Shift-Invarianz, periodische Funktionen, diskreter Logarithmus, hidden-subgroup-problem

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1 Shift-Invarianz, periodische Funktionen, diskreter Logarithmus, hidden-subgroup-problem Quantencomputing SS Juni Juni 202 / 20

2 Shift-Invarianz der Fourier-Transformation Shift-Invarianz der Fourier-Transformation f (y) = 2π f (x) e iyx dx Ist (T z f ) (x) = f (x + z) die um z geshiftete Funktion, so hat diese die Fouriertransformierte (T z f )(y) = 2π = 2π f (x + z) e iyx dx f (x) e iy(x z) dx = e iyz f (y), d.h. f (y) und (T z f )(y) unterscheiden sich nur um einen Phasenfaktor, anders gesagt: f (y) = (T z f )(y) Analog gilt das für die diskrete Fouriertransformation 5. Juni / 20

3 Periodische Funktionen f : Z C ist eine periodische Funktion mit Periode r( Z), wenn f (x + r) = f (x) für alle x Z Meist bezeichnet man als Periode von f das kleinste positive r mit dieser Eigenschaft Beispiel: für f : x a x mod ist die Ordnung von a modulo, also ord (a), die Periode Sei f periodisch mit Periode r, für die diskrete FT der Ordnung r ist f (y) = r 0 x<r Dann gilt für (T z f ) (x) = f (x + z): ω yx r f (x) f (x) = r (T z f )(y) = ω yz r f (y) 0 y<r ω yx r f (y) 5. Juni / 20

4 Periodische Funktionen Interpretation im Kontext des Quantencomputing f : Z C sei periodische Funktion mit Periode r > 0 die f (x) (0 x < r) bestimmen f vollständig, sie seien O-Basisvektoren eines l-qubit-raumes mit r 2 l Betrachte unitäre (Shift-)Transformationen { f (x + z mod r) (0 x < r) U z : f (x) f (x) (r x < 2 l ) Betrachte Vektoren f (y) = r 0 x<r ω yx r f (x) f (x) = r f (y) ist Eigenvektor von U z mit Eigenwert ω yz r Periodenberechnung wie Ordnungsberechnung mittels Phasenschätzung! 0 y<r ω xy r f (y) 5. Juni / 20

5 Periodische Funktionen Algorithmus zur Periodenberechnung Initialisierung : 0 t 0 l mit t = O(l + /ε), T = 2 t Überlagerung : T x 0 U : x y x y f (x) Inverse QFT T : Messung : Kettenbruchapprox. : 0 x<t T rt r ỹ/r r 0 x<t x f (x) = 0 y<r 0 x<t 0 y<r ỹ/r f (y) ωr yx x f (y) 5. Juni / 20

6 Periodische Funktionen Zweidimenensionale diskrete Fouriertransformation der Ordnung für Funktionen f : Z Z C f (u, v) = f (x, y) = 0 x< 0 y< 0 u< 0 v< ω (ux+vy) f (x, y) ω ux+vy f (u, v) 5. Juni / 20

7 Periodische Funktionen f : Z Z C hat Periode (, s) modulo, falls Dann gilt insbesondere (x, y) Z Z : f (x +, y + s) = f (x, y) (x, y) Z Z : f (x, y) = f (0, y xs) Folgerung für die Fouriertransformierte f (u, v) = = 0 x< 0 y< 0 y< ω (ux+vy) f (x, y) f (0, y) 0 y< ω (ux+v(sx+y)) 5. Juni / 20

8 Periodische Funktionen und weiter f (u, v) = 0 y< f (0, y) ω vy 0 x< ω (u+sv)x wobei 0 x< ω (u+sv)x = { falls u + sv 0 mod 0 sonst und somit { f (u, v) = 0 y< ω vy f (0, y) falls u + sv 0 mod 0 sonst f (x, y) = ω svx+vy f ( sv, v) 0 v< 5. Juni / 20

9 Periodische Funktionen Ist f : Z Z C eine (, s)-periodische Funktion, so sind die von 0 verschiedenen Fourierkoeffizienten f (u, v) auf die Gerade u + sv 0 mod, also der Geraden mit Steigung /s durch den ullpunkt, konzentriert (und umgekehrt!) Etwas abstrakter formuliert: betrachte die Gruppe G = Z Z H s := {(x, y) G; sx = y} ist eine Untergruppe von G Hs := {(u, v) G; u = sv} = H /s ist die dazu komplementäre Untergruppe von G: G = H s H s G/H s H s f hat Periode (, s) f konstant auf den H s -ebenklassen f durch Werte auf einem Repräsentantensystem für die H s -ebenklassen, also auf Hs, eindeutig bestimmt f ist auf Hs konzentriert 5. Juni / 20

10 Diskreter Logarithmus Diskreter Logarithmus Sind a, b, > 0 ganze Zahlen, dann nennt man die kleinste positive Zahl s mit a s = b mod (falls sie existiert) den diskreten Logarithmus modulo von b zur Basis a : s = log a b mod Es sind keine effizienten klassischen Algorithmen (auch probabilistische) zur Berechnung von diskreten Logarithmen bekannt Die besten Algorithmen für diskrete Logarithmen modulo und zur Faktorisierung von haben die gleiche asymptotische Komplexität (das ist eine empirische Feststellung!) Die vermeintliche Schwierigkeit, diskrete Logarithmen zu berechnen, ist Sicherheitshypothese für Kryptosysteme, ebenso wie die vermeintliche Schwierigkeit des Faktorisierens 5. Juni / 20

11 Diskreter Logarithmus Betrachte die Funktion f : Z Z Z : (x, y) b x a y mod Diese Funktion ist periodisch mit der Periode (, s), d.h. f (x + l, y ls) = b x+l a y ls = b x a y = f (x, y) mod Damit ergibt sich (Indices und Exponenten modr) f (x, y) = r 0 v<r ω svx+vy r f (sv, v) Die Berechnung von log a b mod setzt voraus, dass r = ord a bekannt ist Die unitäre Transformation U : x y z x y z f (x, y) für f : (x, y) b x a y mod muss realisierbar sein 5. Juni 202 / 20

12 Diskreter Logarithmus Shors Algorithmus zur Berechnung des diskreten Logarithmus Initialisierung : 0 t 0 t 0 l mit t = O(r + /ε) Überlagerung : x y 0 T U : Inverse QFT T T : Messung : Kettenbruchapprox. : T rt rt r 0 x,y<t 0 x,y<t 0 v<r 0 x,y<t 0 v<r 0 v<r ( sv/r, ṽ/r) s x y f (x, y) = 0 x<t ω svx+vy r x y f (sv, v) = ω svx r x sv/r ṽ/r f (sv, v) 0 y<t ω vy r y f (sv, v) 5. Juni / 20

13 Hidden subgroup -Problem hidden subgroup: die Problemstellung allgemein: G sei Gruppe, H unbekannte Untergruppe von G ρ : G R sei eine Funktion, die auf den ebenklassen von H konstant ist und diese diskriminiert x, y G : ρ(x) = ρ(y) x y H Aufgabe: bestimme ein Erzeugendensystem von H speziell: G = B m, H ein unbekannter Unterraum von G ρ : G R eine Funktion, die auf den ebenklassen von H konstant ist und diese diskriminiert Aufgabe: bestimme eine Basis von H 5. Juni / 20

14 Hidden subgroup -Problem Lösungsstrategie es genügt, effizient eine Basis von zu finden (dabei ist H = { y G ; y h = 0 ( h H) } (x,..., x m ) (y,..., y m ) := x y x 2 y 2 x m y n das übliche Skalarprodukt auf G). Daraus kann man mit klassischen Mitteln leicht eine Basis von H berechnen. es genügt, effizient Elemente von H gleichverteilt erzeugen zu können 5. Juni / 20

15 Hidden subgroup -Problem Zur Komplexität (vgl. Simons Algorithmus) Allgemein: wähle in B n unabhängig und gleichverteilt n + m (Spalten-)Vektoren v, v 2,..., v n+m und betrachte die Matrix.. V = v v n+m =.. w. w n = W n Die Matrix bestehend aus den ersten k Zeilen von V = W n sei w W k =. w k Dann gilt rang W k = k rang W k = k w k / L(W k ) wobei L(W k ) = Zeilenraum von W k 5. Juni / 20

16 Hidden subgroup -Problem (Forts.) Mit P[...] für Wahrscheinlichkeit von [... ] gilt ) P [rang W k = k] = P [rang W k = k ] ( 2k 2 n+m und somit per Induktion P [rang W k = k] = 0 j<k ) ( 2j 2 n+m ( k n) und schliesslich P [rang W n = n] = 0 j<n ( 2j 2 n+m ) ( 2 n+m + + ) 2 m+ 2 m 5. Juni / 20

17 Hidden subgroup -Problem Lemma: { h H ( )h y H falls y H = 0 sonst Beweis für y H ist die Aussage klar für y H gibt es ein k H mit k y 0, also h H( ) h y = h H( ) (h k) y = ( ) k y h H( ) h y = h H daher muss h H ( )h y = 0 sein T sei ein Repräsentantensystem für die ebenklassen von H (beachte: T H = G = 2 m ) ( ) h y 5. Juni / 20

18 Hidden subgroup -Problem Gleichverteilte Erzeugung von Elementen aus H mittels QC Initialisierung, H m : m b ρ(b) simultan : H m : Messung : 2 m 2 m b G t T b H b 0 b G b ρ(b) = 2 m 2 m t b ρ(t) t T b H ( ) (t b) y y ρ(t) y G = 2 m t T y G( ) t y ( ) b y y ρ(t) b H = H 2 m ( ) t y y ρ(t) t T y H y mit Wkeit ( ) 2 H ( )t y 2 m = t T T H2 2 2m = H 5. Juni / 20

19 Hidden subgroup -Problem Abschliessende Bemerkungen Deutsch-Josza, Ordnungs- und Periodenberechnung und diskreter Logarithmus lassen sich als hidden-subgroup-probleme auffassen Das Lösungsverfahren lässt sich auf beliebige abelsche Gruppen übertragen Der historische Startpunkt für diese Entwicklung wurde von D. S. Simon (994) gesetzt, der das hidden-subgroup-problem für eindimensionale Unterräume von B m betrachtet hat; P. Shor (994) hatte anschliessend die Idee, die Hadamard-Transformation über B m durch die Fourier-Transformation über Z für die Ordnungsberechnung (und damit für die Faktorisierung) zu verwenden 5. Juni / 20

20 Hidden subgroup -Problem D. R. Simon, On the power of quantum computation, IEEE Proc. 35th Ann. Symp. Foundations of Computer Science, Los Alamos, 994. D. R. Simon, On the power of quantum computation, SIAM J. Computing, 26(5): , 997. P. W. Shor, Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring, IEEE Proc. 35th Ann. Symp. Foundations of Computer Science, Los Alamos, 994. P. W. Shor, Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer, SIAM J. Computing, 26(5): , Juni / 20