ALP I Primitiv-Rekursive Funktionen

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1 ALP I Primitiv-Rekursive Funktionen WS 2012/2013

2 Äquivalenz vieler Berechnungsmodelle Effektiv Berechenbare Funktionen Mathematische Modelle Maschinelle Modelle λ-kalkül Kombinatorische Logik Allgemein rekursive Funktionen Turing- Maschine Register Maschinen While- Programme µ-rekursive Funktionen Theoretische Informatik I ALP II GOTO-Programme LOOP- Programme equiv. primitiv-rekursive Funktionen

3 Der Begriff primitiv-rekursive Funktion wurde von Rózsa Péter geprägt. Rózsa Péter Text - Ungarische Mathematikerin ( ) , Buch "Rekursive Funktionen" , Vereinfachung der Ackermann-Funktion "Ackermann-Péter-Funktion"

4 Fast alle Beispiele, die wir in die Vorlesungen diskutiert haben, sind Beispiele aus der Menge der sogenannten primitivrekursiven Funktionen PR. Die primitiv-rekursiven Funktionen sind die einfachste Klasse von rekursiven Funktionen. Die PR-Funktionen sind eine Untermenge der Effektiv Berechenbaren Funktionen. Das bedeutet, es gibt rekursive Funktionen, die berechenbar sind aber nicht primitiv-rekursiv sind.

5 Kurt Gödel ( ) und Rózsa Péter ( ) haben sich mit der Theorie der rekursiven Funktionen auseinandergesetzt sowie diese stark geprägt. Was kann alles mit primitiv-rekursiven Funktionen berechnet werden? Gibt es ein allgemeines Schema zur Definition beliebiger berechenbarer Funktionen?

6 (PR) Das Schema zur Definition beliebiger primitiv-rekursiver Funktionen besteht aus folgenden drei Hauptteilen: 1. Eine Reihe von Grundfunktionen. 2. Ein Ersetzungsmechanismus zur Definition von Funktionen ohne Rekursion (Funktionskomposition). 3. Ein Mechanismus zur Definition von primitivrekursiven Funktionen mit Rekursion (PR).

7 (PR) Die Klasse der PR-Funktionen N m N wird wie folgt induktiv definiert. I Grundfunktionen 1. Die Nullfunktion Z : N m N ist primitiv rekursiv Z(x 1,,x m ) = 0 2. Die Nachfolgerfunktion S : N N ist primitiv rekursiv S(n) = n+1 3. Die Projektionsfunktionen definiert durch π m i (x 1,,x i,,x m ) = x i, 1 i m sind primitiv-rekursiv π m i : N m N Beispiel: π 3 (a, b, c) = b 2

8 (PR) II Kompositionsschema Die Funktionskomposition ist primitiv-rekursiv. Das bedeutet, für alle primitiv-rekursiven Funktionen f : N m N und g 1,, g m : N n N ist die Funktion C : N n N, definiert durch C (x 1,...,x n ) = f (g 1 ( x 1,...,x n ),, g m ( x 1,...,x n )) auch primitiv rekursiv.

9 III Rekursionsschema Jede Funktion, die sich durch primitive Rekursion (Induktion) aus primitiv-rekursiven Funktionen definieren lässt, ist auch primitivrekursiv. Das bedeutet: Wenn g : N m N und h : N m+2 N primitiv-rekursive Funktionen sind, dann ist die folgende (induktiv definierte) Funktion R : N m+1 N R (0, x 1,...,x m ) = g(x 1,...,x m ) R (S(n), x 1,...,x m ) = h( R(n, x 1,...,x m ), n, x 1,...,x m ) ebenfalls primitiv rekursiv. mit S = Nachfolgerfunktion

10 Eine Funktion heißt primitiv rekursiv, wenn sie zu den Grundfunktionen gehört oder aus diesen durch endliche viele Anwendungen von Komposition und primitiver Rekursion definiert werden kann. Beispiele: add2(n) = n+2 ist primitiv rekursiv: c(x 1 ) = f (g 1 (x 1 )) add2(x 1 ) = S(S(π 1 1 (x 1 )))... aus II Kompositionsschema

11 Eine konstante Funktion, die eine beliebige Zahl n in der Konstante 3 abbildet, sieht wie folgt aus: k3 : N N aus I: S und Z sind primitiv-rekursiv aus II: S S S Z k3 ( m ) = S(S(S(Z(m)))) = 3

12 Alle n-stellige konstante Funktion mit Wert k sind primitiv-rekursive Funktionen. C k n (x 1, x 2,..., x n ) = k mit x i, k Hierbei lassen wir auch die 0-stelligen Konstanten zu, die man mit der Zahl k identifizieren kann. C k 0

13 Die Identitätsfunktion kann wie folgt definiert werden: id : N N id ( m ) = π 1 1 (m) = m

14 Können wir die Additionsfunktion auf eine Definition, die nur aus primitiv-rekursiven Funktionen besteht, zurückführen? add : N 2 N add 0 m = m add (n+1) m = (add n m) +1 add 0 m = m add (S n) m = S (add n m)

15 aus III: g und h müssen primitiv-rekursiv sein add ( 0, m ) = g(m) add ( S(n), m ) = h(add (n, m), n, m) wir wählen 1 g = π 1 und 3 h = s π 1 aus I, II und III: add ( 0, m ) = add ( S(n), m ) = π 1 1 (m) S(π 3 (add (n, m), n, m)) 1

16 Vorgänger-Funktion: pred : N N Weil die primitiv-rekursiven Funktionen nur über die natürlichen Zahlen definierbar sind, wird der Vorgänger von 0 als gleich 0 definiert. pred 0 = 0 pred (n+1) = n pred ( 0 ) = pred ( S(n) ) = C 0 0 π 2 ( pred (n), n ) 2

17 Die Multiplikation kann rekursiv über die Addition definiert werden. mult 0 m = 0 mult (n+1) m = (mult n m ) + m mult 0 m = 0 mult (S n) m = add ( (mult n m ) m )

18 Die Multiplikation kann rekursiv über die Addition definiert werden. mult ( 0, m ) = g ( m ) mult ( S(n), m ) = h (mult (n, m), n, m) mult ( 0, m ) = Z ( m ) III Rekursionsschema mult(s(n), m) = add (π 3 (mult(n, m),n,m), π 3 (mult (n,m),n,m)) 1 3 R = mult f g 1 g 2 g = Z h = add (π 1 3, π 3 3 ) I Grundfunktionen II Kompositionsschema

19 Eine primitiv-rekursive Definition der Subtraktion sieht wie folgt aus: sub m 0 = m sub m n = pred (sub m (pred n)) sub 2 1 pred (sub 2 (pred 1)) pred (sub 2 0) pred 2 1 sub 1 3 pred (sub 1 (pred 3)) pred (sub 1 2) pred (pred (sub 1 (pred 2))) pred (pred (sub 1 1)) pred (pred (pred (sub 1 (pred 1))) pred (pred (pred (sub 1 0))) pred (pred (pred 1)) pred (pred 0) pred 0 0

20 Eine primitiv-rekursive Definition der Subtraktion sieht wie folgt aus: sub m 0 = m sub m n = pred (sub m (pred n)) sub (m,n) = sub' (π 2 2 (m,n), π 1 2 (m,n)) sub' (0,m) = π 1 1 (m) sub' (S(n),m) = pred (π 1 3 (sub'(n,m),n, m))

21 weitere Beispiele an der Tafel...