PW6 Geometrische Optik

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1 PW6 Geometrische Optik Andreas Allacher Tobias Krieger Betreuer: Dr. Erhard Schafler.Nov.006 Seite 1

2 Inhaltsverzeichnis 1. Brennweite von Linsen und Linsenfehler Prinzip und Formeln Aufgabe Durchführung Fehlerrechnung Ergebnisse...6 Optische Instrumente Das Mikroskop Aufgabe Durchführung...1. Das Fernrohr Aufgabe Durchführung...14 Seite

3 1. Brennweite von Linsen und Linsenfehler 1.1 Prinzip und Formeln Aus der Vergrößerung oder mittels Gegenstands- und Bildweite kann die Brennweite f bestimmt werden. Für die Vergrößerung: β = B/G = b/ g und für die Brechkraft in Dioptrien (m -1 ) der Linse (bzw. der Brennweite Reziprokwert) gibt es die Abbildungsgleichung der Linsen: 1/ f = 1/g 1/b Brennweite: f = bg b g Die Länge e soll der Abstand vom Gegenstand zum Schirm und somit: e = b g Mittels der Formeln für β, 1/f und e ergibt sich (durch Umformungen) für die Brennweite: f = e β β 1 Außerdem wird auch das Besselverfahren verwendet: f = 1 4 e d d.. Abstand der Linse zwischen den beiden scharfen Bildpositionen e... Abstand zwischen Gegenstand und Schirm d bestimmt man am besten in dem man bei Position 1 (p 1 ) und Position (p ) jeweils von einem Bezugspunkt weg den Abstand misst und somit bestimmt man d durch: e d = p p 1 Bei der Konkavlinse wird die Gegenstandsweite der Konkavlinse folgendermaßen ermittelt (näheres unter Durchführung): g = g 1 d Sphärische Aberration: Bei sphärischen Linsen mit größerem Durchmesser und stärkerer Krümmung macht sich ein Zonenfehler (sphärische Aberration) bemerkbar, der darauf zurückzuführen ist, dass achsennahe und achsenferne parallel zur optischen Achse einfallende Strahlen unter unterschiedlichen Einfallswinkeln (bzw. Austrittswinkeln) auf die verschiedenen Linsenzonen treffen. Seite 3

4 Deswegen werden Brennpunkte beim Testobjekt ermittelt (starker und schwacher Krümmung). 1. Aufgabe 1.) Die Brennweite einer Konvexlinse ist zu bestimmen: a) Mittels der Vergrößerung (Abbildungsmaßstab) und Gegenstandsweite. b) Mit dem Besselverfahren..) Die Brennweite einer Konkavlinse ist zu bestimmen. 3.) Für die untersuchten Linsen ist die Brechkraft in Dioptrien anzugeben. 4.) Die sphärische Aberration einer dicken Linse mit unterschiedlicher Krümmung der Begrenzungsflächen ist zu untersuchen. 1.3 Durchführung Für jede Brennweitenbestimmung werden 5 Messungen durchgeführt. 1.) a) Zur Bestimmung der Brennweite wurden die Strichmarken als Gegenstand verwendet, um daraus die Vergrößerung bestimmen zu können (B/G). Mittels der Vergrößerung und durch einmaliger Messung des Abstands vom Schirm zur Lichtquelle (e = b+g) kann dann die Brennweite bestimmt werden. b) Durch Messen von e (Abstand vom Gegenstand zum Schirm einmalige Messung) und d (Abstand der Linse zwischen den beiden scharfen Bildpositionen) kann mittels der Formel f = 1 4 e d e die Brennweite bestimmt werden. Der Bezugspunkt für die Bestimmung von d (zwei Abstandsmessungen vom Bezugspunkt für beide Positionen) soll die Position des Gegenstands sein (oder falls besser messbar vom Schirm). Seite 4

5 .) Die Brennweite einer Konkavlinse lässt sich über die Abbildungsgleichung feststellen und zwar wird ein zuerst die Bildweite der Konvexlinse (zufällige Position) ermittelt und danach die Konkavlinse dazwischen gestellt, der Schirm verschoben und die Bildweite der Konkavlinse gemessen. Die Gegenstandsweite der Konkavlinse ergibt sich folgendermaßen: g = g 1 d 3.) Den Reziprokwert der Brennweite (in m) bilden um die Brechkraft in Dioptrien zu erhalten. 4.) Man hat folgende Aufbau: Mit diesem Aufbau lässt sich die sphärische Aberration untersuchen. Man kann mittels Millimeterpapier den Strahlengang aufzeichnen und die Brennpunkte feststellen (und eine ähnliche Kurve wie beim Prinzip zu sphärischer Aberration ersehen). Es wird eine eine dicke Linse ungleicher Krümmung und eine plankonvexe dicke Linse untersucht und zwar für den Fall, dass die Lichtstrahlen in Richtung stärkerer, als auch für den Fall, dass die Lichtstrahlen in Richtung schwächerer Linsenkrümmung einfallen. 1.4 Fehlerrechnung Für alle Messungen wurde die Standardabweichung gebildet bzw. das Gauß'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz angewandt. Für die Vergrößerung: Bei der Vergrößerungsmethode: Beim Besselverfahren: Δβ = ΔB G B ΔG G Δ f = β Δe 1 β e Δβ 1 β 1 β 3 Δ d = Δp Δp 1 Seite 5

6 Δ f = Δe 4 1 d e d e d Bei der Brennweite aus Abbildungsgleichung für Linsen: Δ f = g b g bg Δb b g 1.5 Ergebnisse Δ Δ b b g bg g b g 1.) a) Brennweite einer Konvexlinse (L1) mittels Vergrößerung: e [m] 0,460 0,001 B [m] G [m] 0,0130 0,0090 0,0140 0,0090 0,0075 0,0090 0,0140 0,0090 0,0190 0,0090 0,0 0, β f [m],3 0,097 0,04 0,015 Brennweite der Konvexlinse (L1): f = (0,1 ± 0,0) m b)brennweite einer Konvexlinse (L1) mittels Besselmethode: e [m] Wert 0,460 Standardabw. 0,001 p1 [m] p [m] 1 0,1405 0,310 0,1410 0, ,1400 0, ,1400 0,30 5 0,1410 0,3190 Mittelwert 0,14 0,3 Standardabw. 0,001 0,001 d f [m] Wert 0,180 0,0974 Standardabw. 0,001 0,0004 Brennweite der Konvexlinse (L1): f = (0,097 ± 0,001) m Seite 6

7 .) Brennweite der Konkavlinse (L) über Kombination mit Konvexlinse L1: e [m] Wert 0,860 Standardabw. 0,001 g1 [m] b1[m] d [m] b [m] g [m] f [m] 1 0,31 0,170 0,10 0,66-0,068-0,091 0,97 0,145 0,099 0,090-0,046-0, ,404 0,19 0,067 0,176-0,06-0, ,139 0,318 0,86 0,046-0,03-0, ,330 0,137 0,076 0,166-0,061-0,096 Mittelwert 0,8-0,097 Standardabw. 0,1 0,005 Brennweite der Konkavlinse (L3): f = (0,097 ± 0,005) m 3.) Brechkraft bestimmen für: a) L1: unter Verwendung des Vergrößerungsverfahrens: 1/f = 10,3 m -1 unter Verwendung des Besselverfahrens: 1/f = 10,3 m -1 b) L: 1/f = -10,3 m -1 4.) Sphärische Aberration: Untersuchung mittels Millimeterpapier durchgeführt: Seite 7

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11 Optische Instrumente Optische Instrumente dienen zur Vergrößerung des Sehwinkels. Für den Sehwinkel ε gilt allgemein tan ε = G a G..Größe des Gegenstandes a...gegenstandsweite Scharfes Sehen ist bis zum Nahepunkt (a=100 bis 150 mm) möglich. Die durch ein optisches Instrument herbeigeführte Winkelvergrößerung γ ist durch das Verhältnis γ= ε mitinstrument ε ohneinstrument = tan ε mitinstrument tan ε ohneinstrument bestimmt. Befindet sich ein Gegenstand G im Abstand k vor dem bloßen Auge ergibt sich bei Betrachtung durch ein optisches Instrument ein Bild B im Abstand l: γ= B G k l Für eine Winkelvergrößerung müssen folgende Verhältnisse stimmen:.1 Das Mikroskop B G ;l k γ 1 B G ;l k γ 1 Ist eine Kombination von zwei (Sammel-)Linsensystemen. Das Objektiv erzeugt ein umgekehrt reelles Zwischenbild B Z innerhalb der Brennweite des Okulars. Das Okular bildet nun vom Zwischenbild B Z ein aufrechtes, virtuelles und noch mal vergrößertes Bild B. G Objektiv ß B Z Okular B Auge f obj l f ok f ok, f obj..brennweite Okular, Objektiv l..abstand von Objektiv zur Brennebene des Okulars (Tubuslänge) Die Gesamtvergrößerung eines Mikroskopes ist das Produkt der Einzelvergrößerungen des Objektives und des Okulars. Wir gehen von einem Normabstand s 0 von 5 cm zwischen Auge und Gegenstand aus. Seite 11

12 .1.1 Aufgabe V M = V Obj V Ok = l f Obj s 0 f Ok 1. Aufbau eines Mikroskopes mit einer einfachen Linsenkombination. Eine Strichplatte dient als Gegenstand.. Messen der Gesamtvergrößerung des Mikroskops und vergleichen mit der theoretischen Gesamtvergrößerung. 3. Ermitteln der Abhängigkeit der Vergrößerung V m und der Tubuslänge l. Wir verwenden dabei wieder die Strichplatte als Gegenstand. Wir bestimmen die relative Vergrößerungsveränderung in Abhängigkeit zur Tubuslänge. 4. Eichen eines Okulars mit Strichteilung mit Hilfe der Strichplatte(10mm/00 Teile) und messen die Dicke eines Haares..1. Durchführung 1) Wir bauen ein einfaches Mikroskop aus einem Objektbausatz. ) Wir messen die Gesamtvergrößerung durch direkten Vergleich der Abstände der Teilungsstriche auf der vergrößerten Strichplatte zu einem danebenliegenden nicht vergrößerten Maßstab. Wir beachten dabei, dass das virtuelle Bild nicht unbedingt in der Bezugs-Sehweite liegt. Die Lage des Bildes hängt davon ab, ob man das reelle, vom Objektiv entworfene Zwischenbild in der Brennebene oder innerhalb der Brennweite des Okulars entwirft. S...Länge des Vergleichsmaßstabs s...abstand der Teilungsstriche n...anzahl der Teilungsstriche V M = S n s S [mm] s [mm] n lt [mm] VM_tat 46 0, ,33 Aus dem direkten Vergleich ergibt sich eine rund 15 fache Vergrößerung. Theoretische Vergrößerung fok [mm] fobj [mm] l [mm] s0[mm] VM_theo ,06 Die theoretische Vergrößerung ist 14 fach. Wir erhalten also eine relative Abweichung von tatsächlicher zur theoretischen Vergrößerung von 8,3 %. Seite 1

13 3) Wir verwenden ein Okular mit Maßstab. Bei verschiedenen Tubuslängen stellen wir die Teilung der Strichplatte in Relation zum Okularmaßstab (n okular ist konstant). nok ular nplatte lt [mm] nok ular/nplatte , , , ,36 4) Mithilfe des bekannten Abstandes der Teilstriche (10mm/00Striche) der Strichplatte, bestimmen wir den Maßstab des Okulars und messen in Folge die Dicke eines Haares. sp [mm] nplatte nok ular Sok [mm] 0, ,06 Die Dicke des Haares beträgt 0,065mm. Die Durchschnittsstärke eines mitteleuropäischen Haares ist 0,06mm.. Das Fernrohr Besteht wie ein Mikroskop aus zwei Linsen, einem Objektiv, mit großer Brennweite, und einem Okular. Es erzeugt ein umgekehrtes, virtuelles und verkleinertes Bild eines fernen Gegenstandes. Das Objektiv erzeugt ein Bild das dem Betrachter viel näher ist als der Gegenstand. Das Okular wird so platziert, dass das von Objektiv entworfene Bild in der Brennebene des Okulars liegt. Das Endbild erscheint im Unendlichen. Objektiv Okular G B f obj f ok Die Vergrößerung ist abhängig von der Brennweite je größer die Brennweite des Objektives im Verhältnis zu einer kleinen Brennweite des Okulars, desto höher ist die Vergrößerung. Sie ist unabhängig von der Entfernung des Gegenstandes. Seite 13

14 tanε Obj = G g = B f Obj tanε Ok = B f Ok V F = f Obj f Ok = ε Obj ε Ok Ein holländisches Fernrohr hat anstelle der zwei konvexen Linsen als Okular eine Konkavlinse. Dadurch entsteht kein Zwischenbild. Das Bild das der Betrachter, sieht ist aufrecht. Das Okular muss innerhalb der Brennweite des Objektives liegen (f obj und f ok fallen zusammen). links: Holländisches Fernrohr rechts: Astronomisches Fernrohr..1 Aufgabe 1. Aufbau eines astronomischen Fernrohrs Fernrohrs. Bestimmen der Vergrößerung des Fernrohres 3. Theoretische Vergrößerung der Fernrohre, welche Bedingungen müssen dafür gelten?.. Durchführung 1) Wir bauen aus den Bausätzen je ein astronomisches Fernrohr. ) Wir messen die tatsächliche Vergrößerung der beiden Mikroskope durch direkten Vergleich mit einem Maßstab. Dabei visieren wir mit dem einen Auge den Maßstab über das Fernrohr an und mit dem anderen lesen wir den Wert direkt ab. Das Verhältnis der beiden gibt uns die Vergrößerung des jeweiligen Fernrohrs. Astro nfern nau ge VF Seite 14

15 3) Sind die Brennweiten für die jeweiligen Linsen bekannt, ergibt sich eine theoretische Vergrößerung von Astro fob j fok VF Die theoretische Vergrößerung gilt unter folgenden Bedingungen: Kein Augenfehler (Kurzsichtigkeit) die sphärische Aberration ist so klein wie möglich dass das Gesichtsfeld nicht eingeschränkt ist parallaxenfreiheit herrscht Seite 15