Sudoku - Anleitung. ...und seine Lösung

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1 Sudoku - Anleitung aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Sudoku (jap. 数数 Sūdoku, kurz für 数数数数数数数数 Sūji wa dokushin ni kagiru, wörtlich Eine Zahl bleibt immer allein ) ist ein Logikrätsel und ähnelt Magischen Quadraten. In der üblichen Version ist es das Ziel, ein 9 9-Gitter mit den Ziffern 1 bis 9 so zu füllen, dass jede Ziffer in einer Spalte, in einer Zeile und in einem Block (3 3-Unterquadrat) nur einmal vorkommt. Ausgangspunkt ist ein Gitter, in dem bereits mehrere Ziffern vorgegeben sind. In einer weltweit stark zunehmenden Zahl an Zeitungen und Zeitschriften werden heute regelmäßig Sudokurätsel veröffentlicht. Das Rätsel wurde von dem Amerikaner Howard Garns erfunden. Erstmals 1979 unter dem Namen NumberPlace in einer Rätselzeitschrift veröffentlicht, begann es erst 1986 in Japan populär zu werden, wo es auch seinen heutigen Namen, Sudoku, erhielt. Ein Sūdoku-Rätsel......und seine Lösung. Lösungsmethoden Analytisch-systematische Basismethoden Systematisches Vorgehen, genaue Analyse und logisches Denken sind gefordert. Nur so kommt man gesichert einen Schritt weiter, um anschließend den nächsten Schritt darauf aufzubauen. Leichte Sudokus lassen sich in der Regel im Kopf durch logisches Denken lösen. Bei anspruchsvolleren Fällen benötigt man jedoch Notizen, um sich die möglichen Kandidaten je Feld aufzuschreiben. Bei sehr schweren Sudokus wird irgendwann auch ein Ausprobieren kaum zu vermeiden sein. Dieser Weg gilt allerdings als amateurhaft. Aber auch beim Probieren sollte man nach einem System vorgehen. Die analytisch-systematische Lösung eines Sudokus beruht auf mehreren Methoden, die miteinander zu kombinieren sind: Scannen, Auszählen, Kombination, Eliminierung und Hypothese. In erster Linie sollte über die logisch eindeutigen Methoden (ohne Hypothese bzw Ausprobieren) ein Weg gesucht werden. Blatt 1 von 10

2 Im oberen rechten Block fehlt die Fünf. Durch Verfolgen der Fünfen in den zugehörigen Reihen und Spalten kann man Felder ausschließen. So bleibt nur eine Zelle (grün markiert) als einzig freie Möglichkeit für die Fünf übrig. Scannen Geht der Frage nach: In welches Block-, Zeilen- oder Spaltenfeld gehört eine vorgegebene Zahl? Die Scan-Methode wird im nebenstehenden Bild erläutert. Jede Lösungszahl belegt immer 3 Einheiten (Spalte, Zeile, Block). Da in jeder dieser 3 Einheiten diese Lösungszahl nur dieses eine Mal vorkommen kann, entstehen hierbei 3 "Sperren". Der Reihe nach werden die Sperren aller Ziffern von 1 bis 9 gescannt. Die Sperren überschneiden Blöcke, in denen diese Ziffern fehlen. Hierbei wird die Menge der Kandidaten eingeschränkt. In dem Bild sehen wir einen Idealfall: durch viele Sperren gibt es im oberen rechten Block nur noch eine Möglichkeit für die "5". Auch wenn durch das Scannen von Sperren nicht sofort eine Lösungszahl entsteht, so ist es doch die ideale Methode, um Kandidatenlisten zu erstellen. Auszählen Geht der Frage nach: Welche Zahlen passen in ein vorgegebenes Feld? Weniger offensichtlich ist das Finden von Lösungszahlen in der linken Spalte (des nebenstehenden Bildes). In dieser Spalte fehlen folgende Ziffern: 1, 2, 3 und 9. Diese fehlenden Ziffern sind somit zunächst die möglichen Kandidaten für jede der noch freien Zellen in dieser Einheit. Beim Auszählen werden nacheinander alle Kandidaten geprüft. Wenn wir die Kandidaten in unserem Beispiel prüfen, werden wir feststellen, dass für die 9 offensichtlich nur die Zelle in der drittletzten Zeile infrage kommt. Kombination Bei der Kombination geht es darum, weitere logisch zwingende Zusammenhänge aufzudecken, die nach den obigen Methoden noch nicht herausgekommen sind. Es gibt hierzu mehrere Ansätze (s.a. Lösungsmethoden/Globale Paarsuche). Eliminierung Bei der Eliminierung (oder: Kandidatenbeseitigung, Ausschluss) geht es darum festzustellen, welche Zahlen für jedes Feld infrage kommen. Um die Übersicht über die vielen Möglichkeiten nicht zu verlieren, notiert man sich die Kandidatenmenge für jedes Feld (siehe Kapitel: Hilfe beim Lösen). Die nachfolgenden Regeln werden angewandt, um Kandidaten aus den Kandidatenmengen der Felder zu entfernen. Durch eine solche Entfernung kann eine weitere Regel anwendbar werden, um eine oder mehrere Kandidatenmengen weiter zu verkleinern. Dies kann sich lange fortsetzen, bis das Sudoku entweder gelöst ist oder man keine dieser Regeln mehr anwenden kann. Methode des Nackten Einers: Man sucht nach Feldern, in denen nur noch eine Zahl stehen kann, weil alle anderen Zahlen in der Zeile, der Spalte oder dem Block dieses Feldes bereits vorkommen. Man beginnt mit dieser Methode vorzugsweise in Spalten, Zeilen oder Blöcken mit den wenigsten leeren Feldern, denn hier ist es am wahrscheinlichsten, dass man alle Zahlen bis auf eine ausschließen kann. Als Beispiel diene in dem abgebildeten Sudoku das Feld in der Mitte: In der Spalte kommen 1, 2, 6, 7, 8, 9 bereits vor, und in der Zeile die 3 und 4. Für das mittlere Feld bleibt somit nur noch die 5. Blatt 2 von 10

3 Wenn man die Kandidatenmenge für jedes Feld notiert hat und wenn man jede bereits eingetragene Zahl aus den Kandidatenmengen der Felder in der gleichen Zeile, Spalte und Block entfernt hat, ist die Methode des Nackten Einers trivial: man stellt dann fest, dass in der betreffenden Kandidatenmenge nur noch eine Zahl ist, und diese kann fest eingetragen werden. Sie kann dann auch gleich aus den Kandidatenmengen von anderen Feldern in einer gemeinsamen Einheit gestrichen werden. Die direkte Twin-Methode: Wenn für zwei Felder, die in der selben Einheit liegen, nur noch die selben beiden Zahlen möglich sind, d. h. wenn die Kandidatenmengen dieser Felder keine andere Zahl mehr enthalten, dann muss in jedem der beiden Felder eine dieser Zahlen stehen. Man weiß nur noch nicht, welche Zahl in welches Feld gehört. Keine dieser Zahlen kann somit in einem anderen Feld dieser Einheit vorkommen; die beiden Zahlen können aus den Kandidatenmengen der anderen Felder gestrichen werden. Die indirekte (versteckte) Twinmethode: man betrachtet wieder eine Einheit und sucht zwei Zahlen, die nur noch in zwei Feldern dieser Einheit stehen können, d. h. keine dieser Zahlen kommt noch in einer anderen Kandidatenmenge dieser Einheit vor. Dann gilt ebenfalls, dass in jedem der beiden Felder eine dieser Zahlen stehen muss, und man kann alle anderen Zahlen aus den Kandidatenmengen dieser beiden Felder streichen. Methode des Nackten Triples: Sie stellt einen analogen Schluss zur Twin-Methode dar. Kommen in drei Feldern einer Einheit ausschließlich drei Kandidaten vor, so sind diese drei Kandidaten aus anderen Feldern derselben Einheit zu tilgen. Allgemein: wenn in n Feldern einer Einheit nur noch n Zahlen vorkommen (genauer: wenn die Vereinigung der Kandidatenmengen dieser Felder noch genau n Zahlen enthält), dann teilen diese n Felder die n Zahlen unter sich auf, und keine der n Zahlen kann in einem anderen Feld dieser Einheit stehen: o Mit n = 1 ergibt sich die Regel, dass fest eingetragene Zahlen aus den Kandidatenmengen anderer Felder in einer gemeinsamen Einheit zu streichen sind. o n = 2 ergibt die direkte Twin-Methode. o n = 3 ergibt die Methode des Nackten Triples. o Die indirekte Twinmethode ergibt sich bei einem gewöhnlichen 9er-Sudoku mit n = 9-2 = 7: wenn in 7 Feldern nur noch 7 Zahlen möglich sind, ist das gleichbedeutend damit, dass die beiden anderen Zahlen nur noch in den beiden übrigen Feldern möglich sind. Die 7 Zahlen werden aus den Kandidatenmengen der beiden übrigen Feldern entfernt. Der Schwertfisch (=swordfish): Dieses Konstrukt ist der direkten Twinmethode sehr verwandt, nur handelt es sich um paarweise Felder in nicht nur 2 sondern in 3 Zeilen/Spalten, bei denen jeweils genau ein Endpunkt in der Spalte/Zeile paarweise mit einem Endpunkt eines anderen Paares in der Spalte/Zeile übereinstimmt, so dass die Endpunkte des Ganzen eine geschlossene Ringfigur darstellen. Auch in einem solchen Falle ist die betreffende Kandidatenziffer in den betroffenen 3 Spalten/Zeilen für die verbliebenen jeweils 7 anderen Felder der Spalte/Zeile ausgeschlossen. Die X-Wing-Methode: Voraussetzung hierfür ist ebenfalls eine Paarkonstellation: In zwei Zeilen/Spalten kommt eine Kandidatenziffer in nur zwei Spalten/Zeilen vor. Zugleich sei eine ebensolche Anordnung für dieselbe Kandidatenziffer in einer weiteren Zeile/Spalte gegeben. Die vier möglichen Treffer-Zellen stellen Ecken eines imaginären Rechtecks oder ein X- Muster dar, weil die wahren Treffer zwingend an den Eckpunkten bzw. an den Enden einer der beiden möglichen Diagonale liegen müssen. Folglich kann diese Ziffer in den betroffenen zwei Spalten/Zeilen in den verbliebenen 7 Zeilen/Spalten als Kandidat eliminiert werden. Block-Interaktion: Ist ein Zahlenkandidat in zwei horizontal/vertikal angeordneten Quadranten in einer(!) gemeinsamen Zeile/Spalte zweier Quadranten ausgeschlossen (ohne in den drei betrachteten Quadranten bereits als Lösung eingetragen zu sein), so ist dieser Zahlenkandidat in den verbleibenden zwei Zeilen/Spalten des dritten Quadranten ebenfalls ausgeschlossen. Blatt 3 von 10

4 Globale Paarsuche (GPS) Sudoku-Anleitung, zusammengestellt von kurt % aller veröffentlichten Sudokus haben einen leichten, mittleren oder schweren Schwierigkeitsgrad. Die GPS-Methode führt bei ihnen zur kompletten Auflösung des Sudokus. 25 % sind sehr schwierig und können nur mit einer Abwandlung dieser Methode und alternativen Strategien gelöst werden. Grundsatz Diese spezielle Methode ist als Kreislauf zu verstehen: Zuerst besondere Kandidaten suchen, dann aus diesen Kandidaten Schlussfolgerungen ziehen und anschließend auf erneute Kandidatensuche gehen. Die globale Paarsuche liefert uns die wertvollsten Kandidaten. Es wird keine gewöhnliche Kandidatenliste erstellt, weil sie zumeist unübersichtlich ist und die Sicht auf schnelle Schlußfolgerungen verschließt. Die folgenden Konsequenzen beruhen auf einer Sammlung von Logikregeln: 1. Auf eine unkomplizierte Art werden Kandidatenpaare ermittelt. 2. Es folgt die Anwendung von 6 Logikregeln. Dadurch werden gesperrte Einheiten ermittelt. 3. Durch Schritt 2 ist die Menge an Möglichkeiten eingeschränkt worden. Bei der erneuten Kandidatensuche werden weitere Pärchen gefunden. 4. Und wieder werden (die gleichen) 6 Logikregeln angewendet. Die Kandidatenmenge reduziert sich schnell und Lösungszahlen werden ermittelt. Die Schritte können beliebig wiederholt werden. Dabei kann nach Belieben zwischen Ziffern und Einheiten, sowie zwischen Kandidatensuche und deren Auswertung gesprungen werden - diese Methode ist nicht starr. Weder die Kandidatensuche, noch deren Auswertung muss an irgendeiner Stelle vollständig sein. Man kann sich "treiben lassen" und das Sudoku scheinbar "chaotisch" lösen. Einzige Bedingung ist die Einhaltung der Kausalkette: Kandidatenpaare sperren Einheiten, gesperrte Einheiten reduzieren die Kandidatenmenge. Anleitung Logikmuster A: Kandidatenpaare (weiß) sperren andere Einheiten. Lösungszahlen: schwarz Schritt 1: Verschiedene Lösungszahlen sind im Sudoku vorgegeben. Jede dieser Lösungszahlen belegt 3 Einheiten (Spalte, Zeile, Block). Da in jeder dieser 3 Einheiten diese Lösungszahl nur dieses eine Mal vorkommen kann, sind alle 3 Einheiten "gesperrt". Betrachte alle Zeilen und Spalten, die durch die Lösungszahlen gesperrt werden. Diese Zeilen und Spalten kreuzen Blöcke, die diese Lösungszahlen noch nicht enthalten. Ermittle alle Kandidaten die dadurch in diesen Blöcken entstehen (s.a. "scannen"). Trage aber nur - neue Lösungszahlen und - Kandidatenpaare ein. Gibt es für eine Ziffer 3 oder mehr Kandidaten, lasse sie weg. Die Reihenfolge deiner Suche ist in jedem Fall unwichtig, ebenso die Vollständigkeit. Allerdings: je schwerer das Sudoku ist, desto mehr Paare werden benötigt. Schritt 2: Wurden genügend Kandidatenpaare ermittelt, benutze alle logischen Schlüsse, die du aus den Paaren ziehen kannst. Wenn du etwas nicht verstehst, lasse es weg. Allerdings: je schwerer das Sudoku ist, desto mehr logische Schlüsse werden benötigt. Blatt 4 von 10

5 Logikregel 1 (siehe Logikmuster A - Blau): ein einfaches Kandidatenpaar sperrt je nach Anordnung 1-2 Einheiten. - im Beispiel sperrt das 7 -Paar die blaue Zeile und den blauen Block (also 2 Einheiten) - damit kann in bei den Einheiten keine weitere 7 mehr stehen. Logikregel 2 (siehe Logikmuster A - Grün): Doppelpaare belegen immer genau 2 Felder einer Einheit. Doppelpaare sperren damit je nach Anordnung 1-2 Einheiten UND 2 Felder. - im Beispiel sperrt das 59 -Doppelpaar die grüne Zeile und den grünen Block (also 2 Einheiten) - damit kann in beiden Einheiten weder eine weitere 5 noch eine 9 stehen. - das 59 -Doppelpaar belegt 2 Felder - diese 2 Felder können durch keine andere Ziffer belegt werden - damit sind nicht nur 2 Einheiten gesperrt, sondern auch diese 2 Felder in jeder dieser Einheiten. Logikregel 3 (siehe Logikmuster A - Orange): sind in einer Einheit 7 Lösungszahlen vorhanden, werden damit die fehlenden 2 Ziffern festgelegt. Diese fehlenden 2 Ziffern bilden ein Doppelpaar und sperren je nach Anordnung 1-2 Einheiten UND 2 Felder. - im Beispiel fehlt in der orangenen Zeile nur die 5 und die 6 - es entsteht ein Doppelpaar - dieses Doppelpaar belegt genau 2 Felder - in der orangenen Zeile und im orangenen Block - dadurch kann die 5 und 6 im orangenen Block auch nur in genau diesen 2 Feldern vorkommen - keine andere Ziffer kann in diesen 2 Feldern stehen Logikmuster B: Kandidatenpaare (weiß) sperren andere Einheiten. Logikregel 4 (siehe Logikmuster B - Rot): sind Einheiten mit gleichen Kandidaten paarweise angeordnet, werden 4-6 Einheiten gesperrt. Im Beispiel ist ein SPALTEN-Paar zu sehen. - beide roten Blöcke enthalten jeweils ein 3 -Paar - beide Paare sind so angeordnet, das sie gleichzeitig auch in den gleichen Spalten stehen - damit sind nicht nur die roten Blöcke, sondern auch die 2 roten Spalten gesperrt - die Sperrung der roten Zeile ergibt sich aus Logikregel 1 - damit sind in unserem Beispiel 5 Einheiten gesperrt; in diesen Einheiten kann keine weitere 3 vorkommen Logikregel 5 (siehe Logikmuster B - Braun/Gelb): Doppelpaare belegen immer genau 2 Felder einer Einheit. Sind Einheiten mit gleichen Doppelpaaren paarweise angeordnet, werden 4-6 Einheiten gesperrt UND 4 Felder. Im Beispiel ist ein ZEILEN-Doppel-Paar zu sehen. - beide grünen Blöcke enthalten ein 69 -Doppelpaar - beide Doppel-Paare sind so angeordnet, das sie gleichzeitig auch in den gleichen Zeilen stehen - damit sind nicht nur die grünen Blöcke, sondern auch die 2 grünen Zeilen gesperrt - die Sperrung der grünen Spalte ergibt sich aus Logikregel 2 - jedes 69 -Doppelpaar belegt 2 Felder in jedem grünen Block - diese Felder können durch keine andere Ziffer belegt werden - damit sind in unserem Beispiel nicht nur 5 Einheiten gesperrt, sondern auch 4 Felder Logikregel 6 (siehe Logikmuster B - Türkis): Triple entstehen aus 3 verschränkten Paaren. Ein Triple sperren je nach Anordnung 1-3 Einheiten und 3 Felder. - im Beispiel sperrt das 5 -Paar die türkisfarbene Spalte - das 2 -Paar sperrt die türkisene Zeile - das Triple belegt genau 3 Felder des türkisenen Block Blatt 5 von 10

6 - in diesen 3 Feldern kann keine andere Ziffer stehen Schritt 3 (usw.): Kandidatenpaare sperren Einheiten. Nachdem du diese Sperren ermittelst hast, beginnst du die zweiten Runde. Wiederhole deine Suche nach Kandidaten. Durch die gefundenen Sperren wirst du neue Kandidatenpaare finden. Dabei wird es häufig vorkommen, das du neue Kandidatenpaare findest, die alte Paare kreuzen. Dabei entsteht mindestens 1 Lösungszahl. Logikmuster C: Kandidatenpaare (weiß) haben Auswirkungen auf andere Kandidatenpaare (gelb) Lösungszahlen: schwarz Beispiel 1 (Logikmuster C - Grün): - du siehst ein 7 -Paar (gelb), das zuerst ermittelt wurde - später ermittelst du ein anderes 7 -Paar (weiß) - das weiße 7 -Paar erzeugt eine Sperre, bei der die linke Ziffer des alten (gelben) Paares gestrichen werden muss - übrig bleibt die Lösungszahl; diese hat weitere Konsequenzen... Beispiel 2 (Logikmuster C - Blau): - du siehst oberhalb der blauen Einheit ein 36 - Doppelpaar (gelb), das zuerst ermittelt wurde - später ermittelst du in der blauen Einheit ein 359 -Triple (weiß) - die Konsequenz aus dem Triple ist in Logikregel 6 beschrieben; damit gibt es in der blauen Einheit nur noch 6 freie Felder (für die Ziffern ) - betrachte oberhalb der blauen Einheit die Lösungszahl 6 - bedingt durch die Sperren aus Doppelpaar, Lösungszahl und Triple kann die 6 in der blauen Einheit nur an der mit dem weißen Punkt markierten Stelle stehen; dieses hat weitere Konsequenzen... Beispiel 3 (Logikmuster C - Rosa): - du siehst 3 Lösungszahlen - du ermittelst in 2 Einheiten 34 -Doppelpaare, die paarweise angeordnet sind (Spaltenweise) - die Konsequenz aus den Doppelpaaren ist in Logikregel 5 beschrieben - damit entsteht im oberen rosa Block ein neues Doppelpaar: die 3 und die 4 kann nur in den mit den schwarzen Punkten markierten Feldern stehen - außerdem entsteht eine weitere Konsequenz: im oberen rosa Block kann an der mit dem weißen Punkt markierten Stelle nur eine 7 stehen (betrachte hierzu die anderen Einheiten des Sudoku) Nachtrag Nur bei sehr schweren Sudokus muss diese Methode ergänzt werden. Es empfiehlt sich dann, nicht nur Paare, sondern auch Dreier zu suchen. Sollte dies auch nicht ausreichen oder die Kandidatenliste zu unübersichtlich werden, müssen bekannte andere Lösungsstrategien zu Hilfe genommen werden. Blatt 6 von 10

7 Hilfen beim Lösen Die Uhrzeigerstrichmethode Sudoku-Anleitung, zusammengestellt von kurt222 Da die Sudokus in Zeitungen und Magazinen häufig sehr klein abgedruckt sind, ist die Uhrzeigerstrichmethode hilfreich, die Kandidaten für ein Feld festzuhalten. Man macht im Feld einen kleinen Strich an der Stelle des Uhrzeigers (siehe Bild). Die Fünf stellt eine Ausnahme dar; sie wird als kleiner Punkt in der Mitte dargestellt. So kann man sich mehrere Kandidaten für ein Feld merken. Wenn man keinen Radiergummi zur Hand hat, kann man einen Kandidatenstrich einfach durchstreichen, wenn weitere Überlegungen diesen ausschließen. Diese Methode ist bei weitem leserlicher als das Schreiben von kleinen Zahlen. Punkte für Kandidaten notieren Man kann sehr gut kleine Punkte entsprechend einer Telefontastatur setzen und damit mögliche Kandidaten für ein Feld notieren. Beginnend für die Eins in der linken oberen Ecke. Oben in der Mitte kommt der Punkt für eine Zwei, in der rechten oberen Ecke der Punkt für eine Drei, am linken Rand in der Mitte liegt der Punkt für eine Vier und so weiter bis zum Punkt für eine Neun, der dann in der rechten unteren Ecke steht. Die Umkehr dieser Methode ist das Negativraster. Negativraster Das Negativraster ist das negative Erstellen einer Kandidatenliste. Dazu werden alle leeren Felder in neun Hilfsfelder aufgeteilt. Entsprechend einer Telefontastatur wird jedem der Hilfsfelder eine Zahl zugeordnet. Durch Wegstreichen der nicht möglichen Zahlen ergibt sich eine gute Übersicht über die möglichen Zahlen (die Kandidatenliste). Bei leichten Sudokus mit vielen Zahlenvorgaben stehen dann oft schon einzelne Zahlen fest. Bei schwierigen Sudokus - insbesondere bei solchen, bei denen mehrere Gabelungen (Bifurkationen) auftreten - kommt es natürlich eher selten zu "automatischen" Lösungen, aber die Markierungen helfen einem in jedem Fall, Fehler zu vermeiden. Besonders geeignet ist diese Methode für Anfänger, die auf diese Weise die Prinzipien der Sudokulösung erlernen können - auch anhand schwieriger Problemstellungen. Blatt 7 von 10

8 Unsichere Zahlen markieren Sudoku-Anleitung, zusammengestellt von kurt222 Zahlen trage ich nur mit Bleistift ein, um sie notfalls wieder wegradieren zu können. Eine unsichere Zahl markiere ich mit einem Sternchen, alle nachfolgenden dann mit einem Punkt. Taucht später ein Fehler auf, kann ich alle markierten Zahlen wegradieren und an der Sternchen-Stelle neu ansetzen, empfiehlt Kerstin Wöge aus Spandau, die erste Sudoku-Meisterin, in der BZ vom 29. November Eine darüber hinausgehende Variante ermöglicht das hintereinandergeschaltete Abarbeiten von Hypothesen mit rekursivem Backtracking: Die erste Auswahl einer unsicheren Ziffer wird z.b. mit einem Dreieck umrandet, alle nachfolgenden erhalten ein kleines Dreieck neben der Ziffer. Wird das Rätsel auf diese Art noch nicht vollständig gelöst und bleibt erneut nur die Wahl einer weiteren Hypothese, wird die neue unsichere Ziffer z.b. mit einem Kreis umrandet; alle nachfolgenden erhalten einen kleinen Kreis neben der Ziffer. Läuft man in eine Sackgasse, werden nun nur die zuletzt eingetragenen und mit demselben Symbol versehenen Ziffern ausradiert und die mit dem Kreis umrandete Ziffer durch eine andere Kandidatenziffer ersetzt. Sind auf diese Weise alle Kandidaten für die mit der Kreisumrandung markierten Zellen abgearbeitet, ohne dass eine Lösung erzielt werden konnte, werden nun alle mit einem Dreieck markierten Ziffern ausradiert und die mit dem Dreieck umrandete Ziffer durch einen anderen Kandidaten ersetzt. Mit weiteren Symbolen lassen sich quasi beliebig viele Hypothesen hintereinanderschalten. Einziger Nachteil: Papier hält vielfachem Radieren nicht lange stand! Papierstreifen Man kann sich auch zwei bis drei Papierstreifen zuschneiden. Mit diesen kann man gleiche Zahlen abdecken. Am besten geht man die Zahlenreihe immer wieder von 1 bis 9 durch. Das erleichtert das Ausfüllen ungemein, da man vom Zahlengewirr nicht abgelenkt wird. Ist man etwas geübter im Umgang mit den Papierstreifen, kann man auch einen Bleistift verwenden. Mögliche Ziffern mit Farbe eintragen Man verwendet für jede mögliche Ziffer, die in einem Kästchen stehen kann, eine andere Farbe. Dadurch ist auf einen Blick ersichtlich, ob in einer Spalte, einer Zeile oder in einem 3x3 Feld eine Farbe und somit eine Ziffer nur noch einmal vorkommt. Auch Zweier- und Dreierkombinationen sind dadurch besser auszumachen. Wenn für eine Ziffer immer die gleiche Farbe verwendet wird, genügt es nach einiger Übung, nur noch Farbpunkte platziert zu setzen. Blatt 8 von 10

9 Beispiel von: Man kommt nicht umhin, die fehlenden Zahlen zu notieren. Vorschlag: Horizontal neben den Zeilen die fehlenden Zahlen der Zeilen Vertikal unter den Spalten die fehlenden Zahlen der Spalten Die Kästchen nummerieren und mit den fehlenden Zahlen irgendwo hinschreiben Blatt 9 von 10

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