1 Calderón-Zygmund-Ungleichung

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1 CALDERÓN-ZYGMUND-UNGLEICHUNG Calderón-Zygmund-Ungleichung In unserem letzten Kaitel wollen wir die Calderón-Zygmund-Ungleichung beweisen. Sie besagt folgendes. THEOREM: Calderón-Zygmund Sei f eine C -Funktion mit komakten Träger. Sei f n f j. Dann x j haben wir a riori die Schranke f x j x k A f < < Um diese Aussage auf schönem Wege beweisen zu können, benutzen wir die sogenannte Riesz-Transformation. Zuerst werden wir aber den eindimensionalen Fall der Riesz-Transformation betrachten: die Hilbert-Transformation. Wichtige Eigenschaften, welche wir für den Beweis verwenden werden, beweisen wir zuerst für die Hilbert-Transformation. Anschliessend werden wir diese Behautungen auf den n-dimensionalen Fall ausweiten.. Die Hilbert-Transformation Definition: Der Oerator H : L R L R mit fx y Hfx lim dy ɛ π y heisst Hilbert-Transformation. y ɛ Der Kern dieser Transformation ist somit gegeben durch und mit Kx Ωx erhalten wir Kx πx Ωx Kx π x π signx. Gemäss Theorem aus dem 3. Teil über singuläre Integrale wissen wir, dass es einen Multilikator mx gibt, sodass Hfx mx ˆfx gilt. Hier zur Erinnerung nochmals die Aussage des Satzes. Satz Sei Ω homogen vom Grad und erfülle Ω: a Ωxdσ S n Auslöschung

2 CALDERÓN-ZYGMUND-UNGLEICHUNG b su x x δ x Ωx Ωx ωδ ωδ δ dδ < Glattheit 3 Sei weiters f L R n und T f lim ɛ y ɛ T fx mx ˆfx, wobei mx [log S n xy und mx ist homogen vom Grad. Ωy n fx ydy. Dann: y + i π signxy ] Ωydσy, Diesen Satz dürfen wir anwenden, da das Ωx der Hilbert-Transformation die Voraussetzungen erfüllt. Auslöschungsbedingung: Ωxdx S Ω + Ω [sign + sign] π Glattheitsbedingung: Da für x, x R mit x x gelten muss { } x x x x x x, folgt daraus direkt ωδ δ dδ. πδ signx signx dδ πδ dδ Somit können wir mit der im Satz angegeben Formel unseren Multilikator m berechnen. [ ] πi mx signx y + log Ωydσy S x y n [ ] πi signx y + log S x y π signydσy [ ] [ S {±} πi πi signx + log Ω + sign x + log i signx + π log + i signx π log isignx ] Ω x

3 3 CALDERÓN-ZYGMUND-UNGLEICHUNG Es gilt also Hfx isignx ˆfx. 4 Da der Kern von H die Form Ωx hat, kommutiert gemäss dem.teil über singuläre Integrale H mit ositiven Dilatationen. Durch Nachrechnen sieht man, dass H mit negativen Dilatationen antikommutiert, d.h. Hτ δ τ δ H. Zudem ist offensichtlich, dass H ebenfalls mit Translationen kommutiert. Diese drei Eigenschaften charakterisieren die Hilber-Transformation, was wir in dem folgenden Satz festhalten möchten. PROPOSITION Sei T ein beschränkter Oerator von L R nach L R, der folgende Bedingungen erfüllt: T kommutiert mit Translationen T kommutiert mit ositiven Dilatationen T antikommutiert mit der Reflexion fx f x Dann ist T ein konstantes Vielfaches der Hilbert-Transformation. Beweis: Für den Beweis nehmen wir die Fouriertransformation zu Hilfe. Gemäss einem Satz aus dem Kaitel der dingulären Integrale wissen wir, dass für einen beschränkten Oerator auf L R eine beschränkte Funktion mx existiert, sodass T fx mx ˆfx gilt. Um eine angenehmer Notation zu haben, setzen wir Ff ˆf. Dann gilt Fτ δ fy e πixy τ δ fxdx e πixy fδxdx x πi e δ y fx δ dx δ e πix δ y fx dx δ Ffδ y δ τ δ Ffy Weil dies für alle f L R gilt, folgt daher Fτ δ δ τ δ F. 5

4 4 CALDERÓN-ZYGMUND-UNGLEICHUNG Die zweite und dritte Voraussetzung der Proosition an den Oerator T ist äquivalent zu T τ δ signδτ δ T. 6 Wir definieren den Oerator M : L R L R durch Mf m f. Dann kann man die Relation des Multilikators schreiben als FT MF 7 Mit diesen drei Formeln können wir nun schliessen: τ δ M 7 τ δ F T F 5 δ F τ δ T F 6 δ signδ FT τ δ F 5 δ signδ δ FT F τ δ signδ FT F τ δ 7 signδmτ δ Wir finden also, dass τ δ M signδmτ δ gilt. Wenden wir nun den Oerator auf der linken Seite auf eine Funktion f L R an, folgt τ δ Mf x τ δ Mf x Mfδx mδx fδx. Dasselbe Vorgehen auf der rechten Seite liefert signδ Mτ δ f x signδmτ δ fx mx τ δ fx signδmx fδx. Da dies für alle f L R gilt, folgt mδx signδmx, δ.

5 5 CALDERÓN-ZYGMUND-UNGLEICHUNG Somit ist der Multilikator von der Form mx c signx, c C. Es gilt also FT mf c signxf ic i signxf 4 ic FH F ic H, womit der Satz bewiesen ist. q.e.d. Als nächstes machen wir nun den Srung von einer zu n Dimensionen. Wir werden die Hilbert-Transformation für den mehrdimensionalen Fall umschreiben, woraus die Riesz-Transformation entsteht. Zudem gelten die analogen Aussagen, welche wir gerade bewiesen haben, auch im allgemeinen Fall. Das heisst, es gibt eine analoge Aussage von Proosition für die Riesz- Transformation.. Riesz-Transformation Beginnen wir vorerst mit einigen elementaren Beobachtungen. Sei mx m x, m x,..., m n x ein n-tuel von Funktionen, welches auf R n definiert ist. Für eine beliebige Rotation ρ SOn schreiben wir ρ ρ jk für die dazugehörige Matrixschreibweise. Falls die Funktion mx als ein Vektor transformiert, kommutiert sie mit beliebigen Rotationen ρ: mρx ρmx, oder exliziter formuliert m j ρx k ρ jk m k x, für jede Rotation ρ. 8 LEMMA Sei m homogen mit Grad, d.h. mδx mx für δ >. Falls sich m gemäss 8 verhält, dann gilt mx c x für eine Konstante c, d.h. m j x c x j Beweis: Dank der Homogenität von m genügt es, x auf der Einheitsshäre zu betrachten. Seien e, e,..., e n die übliche Einheitsvektoren. Für jede Rotation ρ SOn, die e festhält, ergibt 8: ρme mρe me m e, m e,..., m n e. 9

6 6 CALDERÓN-ZYGMUND-UNGLEICHUNG Das bedeutet, dass der n -dimensionale Vektor m e, m e 3,..., m n e für jede Rotation, die e festhält, unverändert bleibt. Daraus folgt offenbar m e m 3 e... m n e. Für ein beliebiges ρ SOn gilt daher gemäss 8 m j ρe ρ j m e + n ρ jk m k e k } {{ } ρ j m e cρ j. :c Sei nun x S n fest. Dann finden wir ein ρ SOn, sodass x ρe gilt. Dadurch erhält man x j ρ j. Es gilt also m j x c x j, was genau der Behautung des Lemmas entsricht. Nun sind wir in der Lage die Riesz-Transformation zu definieren. q.e.d. Definition: Sei f L R n mit <. Dann nennen wir y j R j fx lim c n ɛ n+ fx ydy, j,..., n y ɛ y die Riesz-Transformation, wobei c n eine Konstante ist, die wir säter noch genauer charakterisieren werden. Gemäss der Definition finden wir als Kern K j x Ω jx für Ω jx n x c j n. Wie bei der Hilbert-Transformation erfüllt auch dieses Ω j die Bedingungen und 3 von Satz vom 3. Teil über singuläre Integrale. S n Ω j xdx x j c n S dx n c n S n x j ungerade gerade dx

7 7 CALDERÓN-ZYGMUND-UNGLEICHUNG ωδ δ dδ δ c n δ c n δ c n dδ c n < su Ω j x Ω j x dδ x x < δ x x su x j x j x dδ x x < δ x x su x x < δ x x x x dδ Für die Riesz-Transformation R j : L R n L R n existiert also ein Multilikator m m,..., m n, sodass R j fx m j x ˆfx gilt. Jetzt wollen wir das Lemma auf den Multilikator anwenden: wir wissen dafür bereits, dass er homogen vom Grad ist und es bleibt nur noch die Kommutativität mit Rotationen zu zeigen: πi mρx c n signρx y + log S ρx y Ωydσy n πi c n S signx ρ y + log y x ρ n y y dσy πi c n signx y + log ρy S x y detρ dσy y n ρmx Dank der Formel des oben erwähnten Satzes bekommen wir für unseren Multilikator m j x c n c n gemäss Lemma c x j. S n S n πi signx y + log x y Ω j ydσy πi signx y + log yj x y y dσy Da c eine Konstante ist, genügt es c für ein bestimmtes x zu berechnen. Wir wählen x e j. Dadurch folgt c n πi S signy jy j dσy + log n S y n j y jdσy c.

8 8 CALDERÓN-ZYGMUND-UNGLEICHUNG Wir wählen die Konstante c n in der Definition nun so, dass c i gilt. Dies ist dann äquivalent zur Gleichung c n y j dσy. π S n Berechnet man dieses Integral, erhält man c n π n+ Γ n+. Zusammengefasst heisst dies nun, dass wir für c n π n+ c i bekommen und der Multilikator daher die Gestalt hat, d.h. m j x i x j Γ n+ die Konstante R j fx i x j ˆfx j,..., n. Wie im vorherigen Kaitel angekündigt, gibt es auch für die Riesz-Transformation eine analoge Aussage zu Proosition. Dazu übertragen wir lediglich noch die Eigenschaft 8 des Multilikators m auf R j. Es gilt ρr j ρ f k ρ jk R k f. PROPOSITION Sei T T, T,..., T n ein n-tuel von beschränkten Transformationen von L R n auf L R n. Es gelte. Jedes T j kommutiert mit Translationen in R n.. Jedes T j kommutiert mit Dilatation in R n. 3. Für jede Rotation ρ ρ jk in R n gilt ρt j ρ f k ρ jkt k f. Dann sind die T j konstante Vielfache der Riesz-Transformation R j, d.h. es existiert eine Konstante c, sodass T j cr j für j,... n. Den Beweis dieser Proosition überlassen wir dem Leser. Es ist eigentlich nur ein Zusammentragen der bisherigen Erkenntnisse und ist ausserdem vergleichbar mit dem analogen Satz für die Hilbert-Transformation..3 Beweis der Calderón-Zygmund-Ungleichung Wir wissen aus dem 3. Teil über singuläre Integrale Theorem, dass die Riesz-Transformation in der L -Norm beschränkt ist. Wir können also schreiben R j A j, 3

9 9 CALDERÓN-ZYGMUND-UNGLEICHUNG Wir zeigen nun folgende Identität für eine Funktion f C. f x j x k R j R k f 4 Es gilt ˆfx e πix y fydy. Wir bekommen also für die Fouriertransformation von x j R n den Ausdruck πix j ˆfx. Daher folgt f x πix j x x j x k x k 4π x j x k ˆfx ixj ixk 4π ˆfx ixj ixk fx m j x m k x ixj R k fx R j R k fx Damit folgt 4 mit der Eindeutigkeit der Fourier-Transformation. Dank dieser Formel und der Beschränktheit der Riesz-Transformation in der L -Norm lässt sich die Calderón-Zygmund-Ungleichung nun direkt beweisen. f x j x k 4 R j R k f 3.4 Weitere Anwendung R j R k f A j, A }{{ k, f } :A A f q.e.d. Eine weitere nützliche Anwendung der Riesz-Transformation ist der Beweis der Ungleichung THEOREM: Sei f : R R eine C -Funktion. Dann gilt x + x A + i x x, < <. 5

10 CALDERÓN-ZYGMUND-UNGLEICHUNG Den Beweis hierzu führen wir ähnlich wie denjenigen der Calderón-Zygmund- Ungleichung. Nur mit dem Unterschied, dass wir eine andere Identität verwenden. Die hier verwendete Gleichung lautet x j R j R ir x + i x, j,. 6 Beginnen wir einmal rechts und benutzen die Fouriertransformation. R j R ir + i ˆx x x ix j R + R + ir ir ˆx x x x x [ ix j ix x + ix x x x x x ix πix ˆfx + ix ix j πix j [ ] x + x ˆfx πix j ˆfx x. x j x + x ] x x πix ˆfx + πix x ˆfx πix x ˆfx Wir hätten die Gleichung 6 hiermit gezeigt. Nun verwenden wir diese Identität und die L -Beschränktheit der Riesz-Transformation, um die Behautung 5 zu zeigen. x + x R R ir + i + x x R R ir + i x x R R ir + i x x + R R ir + i x x R R + R + i x x + R R + R + i x x R + R + i x x :A A + i x x q.e.d.