Binärbäume und Pfade

Transkript

1 Binärbäume und Pfade Bevor wir uns dem Pumping Lemma für Typ-2 Sprachen widmen, wollen wir einen einfachen Satz über Binärbäume beweisen. Als Binärbaum bezeichnen wir hier einen Baum, bei dem jeder Knoten, der kein Blatt ist, genau zwei Nachfolgeknoten besitzt. Die Syntaxbäume für CNF-Grammatiken sind Binärbäume, wenn wir die jeweils letzten Schritte (der Form A! a) ignorieren! Satz: Hat ein Binärbaum 2 k oder mehr Blätter, so hat er auch einen Pfad der Länge mindestens k. Beweis per Induktion über k, Induktionsanfang für k = 1 ist klar. Für den Induktionsschritt betrachten wir die beiden Teilbäume der Wurzel, von denen mindestens einer 2 k oder mehr Blätter hat. Der hat einen Pfad der Länge k, mitderwurzelalso k + 1. Einheit 22 Folie 22.1

2 Pumping Lemma für Typ-2 Das Pumping Lemma für Typ-2 Sprachen wird oft auch als uvwxy-theorem bezeichnet. Es lautet wie folgt: Satz: Sei L eine Typ-2 Sprache. Dann gibt es eine Zahl n so, dass für alle z 2 L mit z n eine Zerlegung z = uvwxy in u, v, w, x, y 2 existiert, für die die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: 1) vx 1 2) vwx applen 3) 8i 0 : uv i wx i y 2 L Wie beim Pumping Lemma für Typ-3 ist es auch hier besonders wichtig, die logische Struktur der Aussage zu beachten! Einheit 22 Folie 22.2

3 Beweis des Pumping Lemmas Die Sprache L sei eine Typ-2 Sprache, d.h. es gibt eine Typ-2 Grammatik G =(V,, P, S) in CNF, so dass L = L(G) gilt. Wir fixieren eine solche Grammatik G und wählen n = 2 V. Nun müssen wir zeigen, dass für diese Wahl von n die Behauptung aus dem Pumping Lemma tatsächlich gilt. Es sei also z 2 L mit z n gegeben. Wir müssen zeigen, dass z sich zerlegen lässt in z = uvwxy, undzwarso,dassdie Bedingungen 1), 2) und 3) erfüllt sind. Weil z 2 L ist, gibt es einen Syntaxbaum, dessen Blätter genau das Wort z ergeben. Auch ohne die Terminalschritte hat dieser Baum mindestens 2 V viele Blätter, also gibt es in ihm einen Pfad (von der Wurzel zu einem Blatt), dessen Länge mindestens V beträgt. Auf diesem Pfad muss sich eine Variable wiederholen. Einheit 22 Folie 22.3

4 Beweis (2) Wir fixieren im Syntaxbaum einen längsten Pfad. Von unten nach oben prüfen wir diesen Pfad und suchen den Knoten, in dem erstmals eine Variable steht, die weiter unten schon vorgekommen war. Daher erhalten wir folgendes Bild: S A A u v w x y Beachte: Der (grüne) Teilpfad unterhalb des roten A s hat höchstens die Länge V. Einheit 22 Folie 22.4

5 Beweis (3) Wir lesen aus dem Bild der vorigen Folie ab, dass folgende Ableitungen existieren: S ) uay A ) vax A ) w Außerdem ist klar, dass der Teilbaum unter dem roten A maximal 2 V viele Blätter haben kann (da sein längster Pfad durch V beschränkt ist). Also gilt vwx applen, d.h. Bedingung 2) ist erfüllt. Bedingung 1) ist auch erfüllt, denn wenn das blaue A im linken Teilbaum unterhalb des roten A s liegt, dann führen alle Blätter des rechten Teilbaums zu Buchstaben in x dieseskannalso nicht das leere Wort sein. Wenn andererseits das blaue A im rechten Teilbaum liegt, kann ebenso (symmetrisch) v nicht das leere Wort sein. Einheit 22 Folie 22.5

6 Beweis, Abschluss Nun müssen wir nur noch zeigen, dass auch die Bedingung 3) erfüllt ist. Dazu benutzen wir die drei Ableitungen S ) uay A ) vax A ) w und zeigen per Induktion: S ) uv i Ax i y für alle i. Induktionsanfang ist die erste Ableitung oben (i = 0). Für den Induktionsschritt benutzen wir, dass schon S ) uv i Ax i y gilt. Zusammen mit A ) vax erhalten wir S ) uv i+1 Ax i+1 y. Nun brauchen wir nur noch die Ableitung A ) w benutzen, um aus uv i Ax i y schließlich uv i wx i y zu machen, insgesamt also S ) uv i wx i y und damit uv i wx i y 2 L. Bitte schauen Sie sich hierzu auch die aussagekräftigen Bilder im Buch an! Einheit 22 Folie 22.6