., -4., 3.]]) >>> np.sin(a) array([[ , , ], [ , , 0. ]]) >>> b = np.array([[1, 4, 3], [5, 2, 4.1]]) >>> a * b # Achtung: elementweise Multiplikation! array([[ 4., 32., 21.], [ 10., -14., 0.]])

22 Spezielle Funktionen zum erzeugen von Arrays >>> a = np.zeros((4,3)) # Array mit Nullen >>> a = np.ones((4,3)) # Array mit Nullen >>> np.arange(3, 9, 2) # Werte mit gleichem Abstand array([3, 5, 7]) >>> np.diag([1, 2, 3]) # Diagonalmatrix array([[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 3]])

23 Lineare Algebra mit numpy Lineare Algebra Routinen befinden sich in np.linalg >>> a = np.array([[2, 1], [3, 4]]) >>> b = np.array([[4, 8, 7], [2., -7, 0]]) >>> np.dot(a,b) # Matrixmultiplikation array([[ 10., 9., 14.], [ 20., -4., 21.]]) U, S, V = np.linalg.svd(a) # Singulärwertzerlegung w, v = np.linalg.eig(a) # Eigenwertberechnung linalg.html

24 Kopieren und Referenzieren von Arrays >>> a = np.array([4.2, 8.1, 7.9, 2.3, -7.6, 0.3]) >>> b = a # Referenz auf gleichen Speicherbereich von a >>> a[1:4] = 4 >>> a array([ 4.2, 4., 4., 4., -7.6, 0.3]) >>> b array([ 4.2, 4., 4., 4., -7.6, 0.3]) >>> b = np.copy(a) # Kopie von a >>> a[-2:] = 3 >>> a array([ 4.2, 4., 4., 4., 3., 3. ]) >>> b array([ 4.2, 4., 4., 4., -7.6, 0.3])

25 Matplotlib ist quasi Standard zum graphischen darstellen von Daten Beherrscht 2D und 3D Plots, Histogramme und vieles mehr Gallery:

26 2D Matplotlib - einzelner Plot (1) import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.arange(0,10,0.01) y = np.sin(x) plt.plot(x,y) plt.show()

27 2D Matplotlib - einzelner Plot (2) import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.arange(0,10,0.01) y = np.sin(x) fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(1,1,1) ax.plot(x,y) ax.set_xlabel( $x$ ) ax.set_ylabel( y ) plt.savefig( sinusx2.pdf ) y x

28 2D Matplotlib - Histogramm import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.random.randn(10000) fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(1, 1, 1) ax.hist(x, 20) ax.set_xlabel( $x$ ) plt.savefig( histogramm.pdf ) x

29 2D Matplotlib - subplots import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.arange(0,10,0.01) y = np.sin(x) z = np.cos(x) fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(2,1,1) ax.plot(x,y) ax.set_ylabel( y ) ax = fig.add_subplot(2,1,2) ax.plot(x,z, --r ) ax.set_ylabel( z ) ax.set_xlabel( x ) plt.savefig( sincosx.pdf ) y z x

30 3D Matplotlib from mpl_toolkits.mplot3d \ import Axes3D import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.arange(0,50,0.1) y = np.sin(x) z = np.cos(x) fig = plt.figure() ax = fig.add_subplot(1,1,1, projection= 3d ) ax.plot(x,y,z,. ) ax.set_xlabel( x ) ax.set_ylabel( y ) ax.set_zlabel( z ) plt.savefig( sincosx3d.pdf ) x z y

31 Enthält weitere numerische Funktionen Basiert auf Numpy Beispiele: Integrationsmethoden scipy.integrate Minimierung von Funktionen scipy.optimize Nächste Nachbarn Suche: scipy.spatial

32 DGL Integration Numerische Integratoren für gewöhnliche Differenzialgleichungen (DGLen) befinden sich im Paket scipy Gutes und genaues Integrationsverfahren ist Runge-Kutta45 ( dopri5 in scipy)

33 Beispiel: Lorenz63 model Definition der Modell Gleichungen def lorenz63(t,x): x1 = x[0] x2 = x[1] x3 = x[2] sigma = 10 rho = 28 beta = 8./3 F = np.zeros(3) F[0] = sigma*(x2-x1) F[1] = x1*(rho-x3)-x2 F[2] = x1*x2-beta*x3 return F

34 Beispiel: Lorenz63 model Integration der Modell Gleichungen from scipy.integrate import ode N = 2000 dt = 0.01 x = np.zeros((n,3)) t = np.arange(0,2000*dt,dt) x[0,:] = [-4.70, 0.10, 29.10] r = ode(lorenz63).set_integrator( dopri5 ) r.set_initial_value(x[0,:], 0) i = 0 while r.successful() and r.t < (N-1)*dt: r.integrate(r.t+dt) i = i + 1 x[i,:] = r.y

35 Attraktor des Lorenz63 Modells x x x

36 Dictionaries Dictionary: Datenstruktur, um Key-Value-Paare zu speichern Erzeugung >>> d1 = {} # Erzeugt ein leeres Dictionary >>> # Dictionary mit einigen Key-Value-Paaren: >>> d2 = {"key1": "value1", "key2": 728,... "key3": [2, 3, 8]} Zugriff >>> d2["key1"] value1 >>> d2["key2"] = 17 Mehr zu Dictionaries: datastructures.html#dictionaries

37 Serialisierung: Das Pickle-Modul... stellt Funktionen bereit, um (fast) beliebige komplexe Datenstrukturen auf der Festplatte zu speichern und von dort wiederherzustellen. Erzeugung >>> import pickle >>> pickle.dump(d2, open("pickled_d2.dat", "wb")) >>> new_d = pickle.load(open("pickled_d2.dat", "rb")) >>> print(new_d) { key3 : [2, 3, 8], key2 : 17, key1 : value1 }

38 Weiteres Dokumentationsmaterial Offizielles Python-Tutorial: Stackoverflow: Offizielles Numpy-Tutorial: -Cookbook: Offizielles SciPy-Tutorial: tutorial/index.html