Übungszettel XI *gelöst*

Transkript

1 Übungszettel XI *gelöst* 1. Aufgabe Sei folgende Grammatik G = < A, N, S, R > gegeben, wobei: A = { der, die, das, Auto, Banane, fährt, schnell, schmeckt, gut } N = {<S>, <NP>, <VP>, <Adj>, <D>, <N>} S = <S> R = { <S> <NP> <VP>, <S> <NP> <VP> <Adj>, <NP> <D> <N>, <VP> fährt, <VP> schmeckt, <Adj> gut, <Adj> schnell, <D> der, <D> die, <D> das, <N> Auto, <N> Banane } i.) Kann man die Regelmenge R auch kompakter aufschreiben? Wenn ja, wie? In der Vorlesung wurde folgende Notation eingeführt: Wenn wir zwei Regeln der Form X Y und X Z, wobei X = X, dann können wir diese zwei Regeln wie folgt kompakter aufschreiben: X Y Z Für die Grammatik G können wir die Regelmenge wie folgt kompakter aufschreiben: R = {<S> <NP> <VP> <NP> <VP> <Adj>, <NP> <D> <N>, VP> fährt schmeckt, <Adj> gut schnell, <D> der die das, <N> Auto Banane } ii.) Gebt für ein und dieselbe Terminalkette zwei verschiedene Ableitungen an. /die Banane schmeckt / <S> <NP><VP> 1

2 <D><N><VP> die <N><VP> die Banane <VP> die Banane schmeckt /die Banane schmeckt / <S> <NP><VP> <D><N><VP> <D>Banane <VP> die Banane <VP> die Banane schmeckt iii.) Erstellt ausgehend von der Ableitung einen Strukturbaum für die Terminalkette. Gibt es für irgendeine Terminalkette, die von der Grammatik generiert werden kann, zwei verschiedene Strukturbäume? Es gibt keine Zeichenkette, die zwei verschiedene Strukturbäume erzeugt. 2

3 (Strenggenommen fehlen in der Darstellung noch die Knotenpunkte. Beachtet dies bei euren Zeichnungen!) iv.) Es werden die Namen der Nichtterminalsymbole der Grammatik G durch X,Y, Z, A, B,C ersetzt. Ebenso werden diese Nichtterminalsymbole eins zu eins in der Regelmenge ersetzt und nichts sonst. Die Grammatik heißt nun G'. Was bedeutet das für die von der Grammatik erzeugten Sprache L(G)? Ist L(G)=L(G')? Wenn ja, warum? Wenn die Namen der Nichtterminalsymbole geändert werden und sonst nichts, erzeugt die Grammatik G' immer noch dieselbe Sprache, die auch G erzeugt. Insofern spielen die Namen der Nichtterminalsymbole keine Rolle! Also gilt: L(G)=L(G'). v.) Bisher haben wir drei verschiedene Typen von Grammatiken kennengelernt: Reguläre Grammatiken, kontextfreie Grammatiken und kontextsensitive Grammatiken. Von welchem Typ Grammatik ist G? Von welchem Typ ist die von der Grammatik erzeugten Sprache L(G)? Die Grammatik G ist keine reguläre Grammatik, da nicht alle 3

4 Regeln, die in R sind, die folgende Form haben: X ay, X a, X ɛ Die Grammatik G ist keine kontextsensitive Grammatik, da keine Regeln eine Kontextbedingung enthält. Die Grammatik G ist somit eine kontextfreie Grammatik. Für alle Regeln gilt, dass der hintere(rechte) Teil ein Element von (A ist, wobei A das Alphabet ist und N für die Menge der Nichtterminalsymbole steht. N)* Die entscheidende Frage ist, ob L(G) nun auch eine kontextfreie Sprache oder nun doch eine reguläre Sprache erzeugt. In der Definition von regulären Sprachen heißt es, dass eine Sprache genau dann regulär ist, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: 1. eine reguläre Grammatik G' gibt, sodass G' dieselbe Sprache erzeugt wie G (bzw., wenn L(G)=L(G') und G' regulär ist) 2., wenn L(G) von einem endlichen Automaten akzeptiert wird. 3., wenn L(G) von einem regulären Ausdruck dargestellt werden kann. ((der_ die_ das_)(auto_ Banane_)(fährt_ schmeckt_)) (der_ die_ das_)(auto_ Banane_)(fährt_ schmeckt)(gut_ schnell_) Somit haben wir einen regulären Ausdruck gefunden, der die dieselbe Sprache von G erzeugt. Laut Bedingung 3. folgt nun, dass L(G) eine reguläre Sprache erzeugt. vi.) Kann die Grammatik benutzt werden, um einen (sehr kleinen) Ausschnitt der 4

5 deutschen Sprache wiederzugeben? Wenn ja, warum? Wenn nein: Was muss verändert werden? Da wir mittels der Grammatik zum Beispiel den ungrammatischen /der_banane_schmeckt_schnell/ ableiten können, eignet sich diese Grammatik nicht wirklich, um einen sehr kleinen Ausschnitt der deutschen Sprache wiederzugeben. Damit die Grammatik grammatische Sätze erzeugt, müssen wir die Regeln so modifizieren, dass zum Beispiel: der_banane_schmeckt_ nicht abgleitet werden kann (Dass die Sätze, die erzeugt werden, semantisch keinen Sinn machen, spielt erst einmal keine Rolle!). Jedenfalls ist es notwendig neue Nichtterminale einzuführen und neue Regeln zu definieren. R''' = { <S> <NP> <VP> <NP> <VP> <Adj> <NP> <Dneut><Nneut> <Dfem><Nfem> <Nneut> Auto_ <Dneut> das_ <Dfem> die_ <Nfem> Banane_ <Adj> fährt_ schnell_ <VP> schmeckt_ fährt_ } 5

6 Unsere neue Grammatik, die nur grammatische Sätze des Deutschen erzeugen kann, ist nun: G''' = < {das_, die_, Banane_, Auto_, fährt_, schnell_, schmeckt_, gut_}, {<S>, <NP>, <VP>, <Adj>, <Nneut>, <Dneut>, <Dfem>, <Nfem>}, <S>, R'''> 2. Aufgabe Sei folgende Grammatik G'' = < A'', N'', S'', R'' > gegeben, wobei: A'' = {die, süße, Katze } N'' = {<Ö>, <Ä>, <Ü>} R''= {<Ä> die <Ä> Katze / die _, <Ü> die <Ä> Katze, <Ä> süße } S'' = <Ü> i.) Welche Sprache wird von G'' erzeugt? Was ist also L(G'')? Gebt einen regulären Ausdruck an, der L(G'') erfasst. L(G'') = {die_(die_) üße_m süße_ (Katze_ ) üße_m Katze_ a 0 } Wie wir sehen, lässt sich kein regulärer Ausdruck finden, der L(G'') erfassen kann. Dies liegt daran, weil die Operatoren von regulären Ausdrücken nicht der Tatsache gerecht werden können, dass wenn (die_) üße_m a-mal iteriert wird die (Katze) üße_m genauso auch a-mal vorkommen muss. ii.) Von welchem Typ Grammatik ist G''? Anhand welcher Bedingungen macht ihr das fest? Die Grammatik G'' ist eine kontextsensitive Grammatik, da sie die kontextsensitive Regel <Ä> die <Ä> Katze / die _ enthält. iii.) Ist die von G'' erzeugte Sprache L(G'') kontextfrei oder kontextsensitiv? Warum? Erzeugen kontextsensitive Grammatiken stets kontextsensitive Sprachen? 6

7 Dennoch ist die von G'' erzeugte Sprache kontextfrei. Wir können nämlich bei der Regel mit der Kontextbedingung einfach auf die Kontextbedingung verzichten und die Grammatik erzeugt immer noch dieselbe Sprache! R''''= {<Ä> die <Ä> Katze, <Ü> die <Ä> Katze, <Ä> süße } Aus diesem Grund ist die Allaussage, dass kontextsensitive Grammatiken immer kontextsensitive Sprachen erzeugen, falsch. Schließlich reicht es ein Gegenbeispiel zu finden (und das haben wir!), um die Allaussage zu widerlegen. iv.) Vergleicht nochmal reguläre, kontextfreie und kontextsensitive Sprachen. In welcher Beziehung könnten diese Typen von Sprachen zueinander stehen? Welcher Typ Sprache ist vom welchem Typ Sprache eine Teilmenge oder gibt es Typen von Sprachen, die sogar gleich sind? Überlegt! Die Menge der Regulären Sprachen ist eine echte Teilmenge von der Menge der kontextfreien Sprachen. Die Menge der kontextfreien Sprachen sind wiederum eine echte Teilmenge von kontextsensitiven Sprachen (Chomsky-Hierachie). Da die Echte-Teilmengen-Relation transitiv ist, gilt auch, dass die Menge der regulären Sprachen auch eine echte Teilmenge der Menge der kontextsensitiven Sprache ist. 3. Aufgabe Betrachtet folgende reguläre Ausdrücke. Welche Sprache wird von diesen Ausdrücken jeweils erfasst? (Betrachtet nur die Zeichenketten bis Länge 4.) i.) S(d as)* = (S(d) S(as))* = ({d} {as})* = {d,as}* = {ɛ, d, as, das, asas, dasd, dd, ddd, dddd, asdd, ddas} 7

8 ii.) S(d as*) = S(d) (s(a) s(s)*) = {d} ({a} {s}*)={d, a, as, ass, asss} iii.) S(d* as) = {ɛ, d, dd, ddd, dddd, as} iv.) S(d* as*) = {ɛ, d, dd, ddd, dddd, a, as, ass, asss} v.) S((d* as) (1 2)) = (S(d*) S(as)) (S(1) S(2))= ({d}* {as}) {1,2} = {as1, as2, d1, d2, 1, 2, dd1, dd2, ddd1, ddd2} vi.) S((d as)* (1 2) (3)*) = {d,as}* {1,2} {3}* = {1, 2, 13, 23, 133, 233, 1333, 2333, d1, d2, d13, d23, d133, d233, dd1, dd2, dd13, dd23, as1, as2, as13, as23, d133, d233, das1, das2, as13, as23, asd1, asd2} (Bestimmt ist euch aufgefallen, dass ich hier mehrere Schritte auf einmal erledige. Das solltet ihr in der Klausur nicht so handhaben!) 8