MIT QUANTEN KANN MAN RECHNEN. bit qubit neue Algorithmen Simulation von Quanteneffekten experimentelle Umsetzung

Transkript

1 Harald Weinfurter experimental quantum physics bit qubit neue Algorithmen Simulation von Quanteneffekten experimentelle Umsetzung MIT QUANTEN KANN MAN RECHNEN

2 bit qubit neue Algorithmen experimentelle Umsetzung

3 Informationsverarbeitung bit 0, Informationsträger: Lichtpuls, Strom, Spannung, Ladung, Magnetisierung. stetige Steigerung der Rechenleistung durch fortschreitende Miniaturisierung

4 Moore's Law quantum effects?

5 Informationsverarbeitung: konventionell mit Quanten bit 0, Informationsträger : Lichtpuls, Strom, Spannung, Ladung qubit a Informationsträger: Photonen, Atome, Elektronen,... 0 a 0 Superposition Unschärfeprinzip Zufallszahlen Quantenkryptographie Verschränkung Miniaturisierung Quantenteleportaation Quanteneffekte Quantencomputer vermeiden? VERWENDEN!

6 bit qubit

7 bit bit 0, zwei möglicher Werte qubit qubit 0, beliebige Superpositionen der beiden Zustände a 0 a 0

8 bit qubit Informationsträger

9 Rechnen mit bit qubit bit 0, zwei möglicher Werte strings 0,,, 0 qubit 0, beliebige Superpositionen der beiden Zustände a 0 a 0 qubit strings in beliebiger Superposition Berechnung irreversibel (reversibel Permutation) Ergebnis auslesen r Berechnung reversibel Quantenparallelismus Messung r ein einziges!?! ein Resultat

10 neue Algorithmen QC kann die Komplexität eines Problems reduzieren Komplexität bezüglich Zahl der Operationen, Speicherbedarf (abhängig von Zahl der Eingabestellen) z.b.: Summe +23=? O(n) Produkt *23=? O(n 2 ) Faktorisieren 253=a*b O(exp(n /3 )) Vorteil, wenn gemeinsame Eigenschaften der Resultate gesucht sind (z.b. Eigenschaft, Parameter einer Funktion) Faktorisierung, (Suche) nutze Quantenparallelismus! Reviews zu Quantenalgorithmen: A. Ekert, R. Jozsa, RMP 68, 733 (996), A. Montanaro, NPJ Quantum Information 2, 5023 (205) M-H Yung et. al, arxiv: (Adv. Chem. Phys. 57, 67 (204))

11 Quantenlogikoperationen qubit a 0 a entspricht: single qubit gates Einheitsoperation NOT Hadamard e.g.: two qubit gates CNOT H H H erzeugt Verschränkung genügt für alle n-qubit gates! 0 0 H 2 a0 a0 a a 2 a0 a 2 2 a a a0b a 0b ab ab CNOT

12 Algorithmen

13 Deutsch-Josza algorithm are the two sides of a coin equal? i.e., determine, whether function is constant or balanced f (0)=0 f 2 (0)= f 3 (0)=0 f 4 (0)= f ()=0 f 2 ()= f 3 ()= f 4 (0)=0 constant balanced classical solution: calculate function 2x

14 Deutsch-Josza, quantum solution use two qubits, initially in state 0, define function: U x, y x, y f x f apply Hadamard on both: HH 0, 0 0 0,0 0,,0, a b 2 2

15 Deutsch-Josza, quantum solution use two qubits, initially in state 0, define function: U x, y x, y f x apply Hadamard on both: HH 0, 0 0 0,0 0,,0, evaluate function U f a b f 0, f 0 0, f, f 0, f 2

16 Deutsch-Josza, quantum solution use two qubits, initially in state 0, define function: Uf x, y x, y f x apply Hadamard on both: evaluate function U HH 0, 0 0 0,0 0,,0, a b f 0, f 0 0, f, f 0, f 2 two cases: constant f f0 0, f 0 0, f 0, f 0, f f0 f0

17 Deutsch-Josza, quantum solution use two qubits, initially in 0, state define function: Uf x, y x, y fx apply Hadamard on both: HH 0, 0 0 0,0 0,,0, a b 2 2 evaluate function 2 Uf 0, f0 0, f 2, f0, f two cases: constant f f0 0, f 0 0, f 0, f 0, f f0 f0 balanced f f0 0, f 0,f 0 0,f 0, f f0 f 2 0 to measure first qubit solves the question (only one evaluation, also for many qubits)

18 search algorithm (Grover) unsorted database oracle s s manipulate amplitude of all possible data-elements (a i ), such that the correct one dominates at a certain time. prepare superposition of all elements n /2 H N x0.. N x f : x I x Uf x x x 2. apply oracle s ( ) 3. apply inversion around the average repeat 2.,3., H I 0 x n 0 I H n ( ) 0, x f x (if x solution), f x 0 otherwise x n ( N 2 ) n n k k k k 0 2 s 2 others H I H O cos 2 x sin 2 x stop after about iterations 4 N with cos x sin x, if only solution 2 s 2 others

19 factorization of N difficult problem, best known classical algorithm O(exp(n /3 )) fact that factorization is difficult, is used to warrant security of public-key encryption a (not very fast) factoring algorithm: a choose y, coprime with N; evaluate FN a y modn r find period r of F a y modn if r even, set cannot be multiples of N, thus they must have a common factor xor x p, q gcd x, N N r / 2 2 x y x mod N 2 x x x 0modN are factors of N all tasks can be calculated efficiently except finding the period F N Shor: use quantum Fourier transform

20 quantum Fourier transform use quantum parallelism to calculate FN a for many a use Fourier transform to calculate period r K two registers: source register with K qubits, where N Q: 2 2N target register with L log 2 N K. initialize: H Q q 0.. Q q 2. calculate q FN ( q) : 2 mod Q q 0.. Q q y N all values are calculated in parallel and available for the next step l 3. measure target register, suppose result z, where z y mod N. l jr l Since y y mod N source register is in state l A j 0.. A measurement gives one value of kr+l, but, l random, different in every run, not useful. jr l 2 2

21 quantum Fourier transform II 4. Fourier transform to extract r : exp 2i q l Q A q0.. Q j.. A : exp 2 Q q0.. Q 5. measure source register, result Q r, independent of l 6. repeat 5, several values of i Q r determine r U F Q q jr l Q ql qjr exp exp.. 2 q Q Q j A Q Q A exp 2 lj Q F Q l r j 0.. r r r U i j qq Q q i q i i q Q/ r for q multiple of Q/ r; 0 otherwise

22 example: factor N=5 choose y, coprime with N, e.g. y=7, evaluate F N (a) 2 r 4x 7 49 a p gcd49, N 3 F N (a) q gcd 49, N 5 quantum Fourier transform to find r: initialize, evaluate F N (a) measure 2 nd register, superposition in st register random shift by l i QFT, measure first register period Q/r r

23 example: factor N=5 choose y, coprime with N, e.g. y=7, evaluate F N (a) 2 r 4x 7 49 a p gcd49, N 3 F N (a) q gcd 49, N 5 quantum Fourier transform to find r: initialize, evaluate F N (a) FN ( q) : q q y modn 2 Q q 0.. Q measure 2 nd register, superposition in st register random shift by l i l A j 0.. A jr l QFT, measure first register period Q/r r

24 Quantensimulation Feynman: Ein Quantensystem auf einem Computer zu simulieren ist exponentiell aufwändig Ein Quantensystem evolviert in Echtzeit, d.h., es kann sich selbst in Echtzeit simulieren Kann diese Quantensystem derart manipuiert werden, dass es ein anderes Quantensystem (in Echtzeit) simuliert?

25 Digitale Quantensimulation Evolution durch Hamiltonoperator bestimmt T und V gleichzeitig in Ort/Impulsbasis diagonalisieren effizient Aufwand polynomial

26 Analoge Quantensimulation Kopplung der qubits (atome, Xmon, ) entspricht der Kopplung von Spins o. Elektronen in Festkörper o. Molekülen, in Gittermodel für Feldtheorie, etc. gleiche Geometrie (aber nicht notwendig) verfolge direkte Evolution manipuliere Parameter (Gitterkonstante, Kopplungen etc.) Adiabatische Optimierung suche Lösung bei geg. Randbedingungen beginne bei bekanntem H variiere H langsam, sodass RB abgebildet werden Grundzustand von H ist Lösung.

27 Umsetzung

28 Anforderungen für qubit in experimenteller Umsetzung qubits Initialisierung Quantengatter Auslesen (De-) Kohärenz definiere 2 unterscheidbare Zustände Möglichkeit, die qubits (auf 0) zu setzen Operationen zur Erzeugung verschränkter Zustände (starke Kopplung notwendig) Messung einzelner qubits nach Operation Zeit während der Quanteneigenschaften überwiegen muss ausreichend lang sein

29 NMR quantum computer nuclear magnetic resonance spin ½ H, 3 C, 5 N, 9 F, 29 Si E B 0 liquids individual processors (weak coupling: 2J ij << i - j ): e.g. Alanin H 2 i i z i 2 i j J ij z i z j energy of single spins identification spin-spin interaction 2-qubit gate spectra for three 3 C-nuclei at 9.4T H = [0 8 ( za + zb + zc ) zb zc ]+(/2)[53 za zb + 38 a z zc +.2 zb zc ]

30 NMR quantum computer pseudo-pure states ( ) n 2 i i i CNOT-gate a b X c = X:-90 2J ab Y:80 Z:-90 Y:90 X:-90 Y:-80 refocussing

31 NMR quantum computer nuclear magnetic resonance factorize 5 7 qubits.4t, 470MHz ( 9 F) und 25MHz ( 3 C) ~300 pulses, 720ms total time L. M. K. Vandersypen, et al., Nature 44, 883 (200).

32 NMR 2-qubits 2-Qubit System (Negrevergne et al., PRL (2006)) l-histidine molecule GHZ-state Decoherence during calculation coherent control pulse shaping

33 solid state NMR quantum computer NMR in semiconductors manipulate e- wavefunction with A gates single Phosphor atoms coupling controlled via gate voltages P-P: 0-20nm couple qubits via J-gates: SWAPgate B.E. Kane, Nature 393, 33 (998) h J A 2 2 BB 2J BB

34 solid state NMR quantum computer readout: single-electron transistor (SET) single atom deposition 3D configuration Hill, et al. Sci.Adv., e (205)

35 trapped ions ions trapped by rf-fields linear trap ( ax ~0.7-2Mhz. rad ~5MHz) effective two level system

36 trapped ions motional states of the ion chain in harmonic potential qubit states "dressed" with motional states possible also for distant ions: state of the atom can be transferred to the motional state of the chain and back phase shift on a single ion, depending on its ion-phonon state (CPhase) transfer state of first ion back to the ion perform CNOT operation for the two ions interaction with laser light depends also on the motional state of atoms

37 4 ion GHZ-state T. Monz et al., PRL 06, (20)

38 race track trap (NIST) Hanneke, et al. Nat. Phys. 2009, Home et al.,science 325, 227, (2009)

39 neutral atoms atoms trapped in optical lattice first Bose-Einstein condensate to ensure high density ramp up opical lattice to transfer atoms

40 neutral atoms atoms can be moved, when shifting the standing light fields phase shift for (s-wave) scattering of atoms state dependent traps state dependent phase shift between all neighbouring atoms entangle more than 0 atoms individual readout difficult "cluster-state" one-way quantum computing O. Mandel et al., Nature 425, 937 (2003)

41 read out via single atom imaging

42 Quantum Simulation: Spin Transport in Heisenberg Quantum Magnets study change of spin orientation for J>0 initalize atoms from BEC in 2D lattice in ground state /2 pulse + field gradient to generate spin-spiral evolution for varying J single-site read out + correlation analysis observe decay of correlations between spins S. Hild et al., Phys. Rev. Lett. 3, (204)

43 superconducting qubits superconducting qubits quantized current/charge in loop with Josephson-junctions: qubits demonstrated ("entanglement") anharmonisches Potential Übergänge mit unterschiedlicher Frequenz - adressierbar

44 coupling of sc-qubits via μ-wave resonators 3 qubit experiments, 2 CPhase operations M. Baur et al., PRL 08, (202)

45 quantum gates at fault tollerant threshold -qubit gates 2-qubit gates randomized benchmarking: sequence of m gate operations to determine fidelity used to prepare multi-party GHZ-states R. Barends et al. Nature 500, 508 (204); arxiv:

46 Industry! D-Wave adiabatic solver Google supraleitende qubits, playground, AI NASA QuAIL mit D-Wave Rechner Microsoft Quantum Architectures and Computation (QArC) Anwendungen in Chemie (Fe 2 S 2 ) NTT, IBM superconducting qubit architectures

47 Zusammenfassung Quantenparallelismus Neue Algorithmen Faktorisieren Quantensimulation 0 a 0 Quantengatter durch Wechselwirkung Algorithmen mit wenigen qubits Unterschiedliche experimentelle Umsetzungen a