58. Mathematik Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Lösungen

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1 eolympiadeklass8 58. Mathematik Olympiade 2. Runde (Regionalrunde) Lösungen c 2018 Aufgabenausschuss für die Mathematik-Olympiade in Deutschland Alle Rechte vorbehalten Lösung 10 Punkte Erste Lösung: Wir nehmen zuerst an, dass die Aussage (4) wahr ist. Dann war Leyla zuerst bei der Post, weswegen die Aussagen (1) und (5) falsch sind. Da aber nach Leylas Aussage genau eine Aussage falsch ist, kann dies nicht sein. Folglich ist Aussage (4) die falsche Aussage. Da Aussage (4) die falsche Aussage ist, sind die Aussagen (1), (2), (3) und (5) wahr. Leyla kann nicht zuerst beim Bäcker gewesen sein, da dann Aussage (3) falsch ist. Sie kann auch nicht zuerst im Comicladen gewesen sein, da dann die Aussagen (1) falsch ist. Folglich war sie zuerst im Zoogeschäft. Hieraus und aus Aussage (5) folgt, dass sie anschließend zur Post gegangen war. Da sie daher als zweites zur Post gegangen war, ging sie nach Aussage (2) zuletzt zum Bäcker. An dritter Stelle auf ihrer Einkaufsrunde lag folglich der Comicladen. Von Karims Aussagen ist Aussage (4) falsch. Leyla hat ihre Einkäufe in der Reihenfolge Zoogeschäft, Post, Comicladen, Bäcker gemacht. Zweite Lösung: Wir überlegen, wo Leyla ihre Einkaufsrunde begonnen haben kann. Wenn Leyla zuerst beim Bäcker war, dann sind die Aussagen (2), (3) und (4) falsch. Wenn Leyla zuerst im Comicladen war, dann sind die Aussagen (1) und (4) falsch. Wenn Leyla zuerst bei der Post war, dann sind die Aussagen (1) und (3) falsch. Da in jedem dieser Fälle mehr als eine Aussage falsch ist, muss Leyla zuerst im Zoogeschäft gewesen sein. In diesem Fall ist Aussage (4) falsch, und die Aussagen (1), (2), (3) und (5) sind wahr. Wie oben folgt nun aus Aussage (5), dass Leyla als zweites zur Post gegangen war. Aus Aussage (2) folgt daraus, dass sie zuletzt zum Bäcker ging, und schließlich, dass an dritter Stelle ihrer Einkaufsrunde der Comicladen lag. Von Karims Aussagen ist Aussage (4) falsch. Leyla hat ihre Einkäufe in der Reihenfolge Zoogeschäft, Post, Comicladen, Bäcker gemacht Lösung 10 Punkte Erste Lösung: Teil a) Wir schreiben alle Schrittfolgen für 4 Stufen systematisch auf. Dazu schreiben wir vereinfachend hintereinander die Zahlen 1 oder 2, je nachdem, ob Sofia in einem Schritt nur eine einzelne Stufe oder gleich zwei auf einmal hochsteigt. Es kommen dann alle solchen Folgen von Einsen und Zweien in Frage, bei denen die Summe aller Zahlen 4 ergibt: Sofia kann daher eine Treppe mit 4 Stufen in genau 5 Schrittfolgen hochsteigen. Teil b) Wir schreiben alle Schrittfolgen für 5 Stufen systematisch auf. Dazu schreiben wir wieder vereinfachend hintereinander die Zahlen 1 oder 2, je nachdem, ob Sofia in einem Schritt 34

2 nur eine einzelne Stufe oder gleich zwei auf einmal hochsteigt. Es kommen dann alle solchen Folgen von Einsen und Zweien in Frage, bei denen die Summe aller Zahlen 5 ergibt: Sofia kann daher eine Treppe mit 5 Stufen in genau 8 Schrittfolgen hochsteigen. Teil c) Sofia soll nun eine Treppe mit 7 Stufen hochsteigen. Wenn sie im ersten Schritt gleich 2 Stufen hochsteigt, dann muss sie noch 5 Stufen hochsteigen. Wenn sie im ersten Schritt nur ein Stufe hochsteigt, dann muss sie noch 6 Stufen hochsteigen. Die gesuchte Anzahl der Schrittfolgen für eine Treppe mit 7 Stufen ist also die Summe der Anzahlen der Schrittfolgen für Treppen mit 5 Stufen und für Treppen mit 6 Stufen. Die Anzahl der Schrittfolgen für Treppen mit 5 Stufen ist uns schon aus Teil b) bekannt. Die Anzahl der Schrittfolgen für Treppen mit 6 Stufen ermitteln wir wie in Teil a) und Teil b), indem wir alle Schrittfolgen aufschreiben, bei denen die Summe aller Zahlen 6 ist: Sofia kann daher eine Treppe mit 6 Stufen in genau 13 Schrittfolgen hochsteigen. Folglich gibt es genau (8+13 =) 21 Schrittfolgen für eine Treppe mit 7 Stufen. Teil d) Wir setzen die Lösungsidee aus Teil c) fort: Die Anzahl der Schrittfolgen für eine Treppe mit 8 Stufen ist die Summe der Anzahlen der Schrittfolgen für Treppen mit 6 Stufen und für Treppen mit 7 Stufen, da sie im ersten Schritt genau zwei Stufen oder genau eine Stufe hochsteigen kann und dann nur 6 oder 7 Stufen noch hochzusteigen sind. Ebenso ist die Anzahl der Schrittfolgen für eine Treppe mit 9 Stufen die Summe der Anzahlen der Schrittfolgen für Treppen mit 7 Stufen und für Treppen mit 8 Stufen. Allgemein ist die Anzahl der Schrittfolgen für eine Treppe mit mehr als 2 Stufen die Summe der Anzahlen der Schrittfolgen für Treppen mit 2 Stufen weniger und für Treppen mit einer Stufe weniger. Folglich können wir aus den Anzahlen der Schrittfolgen für Treppen mit 5 und mit 6 Stufen schrittweise die Anzahlen der Schrittfolgen für Treppen mit 7, 8, 9, 10, 11 und 12 Stufen bestimmen, indem wir immer die Summe der beiden vorherigen Anzahlen bilden: Anzahl der Stufen Anzahl der Schrittfolgen Sofia kann eine Treppe mit 12 Stufen in genau 233 Schrittfolgen hochsteigen. Zweite Lösung: Wir bezeichnen mits n die Anzahl der Schrittfolgen, in denen Sofia eine Treppe mit n Stufen hochsteigen kann. Es gilt s 1 = 1, da sie eine Treppe mit genau einer Stufe nur mit einem Schritt über eine Stufe hochsteigen kann. 35

3 Es gilt s 2 = 2, da sie eine Treppe mit genau zwei Stufen nur mit zwei Schritten über jeweils nur eine Stufe oder mit einem Schritt gleich über zwei Stufen hochsteigen kann. Wir betrachten nun eine Treppe mit n Stufen, wobei n > 2 gelte. Da sie nur Schritte über genau eine Stufe oder über genau zwei Stufen macht, kann sie eine Treppe mit n Stufen nur hochsteigen, indem sie die ersten n 1 Stufen hochsteigt und dann einen Schritt über eine Stufe macht oder nur die ersten n 2 Stufen hochsteigt und dann einen Schritt über die letzten beiden Stufen macht. Daher gilt s n = s n 1 +s n 2 für n > 2. Mit s 1 = 1 und s 2 = 2 folgen daher schrittweise s 3 = 1+2 = 3, s 4 = 2+3 = 5, s 5 = 3+5 = 8, s 6 = 5+8 = 13, s 7 = 8+13 = 21, s 8 = = 34, s 9 = = 55, s 10 = = 89, s 11 = = 144 und s 12 = = 233. Teil a) Teil b) Teil b) Teil d) Sofia kann 4 Stufen in genau (s 4 =) 5 Schrittfolgen hochsteigen. Sofia kann 5 Stufen in genau (s 5 =) 8 Schrittfolgen hochsteigen. Sofia kann 7 Stufen in genau (s 7 =) 21 Schrittfolgen hochsteigen. Sofia kann 12 Stufen in genau (s 12 =) 233 Schrittfolgen hochsteigen Lösung 10 Punkte Teil a) Da ein Produkt genau dann 0 ist, wenn einer der Faktoren 0 ist, gilt (x 10) (x 9) (x 8) (x 7) = 0 genau dann, wenn x = 10, x = 9, x = 8 oder x = 7 gilt. Da 7, 8, 9 und 10 ganze Zahlen sind, sind sie daher die ganzzahligen Lösungen der Gleichung (x 10) (x 9) (x 8) (x 7) = 0. Teil b) I. Es sei x eine ganze Zahl, für die die Gleichung (x 10) (x 9) (x 8) (x 7) = 24 gilt. Dann ist jeder der Faktoren auf der linken Seite der Gleichung ein ganzzahliger Teiler von 24, also eine der Zahlen 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Da die Faktoren auf der linken Seite der Gleichung vier aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind, können die Faktoren auf der linken Seite der Gleichung nur die Zahlen 1, 2, 3 und 4 mit x = 11 oder die Zahlen 4, 3, 2 und 1 mit x = 6 sein. II. Wir prüfen durch Einsetzen, ob 6 und 11 tatsächlich Lösungen der Gleichung sind. Für x = 6 gilt (x 10) (x 9) (x 8) (x 7) = ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) = = 24. Für x = 11 gilt (x 10) (x 9) (x 8) (x 7) = = 24. Aus I. und II. folgt, dass 6 und 11 alle ganzen Zahlen sind, welche die Gleichung erfüllen. Teil c) Ein Produkt aus 4 Faktoren ist genau dann negativ, wenn genau einer der Faktoren negativ ist und die anderen Faktoren positiv sind oder genau drei Faktoren negativ sind und der andere Faktor positiv ist. Für jede rationale Zahl x gilt x 10 < x 9 < x 8 < x 7. Für genau einen negativen Faktor und drei positive Faktoren in (x 10) (x 9) (x 8) (x 7) müssen daher x 10 < 0 und x 9 > 0 und folglich 9 < x < 10 gelten. Für 9 < x < 10 ist der erste Faktor tatsächlich negativ, die anderen Faktoren sind positiv. 36

4 Für genau drei negative Faktoren und einen positiven Faktor in (x 10) (x 9) (x 8) (x 7) müssen daher x 8 < 0 und x 7 > 0 und folglich 7 < x < 8 gelten. Für 7 < x < 8 ist der vierte Faktor tatsächlich positiv, die anderen Faktoren sind negativ. Das Produkt (x 10) (x 9) (x 8) (x 7) ist daher nur für diejenigen rationalen Zahlen x negativ, für die 7 < x < 8 oder 9 < x < 10 gilt Lösung 10 Punkte Da das Dreieck ABC gleichschenklig mit AC = BC ist, gilt α = β nach dem Basiswinkelsatz. Insbesondere gilt β < 90, weswegen der Höhenfußpunkt H auf der Geraden BC auf derselben Seite bezüglich der Geraden AB wie der Punkt C liegt. Der Punkt W liegt stets im Inneren der Seite BC, siehe Abbildung L a. C Teil a) Nach Voraussetzung gilt γ = ACB = 48. Nach dem Basiswinkelsatz und dem Innenwinkelsatz folgt α = β = 180 γ = = 66. (1) 2 2 Da die Gerade AW die Winkelhalbierende des Winkels BAC ist, folgt hieraus BAW = α 2 = 33. A γ L a Da die Höhe AH auf der Geraden BC senkrecht steht, ist das Dreieck ABH rechtwinklig, und aus (1) und nach dem Innenwinkelsatz folgt BAH = β = = 24. Weil die Punkte H und W auf der Geraden BC auf derselben Seite bezüglich der Geraden AB liegen wie der Punkt C, ist die Größe ϕ des spitzen Schnittwinkels zwischen den Geraden AH und AW die nichtnegative Differenz der Winkelgrößen BAH und BAW. Es gilt also ϕ = BAW BAH = = 9. Teil b) I. Angenommen, ein Dreieck ABC mit den geforderten Eigenschaften existiert. Da ϕ die Größe des spitzen Schnittwinkels zwischen den Geraden AH und AW ist und ϕ = 48 gilt, sind H und W verschiedene Punkte auf der Geraden BC. Daher kann nur entweder der Punkt H zwischen den Punkten B und W oder der Punkt W zwischen den Punkten B und H liegen. Angenommen, der Punkt H liegt zwischen den Punkten B und W. Dann gilt ϕ = HAW = BAW BAH, woraus BAW > ϕ = 48 folgt. Da AW die Winkelhalbierende des Winkels BAC ist, folgt BAC > 2 ϕ = 96. Da ein Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks nach Basiswinkelsatz und Innenwinkelsatz stets ein spitzer Winkel ist, kann das nicht gelten. Folglich liegt der Punkt W zwischen den Punkten B und H, siehe Abbildung L b. Dann gilt BAH = BAW + WAH = α 2 +ϕ. W H B 37

5 C H W A α ϕ L b B Hieraus, aus der Gleichschenkligkeit des Dreiecks ABC und nach dem Innenwinkelsatz angewandt auf das Dreieck ABH folgt BAH +β + AHB = α 2 +ϕ+α+90 = 180, woraus sich durch Umformen 3 2 α = 90 ϕ ergibt. Wegen ϕ = 48 gilt folglich α = 28. II. Zu untersuchen ist noch, ob für ϕ = 48 und α = 28 tatsächlich Dreiecke mit den geforderten Eigenschaften existieren. Zu α = 28 gibt es bis auf Ähnlichkeit genau ein Dreieck ABC mit BAC = α und AC = BC. Es seien H und W die nach Aufgabenstellung bezeichneten Punkte. Dann gilt BAW = α 2 = 14. Nach dem Innenwinkelsatz angewandt auf das inh rechtwinklige Dreieck ABH folgt BAH = β = 62. Wegen BAW < BAH liegt der Punkt W zwischen den PunktenB undh und es gilt tatsächlichϕ = WAH = BAH BAW = 48. Aus I. und II. folgt: Für ϕ = 48 existieren nur für α = 28 Dreiecke mit den geforderten Eigenschaften. 38

6 Punktverteilungsvorschläge Die nachstehenden Angaben zur Punktverteilung sowohl für die gesamten Aufgaben als auch für die Teillösungen sind Empfehlungen für die Ausrichter des Wettbewerbs und sollen einer einheitlichen Bewertung dienen. Dies vereinfacht für die Schülerinnen und Schüler ein Nachvollziehen der Bewertung und ermöglicht für die Organisatoren Vergleiche zum Zweck der Entscheidung über die Teilnahme an der nächsten Runde. Bei der Vielfalt der Lösungsvarianten ist es nicht möglich, Vorgaben für jede Variante zu machen; das Korrekturteam möge aus den Vorschlägen ableiten, welche Vergabe dem in der Schülerlösung gewählten Ansatz angemessen ist. Dabei können auch Lösungsansätze, die angesichts der Aufgabenstellung sinnvoll erscheinen, aber noch nicht erkennen lassen, ob sie wirklich zu einer Lösung führen, einige Punkte erhalten. Abweichungen von den Vorschlägen müssen von den Ausrichtern des Wettbewerbs ausreichend bekannt gemacht werden. Es wird aber empfohlen, zumindest den prozentualen Anteil der Punkte für Teillösungen beizubehalten. Aufgabe Erkennen der falschen Aussage mit vollständiger Begründung... 4 Punkte Vollständige Herleitung der Reihenfolge der Einkäufe... 6 Punkte Aufgabe Teil a)... 2 Punkte Teil b)... 2 Punkte Teil c) Punkte Teil d)... 3 Punkte Aufgabe Teil a)... 2 Punkte Teil b)... 4 Punkte Teil c) Punkte Aufgabe Teil a)... 3 Punkte Teil b) Herleitung der Werte für α... 4 Punkte Nachweis der Existenz des Dreiecks... 3 Punkte 39