DOWNLOAD. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Thomas Röser. Downloadauszug aus dem Originaltitel: Stationenlernen Mathematik 8. Klasse

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1 DOWNLOAD Thomas Röser Wahrscheinlichkeitsrechnung Stationenlernen Mathematik 8. Klasse Thomas Röser 8. Klasse Bergedorfer Unterrichtsideen Bergedorfer Lernstationen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Stationenlernen Mathematik 8. Klasse Terme Lineare Gleichungen und Funktionen Prozentund Zinsrechnung Körper Stochastik

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3 6. Wahrscheinlichkeitsrechnung Laufzettel zum Stationenlernen Wahrscheinlichkeitsrechnung Station 1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Station 2 Ereignisse verknüpfen Zusatzstation A Gegenereignisnis Station 3 Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten Zusatzstation B Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik Station 4 Mehrstufige Baumdiagramme Station 5 Erwartungswert Station 6 Sachaufgaben Kommentare: 1

4 Station 1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Aufgabe Aufgabe: Übe das Rechnen mit Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten. 1. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse in deinem Heft. 2. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse in deinem Heft. Wie kann b) anders formuliert werden? 3. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher? Berechne in deinem Heft. echnung Station 2 Ereignisse e verknüpfen Aufgabe Aufgabe: Übe die Verknüpfung von Schnitt,- und Vereinigungsmengen. 1. Berechne A, B, A B, A B, P(A), P(B), P(A B) und P(A B) für die folgenden Würfelergebnisse in deinem Heft. Überprüfe mit dem Additionssatz. 2. In einer Kiste sind Zettel, durchnummeriert von Berechne A, B, A B, A B, P(A), P(B), P(A B) und P(A B) für die folgenden Würfelergebnisse in deinem Heft. Überprüfe mit dem Additionssatz. 3. Gegebene ist eine Schnitt-, und eine Vereinigungsmenge. Bestimme A, B, A B, A B, P(A), P(B), P(A B) und P(A B) in deinem Heft und formuliere einen möglichen Sachverhalt sowie mögliche Ereignisse A, B. 2

5 Station 3 Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten Aufgabe Aufgabe: Übe die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Zufallsexperimenten. Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten für Aufgabe in deinem Heft. echnung Station 4 Mehrstufige Baumdiagramme agra Aufgabe Aufgabe: Berechne Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen. Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten für Aufgabe 1. und 2. in deinem Heft und erstelle dazu ein Baumdiagramm. 3

6 Station 5 Erwartungswert Aufgabe Aufgabe: Übe das Berechnen des Erwartungswerts von Zufallsgrößen. 1. Bereche E(X) für ein Würfelspiel mit dem folgenden Gewinn-, Verlustplan in deinem Heft. 2. Gegeben ist der Einsatz und die Gewinnwahrscheinlichkeiten an einem Spielautomat. Der Einsatz pro Spiel kostet 50 Cent. Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn n (Erwartungswert)? 3. Berechne E(X) für die Augensumme beim zweimaligen Werfen eines Würfels in deinem Heft. Vervollständige zunächst die Wahrscheinlichkeitstabelle und erkläre diese. echnung Station 6 Sachaufgaben Aufgabe Aufgabe: Übe das Bearbeiten von Sachaufgaben. Bearbeite die Sachaufgaben nach dem folgenden Prinzip: Gegeben ist jeweils ein Sachverhalt und eine Frage. Führe in deinem Heft die Rechnung durch und formuliere einen passenden Antwortsatz. Wenn es dir hilft, kannst du auch zusätzlich ein Baumdiagramm zeichnen. 4

7 Zusatzstation A Gegenereignis Aufgabe Aufgabe: Übe das Berechnen des Gegenereignisses. 1. Ein Glücksrad besteht aus 20 gleich großen Feldern (nummeriert von 1 20). Bestimme S und vervollständige die Tabelle in deinem Heft. 2. Gib zu jedem Ereignis die Ereignismenge, das Gegenereignis sowie die Wahrscheinlichkeiten in deinem Heft an. echnung Zusatzstation B Wahrscheinlichkeitstheorie heorie und Kombinatorik Aufgabe Aufgabe: Übe das Zählverfahren en von Kombinationsmöglichkeiten und deren Wahrscheinlichkeiten. Bearbeite die Aufgaben nach dem folgenden Prinzip: Gegeben ist jeweils ein Sachverhalt und eine Frage. Führe in deinem Heft die Rechnung durch und formuliere einen passenden Antwortsatz. 5

8 Station 1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Material Unter einem Ereignis versteht man eine beliebige Zusammenfassung der Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Es gibt unmögliche (können nicht auftreten, Wahrscheinlichkeit Null) und sichere Ereignisse (tritt definitiv auf, Wahrscheinlichkeit 1). Es gibt das Laplace-Experiment (alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich) P(A) = Anzahl günstige Ergebnisse : Anzahl möglicher Ergebnisse und das beliebige Zufallsexperiment (Wahrscheinlichkeiten zugehöriger Ergebnisse addieren). Beispiel: Ein Glücksrad ist nummeriert mit den Zahlen 1 9 (Laplace Experiment) Sicheres Ereignis: Alle möglichen Ergebnisse, Ergebnismenge nge S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Unmögliches Ereignis: Drehen der Zahl 10 Ereignis A (Zahl > 6): A = {7, 8, 9}. Drei Ergebnisse sind günstig, neun sind möglich: P(A) = 3 9 = 1 3 = 0,3 B 33,33 % 1. a) eine Zahl auf einem grauen Feld 1 2 b) eine Zahl auf einem weißen Feld 8 3 c) eine Zahl 3 d) eine Zahl > e) die Zahl 1, 4, 5, 6 oder r8 6 5 f) eine zweistellige Zahl 2. a) eine graue Kugel b) keine graue Kugel c) irgendeine Kugel 3. a) Mit dem ersten Rad oder dem zweiten Rad ein graues Feld zu drehen. b) Mit dem dritten Rad eine 4 oder mit dem zweiten Rad eine 1 zu drehen. c) Mit dem dritten Rad eine 5 oder mit dem ersten Rad eine Zahl 6 zu drehen

9 Station 2 Ereignisse verknüpfen Material Zwei oder mehr Ereignisse können mit dem logischen UND sowie auch mit dem logischen ODER zu einem neuen Ereignis zusammengefasst (verknüpft) werden. Beispiel: einen Würfel. Ereignis A: Gewürfelte Zahl ist ungerade, A = {1, 3,5} Ereignis B: Gewürfelte Zahl ist < 4, B = {1, 2, 3} UND : Ist die Schnittmenge, die alle Ergebnisse enthält, die in A und in B enthalten sind. Man schreibt: A B = {1,3} (1 und 3 sind ungerade und kleiner als 4) ODER : Ist die Vereinigungsmenge, die alle l Ergebnisse s enthält, t die in A oder in B enthalten sind. Man schreibt: A B = {1, 2, 3, 5} (Zahl kleiner 4 oder Zahl ungerade) Um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, e können zu jedem Ergebnis die zugehörigen g Wahrscheinlichkeiten zusammenaddiert werden e oder man wendet den Additionssatz t an: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Betrachte obiges Beispiel. el. A = Zahl ungerade, B = Zahl < 4 Für jedes Ergebnis beträgt die Wahrscheinlichkeit P(E) = 1 : 6 (Würfel hat sechs Seiten) P(A) = 3 : 6 = 1 : 2 P(B) = 3 : 6 = 1 : 2 P(A B) = 2 : 6 = 1 : 3 P(A B) = 4 : 6 = 2 : 3 1. a) A: gerade Zahl B: eine 2 b) A: gerade Zahl B: eine 3 2. a) A: Die Zahl ist 5 B: eine durch 3 teilbare Zahl b) A: Die Zahl ist > 5 B: eine durch 2 teilbare Zahl A B A B

10 Station 3 Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten Material Häufig werden Zufallsexperimente betrachtet, die aus mehr als einem einzigen Experiment bestehen. Sie setzen sich aus mehreren hintereinander ausgeführten einstufigen Versuchen zusammen. Man unterscheidet dabei das Modell Ziehen mit Zurücklegen (gezogenes Objekt wird nach dem Ziehen wieder zurück in die Urne gelegt) und das Ziehen ohne Zurücklegen (gezogenes Objekt wird nach dem Ziehen nicht mehr zurück in die Urne gelegt). Beispiel: In einer Urne sind 2 grüne und 3 gelbe Kugeln (insgesamt 5 Kugeln). Es werden hintereinander 2 Kugeln gezogen a) mit Zurücklegen, b) ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit erst grün, dann gelb zu ziehen? a) P(grün/gelb) = = 24 % b) P(grün/gelb) 2 = = 30 % 1. In einer Schachtel befinden sich die folgenden fünf Kugeln. Es wird zweimal eine Kugel gezogen und diese wird wieder zurück in die Schachtel gelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) zwei graue Kugeln gezogen werden? b) keine e schwarze Kugel gezogen wird? c) zweimal die gleiche Zahl gezogen gen wird? d) erst eine weiße und danach die schwarze Kugel gezogen wird? e) zweimal eine schwarze Kugeln gezogen wird? 2. In einem Behälter sind 6 blaue, 7 rote und 9 weiße Stifte. Es wird dreimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit a) die Kombination on blau, rot, weiß zu ziehen? b) dreimal blau zu ziehen? c) keinen weißen Stift zu ziehen? Berechne anschließend die Wahrscheinlichkeiten, wenn doch mit Zurücklegen gezogen wird. 3. Zwei gleich große Klassen mit insgesamt 34 Schülern gehen ins Kino, die Sitzplätze 1 34 werden ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten nur Schüler aus einer Klasse die ersten fünf Sitzplätze? Wähle für diese Aufgabe ein passendes Urnen-/Schachtelmodell. 8

11 Station 4 Mehrstufige Baumdiagramme Material Zufallsversuche lassen sich in einem Baumdiagramm darstellen. Dies ist vor allem sinnvoll, wenn Ereignisse aus mehreren Schritten bestehen. Für jeden Schritt gibt es neue Pfade im Diagramm. Für die Gesamtwahrscheinlichkeit gibt es zwei Regeln: Multiplikationsregel: Multipliziere Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades miteinander. Summenregel: Addiere Einzelwahrscheinlichkeiten, wenn ein Ereignis aus mehreren Pfaden besteht. Beispiel: In einer Lostrommel sind zwei grüne, ein roter und ein blauer Zettel. e Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit erst rot und dann grün oder blau zu ziehen. e Dabei werden die gezogenen n Zettel nicht mehr zurück in die Trommel gelegt (Ziehen ohne Zurücklegen). Einzelwahrscheinlichkeit: einl chkei Lostrommel 1:4 1:2 1:4 rot grün blau 2:3 1:3 1:3 1:3 1:3 2:3 1:3 grün blau grün rot blau grün rot p(rot, grün) = = 1 6 p(rot, blau) = = 1 12 Gesamtwahrscheinlichkeit: p(rot, grün/blau) = = 1 4 = 25 % 1. In einer Urne sind vier Umschläge mit den Zahlen 2, 3, 3, 4. Erstelle ein Baumdiagramm für die Wahrscheinlichkeit ichke und berechne diese, erst eine 2 und dann eine 3 oder 4 zu ziehen, wenn a) die Umschläge nach dem Ziehen nicht zurückgelegt werden, b) die Umschläge nach dem Ziehen zurückgelegt werden. 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit dem gegebenen Glücksrad die Buchstaben in der Reihenfolge a) A, B B b) B, C zu erzielen. Erstelle dafür ein Baumdiagramm A D C A und berechne. B 9

12 Station 5 Erwartungswert Material Der Erwartungswert ist eine Zahl und dient zur Beurteilung einer Zufallsvariablen X. Man berechnet den zu erwartenden Wert für die Zufallsvariable bei einer großen Anzahl an Durchführungen/Beobachtungen. Dabei nimmt X die Werte der Zufallsvariablen x 1, x 2,, x i an. P(X = x i ) ist die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariablen und der Erwartungswert berechnet sich so: E(X) = x 1 P(X = x 1 ) + x 2 P(X = x 2 ) + + x i P(X = x i ) Beispiel: Einmal würfeln, Zufallsvariable X beschreibt b die Augenzahl. Jede Zahl von 1 6 hat die Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden von 1 : 6, daher gilt: E(X) = = 3,5 1. Augenzahl Gewinn in , Betrag Wahrscheinlichkeit 5 25 % 2 10 % 3 15 % 6 30 % 1 7 % 0 13 % 3. Zahl Wahrscheinlichkeit 1:36 2:36 3:36 2:36 1:36 10

13 Station 6 Material Sachaufgaben 1. Eine Schachtel enthält 8 grüne, 3 blaue und 9 schwarze Kugeln. Daraus werden zufällig drei Kugeln hintereinander entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) alle Kugeln grün sind, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird? b) alle Kugeln grün sind, wenn mit Zurücklegen gezogen wird? 2. Beim Schulfest gibt es eine Lostrommel mit 9 weißen und 7 blauen Zetteln. eln. Der Einsatz für ein Spiel beträgt 50 Cent. Werden zwei gleichfarbige Zettel gezogen, so gewinnt man 1. Ist das Spiel fair? 3. Bei einem Würfelspiel, wo der Würfel einmal geworfen wird, erhält der Spieler für jede gerade Zahl die doppelte Augenzahl in Euro. Für eine ungerade e Zahl, muss der Spieler die doppelte gewürfelte Zahl in Euro zahlen. Handelt es sich um ein günstiges oder ungünstiges Glücksspiel? 4. Einem Kartenspiel mit 32 Karten werden die vier Könige (Herz, Pik, Kreuz, Karo) )entnommen und vermischt. Nacheinander er werden zwei Karten aufgedeckt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) zwei rote Karten aufgedeckt werden? b) der Kreuz-König im zweiten Versuch aufgedeckt wird? c) erst der Herz und dann der Karo König aufgedeckt wird? 11

14 Zusatzstation A Material Gegenereignis Betrachtet man z.b. Glücksspiele, so gibt es die Ausgänge Gewinn oder Niete, bei einer Ampel die Ausgänge rot oder grün usw. Es gibt also nur zwei mögliche Versuchsausgänge, das Ereignis A (Gewinn) und das Ereignis A (Niete bzw. kein Gewinn). Weiterhin gilt: P(A) + P(A) = 1. Beispiel: Beim Würfeln existiert die Ergebnismenge S = {1,2,3,4,5,6} Ereignis Gegenereignis A: Zahl 2 A : Zahl > 2 A = {1, 2} A = {3,4,5,6} P(A) = 2 : 6 = 1 : 3 P(A) = 4 : 6 = 2 : 3 1. a) Ereignis Gegenereignisnis A: Zahl > 6 b) Ereignis Gegenereignis A: Quadratzahl 2. In einer Lostrommel sind 43 Gewinnkugeln, 32 Nieten und 14 neutrale Kugeln mit der Aufschrift Nochmal neu ziehen. Es wird eine Kugel blind gezogen. A: ein Gewinn B: eine Niete oder ein neutrales Los C: keine neutrale Kugel 12

15 Zusatzstation B Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik Material Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Berechung von möglichen Kombinationen. Dabei gibt es das folgende Abzählverfahren: Es werden nach einander i Entscheidungen getroffen und dabei gilt: 1. Stufe n 1 Möglichkeiten 2. Stufe n 2 Möglichkeiten i-te. Stufe n i Möglichkeiten Beispiel: Celina hat 6 Hosen und 9 Pullover. Wie viele Anziehkombinationen nationen n gibt es? 6 9 = 54, von daher hat sie 54 verschiedenen enen e Möglichkeiten. e In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es bei einem em Zufallsexperiment mit n verschiedenen enen n Ausgängen, bei i-maliger Durchführung insgesamt s n n n = n i mögliche Ergebnisse. s Beispiel: In eine Schachtel liegen en 4 verschiedene e ene e Bälle, von denen 3 (mit Zurücklegen) gezogen werden. Wie viele e Möglichkeiten gibt es? 4 3 = = 64 Möglichkeiten. en. Die Wahrscheinlichkeit, die Bälle in der Reihenfolge e (1,2,3) zu ziehen en beträgt: t P(A) = 1 = 1 i 64 = 1,56 % n 1. Steven hat 4 verschiedene Mathebücher, 5 verschiedene Englischbücher und 6 verschiedene Kochbücher. Wie viele Kombinationen onen gibt es, die Bücher nebeneinander zu legen? 2. In einer Urne sind 6 Kugeln durchnummeriert von 1 6. Es werden 4 Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit hein chkei die Reihenfolge en (1,2,3,4) zu ziehen, wenn a) die Kugeln jedes Mal zurück in die Urne gelegt werden? (mit Zurücklegen) b) die Kugeln nicht mehr zurückgelegt werden? (ohne Zurücklegen) 3. Am Glücksspielautomat hat die erste Walze die Zahlen von 1 12, die zweite Walze die Zahlen von 1 9, die dritte Walze die Zahlen 1 6 und die vierte Walze die Zahlen 1 3. Wie viele Kombinationen können erdreht werden? 4. Beim Tippen eines Bundesligaspieltags kann man eine 1 für einen Heimsieg, eine zwei für einen Auswärtssieg und eine 0 für ein Unentschieden tippen. An einem Spieltag gibt es 9 Partien. a) Wie viele verschiedene Tippmöglichkeiten gibt es? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit alle 9 Partien richtig zu tippen? 13

16 Abschließende Bündelung des Stationenlernens Material Aufgaben zur Wiederholung Wiederholung der Stationen 1 6 sowie der Zusatzstationen A B 1. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Erstelle ein Baumdiagramm für die Wahrscheinlichkeit zweimal eine 1 zu würfeln und berechne diese. 2. Beim 100 Meter Sprint laufen Max, Tim und Kai um die Wette. a) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Verteilung der Plätze? Erstelle e dazu ein Baumdiagramm. b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn acht Läufer starten? (ohne Baumdiagramm) 3. Ein Würfel wird dreimal hintereinander geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, a) mindestens eine 1 zu würfeln? b) dass die Augenzahl bei jedem Wurf größer ist als beim Vorhergehenden? (Tipp: Zähle alle Möglichkeiten auf.) 4. Aus einer Urne mit 10 Kugeln (nummeriert von 3 12) wird eine e Kugel gezogen. en A ist eine durch 3 teilbare e Zahl, B eine Primzahl. Bestimme A={}, B={}, P(A), P(B), A B, A B und wende den Additionssatz an. 5. Bei der Produktion von Plastikfiguren werden en 97 % einwandfrei ndfr hergestellt. Die Produktionskosten pro Figur betragen 1,50. Kauft ein Kunde eine fehlerhafte Figur, so bekommt er kostenlos eine einwandfreie Figur gestellt. Zu welchem Preis muss eine Figur verkauft werden, wenn die Firma pro Figur einen Gewinn von 20 Cent erzielen möchte? 6. a) Aus einer Lostrommel mel mit 9 weißen, 5 schwarzen und 3 grauen Bällen werden zwei Bälle nacheinander nander gezogen. e Wer zweimal die gleiche Farbe zieht, gewinnt. Ist es besser, den ersten gezogenen Ball zurückzulegen oder zu behalten? Berechne und erstelle jeweils ein Baumdiagramm. b) Martin schlägt Lisa eine Wette vor: Ziehe den ersten Buchstaben aus Topf 1, den zweiten Buchstaben aus Topf 2. Wenn du die Buchstabenreihenfolge AE ziehst, muss ich einkaufen, ansonsten du. Kann Lisa die Wette annehmen, ohne benachteiligt zu werden? A A A B A A A C C A C A B A A A C D E E E E D E D E E E E F E Topf 1 Topf 2 14

17 6. Wahrscheinlichkeitsrechnung Lösungen Station 1: Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten 1. a) A = {1, 5} P(graues Feld) = 2 : 8 = 25 % b) A = {2, 3, 4, 6, 7, 8} P(weißes Feld) = 6 : 8 = 75 % c) A = {1, 2, 3} P(Zahl 3) = 3 : 8 = 37,5 % d) A = {3, 4, 5, 6, 7, 8} P(Zahl > 2) = 6 : 8 = 75 % e) A = {1, 4, 5, 6, 8} P(1, 4, 6) = 5 : 8 = 62,5 % f) A = { } P(zweistellige Zahl) = 0 : 8 = 0% unmögliches Ereignis 2. a) P(graue Kugel) = 12 : 42 = 28,57 % b) P(keine graue Kugel) B P(weiße Kugel) = 30 : 42 = 71,42 % c) P(irgendeine Kugel) = 42 : 42 = 100 % sicheres Ereignis 3. a) A = {2, 5, 8} P(graues Feld im ersten Rad) = 3 : 8 = 37,5 % A = {1} P(graues Feld im zweiten Rad) = 1 : 4 = 25 % Antwort: Die Wahrscheinlichkeit mit dem ersten Rad ein graues Feld zu drehen ist größer. b) A = {4} P(4 im dritten Rad) = 2 : 4 = 1 : 2 = 50 % A = {1,1} P(1 im zweiten Rad) = 2 : 4 = 1 : 2 = 50 % Antwort: Wahrscheinlichkeiten sind gleich wahrscheinlich. c) A = {5} P(5 im dritten Rad) = 1 : 4 = 25 % A = {6, 7, 8} P(6, 7, 8 im ersten Rad) = 3 : 8 = 37,5 % Antwort: Die Wahrscheinlichkeit mit dem ersten Rad eine Zahl 6 6 zu drehen ist größer. Station 2: Ereignisse verknüpfen 1. a) A = {2, 4, 6}, B = {2}, AQB = {2}, AqB = {2, 4, 6}, P(A) = 3 : 6 = 1 : 2; P(B) = 1 : 6; P(AQB) = 1 : 6; P(AqB) = 3 : 6 = 1 : 2 P(AqB) = P(A) + P(B) P(AQB); 1 : 2 = 1 : : 6 1 : 6 = 1 : 2 wahr 15

18 b) A = {2, 4, 6}, B = {3}, AQB = { }, AqB = {2, 3, 4, 6}, P(A) = 3 : 6 = 1 : 2; P(B) = 1 : 6; P(AQB) = 0 : 6 = 0; P(AqB) = 4 : 6 = 2 : 3 P(AqB) = P(A) + P(B) P(AQB); 2 : 3 = 1 : : 6 0 = 4 : 6 = 2 : 3 wahr 2. a) A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 6, 9}, AQB = {3}, AqB = {1,2,3,4,5,6,9}, P(A) = 5 : 10 = 1 : 2; P(B) = 3 : 10; P(AQB) = 1 : 10; P(AqB) = 7 : 10 P(AqB) = P(A) + P(B) P(AQB); 7 : 10 = 5 : : 10 1 : 10 = 7 : 10 wahr b) A = {6,7,8,9,10}, B = {2,4,6,8,10}, AQB = {6,8,10}, AqB = {2,4,6,7,8,9,10}, P(A) = 5 : 10 = 1 : 2; P(B) = 5 : 10 = 1 : 2; P(AQB) = 3 : 10; P(AqB) = 7 : 10 P(AqB) = P(A) + P(B) P(AQB); 7 : 10 = 5 : : 10 3 : 10 = 7 : 10 wahr 3. Mögliche Aufgabenstellung: In einer Urne sind Kugeln von 1 20d durchnummeriert. A: Zahl durch 4 teilbar B: Zahl zweistellig A = {4, 8,12,16, 20}, B = {10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 11,1, 20}, AQB = {12,16, 20}, AqB = {4, 8,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, 15,16,,18,19, 20}, P(A) = 5 : 20 = 1 : 4; P(B) = 11 : 20; P(AQB) = 3 : 20; P(AqB) = 13 : 20 P(AqB) = P(A) + P(B) P(AQB); 13 : 20 = 5 : : 20 3 : 20 = 13 : 20 wahr Station 3: Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten 1. Ziehen mit Zurücklegen en a) P(grau, grau) = = 4 25 = 16 % b) P(nicht schwarz, nicht schwarz) = = = 64 % c) Zweimal die gleiche Kugel sind 5 verschiedene Möglichkeiten: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) P(zweimal gleich) = = 1 5 = 20 % d) P(weiß, schwarz) = = 2 25 = 8 % e) P(schwarz, schwarz) = = 1 25 = 4 % 16

19 2. Ziehen ohne Zurücklegen a) P(blau, rot, weiß) = " 4,1 % 6 4,1 % = 24,55 % (Die Reihenfolge ist 20 unerheblich.) P(blau, blau, blau) = " 1,3 % c) P(nicht weiß, nicht weiß, nicht weiß) = " 18,57 % Wahrscheinlichkeiten mit Zurücklegen: P(blau, rot, weiß) = " 3,55 % P(blau, blau, blau) = " 2,03 % P(nicht weiß, nicht weiß, nicht weiß) = " 20,63 % 3. Modell: 5-mal Ziehen ohne Zurücklegen Rechnung: Die Wahrscheinlichkeiten eiten für beide Klassen sind gleich groß (beide Klassen se haben 17 Schüler). 17 blaue Kugeln (Klasse A), 17 grüne Kugeln (Klasse B) Im ersten en Versuch eine blaue Kugel zu ziehen, en, beträgt die ewahrscheinlichkeit 17 : 34, im zweiten 16 : 33, usw. P(blau) = P(grün) = (Beide erfüllen die Bedingung, also ist die = 2,22 % Gesamtwahrscheinlichkeit ichkeit P (blau) + P (grün) = 4,44 %.) P (grü Antwort: t: Die Wahrscheinlichkeit, heinl dass fünf Schüler aus einer Klasse nebeneinander sitzen beträgt 4,44%. 44%. Station 4: Mehrstufige Baumdiagramme 1. a) Urne 1:4 1: :3 1:3 1:3 1:3 1:3 1:3 2: :4 17

20 Einzelwahrscheinlichkeit: p(2, 3) = = 1 6 p(2, 4) = = 1 12 Gesamtwahrscheinlichkeit: p(2, 3/4) = = 1 4 = 25 % b) Urne 1:4 1:2 1:4 1:4 1: :2 1:4 1:4 1:2 1:4 1:4 1: Einzelwahrscheinlichkeit: p(2, 3) = = 1 8 p(2, 4) 1 1 = = Gesamtwahrscheinlichkeit: p(2, 3/4) = = 3 16 = 18,75 % 2. Es handelt sich hier um das Modell l Ziehen mit Zurücklegen, da nach dem ersten Drehen alle sechs Möglichkeiten auch für den zweiten Versuch zählen. Aufbau des Baumdiagramms wie 1b); Möglichkeiten en in beiden Versuchen: A 1 : 3, B 1 : 3, C 1 : 6, D 1 : 6 a) p(a, B) = = 1 9 = 11,1 % b) p(b, C) = = 1 18 = 5,5 % Station 5: Erwartungswert 1. Für jede Augenzahl gilt die Wahrscheinlichkeit 1 : 6. E(X) = ( 1) ( 2) , = 7 12 = 0,58 Antwort: Der Erwartungswert beträgt 0,58. 18

21 2. E(X)= 5 0, , ,15 6 0,3 1 0, ,13 = 0,03 = 3 Cent Antwort: Pro Spiel gibt der Automat im Schnitt 3 Cent aus und macht damit bei einem Einsatz von 50 Cent einen Gewinn von 47 Cent. 3. Zahl Wahrscheinlichkeit 1:36 2:36 3:36 4:36 5:36 6:36 5:36 4:36 3:36 2:36 1:36 Erklärung: Bei 2 Würfen gibt es 6 6 = 36 verschiedene Würfelkombinationen. Die Zahl 2 kann nur durch die Würfelkombination 1 und 1 dargestellt werden, also trifft nur eine von insgesamt 36 möglichen Kombinationen zu. Die Zahl 5 z. B. kann durch eine 2 und 3, eine 3 und 2, eine 4 und 1, eine 1 und 4, also durch insgesamt 4 verschiedene Würfelkombinationen dargestellt werden, usw. E(X)= = 7 Antwort: Der Erwartungswert der Augensumme der Würfel beträgt 7. Station 6: Sachaufgaben 1. a) Rechnung: Bei insgesamt 20 Kugeln (davon 8 grüne), beträgt die Wahrscheinlichkeit im ersten Versuch 8 : 20, im zweiten 7 : 19 und im dritten 6 : 18. P(g 1 ) = 8 20 ; P(g ) = ; P(g ) = 6 3 P(g ) = ; P(g ) P(g ) = 4,91 % 1 Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Kugeln grün sind beträgt ohne Zurücklegen 4,91 %. b) Rechnung: Bei insgesamt 20 Kugeln (davon 8 grüne), beträgt die Wahrscheinlichkeit in allen drei Versuchen 8 : 20. P(g 8 20 ; P(g ) = ; P(g ) = ; P(g ) P(g ) P(g ) = = 6,4 % 1 )= Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Kugeln grün sind beträgt mit Zurücklegen 6,4 % Cent: = = 47,50 % 50 Cent: 1 0,4750 = 52,50 % E(A) = 0,50 0, ,50 0,4750 = 0,025 Antwort: Das Spiel ist also fair. 19

22 3. Rechnung: Alle Zahlen (gerade oder ungerade) sind gleichwahrscheinlich. Bei 1, 3, 5 werden 2, 6 und 10 Euro gezahlt, bei 2, 4, 6 erhält man 4, 8 und 12 Euro. E(A) = = 1 Antwort: Das Spiel ist also günstig für den Spieler, auch aus dem Grund, da die geraden Zahlen eines Würfels die höheren Augenzahlen darstellen. 4. a) Rechnung: Im ersten Versuch, einen roten König aufzudecken, beträgt die Wahrscheinlichkeit 1 : 2, im zweiten 1 : 3. P(2 rote Könige) = = 16,6 % Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei rote Karten aufgedeckt werden, beträgt 18,3 %. b) Rechnung: P(kein Kreuz König) = = 25 % Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, eit, dass erst ein beliebiger König und danach der Kreuz König aufgedeckt wird, beträgt 25 %. c) Rechnung: P(erst dann Karo) = 1 Herz = 8,3 % Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass erst der Herz und dann der Karo König aufgedeckt wird, beträgt 8,3 %. Zusatzstation A: Gegenereignis nis 1. S = {1, 2,, 20} a) Ereignis Gegenereignis A: Zahl > 6 A : Zahl ^ 6 A = {7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} A = {1,2,3,4,5,6} P(A) = 14 : 20 = 7 : 10 P(A) = 6 : 20 = 3 : 10 b) Ereignis Gegenereignis A: Quadratzahl A : keine Quadratzahl A = {1,4,9,16} A = {2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20} P(A) = 4 : 20 = 1 : 5 P(A) = 16 : 20 = 4 : 5 2. A = {43 Gewinne} A = {32 Nieten, 14 Neutrale) P(A) = 43 : 89 = 48,31 % P(A) = 46 : 89 oder 1 P(A) = 1 (43 : 89) = 46 : 89 = 51,69 % 20

23 B = {32 Nieten, 14 Neutrale} B = {43 Gewinne} P(B) = 46 : 89 = 51,69 % P(B) = 1 P(B) = 1 (43 : 89) = 48,31 % C = {43 Gewinne, 32 Nieten} C = {14 Neutrale} P(C) = 75 : 89 = 84,27 % P(B) = 1 P(C) = 1 (75 : 89) = 15,73 % Zusatzstation B: Wahrscheinlichkeitstheorie und Kombinatorik 1. Rechnung: (4+5+6)! = 15! Kombinationen Antwort: Steven hat 1, verschiedene Kombinationsmöglichkeiten, n, die Bücher nebeneinander zu legen. 2. a) Rechnung: 6 4 = 1296 Möglichkeiten gibt es und genau eine Möglichkeit die Reihenfolge (1,2,3,4) zu ziehen, daher gilt: P(A) = 1 : 1296 = 00 0,08 %. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, hkeit, die Kugeln in der Reihenfolge (1,2,3,4) zu ziehen, beträgt mit Zurücklegen 0,08 %. b) Rechnung: Hier gibt es in jedem Versuch eine Kugel weniger, daher gibt es = 360 Möglichkeiten iten und ebenso genau eine Möglichkeit die Reihenfolge (1,2,3,4) zu ziehen, daher gilt: P(A) = 1: 360 = 0,28 %. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit hkeit die Kugeln in der Reihenfolge (1,2,3,4) zu ziehen beträgt ohne Zurücklegen 0,28 %. 3. Rechnung: = 1944 Kombinationen Antwort: t: Es können 1944 Kombinationen erdreht werden. 4. a) Rechnung: Es gibt 3 9 = Möglichkeiten. b) Rechnung: Es gibt nur eine Möglichkeit, alle Partien richtig zu tippen, daher gilt: P(A) = 1 : = 0,005 % Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, alle 9 Partien richtig zu tippen, beträgt 0,005 %. 21

24 Abschließende Bündelung des Stationenlernens : : Würfel 1:6 1: :6 1: P(1,1) = = 1 36 = 2,78 % Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine 1 zu würfeln, beträgt 2,78 % (in jedem Wurf 1 : 6). 2. a) 100 m Lauf Max Tim Kai 1. Platz Tim Kai Max Kai Max Tim 2. Platz Kai Tim Kai Max Tim Max 3. Platz a) Es gibt insgesamt = 6 Möglichkeiten für die Verteilung der Plätze. b) Bei acht Läufern gibt es = Möglichkeiten für die Verteilung der Plätze. 3. a) A: mindestens eine 1 A : keine 1 P(A) = 1 P(A) = # = = 42,1 % Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 1 zu würfeln, beträgt 42,1%. b) Es können die folgenden 20 Möglichkeiten gewürfelt werden: (1,2,3); (1,3,4); (1,4,5); (1,5,6); (2,3,4); (2,4,5); (2,5,6); (3,4,5); (3,5,6); (4,5,6); (1,2,4); (1,2,5); (1,2,6); (1,3,5); (1,3,6); (1,4,6); (2,3,5); (2,3,6); (2,4,6); (3,4,6) 20 P(Augenzahl größer als beim Vorhergehenden) = = 5 54 = 9,26 % Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl bei jedem Wurf größer ist als beim Vorhergehenden, beträgt 9,26%. 22

25 4. A = {3,6,9,12} B = {3,5,7,11} P(A) = 4 : 10 = 2 : 5 P(B) = 2 : 5 AQB = {3} AqB = {3,5,6,7,9,11,12} Additionssatz: P(AqB) = P(A) + P(B) P(AQB) 7 : 10 = 2 : : 5 1 : 10 = 7 : Rechnung: x beschreibt den Verkaufspreis pro Figur x 1,50 97 % x 3,00 3 % E(A) = (x 1,50 ) 0,97 + (x 3,00 ) 0,03 = 0,20 Auflösen nach x liefert: x = 1,75 Antwort: Die Figur müsste für 1,75 verkauft werden. en. 6. a) mit Zurücklegen: P(w, w) = = 28,03 % P(s, s) = " 8,65 % P(g, = 3 g) " 3,11 % P(gleiche Farbe) = P(w,w) + P(s, s) + P(g, g) = 39,79 % w s 9:17 9:17 w g w Lostrommel 5:17 s 5:17 s g 3:17 g w 3:17 g s Ohne Zurücklegen: P(w, w) = " 26,47 % P(s, s) = " 7,35 % P(g, g) = " 2,21 % 23

26 P(gleiche Farbe) = P(w,w) + P(s, s) + P(g, g) = 36,03 % Lostrommel w s 8:16 9:17 w g w 5:17 s 4:16 s g 3:17 2:16 g w g s Antwort: Es ist sinnvoller, den ersten Ball wieder zurück in die Lostrommel zu legen. b) Topf 1: 17 Buchstaben: 11 A, 4 C, 2 B Topf 2: 14 Buchstaben: 10 E, 3 D, 1 F P(A, E) = " 46,22 % Antwort: Lisa sollte die Wette nicht annehmen, da die Gewinnwahrscheinlichkeit heinlichkeit unter 50 % liegt. 24

27 Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt auf direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit Persen en Verlag, Hamburg AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlags. Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfältig geprü ft. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garantieren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag ü bernimmt deshalb keine Gewähr fü r die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Haftung aus. Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH Bestellnr.: 23478DA6