Vorlesungsmitschrift. Quantencomputer. 2002/2003 Prof. Dr. Grädel. Jan Möbius,David Bommes. 9. Dezember 2002

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1 Vorlesungsmitschrift Quantencomputer WS /3 Prof. Dr. Grädel Jan Möbius,David Bommes 9. Dezember

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung. Historischer Überblick Experiment Erklärung Messung eines Zustandes Einige Grundlagen der QM Zustände Hilbertraum Dirac-Notation Qubits n-qubit System (Quantenregister Notation Messung Observable Evolution No Cloning Theorem Quantum Gates und QGA Definition Gates auf dimensionalem Hilbertraum (m= Gates auf dimensionalem Hilbertraum (m= Tensorprodukt von Matrizen Hadamard Transformation revisited Quantum Gate Arrays (QGA

3 Kapitel Einleitung. Historischer Überblick 98 Richard Feynman : Spekulation über die Möglichkeit, Quantencomputer zu realisieren, welche gewisse Aufgaben effizienter lösen können als klassische Computer. inhärente Parallelität in QM-Prozessen Deutsch, Bernstein-Vazirani,Yao : Modelle für Quanten-Computer (QTM,Quantum gate arrays Quanten-Komplexität einfache Algorithmen 994 Peter Shor : Polynomzeit Algorithmus für QC um natürliche Zahlen zu faktorisieren. Basis : Quanten-Fourier-Transformation 996 Grover : Suchalgorithmus, der eine Nadel in einem Heuhaufen der Größe N in O( N Schritten findet. : QC mit 7 Qubit, 5 = 3 5 (Shor Probleme : Mehr Algorithmen? Welche Probleme kann man mit QC effizient lösen? kann man QC vernünftiger Größe bauen?. Experiment Polarisierungsfilter: polarisieren Licht horizontal, vertikal, bzw. 45.

4 Abbildung.: Experiment.. Erklärung Der Polarisierungszustand eines Photons ist beschrieben durch den Vektor ψ = α + β in einem zwei dimensionalen Vektorraum mit der Basis {, }. Nur die Richtung ist wesentlich Einheitsvektoren α + β = Die Basiswahl ist beliebig. Statt {, } geht auch {, }. (jedes Paar von orthogonalen Einheitsvektoren ist zulässig... Messung eines Zustandes Messung : Projektion bezüglich Orthonormalbasis. Zu einer Messapparatur gehört eine Basis, wie zum Beispiel {, }. Die Messung von ψ = α + β projiziert ψ entweder auf (mit Wahrscheinlichkeit α oder auf (mit Wahrscheinlichkeit β. Nach der Messung ist ψ zerstört, transformiert in einen Basiszustand. Jede weitere Messung würde das selbe Resultat ergeben. Zu verschiedenen Messapparaturen gehören verschiedene ON-Basen. Polarisierungsfilter bezüglich Polarisierung ζ : Messung des polarisations Zustands ψ bezüglich der Basis {sin ζ + cos ζ, cos ζ sin ζ } Abbildung.: Messung des Pol. Zustands Die Photonen, die nach der Messung der Polarisation entsprechen werden durchgelassen, die anderen reflektiert. Filter A : Polarisierung : Basis : {, } 5% der Photonen werden auf projeziert und durchgelassen. 3

5 Filter B : Polarisierung : Basis : {, } Filter C : Polarisierung : Basis : { ( +,{ ( } Beachte : = ( = ( + Filter B reflektiert alle auf polarisierten Photonen. Nun setzt man den Filter C zwischen die Filter A und B. C projeziert die Photonen mit dem Zustand = mit der Wahrscheinlichkeit auf. Die durchgelassenen Photonen mit der Polarisierung = + wieder mit Wahrscheinlichkeit auf projeziert und durchgelassen..3 Einige Grundlagen der QM.3. Zustände Zustand : vollständige Beschreibung eines physikalischen Systems. In QM sind die Zustände Einheitsvektoren in einem Hilbertraum..3. Hilbertraum Hilbert Vektorraum über C, mit einem inneren Produkt : H H C mit ψ ϕ = ψ ϕ ψ ψ und ψ ψ = gdw. ψ = ψ αϕ + βϕ = α ψ ϕ + β ψ ϕ induzierte Norm : ψ = ψ ψ (Für unendlich-dimensionale Hilberträume ist zusätzlich zu fordern, dass H vollständig ist bezüglich. Jede Cauchy Folge hat einen Grenzwert in H. Hier : (fast ausschließlich endl.-dimensionale Räume..3.3 Dirac-Notation ψ (ket (Ausnahme Nullvektor (nicht ϕ ist der duale Vektor zu ϕ (lra ϕ : H C ; ψ ϕ ψ.3.4 Qubits Bit : elementarer Baustein eines klassischen Rechners mit zwei Zuständen ( Qubit : Superpositionen der beiden Basiszustände und bilden Orthonormalbasis eines Hilbertraums H. Ein Qubit ist ein Vektor ψ = α + β mit α + β =. 4

6 Die Messung des Qubits ψ führt mit Wahrscheinlichkeit α zum Zustand und mit Wahrscheinlichkeit β zum Zustand. Jede wiederholte Messung führt zum selben Resultat. Obwohl ein Qubit unendlich viele Zustände haben kann, kann man nur ein Bit Information extrahieren. Dieser Extraktionsprozess (Messung ist probabilistisch..3.5 n-qubit System (Quantenregister Klassisches System mit n Bits hat n Zustände,,..., n-qubit System hat Basiszustände,,..., und kann sich in jeder Subposition α + α α n befinden, mit n α n = n= H n = H... H }{{} n mal klassisch: Kolineare Systeme mit Zustandsräumen V mit Basis v,...,v m V W = W mit Basis w,...,w n Produktraum V W mit Basis v,...,v m,w,...,w n dim(v W = dim(v + dim(w hier: Zustandsraum V W mit Basis {v i w j : i =,...,m, j =,...,n} dim(v W = dim(v dim(w (exp. Wachstum der Dimension in der Anzahl der Komponenten.3.6 Notation für auch oder für... Für jedes Paar: ψ = i a i v i in V und ψ = b j w j in W j a i b j ( v i w i haben wir in V W den Vektor ψ ϕ = i, j Aber: nicht jeder Vektor v V W kann als Produkt v = ψ ϕ mit ψ V, ϕ W geschrieben werden! Beispiel : v = ( + H H es gibt keine ϕ, ϕ H mit v = ϕ ϕ Beweis : sonst existieren α,α,β,β C mit v = (α + β (α + β = α α + α β }{{} + α β + β }{{} β = = α α = oder β β = Solche nicht-zerlegbaren Zustände heissen entangled (verschränkt 5

7 .3.7 Messung Messung des ersten Qubits eines n-bit-zustands ψ = α v v ergibt: v {,} n mit Wahrscheinlichkeit p = α w w {,} n und projiziert ψ auf den Zustand p α w w w {,} n mit Wahrscheinlichkeit q = α w w {,} n und projiziert ψ auf den Zustand q α w w w {,} n (q = p.3.8 Observable Eigenschaft eines physikalischen Systems, welche prinzipiell messbar ist. Zerlegung des Zustandsraums in orthogonale Teilräume: H = E E... E n mit E i E j (i j ψ = ϕ + ϕ ϕ n mit ϕ i E i Messung bzgl. {E,...,E n }: Projektion von ψ auf ein ϕ i Resultat: ϕ i mit Wahrscheinlichkeit ϕ i.3.9 Evolution Evolution eines qm-systems via unitärer Transformationen ψ U ψ U lineare Abbildung von H nach H U unitär: U ϕ U ψ = ϕ ψ Für die Beschreibung der Transformation durch eine Matrix U bedeutet dies, dass U = U (U konjugiert transponierte Matrix zu U Insbesondere sind unitäre Transformationen invertierbar d.h. reversibel Berechnungen von QL sind aus reversiblen Basisschritten zusammengesetzt. (Ausnahme: Messung!.3. No Cloning Theorem Es gibt für n >, keine unitäre Transformation Copy : H n H n H n H n so dass für ein a H n und alle ψ H n Copy( ψ a = ( ψ ψ (Notation: ψ,ϕ = ψ ϕ = ψ ϕ Beweis : Annahme : Copy existiert. Für n > existiert ein zu a orthogonaler Zustand ϕ 6

8 Setze ψ = ( a + ϕ Copy( Φ a = [Copy( a a +Copy( ϕ a ] = ( a a + ϕ ϕ ψ ψ ψ ψ = ( aa + aϕ + ϕa + ϕϕ.4 Quantum Gates und QGA.4. Definition Ein Quantum Gate auf m Qubits ist eine unitäre Transformation U : H m H m auf dem m dim Hilbertraum..4. Gates auf dimensionalem Hilbertraum (m= Gates auf einem Qubit U : H H Betrachte Standardbasis, von H ( a U : a + b b ( c c + d d ( a c Matrix b d U unitär : ( a b c d ( a c b d ( = ( Koordinatendarstellung : = (, = Beispiel : ( M = ( not Gate M =,M = ( Sei M = i + i unitär, da i + i ( ( M M = i + i + i i 4 + i i i + i ( ( MM = + i i 4 = i + i also M = M ( = 4 = M ( i ( i + ( + i ( i + ( + i ( i ( = Hadamard ( (Hadamard-Walsh H = 7

9 transformiert Standardbasis, in Hadamard-Basis (Fourier - Basis = ( +, = ( und zurück, H = H ( ( H = H ( S(Phase= i ( T = e i ϕ π ( = ( = = = Abbildung.3: Quantum Gate (m=.4.3 Gates auf dimensionalem Hilbertraum (m= -Qubit Gates U : H 4 H 4 Standard Basis }{{} }{{} }{{} }{{} Beispiel : CNOT (controlled-not M CNOT = Abbildung.4: Notation M CNOT 8

10 M CNOT = M CNOT = M CNOT = M CNOT = M CNOT = i j = i i j Allgemein : Sei U eine unitäre Transformation auf einem Qubit. Controlled-U (C-U Transformation auf zwei Qubits: C-U i j = i if i then U j else j Abbildung.5: allgemeine Notation U Interessantes Gate : C-C-NOT = Toffoli-Gate (Tf Tf i jk = i j i j k Abbildung.6: Notation C-C-NOT... 9

11 Tf als klassisches Gate : Tf : {,} 3 {,} 3 (i, j,k (i, j,i j k Jeder klassische Schaltkreis kann durch einen Schaltkreis aus Tf-Gates simuliert werden. Zu f : {,} n {,} m betrachten wir die reversible Funkition f : {,} n {,} m {,} n {,} m (x,y (x, f (x y Die Menge Ω von reversiblen Gates ist vollständig (für klassische reversible Berechnungen wenn zu jeder reversiblen Funktion g : {,} n {,} n ein reversibler Schaltkreis aus Ω-Gates gebaut werden kann, welcher eine Funktion h : {,} n {,} k {,} n {,} k realisiert, so dass für ein festes u {,} k h(x,u = (g(x,v Satz : {Tf} ist vollständig (für klassische reversible Berechnungen Beweis : Jede Funktion kann durch einen klassischen Schaltkreis über { NAND} berechnet werden Abbildung.7: NAND i j i if i = then U j else j

12 Abbildung.8: Kontrolle durch statt.4.4 Tensorprodukt von Matrizen Definition : a a n Sei A =..... (mxn-matrix a m a mn b b s B =..... (rxs-matrix b r b rs a B a n B Dann ist die (mr ns-matrix A B :=..... a m B a mn B Seien A, B ( -Matrizen, welche Quanten-Gates auf einem Qubit beschreiben, dann wird die simultane Aktion von A auf dem ersten und B auf dem zweiten Qubit durch die Matrix A B beschrieben : Abbildung.9: simultane Aktion Begründung : ausrechen In den Spalten der Matrix stehen, in Koordinatenschreibweise, die Bilder der Basisvektoren Operation : i j A i B j }{{} = i j ( a a A = B = a a ( b b b b A i B j = (a i + a i (b j + b j = a i b j + a i b j + a i (b j + a i b j a i b j In der zu i j gehörenden Spalte der Produktmatrix steht also : a i b j a i b j a i b j

13 Dies ist genau die entsprechende Spalte von A B. Dies gilt für Räume beliebiger Dimensionen. Wenn A und B (unitäre Transformationen auf H n bzw. H m beschreiben, dann beschreibt A B die Operation auf H n H m die der simultanen Kombination der beiden Operationen entspricht(reihenfolge egal. A B führt kein Entanglement ein. Beispiel : Sei A = B = H (Hadamard H H = ( = ( (H H i j = ( + ( i ( + ( j zerlegbar ( i j zerlegbar, H H führt kein Entanglement ein Hingegen ist M CNOT kein Tensorprodukt von ( Matrizen. = ( + ( j + ( i + ( i+ j Betrachte Operation von M CNOT auf zerlegbarem Zustand : ψ = (( + = ( + M CNOT ψ = ( + EPR Paar(entangled führt also ein Entanglement ein..4.5 Hadamard Transformation revisited H = ( H = ( + H = ( Sei H n = H H... H }{{} m Mal : H n H n

14 H n = H... H = ( + ( +... ( + n = n x x {,} n Abbildung.: Hadamard auf mehreren Qubits Mit linearem Aufwand (n Q-Gates wird in gleichmäßige Überlagerung aller n Basisvektoren transformiert!.4.6 Quantum Gate Arrays (QGA Sei Ω eine Menge von Quanten-Gates. Ein Quanten Schaltkreis oder Quanten Gate Array(QGA auf n Qubits ist eine unitäre Transformation U : H n H n, welche aus Q-Gates aus Ω zusammengesetzt ist. Basisoperation : Wende Gate G auf Qubits i,...,i m an. m= : }{{} G I n (4 4 Matrix( Qubits Abbildung.: Basisoperation P i i (G I n P i i P i i : Permutation, welche Qubits i,i auf Qubits, vertauscht. 3

15 Abbildung.: Basisoperation mit Permutation 4

16 Index Basisoperation, 3 C-C-NOT, 9 C-U, 9 CNOT, 8 controlled U, 9 controlled-not, 8 Dirac-Notation, 4 entangled, 5 Entanglement, 5 Evolution, 6 Hadamard, 7, Hilbertraum, 4 induzierte Norm, 4 Koordinatendarstellung, 7 Messung, 3, 6 n-qubit System, 5 No Cloning Theorem, 6 Notation, 5 Observable, 6 Polarisierungsfilter, QGA, 3 Quantum Gate, 7 Quantum Gate Array, 3 Qubit, 4 Tensorprodukt von Matrizen, Tf-Gate, 9 Toffoli-Gate(Tf, 9 unitär, 7 Zustand, 4 5

17 Abbildungsverzeichnis. Experiment Messung des Pol. Zustands Quantum Gate (m= Notation M CNOT allgemeine Notation Notation C-C-NOT NAND Kontrolle durch statt simultane Aktion Hadamard auf mehreren Qubits Basisoperation Basisoperation mit Permutation