Projektionen und Produkte von Fraktalen

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1 Hauptseminarvortrag 5. Dezember 2006

2 1 Index Projektionen von s-mengen mit ganzzahliger Dimension 6.4 Projektionen beliebiger Mengen ganzzahliger Dimension Einführung 7.3 Beispiele 7.4 Produktformeln(Fortsetzung)

3 6. Projektion von Fraktalen

4 Übersicht: orthogonale Projektionen (Schatten) im R 2 (Erweiterung auf R n ) Änderung der Dimension beim Projezieren Änderung der Länge beim Projezieren

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6 Projektion klassischer Mengen auf eine Fläche:

7 Projektion fraktaler Mengen auf eine Fläche:

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9 L θ : Ursprungsgerade mit θ zur x-achse F: Teilmenge des R 2 proj θ : orthogonale Projektion auf L θ

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11 Es gilt also (für x, y R 2 ): proj θ x proj θ y x y

12 Es gilt also (für x, y R 2 ): proj θ x proj θ y x y Eine Funktion f: X Y heißt Lipschitz-Abbildung, wenn es ein c 0 gibt, so dass gilt: f(x) f(y) c x y für alle x,y X

13 Es gilt also (für x,y R 2 ): proj θ x proj θ y x y proj θ ist eine Lipschitz Abbildung mit c=1

14 Aus Korollar 2.4(a) ist bekannt: Corollary (2.4) (a) Wenn f : F R m eine Lipschitz Abbildung ist, dann gilt: dim H (f(f )) dim H (F) Da proj θ lipschitz dim H (proj θ (F)) dim H (F)

15 Aus Korollar 2.4(a) ist bekannt: Corollary (2.4) (a) Wenn f : F R m eine Lipschitz Abbildung ist, dann gilt: dim H (f(f )) dim H (F) Da proj θ lipschitz dim H (proj θ (F)) dim H (F) Außerdem gilt: dim H (proj θ (F)) 1 (da proj θ (F) L θ )

16 Aus Korollar 2.4(a) ist bekannt: Corollary (2.4) (a) Wenn f : F R m eine Lipschitz Abbildung ist, dann gilt: dim H (f(f )) dim H (F) Da proj θ lipschitz dim H (proj θ (F)) dim H (F) Außerdem gilt: dim H (proj θ (F)) 1 (da proj θ (F) L θ ) dim H (proj θ (F)) min {dim H (F), 1}

17 Theorem (Projektionstheorem 6.1) Sei F R 2 eine Borelmenge (a) Wenn dim H (F) 1, dann gilt: dim H (proj θ (F)) = dim H (F ) für fast alle θ [0, π) (b) Wenn dim H (F) > 1, dann hat proj θ (F ) (als Teilmenge von L θ ) positive Länge und hat somit die Dimension 1 für fast alle θ [0, π)

18 Für den folgenden Beweis benutzen wir Theorem 4.13 zur Erinnerung: Die s-energie ist definiert als: I s (µ)= dµ(x) dµ(y) x y s Theorem (4.13) Sei F eine Teilmenge des R n (a) Wenn es eine Massenverteilung µ auf F mit I s (µ) < gibt, dann ist H S (F) = und dim H F s (b) Wenn F eine Borelmenge mit H s (F) > 0 ist, dann existiert eine Massenverteilung µ auf F mit I t (µ) < für alle t<s

19 Beweis (zu Theorem 6.1): Für s < dim H F 1 existiert nach Theorem 4.13(b) eine Massenverteilung µ auf F mit 0 < µ(f) < und F F dµ(x) dµ(y) x y s <

20 Beweis (Fortsetzung): Um eine Massenverteilung µ θ auf proj θ F zu bekommen, projeziert man für jedes θ die Massenverteilung µ auf die Gerade L θ. Daher definiert man µ θ : { µ θ ([a, b]) := µ x : a x θ } b für jedes Intervall [a, b], oder äquivalent: f(t)dµ θ (t) := f(x θ)dµ(x) für jede nicht-negative Funktion f ( θ: Einheitsvektor in Richtung θ ) F

21 Beweis (Fortsetzung): Dann ist: wegen π = 0 [ π 0 F f (t)dµ θ (t) := ] dµ θ (u) dµ θ (v) u v s dθ dµ(x) dµ θ (v) x θ v s dθ F f (x θ)dµ(x)

22 Beweis (Fortsetzung): Dann ist: π 0 = [ π 0 F F ] dµ θ (u) dµ θ (v) u v s dθ dµ(x) dµ(y) x θ y θ s dθ nach zweimaliger Anwendung von: f (t)dµ θ (t) := f (x θ)dµ(x) F

23 Beweis (Fortsetzung): Dann ist: π 0 [ ] dµ θ (u) dµ θ (v) u v s dθ = = π 0 π 0 F F F F dµ(x) dµ(y) x θ y θ s dθ dµ(x) dµ(y) (x y) θ s dθ

24 Beweis (Fortsetzung): = π 0 π 0 F F dθ τ θ für beliebige feste Einheitsvektoren τ s dµ(x) dµ(y) (x y) θ s dθ dµ(x) dµ(y) x y s F F

25 Beweis (Fortsetzung): π 0 und dθ τ θ s = π 0 π 0 dθ τ θ τ nach Theorem 4.13(b) F s F F dµ(x) dµ(y) x y s dθ θ cos(τ θ) s = F π dµ(x) dµ(y) x y s < 0 dθ cos(τ θ) s <

26 Beweis (Fortsetzung): Somit ist F F dµ θ (u) dµ θ (v) u v s < dim H (proj θ F) s, für alle s < dim H (F) (nach Theorem 4.13(a)) Außerdem ist bekannt: dim H (proj θ (F)) dim H (F) (da proj θ lipschitz) Somit: dim H (proj θ (F)) = dim H (F) für dim H (F) 1

27 Theorem (Höherdimensionales Projektionstheorem) Sei F R n eine Borelmenge. (a)wenn dim H F k, dann gilt dim H (proj Π F) = dim H F für fast alle Π G n,k (b)wenn dim H F > k, dann hat proj Π F ein positives k-dimensionales Maß und somit die Dimension k für fast alle Π G n,k

28 6.3 Projektionen von s-mengen mit ganzzahliger Dimension

29 6.3 Projektionen von s-mengen mit ganzzahliger Dimension Sei F R 2 eine 1-Menge und somit dim H F = 1 aus Theorem 6.1: Projektionen von F auf fast alle L θ besitzen Dimension 1, jedoch keine Aussage über die Länge Für den speziellen Fall, dass F eine 1-Menge ist, ist eine genauere Analyse möglich...

30 6.3 Projektionen von s-mengen mit ganzzahliger Dimension Theorem (6.3) Sei F eine reguläre 1-Menge im R 2. Dann besitzt eine Projektion proj θ F positive Länge, außer für maximal ein θ [0, π). Theorem (6.4) Sei F eine irreguläre 1-Menge im R 2. Dann besitzt die Projektion proj θ F für fast alle θ [0, π) eine Länge von Null.

31 6.3 Projektionen von s-mengen mit ganzzahliger Dimension zu Theorem 6.3:

32 6.3 Projektionen von s-mengen mit ganzzahliger Dimension zu Theorem 6.4:

33 6.3 Projektionen von s-mengen mit ganzzahliger Dimension Höherdimensionale Verallgemeinerung: Theorem (6.8) Sei F eine k-menge im R n, wobei k ein ganzzahliger Wert ist. (a) Wenn F regulär ist, dann hat proj Π F ein positives k-dimensionales Maß für fast alle Π G n,k. (b) Wenn F irregulär ist, dann besitzt proj Π F ein k-dimensionales Maß von Null für fast alle Π G n,k.

34 6.4 Projektionen beliebiger Mengen ganzzahliger Dimension

35 6.4 Projektionen von beliebigen Mengen ganzzahliger Dimension In den bisherigen Theoremen konnte keine vollständige Antwort auf die Frage, ob Projektionen in der Ebene, positive Länge oder eine Länge von Null besitzen, gegeben werden. Eine Teilmenge F des R 2 mit Hausdorffdimension 1 muss nicht unbedingt eine 1-Menge sein. Für solche Mengen ist jedoch eine mathematische Analyse schwierig, daher zeigen wir, dass es zu jeder dieser Mengen, eine Borel-Menge gibt, für die stellvertretend die Länge bestimmt werden kann.

36 6.4 Projektionen von beliebigen Mengen ganzzahliger Dimension Theorem (6.9) Sei G θ eine Teilmenge von L θ für alle θ [0, π). Dann existiert eine Borelmenge F R 2, so dass: (a) proj θ F G θ θ, und (b) Länge(proj θ F \ G θ )=0

37 6.4 Projektionen von beliebigen Mengen ganzzahliger Dimension Beweisidee: E 1 : k Liniensegmente der Länge λ/k um ɛ zu E gedreht E 2 : k 2 Liniensegmente der Länge λ/k 2 um 2 ɛ zu E gedreht. E r : k r Liniensegmente der Länge λ/k r um r ɛ zu E gedreht, bis r ɛ 1 4 π

38 6.4 Projektionen von beliebigen Mengen ganzzahliger Dimension Beweisidee(Fortsetzung): proj θ E und proj θ E r sind nahezu identisch für 0 θ < 1 2 π proj θ E r besitzt sehr kleine Länge für 1 4 π < θ < 0

39 6.4 Projektionen von beliebigen Mengen ganzzahliger Dimension Beweisidee(Fortsetzung): Die Projektionen von E r sind also in bestimmten Richtungen sehr ähnlich zu denen von E, während sie in anderen Richtungen fast verschwinden. Diese Idee kann benutzt werden um Mengen zu erhalten, deren Projektionen in einem bestimmten schmalen Projektionswinkel fast das gesamte G θ abdecken, die aber für andere Winkel gegen Null gehen. Durch Vereinigung solcher Mengen erhält man eine Menge mit den geforderten Eigenschaften.

40 6.4 Projektionen von beliebigen Mengen ganzzahliger Dimension Anwendungsbeispiel: Digitale Sonnenuhr

41 6.4 Projektionen von beliebigen Mengen ganzzahliger Dimension Anwendungsbeispiel: Digitale Sonnenuhr wurde tatsächlich 1994 gebaut Erfinder: Werner Krotz-Vogel, Hans und Daniel Scharstein zu bewundern im Sonnenuhrenpark in Glenk (Belgien) im Deutschen Museum (München) in der Ausstellung der Sonnenuhren auf dem Dach des Kölnischen Stadtmuseums (Köln)

42 6.4 Projektionen von beliebigen Mengen ganzzahliger Dimension Große digitale Sonnenuhr im Sonnenuhrenpark (Belgien)

43 6.4 Projektionen von beliebigen Mengen ganzzahliger Dimension

44 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln

45 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln 7.1 Einführung

46 7.1 Einführung 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln E R n, F R m Dann ist bekanntlich das (Kartesische) Produkt definiert als: E F = {(x, y) R n+m : x E, y F}

47 7.1 Einführung 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln

48 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln

49 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Unter Verwendung der klassischen Definition von Mengen gilt: dim(e F) = dim E + dim F Bei fraktalen Dimensionen gilt diese Gleichung in vielen Fällen auch, jedoch leider nicht immer. Für die Hausdorffdimension z.b gilt für den allgemeinen Fall nur die Ungleichung: dim H (E F) dim H E + dim H F

50 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Satz 7.1: Seien E R n, F R m Borelmengen mit H s (E), H t (F) <, dann gilt: H s+t (E F) c H s (E)H t (F) wobei c > 0 nur von s und t abhängt.

51 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Beweis: Sei E,F R (allgemeiner Beweis nahezu identisch) H s (E) oder H t (F ) ist Null, Gleichung trivial. Für 0< H s (E), H t (F) < definieren wir eine Massenverteilung µ über das Rechteck I J (I,J R) : µ(i J) = H s (E I)H t (F J) Es kann gezeigt werden, dass hierdurch eine Massenverteilung µ auf E F mit µ(r 2 ) = H s (E)H t (F) definiert wird.

52 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Beweis (Fortsetzung): zur Erinnerung: Satz 5.1 Sei F eine s-menge in R, dann gilt: (b) 2 s D s (F, x) 1 für H s -fast alle x F. Mit Hilfe der Dichteschätzung aus 5.1(b) ergibt sich: lim r 0 H s (E B(x, r)) (2r) s 1 für H s -fast alle x E (*) lim r 0 H t (F B(y, r)) (2r) t 1 für H t -fast alle y F (**)

53 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Beweis (Fortsetzung): Da die Scheibe B((x,y),r) in dem Quadrat B(x,r) B(y,r) enthalten ist gilt: µ(b((x, y), r)) µ(b(x, r) B(y, r)) = H s (E B(x, r))h t (F B(y, r)) also: µ(b((x, y), r)) (2r) s+t Hs (E B(x, r)) (2r) s Ht (F B(y, r)) (2r) t

54 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Unter Verwendung von (*) und (**) folgt: für µ-fast alle (x,y) E F lim r 0 µ(b((x, y), r))(2r) (s+t) 1 Nach Satz 4.9(a) gilt dann: H s+t (E F) 2 (s+t) µ(e F) = 2 (s+t) H s (E) H t (F) Erinnerung: Satz 4.9(a): µ Massenverteilung auf R n, F R n Borelmenge und 0 < c < (a) Wenn lim r 0 µ(b(x, r))/r s < c für alle x F, dann gilt: H s (F) µ(f )/c

55 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Produktformel 7.2 Seien E R n, F R m Borelmengen, dann gilt: dim H (E F ) dim H (E) + dim H (F)

56 Beweis: 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Seien s,t beliebige Zahlen mit s < dim H (E) und t < dim H (F), also H s (E), H t (F) = Theorem 4.10 besagt, dass es Borelmengen E 0 E und F 0 F mit 0 < H s (E 0 ),H t (F 0 ) < gibt. Nach Satz 7.1 gilt: H s+t (E F) H s+t (E 0 F 0 ) c H s (E 0 )H t (F 0 ) > 0 Somit ist dim H (E F) s + t Wählt man s und t beliebig nahe an dim H (E) und dim H (F) so folgt Produktformel 7.2

57 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Produktformel 7.3 Für jede Menge E R n und F R m gilt: dim H (E F) dim H (E) + dim B (F)

58 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Corollary (7.4) Wenn dim H (F) = dim B (F ) dann gilt: dim H (E F ) = dim H (E) + dim H (F) Beweis: Aus Produktformel 7.2 und 7.3 folgt: dim H (E) + dim H (F) dim H (E F) dim H (E) + dim B (F) = dim H (E) + dim H (F)

59 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln 7.3 Beispiele

60 7.3 Beispiele 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln

61 7.3 Beispiele 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Beispiele: Kantorprodukt F F (F Kantorsche Drittelmenge) dim H (F F) = dim H (F) + dim H (F) = 2 log 2 log 3 (Da Oberboxdimension und Hausdorffdimension übereinstimmen) Kantorziel F = {(r, θ) : r F, 0 θ 2π}, F Kantorsche Drittelmenge, dim H (F [0, 2π]) = log 2 log 3 + 1

62 7.3 Beispiele 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln

63 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln 7.4 Produktformeln (Fortsetzung)

64 7.4 Produktformeln(Fortsetzung) 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Satz 7.9: Sei F eine borelsche Teilmenge von R 2. Wenn 1 s 2 dann gilt: H s 1 (F L x )dx H s (F) wobei mit L x die Linie parallel zur y-achse durch den Punkt (x,0) bezeichnet wird.

65 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln 7.4 Produktformeln(Fortsetzung) Beweis: Sei ɛ > 0 und {U i } eine δ-überdeckung, so dass gilt: U i s Hδ s (F) + ɛ i U i ist im Quadrat S i der Seitenlänge U i enthalten, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind. Sei χ i Indikatorfunktion von S i

66 7.4 Produktformeln(Fortsetzung) 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Beweis (Fotsetzung): Für jedes x bilden die Mengen {S i L x } eine δ-überdeckung von F L x, also gilt: H s 1 δ (F L x ) i S i L x s 1 = i U i s 2 S i L x = i U i s 2 χ i (x, y)dy

67 7.4 Produktformeln(Fortsetzung) 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Beweis (Fotsetzung): Somit: H s 1 δ (F L x )dx U i s 2 χ i (x, y)dxdy = U i s H s δ (F) + ɛ Da ɛ > 0 beliebig, gilt: H s 1 δ (F L x )dx Hδ s(f) Lässt man δ gegen Null gehen folgt die Ungleichung aus diesem Satz.

68 7.4 Produktformeln(Fortsetzung) 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Corollary (7.10) Sei F eine borelsche Teilmenge des R 2 Dann gilt für fast alle x: Beweis: dim H (F L x ) max {0, dim H (F) 1} Sei s > dim H (F), so dass: H s (F) = 0 Wenn s>1 ist ergibt Satz 7.9: H s 1 (F L x ) = 0 und damit ist dim H (F L x ) s 1, für fast alle x.

69 7.4 Produktformeln(Fortsetzung) 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Satz 7.11 Sei F eine beliebige Teilmenge des R 2 und sei E eine Teilmenge der x-achse. Angenommen, dass es eine Konstante c gibt, so dass H t (F L x ) c für alle x E Dann gilt: H s+t (F) b c H s (E) wobei b>0 nur von s und t abhängt.

70 7.4 Produktformeln(Fortsetzung) 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Corollary (7.12) Sei F eine beliebige Teilmenge des R 2 und sei E eine Teilmenge der x-achse. Wenn dim H (F L x ) t für alle x E, dann gilt: dim H F t + dim H E

71 7.1 Einführung 7.3 Beispiele 7.4 weitere Produktformeln Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!