Definition der Greibach-Normalform

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1 Definition der Greibach-Normalform Ähnlich wie die CNF wollen wir noch eine zweite Normalform einführen, nämlich die Greibach-Normalform (GNF), benannt nach Sheila Greibach: Definition: Eine Typ-2 Grammatik G mit Regelmenge P ist in Greibach-Normalform, wenn für alle (u, v) 2 P gilt: v 2 V Hier bestehen die rechten Seiten der Regeln also immer aus einem Terminalsymbol, gefolgt von einer (möglicherweise leeren) Folge von Variablen. Auch hier werden wir zeigen, dass es zu jeder Typ-2 Grammatik eine äquivalente Grammatik in GNF gibt. Einheit 19 Folie 19.1

2 Erste Schritte zur CNF Wir gehen grundsätzlich von einer Typ-2 Grammatik G mit " 62 L(G) aus. Als ersten generellen Schritt wollen wir eine zu G äquivalente Typ-2 Grammatik G 1 erzeugen, in der folgendes gilt: (u, v) 2 P =) [ v > 1oderv 2 ] Also müssen Regeln der Form A! B aus P eliminiert werden. Wir werden das in zwei Schritten bewerkstelligen: Zunächst werden sogenannte Ringableitungen entfernt. Dann werden die Variablen so angeordnet, dass A! B nur vorkommen kann, wenn B in der Anordnung hinter A kommt. Einheit 19 Folie 19.2

3 Eine Ringableitung liegt vor, wenn es Variablen B 1,...,B r gibt, so dass in P Regeln B i! B i+1 für i = 1,...,r 1existieren, und außerdem B r! B 1 eine Regel aus P ist (und r 2). Wenn eine solche Ringableitung existiert, streichen wir alle Variablen B i und ersetzen sie in allen Regeln durch die neue Variable B. Die Regel B! B wird entfernt. Alle Ableitungen der ursprünglichen Grammatik können mit der abgewandelten Regelmenge immer noch gebildet werden. Andererseits gilt in der ursprünglichen Grammatik B i ) G B j für alle Paare i, j. Daher können wir Ableitungen gemäß der abgewandelten Grammatik zurück übersetzen in Ableitungen der ursprünglichen Grammatik, wenn an den Nahtstellen diese Übergänge benutzt werden. Ringableitungen entfernen Einheit 19 Folie 19.3

4 Variablen anordnen Wenn alle Ringableitungen eliminiert sind, können wir die Variablen in einem Graph ohne Zyklen darstellen: Eine Kante (A, B) existiert genau dann, wenn (A, B) 2 P gilt. Dieser endliche zyklenfreie Graph muss Knoten vom Ausgangsgrad 0 haben. Wir wählen einen solchen als letzten Knoten in der Ordnung und entfernen ihn aus dem Graph. Der neue Graph hat wieder einen solchen Knoten vom Ausgangsgrad 0, der der vorletzte in der Ordnung wird, usw. Nun seien die Knoten geordnet: V = {A 1,...,A n } und in P kann A i! A j nur dann vorkommen, wenn i < j gilt. Jetzt eliminieren wir sukzessive Regeln der Form A i! A j, indem wir Abkürzungen einführen, beginnend bei i = n 1. Einheit 19 Folie 19.4

5 Abkürzungen und Pseudoterminale Die Beseitigung der Regel A n 1! A n schaffen wir, indem wir für jede Regel A n! v auch die Regel A n 1! v einführen. Das tun wir natürlich nur, wenn die Regel A n 1! A n wirklich vorhanden war! Dieses Vorgehen iterieren wir so lange, wie noch Regeln A i! A j mit i < j vorhanden sind und zwar von hinten nach vorne. Wir rekapitulieren: Jetzt gilt für jede Regel (u, v) in P entweder v 2 oder v 2. Als nächstes werden Terminale, die in Regeln (u, v) mit v > 1 vorkommen, durch neue Variablen (eine Variable für jedes Terminal) ersetzt, z.b. a durch V a, und dann die Regel V a! a ergänzt. Nun haben alle Regeln die Form (u, v), wobeientwederv 2 gilt oder v 2 V,aberdann v > 1. Einheit 19 Folie 19.5

6 Letzter Schritt Die störenden Regeln, die wir jetzt noch haben, sind von der Form A! C 1...C k mit k 2. Für k = 2sinddieseschonso,wie in der CNF vorgesehen. Aber was machen wir bei k > 2? Wir wählen neue Variablen D 2,...,D k 1 und ersetzen die eine Regel A! C 1...C k durch folgende k 1 Regeln: A! C 1 D 2 usw. bis D 2! C 2 D 3 D k 1! C k 1 C k Auch durch diese letzte Anpassung wird die erzeugte Sprache nicht geändert. Also erhalten wir den folgenden Satz... Einheit 19 Folie 19.6

7 Satz (Chomsky-Normalform) Satz: Zu jeder kontextfreien Grammatik G mit " 62 L(G) gibt es eine Grammatik G 0 in Chomsky-Normalform, so dass gilt. L(G) =L(G 0 ) Der Beweis für diesen Satz, den wir in dieser Einheit geführt haben, war konstruktiv d.h. wir können G 0 sogar konstruieren! Einheit 19 Folie 19.7