Einführung in Online-Algorithmen

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1 Einführung in Online-Algorithmen Skript zur Vorlesung Effiziente Algorithmen von Berthold Vöcking, RWTH Aachen 1. Juni 2007 Hilfreiche Literatur Borodin, El-Yaniv: Online Computation and Competitive Analysis, Cambridge University Press, Albers: Competitive Online Algorithms, Technical Report, BRICS, University of Aarhus, salbers/brics.ps.gz 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Das File-Allocation-Problem (FAP) Obere Schranke für FAP Untere Schranke für FAP Das Paging-Problem Marking-Algorithmen Nicht-competitive Algorithmen Untere Schranke für deterministische Algorithmen Competitive Analyse für randomisierte Algorithmen Ein randomisierter Marking-Algorithmus Beweismethode: Potentialfunktion 15 2

3 1 Einleitung Online-Algorithmen sind dadurch gekennzeichnet, dass die Eingabe dieser Algorithmen nicht vorab bekannt ist sondern erst nach und nach aufgedeckt wird. Einem Online-Algorithmus wird eine Anfragesequenz σ = σ 1, σ 2,..., σ m präsentiert. Der Algorithmus muss die Anfrage σ t bedienen ohne die Zukunft, also die Anfragen σ t mit t > t, zu kennen. Beim Bedienen der Anfrage entstehen Kosten, die von vorherigen Entscheidungen abhängen. Für einen Online-Algorithmus A und eine Anfragesequenz σ bezeichne C A (σ) die Kosten von A auf σ. Sleator und Tarjan (1985) haben vorgeschlagen, die Qualität von Online-Algorithmen in Form eines Vergleiches mit der optimalen Strategie nachzuweisen. Bezeichne C (σ) die Kosten einer optimalen Strategie für die Anfragesequenz σ. Algorithmus A wird als c-competitive bezeichnet, wenn es einen festen Wert a gibt, so dass für jede Anfragesequenz σ gilt C A (σ) c C (σ) + a. Der Faktor c wird auch als Competitive-Faktor bezeichnet. Wir können eine Competitive-Analyse als ein Frage-Antwort-Spiel zwischen einem Online-Algorithmus und einem Gegner auffassen, wobei der Gegner die Anfragen so stellt, dass der Faktor C A(σ) a möglichst groß ist, und der Online-Algorithmus so antwortet, dass dieser Faktor möglicht klein C (σ) ist. Als Einführung in das Gebiet der Online-Algorithmen und Competitive-Analyse werden wir im folgenden exemplarisch zwei Probleme betrachten, nämlich das File-Allocation-Problem (mit uniformen Kosten auf zwei Knoten) und das Paging-Problem. In beiden Fällen beweisen wir untere und obere Schranken für den Competitive-Faktor. 2 Das File-Allocation-Problem (FAP) Beim FAP geht es um die Verwaltung von Dateien in Computernetzwerken. Falls von vielen Nutzern lesend auf eine Datei zugegriffen wird, so ist es sinnvoll viele lokale Kopien dieser Datei zu erzeugen, die dort platziert sind, wo die Lesezugriffe initiiert werden. Im Falle von Schreibzugriffen müssen jedoch alle Kopien aktualisiert oder invalidiert werden, so dass es günstiger ist, möglichst wenige Kopien zu halten. Der Online-Algorithmus sieht diese Zugriffe erst nach und nach in Form einer Anfragesequenz und muss entscheiden, welche Kopien erzeugt oder gelöscht werden. 3

4 In dieser Vorlesung beschränken wir uns auf ein extrem einfaches Netzwerk, nämlich ein Netzwerk aus nur zwei Knoten, a und b, die durch eine Leitung miteinander verbunden sind. Eine Datei kann entweder auf dem Knoten a, dem Knoten b oder auf beiden Knoten gehalten werden. Es gibt also die Konfigurationen [a], [b] oder [ab]. Die Anfragesequenz σ beschreibt, in welcher Reihenfolge von welchem Knoten gelesen oder geschrieben wird. Dabei steht σ t = r(v) für eine Leseanfrage von Knoten v {a, b} zum Zeitpunkt t 1 und σ t = w(v) für eine entsprechende Schreibanfrage. Der Online-Algorithmus muss die folgenden Spielregeln einhalten. Unmittelbar nachdem σ t präsentiert wird, muss der Algorithmus diese Anfrage bedienen, ohne zukünftige Anfragen σ t mit t > t zu kennen. Wir kümmern uns nicht um die technischen Details der Durchführung eines solchen Zugriffes, sondern definieren stattdessen abstrakte Servicekosten. Sei v {a, b}. Bei Anfrage σ t = r(v) in Konfiguration [u], u {a, b} \ {v}, entstehen Servicekosten in Höhe einer Einheit; Bei Anfrage σ t = w(v) in den Konfigurationen [ab] oder [u], u {a, b} \ {v}, entsteht eine Einheit Servicekosten. Nachdem der Online-Algorithmus die Anfrage σ t bedient hat, kann er die Konfiguration anpassen, um Servicekosten für zukünftige Anfragen zu sparen. Diese Anpassung generiert eine zweite Art von Kosten: Beim Erzeugen einer neuen Kopie (nicht aber beim Löschen) entstehen zusätzlich Migrationskosten in Höhe von D 1 Einheiten. Der Parameter D wird damit begründet, dass die Migration einer ganzen Datei häufig wesentlich teurer ist als der Zugriff auf nur ein einzelnes Datum aus dieser Datei. In dieser Vorlesung vereinfachen wir und nehmen an, es gilt D = 1. Welchen Sinn kann es machen, die Konfiguration zu ändern, wenn man die zukünftigen Anfragen nicht kennt? Auf den ersten Blick scheint es, dass der Online- Algorithmus keine Chance gegen den Gegner hat, der die Anfragesequenz festlegt, weil er nichts über die zukünftigen Anfragen weiß. Tatsächlich kann der Gegner die Kosten des Online-Algorithmus beliebig in die Höhe treiben, indem er z.b. immer dann, wenn Knoten a eine Kopie der Datei hält, eine Schreibanfrage auf Knoten b stellt und umgekehrt. Unser Ziel ist es jedoch den Online-Algorithmus so zu designen, dass er nur dann hohe Kosten hat, wenn auch der optimale Offline-Algorithmus hohe Kosten hat. Erstaunlicherweise gibt es tatsächlich einen recht einfachen Online-Algorithmus, der nur um den Faktor 3 von den optimalen Kosten abweicht, obwohl er keinerlei Wissen über zukünftige Anfragen hat. Wir werden als Nächstes diesen Algorithmus präsentieren und dann analysieren. Anschließend beweisen wir, dass es nicht möglich ist einen besseren Competitive-Faktor als 3 zu erreichen. 4

5 2.1 Obere Schranke für FAP Wir zeigen, dass der folgende Online-Algorithmus 3-competitive ist. Der Online-Algorithmus starte in der Konfiguration [ab]. Danach ändere er die Konfiguration gemäß den folgenden Regeln: Bei einer Anfrage σ t = s(v), s {r, w}, in Konfiguration [u], u v, geht er über in die Konfiguration [ab]. Bei einer Anfrage σ t = w(v) in Konfiguration [ab] geht er über in die Konfiguration [v]. Beachte, dass im ersten Fall Service- und Migrationskosten jeweils in Höhe einer Einheit entstehen, also werden zwei Kosteneinheiten zugerechnet. Im zweiten Fall entsteht nur eine Einheit Kosten, da das Löschen einer Kopie, wie beschrieben, keine Migrationskosten verursacht. Alle anderen Arten von Zugriffen verursachen keine Konfigurationswechsel und auch keine Servicekosten. Satz 2.1 Der oben beschriebene Algorithmus für das uniforme FAP auf zwei Knoten ist 3-competitive. Beweis: Der Online-Algorithmus startet wie vereinbart in der Konfiguration [ab]. Diese Konfiguration ändert sich erst mit dem ersten Schreibzugriff, der entweder in Konfiguration [a] oder in Konfiguration [b] endet, je nachdem, ob der Schreibzugriff vom Knoten a oder b stammt. O.B.d.A. seien wir nun in Konfiguration [a]. Dann gibt es nur einen möglichen Konfigurationswechsel, nämlich zurück zur Konfiguration [ab], ausgelöst durch einen Lese- oder Schreibzugriff vom Knoten b. Wir stellen somit fest, dass es keine direkten Konfigurationsübergänge von [a] nach [b] oder umgekehrt gibt, sondern nur Übergänge der Form [u] [ab] und [ab] [u] für u {a, b}. Wir teilen die Anfragesequenz in disjunkte Phasen maximaler Länge ein, so dass die Zugriffe in einer Phase alle in derselben Konfiguration enden. Die ersten Kosten des Online-Algorithmus treten beim ersten Schreibzugriff auf. Dieser Zugriff endet in einer [a]- oder einer [b]-konfiguration. O.B.d.A. können wir deshalb annehmen, dass die Online-Sequenz mit einem Schreibzugriff beginnt. Damit startet der Algorithmus mit einer [a]- oder [b]-phase. Es folgt eine [ab]-phase. Dann wieder eine [a]- oder [b]-phase usw. Eine Doppelphase bestehe aus einer [u]-phase, u {a, b}, gefolgt von einer [ab]- Phase. Die Online-Sequenz besteht somit aus disjunkten, aneinander gereihten Doppelphasen. Wir zeigen nun, dass der Online-Algorithmus in jeder Doppelphase Kosten 5

6 in Höhe von 3 hat, während jeder andere (also auch der optimale) Algorithmus Kosten in Höhe von mindestens 1 hat. Damit ist unser Online-Algorithmus 3-competitive. O.B.d.A. betrachte eine Doppelphase bestehend aus einer [a]-phase gefolgt von einer [ab]-phase. Wir zeigen zunächst, dass der Online-Algorithmus in dieser Doppelphase Kosten in Höhe von 3 Einheiten erzeugt: Der erste Zugriff in der [a]-phase ist ein Schreibzugriff von Knoten a mit Servicekosten 1, aber ohne Migrationskosten, denn es wird nur eine Kopie gelöscht. Alle folgenden Zugriffe in der [a]-phase sind Zugriffe von a und verursachen keine Kosten, denn der erste Zugriff von b würde bereits zur [ab]-phase gehören. Der erste Zugriff in der [ab]-phase geht vom Knoten b aus und hat Servicekosten 1 und Migrationskosten 1. Alle weiteren Zugriffe in der [ab]-phase sind kostenlose Lesezugriffe, denn Schreibzugriffe würden bereits zur nächsten Doppelphase gehören. Wir müssen nun nur noch zeigen, dass jeder Algorithmus Kosten mindestens 1 in der Doppelphase hat. Zum Zwecke des Widerspruchs, sei A ein beliebiger Algorithmus mit Kosten 0. Dann muss A bereits vor dem ersten Zugriff der [a]-phase in der Konfiguration [a] sein, denn dieser Zugriff ist gemäß der Definition der Phasen ein Schreibzugriff vom Knoten a, so dass jede andere Konfiguration Kosten von mindestens 1 hätte. A kann diese Konfiguration nun nicht verlassen, weil jede Änderung Migrationskosten erzeugen würde. Der erste Zugriff in der [ab]-phase wird aber vom Knoten b initiiert und erzeugt somit eine Einheit Zugriffskosten. Also hat A Kosten in Höhe von mindestens einer Einheit je Doppelphase. 2.2 Untere Schranke für FAP Satz 2.2 Es gibt keinen deterministischen Online-Algorithmus mit Competitive-Faktor besser als 3 für uniformes FAP auf zwei Knoten. Beweis: Wir zeigen, dass der Satz sogar dann gilt, wenn die Eingabesequenz nur aus Schreibanfragen besteht. In einem solchen Modell ist es nicht sinnvoll mehrere Kopien einer Datei zu halten, denn solche Kopien nützen nur bei Leseanfragen. Wir können uns deshalb bei unserer Analyse auf Online-Algorithmen beschränken, die immer nur eine Kopie halten. Sei A ein derartiger Online-Algorithmus. Wir präsentieren nun eine gegnerische Eingabesequenz σ, die die Eigenschaft hat, dass A mindestens dreimal so hohe Kosten hat wie eine optimale offline-strategie für σ. 6

7 Der Gegner stellt immer dort die Schreibanfrage, wo A gerade keine Kopie hat. Wir definieren die folgenden drei Strategien, die ebenfalls immer nur auf einem Knoten eine Kopie halten. Strategie 1 hält eine Kopie auf Knoten a. Strategie 2 hält eine Kopie auf Knoten b. Strategie 3 hält immer eine Kopie auf demjenigen Knoten, auf dem A keine Kopie hält. Die ersten beiden Strategien verursachen offensichtlich keinerlei Migrationskosten. Die Migrationskosten der dritten Strategie entsprechen genau den Migrationskosten von A. Also haben die Strategien 1 bis 3 zusammen dieselben Migrationskosten wie Algorithmus A. Wie sieht es mit den Servicekosten aus? In jedem Schritt verursacht genau eine der beiden Strategien 1 oder 2 eine Einheit Servicekosten. Strategie 3 verursacht hingegen keinerlei Servicekosten, weil der Gegner immer dort die Anfrage stellt, wo diese Strategie ihre Kopie platziert hat. Die Strategien 1 bis 3 haben somit zusammen Servicekosten in Höhe von einer Einheit je Schritt. Auch Algorithmus A verursacht eine Einheit Servicekosten je Schritt, da der Gegner immer dort die Anfrage stellt, wo diese Strategie ihre Kopie nicht platziert hat. Also haben die Strategien 1 bis 3 zusammen nicht nur dieselben Migrations- sondern auch dieselben Servicekosten wie Algorithmus A. Es folgt C A (σ) = C 1 (σ) + C 2 (σ) + C 3 (σ), wobei C X (σ) für X {A, 1, 2, 3} die Kosten für die Strategie X auf der Eingabesequenz σ bezeichnet. Nun gilt aber offensichtlich C X (σ) C (σ) für X {1, 2, 3}, wobei C (σ) die minimalen Kosten für σ bezeichnet. Somit ergibt sich C A (σ) 3 C (σ). Also ist A bestenfalls 3-competitive. 3 Das Paging-Problem Wir betrachten ein zweischichtiges Speichersystem bestehend aus einem langsamen Speicher (Hauptspeicher) und einem schnellen Speicher (Cache). Der Cache ist wesentlich kleiner als der Hauptspeicher und hat nur Platz für k Speicherseiten (bzw. 7

8 Cache-Lines). Eine Anfrage σ t entspricht jeweils einer Seite. Falls diese Seite nicht im Cache vorhanden ist, so liegt ein Seitenfehler vor, d.h. die Seite muss aus dem Cache nachgeladen werden und gegebenenfalls muss eine andere Seite verdrängt werden. Ein Paging-Algorithmus muss entscheiden, welche Seite verdrängt wird, ohne die zukünftigen Anfragen zu kennen. Beispiele für bekannte Verfahren: LRU (Least Recently Used): verdränge diejenige Seite, deren letzter Zugriff am längsten zurückliegt LFU (Least Frequently Used): verdränge diejenige Seite, die am seltensten nachgefragt wurde FIFO (First In First Out): verdränge diejenige Seite, die sich am längsten im Cache befindet LIFO (Last In First Out): verdränge diejenige Seite, die als letztes in den Cache geladen wurde RANDOM: verdränge eine uniform zufällig ausgewählte Seite aus dem Cache FWF (Flush When Full): entleere den Cache vollständig bei jedem Seitenfehler LFD (Longest Forward Distance): verdränge diejenige Seite, deren nächster Zugriff am weitesten in der Zukunft liegt Das letzte dieser Verfahren ist kein Online-Verfahren, da es Wissen über die Zukunft ausnutzt. Tatsächlich ist dies das optimale Verfahren, d.h. es erreicht die minimalen Kosten für jede Eingabesequenz. Wir werden nun zunächst deterministische Verfahren untersuchen und dabei feststellen, dass keine wirklich überzeugenden Competitive-Faktoren möglich sind. Um den Gegner auszutricksen benötigt man Randomisierung. Wir werden sehen, dass randomisierte Online-Algorithmen einen wesentlich besseren Competitive-Faktor erreichen als deterministische Verfahren. Dabei ist wichtig, dass sich die Online-Verfahren nicht vom Gegner in die Karten schauen lassen, d.h. die Zufallsbits sind geheim und dürfen nicht in die gegnerische Eingabesequenz einfließen. 3.1 Marking-Algorithmen Wir erinnern uns, k bezeichnet die Größe des Caches. Die Anfragesequenz wird in sogenannte k-phasen eingeteilt: 8

9 Phase 1 ist die maximale Teilsequenz, die mit der ersten Anfrage beginnt, und in der auf höchstens k viele verschiedene Seiten zugegriffen wird. Phase i 2 ist die maximale Teilsequenz, die direkt im Anschluss an Phase i 1 startet, und in der auf höchstens k viele verschiedene Seiten zugegriffen wird. Ein Marking-Algorithmus assoziiert (implizit oder explizit) ein Bit mit jeder Seite, welches angibt, ob die jeweilige Seite markiert oder unmarkiert ist. Zu Beginn einer Phase werden alle Seiten unmarkiert. Sobald in einer Phase auf eine Seite zugegriffen wird, so wird sie markiert. Ein Marking-Algorithmus ist nun dadurch gekennzeichnet, dass er niemals eine markierte Seite verdrängt. Satz 3.1 LRU und FWF sind Marking-Algorithmen. Beweis: Bei FWF werden genau die markierten Seiten im Cache gehalten. FWF ist somit ein (minimaler) Marking-Algorithmus. Um zu zeigen, dass LRU ein Marking-Algorithmus ist, betrachte eine beliebige k- Phase. Zu jedem Zeitpunkt in dieser Phase gibt es eine Menge von höchstens k markierten Seiten. LRU berechnet diese Markierungen nicht explizit, aber die markierten Seiten entsprechen genau denjenigen Seiten, auf die seit Beginn der Phase zugegriffen wurde. Die Markierungen kennzeichnen also diejenigen Seiten, auf die zuletzt zugegriffen wurde. Offensichtlich werden diese Seiten von LRU nicht verdrängt. Also ist LRU ein Marking- Algorithmus. Satz 3.2 Jeder Marking-Algorithmus ist k-competitive. Beweis: Jeder Marking-Algorithmus hat die folgenden Eigenschaften. Zu jeder Zeit sind alle markierten Seiten im Cache, und jede Markierung verursacht höchstens einen Fehler. In jeder Phase verursacht ein Marking-Algorithmus somit höchstens k Seitenfehler. Andererseits produziert jeder Algorithmus, also auch ein optimaler Algorithmus, pro Phase (bis auf die letzte der Phasen) mindestens einen Seitenfehler. Warum? 9

10 Sei p die erste in Phase i angefragte Seite. Betrachte die Teilsequenz, die mit dem zweiten Zugriff aus Phase i anfängt und mit dem ersten Zugriff aus Phase i + 1 aufhört. Zu Beginn der Teilsequenz sind neben der Seite p noch höchstens k 1 andere Seiten im Cache. In der Teilsequenz gibt es Zugriffe auf k verschiedene Seiten, die alle auch verschieden von p sind. Also muss mindestens eine dieser Seiten pro Phase nachgeladen werden. Es folgt C A (σ) k (C (σ) + 1) = k C (σ) + k. Damit sind Marking-Algorithmen k-competitive. Korollar 3.3 LRU und FWF sind k-competitive. 3.2 Nicht-competitive Algorithmen Ein Online-Algorithmus wird als competitive bezeichnet, falls er einen Competitive- Faktor hat, der nicht von der Länge der Eingabesequenz abhängt. Satz 3.4 LFU ist nicht competitive. Beweis: Betrachte die Sequenz σ = p l 1, p l 2,..., p l k 1, (p k, p k+1 ) l 1. Es gibt eine einfache Strategie für diese Sequenz mit höchstens k + 1 Seitenfehlern. LFU hingegen verursacht in jedem Zugriff nach den ersten (k 1)l vielen Zugriffen einen Fehler, und verursacht somit insgesamt mindestens 2(l 1) Fehler. Wir können den Competitive-Faktor von LFU also beliebig nach oben treiben, indem wir l genügend groß wählen. Übungsaufgaben: Beweise, dass FIFO kein Marking-Algorithmus ist. Beweise, dass FIFO (dennoch) k-competitive ist. Beweise, dass LIFO hingegen nicht competitive ist. 10

11 3.3 Untere Schranke für deterministische Algorithmen Satz 3.5 Es gibt keinen deterministischen Online-Algorithmus für das Paging-Problem mit Competitive-Faktor besser als k. Beweis: Fixiere einen beliebigen Online-Algorithmus A. A ist c-competitive, falls gilt: Es gibt einen Term a, so dass für jede Anfragesequenz σ gilt C A (σ) c C (σ) + a. Wir müssen nachweisen, dass A nicht c-competitive ist für c < k. Dazu ist zu zeigen, dass für jeden Term a eine Anfragesequenz σ und ein Offline-Algorithmus B existiert, so dass gilt C A (σ) > c C B (σ) + a. Die gegnerische Sequenz σ und der Offline-Algorithmus B sehen wie folgt aus. Es gebe k + 1 Seiten. Die ersten k Zugriffe gehen auf verschiedene Seiten. Danach haben A und B dieselben Seiten im Cache. Ab Zugriff k fordert der Gegner immer genau diejenige Seite an, die nicht im Cache von A ist. Bei einer Sequenz der Länge k + m hat A somit genau k + m Fehler. B hingegen verdrängt immer die Seite, die in den nächsten k 1 Schritten nicht nachgefragt wird, und verursacht somit höchstens alle k Schritte einen Seitenfehler. Insgesamt erhalten wir somit eine obere Schranke von k + m k k m Fehlern für B. k Für jedes vorgegebene c < k und jedes a können wir nun offensichtlich m so groß wählen, so dass gilt ( k + m > c k m ) + a. k Also ist A nicht c-competitive für c < k. 3.4 Competitive Analyse für randomisierte Algorithmen Die untere Schranke hat verdeutlicht, wo die Schwierigkeit bei der Entwicklung von Online-Algorithmen liegt. Der Online-Algorithmus muss eine obere Schranke für jede gegnerische Eingabesequenz einhalten. Um zu zeigen, dass ein Online-Algorithmus diese Kostenschranke nicht einhält, konnten wir annnehmen, dass der Gegner den 11

12 Online-Algorithmus kennt. Wir verwenden nun Zufallsbits und machen dadurch den Online-Algorithmus aus der Sicht des Gegners unvorhersehbar. Es ist wichtig, die Reihenfolge festzulegen, in der der Online-Spieler und der Gegner agieren. 1) Der randomisierte Online-Algorithmus A wird bekanntgegeben, ohne die Zufallsbits zu bestimmen. 2) Dann präsentiert der Gegner eine Anfragesequenz σ. 3) Erst danach werden die Zufallsbits ausgewürfelt. Ein derartiger Gegner, der den Algorithmus aber nicht die Zufallsbits kennt, wird als oblivious bezeichnet. Das Wort oblivious ist schwer zu übersetzen und bedeutet so viel wie weltvergesslich oder im weiteren Sinne auch blind. Beachte, wenn man die Reihenfolge der Schritte 2) und 3) vertauscht, so ist die Randomisierung völlig bedeutungslos. Wir müssen die Definition des Competitive-Faktors an die neue Situation anpassen. Wir sagen, ein randomisierter Online-Algorithmus A ist c-competitive, falls es einen festen Wert a gibt, so dass für jede Anfragesequenz σ, die durch einen oblivious Gegner bestimmt ist, gilt E [C A (σ)] c C (σ) + a. Wir werden sehen, dass eine sehr einfache Randomisierung im Falle des Paging- Problems zu signifikant besseren Ergebnissen führt. 3.5 Ein randomisierter Marking-Algorithmus Wir verwenden einen randomisierten Marking-Algorithmus, den wir MARK nennen. Bei einem Seitenfehler verdrängt MARK eine uniform zufällig ausgewählte nicht markierte Seite aus dem Cache. Satz 3.6 MARK ist (2H k )-competitive. Beweis: Zu jedem Zeitpunkt in einer k-phase unterscheiden wir die folgenden Arten von unmarkierten Seiten. Eine Seite, die unmarkiert ist, aber auf die in der vorherigen Phase zugegriffen wurde, wird als vorherige Seite bezeichnet. Eine Seite, die weder markiert noch vorherig ist, wird als frisch bezeichnet. 12

13 Sei f t die Anzahl der frischen Seiten, die in der t-ten k-phase nachgefragt werden. Sei T die Anzahl der k-phasen und F = T t=1 f t. Bezeichne OPT eine optimale Strategie. O.B.d.A sei OPT ein fauler Algorithmus, der Seiten nur dann verdrängt, wenn neue Seiten geladen werden. Lemma 3.7 Die Kosten von OPT sind mindestens (F k)/2. Beweis: Betrachte eine beliebige k-phase. Sei f die Anzahl der frischen Seiten, die in dieser Phase nachgefragt werden. Die Seitenmengen, die in MARKs bzw. OPTs Cache abgespeichert sind, bezeichnen wir mit S bzw. S. Sei d der Wert von S \ S zu Beginn der Phase und d dieselbe Größe am Ende der Phase. In der betrachteten Phase muss OPT mindestens f d Seiten in den Cache nachladen, weil höchstens d der nachgefragten frischen Seiten zu Beginn der Phase in OPTs Cache sind. (Hier geht ein, dass der Cache von MARK am Anfang der Phase keine frischen Seiten enthält.) Außerdem verdrängt OPT mindestens d Seiten, weil d der in der Phase nachgefragten Seiten am Ende der Phase nicht im Cache von OPT sind. (Hier geht ein, dass der Cache von MARK am Ende der Phase alle in dieser Phase nachgefragten Seiten enthält.) Deshalb ist die Anzahl der Seitenfehler in der betrachteten Phase mindestens max{f d, d } 1 2 (f d + d ). Wir erweitern die Notation auf kanonische Art um Indizes, die die jeweiligen Phasen bezeichnen. Beachte, dass d t = d t+1 gilt. Aufsummiert über alle Phasen ergibt sich somit die folgende untere Schranke für die Kosten von OPT: 1 2 T t=1 f t d t + d t+1 = 1 2 (F d 1 + d T +1 ) 1 (F k). 2 Lemma 3.8 Die erwartete Anzahl der Fehler von MARK ist höchstens F H k. 13

14 Beweis: Betrachte eine beliebige Phase mit f Zugriffen auf frische Seiten. MARK macht f Fehler für die Zugriffe auf frische Seiten. Wieviele Fehler macht MARK für Zugriffe auf vorherige Seiten? Am Anfang der Phase ist der Cache mit k vorherigen Seiten gefüllt. MARK greift in der Phase auf k unterschiedliche Seiten zu. Von diesen Seiten sind f Seiten frische Seiten. Die anderen s := k f k 1 Seiten, auf die zugegriffen wird, sind somit vorherige Seiten. Zum Zeitpunkt, zu dem auf diese Seiten erstmals in der Phase zugegriffen wird, könnten diese verdrängt sein. Nur dann entstehen Kosten. Für i = 1,..., s sei p i die i-te vorherige Seite, auf die in der Phase zugegriffen wird, und t i der Zeitpunkt unmittelbar vor dem Zugriff auf p i. Wir untersuchen, wie wahrscheinlich es ist, dass p i zum Zeitpunkt t i nicht mehr im Cache ist: Zum Zeitpunkt t i gibt es nur noch k i + 1 vorherige Seiten, weil die Seiten p 1,..., p i 1 ja bereits markiert wurden und somit nicht mehr als vorherige Seiten zählen. Höchstens f der Speicherplätze im Cache sind mit frischen Seiten gefüllt, d.h. höchstens f der vorherigen Seiten wurden verdrängt. Zum Zeitpunkt t i gibt es also k i + 1 vorherige Seiten, von denen höchstens f viele Seiten verdrängt wurden. Jede vorherige Seite hat dieselbe Wahrscheinlichkeit verdrängt zu werden. Deshalb wurde p i höchstens mit Wahrscheinlichkeit f k i + 1 verdrängt. Somit sind die erwarteten Kosten beim Zugriff auf p i höchstens 1 f k i i=1 ( 1 f k i + 1 ) = f k i + 1. Damit können wir die Kosten für Zugriffe auf vorherige Seiten folgendermaßen nach oben abschätzen. s f k k + 1 i f = f (H k 1). i i=2 Zusammen mit den Kosten für Zugriffe auf frische Seiten macht das höchstens f H k Seitenfehler in der betrachteten Phase. Satz 3.6 folgt jetzt unmittelbar aus den beiden Lemmas. Ein anderer randomisierter Paging-Algorithmus erreicht sogar den Competitive-Faktor H k. Allerdings ist dieser Algorithmus wesentlich komplizierter. Eine untere Schranke zeigt, dass H k tatsächlich der bestmögliche Competitive-Faktor für das Paging- Problem ist. 14

15 4 Beweismethode: Potentialfunktion Bisher basierten unsere Analysen im wesentlichen darauf, dass wir die Anfragesequenz in Phasen eingeteilt haben und dann die Kosten des Online- und des optimalen Offline-Algorithmus phasenweise verglichen haben. Teilweise mussten wir die Phasen jedoch ein wenig verschieben oder die Kosten über verschiedene Phasen amortisieren. Eine elegante Methode um Kosten zeitlich zu verlagern ist die sogenannte Potentialfunktionsmethode: In einigen Schritten verursacht der Online-Algorithmus möglicherweise weniger Kosten, als der Competitive-Faktor erlaubt. Wir können uns vorstellen, diese gesparten Ausgaben auf einem Konto anzusammeln, um sie dann eventuell später für teurere Schritte einzusetzen. Die Potentialfunktion entspricht einer Invariante, die in jedem Schritt den Kontostand (das sogenannte Potential) beschreibt. Wir demonstrieren jetzt diese Methode auf Basis einer alternativen Competitive-Analyse von Paging-Algorithmen. Die Idee hinter einem asymmetrischen Competitive-Modell ist es, den Nachteil der Online-Strategie, die Zunkunft nicht zu kennen, dadurch auszugleichen, dass man die optimale Offline-Strategie künstlich einschränkt. Zu diesem Zweck vergrößert man den Speicher des Online-Algorithmus um einen vorgegebenen Faktor m im Vergleich zur Offline-Strategie. Wir sagen, ein Online-Algorithmus mit einem Cache der Größe mk ist (m, c)-competitive, falls seine Kosten höchstens c mal so groß sind, wie die Kosten einer optimalen Strategie mit einem Cache der Größe k. Satz 4.1 RANDOM ist (2, 2)-competitive. Beweis: Sei OPT eine faule, optimale Offline-Strategie. Wir definieren das Potential φ als die Anzahl derjenigen Seiten im Cache von OPT, die nicht auch im Cache von RANDOM gespeichert sind. C bezeichne die Kosten von RANDOM und C die Kosten von OPT. Als Invariante zeigen wir, dass nach Abarbeitung jeder Anfrage gilt: E [C] + 2E [φ] 2C. Da φ per Definition nicht negativ ist, folgt E [C] 2C. Also ist RANDOM (2, 2)- competitive. Betrachte nun eine beliebige Anfrage σ t. Mit C, C, φ bezeichnen wir die additiven Veränderungen der jeweiligen Kostenwerte sowie der Potentialfunktion durch die Abarbeitung von σ t. Wir zeigen E [ C] + 2E [ φ] 2 C. 15

16 Da dieses für jede einzelne Anfrage gilt, folgt somit aufgrund der Linearität des Erwartungswertes die Invariante. Beachte, dass E [ φ] im Gegensatz zu E [φ] durchaus negativ sein. In diesem Fall gibt es einen erwarteten Potentialverlust, der dazu genutzt wird, um hohe Kosten in diesem Schritt abzudecken. Wir betrachten vier Fälle in Abhängigkeit davon, ob RANDOM und OPT die angefragte Seite σ t im Cache haben. Beide Strategien haben σ t im Cache. Dann gilt C = φ = C = 0. Keine der Strategien hat σ t im Cache. Dann gilt C = C = 1 und E [ φ] 1, weil RANDOM mit Wahrscheinlichkeit höchstens 1 eine der Seiten, die auch 2 2 in OPTs Cache gespeichert sind, verdrängt. OPT hält σ t im Cache, RANDOM nicht. Dann gilt C = 1, C = 0 und E [ φ] 1, weil einerseits der Unterschied zwischen den Caches von RAN- 2 DOM und OPT um die Seite σ t verringert wird, andererseits aber RANDOM mit Wahrscheinlichkeit höchstens 1 eine andere der Seiten aus OPTs Cache verliert. 2 RANDOM hält σ t im Cache, OPT nicht. Dann gilt C = 0, C E [ φ] 0. = 1 und In allen vier Fällen gilt C + 2E [ φ] 2 C. Also folgt die Invariante und somit das Theorem. 16