Informatik II. Nachtrag: DNA- und Quantencomputing. DNA- und Quantencomputing. DNA- und Quantencomputing. Einführung. Rainer Schrader. 3.

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1 Informatik II Einführung Rainer Schrader Nachtrag: Zentrum für Angewandte Informatik Köln 3. Februar 009 / 5 / 5 Gliederung DNA-Computing ein Verfahren zur Bestimmung Hamiltonscher Pfade Quantencomputing spezielle Transformationen DNA besteht aus vier Grundbausteinen (Basen oder Adenin Thymin Guanin Cytosin damit haben wir ein 4-elementiges Alphabet zur Verfügung. A T G C Nukleotiden): ein Einzelstrang der DNA ist eine Kette von Basen, d.h. ein Wort aus {A, T, C, G} ein DNA-Doppelstrang besteht aus zwei komplementären Ketten, wobei die Komplementarität gegeben ist durch: A T C G 3 / 5 4 / 5

2 Auf diesen Molekülen können biochemisch Operationen ausgeführt werden, dabei sei S jeweils ein DNA-Einzelstrang: DNA-Synthese: erzeuge einen künstlichen Strang nach einem vorgegebenen Basenmuster, Polymerase-Reaktion: erzeuge das Komplement von S Polymerase chain reaction: erzeuge sehr viele Kopien des Komplements von S Paarung: gegeben zwei komplementäre Einzelstränge, füge sie zu einem Doppelstrang zusammen, Primer: gegeben einen zweiten Strang P (kurz), markiere alle Teilfolgen von S, an denen S komplementär zu P ist, Primer mit Markierung: der Primer enthält einen Fortsatz, der z.b. mit einem Farbstoff reagiert oder magnetisch ist, Primer-Polymerase-Reaktion: gegeben einen Primer P, suche in S das Komplement von P erzeuge ab dort eine komplementäre Kopie von S in einer bestimmten Richtung Ligase-Reaktion: gegeben zwei Stränge S, S, füge sie zu S S zusammen, Nuclease-Reaktion: zerschneide einen Strang an Stellen, die ein vorgegebenes Muster zeigen 5 / 5 6 / 5 Gel-Elektrophorese: sortiere Stränge nach ihrer Länge beruht nicht auf natürlichen biochemischen Methoden dabei werden DNA-Stränge auf ein Gel aufgebracht und an eine Spannungsquelle angeschlossen da die DNA-Moleküle negativ geladen sind, bewegen sie sich auf die Anode zu Gliederung DNA-Computing ein Verfahren zur Bestimmung Hamiltonscher Pfade Quantencomputing spezielle Transformationen und zwar je größer, desto langsamer 7 / 5 8 / 5

3 das folgende Verfahren geht auf Adleman (994) zurück es testet, ob ein gerichteter Graph G = (V, E) einen gerichteten Hamilton-Weg besitzt gerichtetes Hamilton-Weg-Problem (DHP) sei G = (V, E) ein gerichteter Graph s und t zwei ausgezeichnete Knoten entscheide, ob in G ein gerichteter (s, t)-weg existiert, der alle Knoten u V {s, t} genau einmal erreicht und einmal verlässt. DHP ist offensichtlich NP-vollständig: gegeben einen ungerichteten Graph G erzeuge einen gerichteten Graphen G, in dem jede Kante von G durch gerichtete Hin- und Rückkanten ersetzt wird für je zwei Knoten s, t, die in G benachbart sind prüfe, ob der gerichtete Graph einen gerichteten Hamilton-Weg besitzt damit können wir entscheiden, ob G einen ungerichteten Hamilton-Kreis enthält 9 / 5 0 / 5 Verfahren zur Bestimmung von gerichteten Hamilton-Wegen () ordne jeder Stadt eine eindeutige DNA-Sequenz zu. Diese besteht aus zwei DNA-Sequenzen Vorname + Nachname, wobei kein Vor- und kein Nachname doppelt vergeben wird () existiert eine Kante zwischen den Städten u und v, so erzeuge einen Strang, der aus dem Nachnamen von u und dem Vornamen von v besteht (3) erzeuge mittels DNA-Synthese die Kantensequenzen und die Komplemente der Stadtsequenzen (mit Ausnahme von s und t) (Im Versuch waren dies ungefähr 0 4 Moleküle) (4) wirf alle Moleküle in ein Reagenz mit geeigneter Umgebung (5) Die Komplemente der Stadtnamen werden sich mit entsprechenden Sequenzen der Kanten verbinden Ist die Menge an Molekülen groß genug, so werden auf diese Weise alle möglichen Wege im Graphen erzeugt. (6) Mittels Primer-Polymerase und PCR vermehre die Sequenzen, die mit der Kodierung von s beginnen. Entsprechend vermehre diejenigen, die mit der Zielstadt t enden. (7) dadurch werden die Sequenzen, die sowohl mit s beginnen als auch mit t enden, extrem vermehrt. Eine Probe wird mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit viele dieser Sequenzen und wenige der anderen enthalten. (8) Mittels Gel-Elektrophorese filtere alle Sequenzen heraus, deren Länge mit der Länge eines Hamilton-Weges übereinstimmen. (9) Fertige einen magnetisch-markierten Primer für die erste Stadt an. Er filtert alle Sequenzen heraus, die die erste Stadt enthalten. (0) Wenn wir dieses Vorgehen für alle Zwischenstädte wiederholen, erhalten wir wenn überhaupt DNA-Sequenzen übrig bleiben einen Hamilton-Weg () Mittels PCR und Elektrophorese filtere die verbleibenden heraus / 5 / 5

4 Vorläufige Einschätzung des DNA-Computing Adleman hat diese Experimente für einen Graphen mit sieben Knoten durchgeführt und dazu sieben Tagen im Labor gestanden. Der Ansatz kann auf das Rundreiseproblem TSP ausgedehnt werden, indem die Länge einer Kante durch einen entsprechend lange Sequenz kodiert wird. verfährt man ähnlich wie vorher, so erhält man (mit hoher Wahrscheinlichkeit) im vorletzten Schritt nur Touren. Elektrophorese filtert dann die kürzeste heraus. ebenso lässt sich ein probabilistischer Algorithmus für das SAT -Problem übertragen und eine universelle Turing-Maschine auf DNA-Basis bauen. Nach 0 Jahren hat sich die anfängliche Begeisterung über das DNA-Computing gelegt. Aus heutiger Sicht zeichnet sich das DNA-Computing durch folgende Eigenschaften aus: extrem hohe Parallelität, mit der die Operationen ausgeführt werden, extrem hohe Datendichte (in der Literatur findet man folgende Angabe: l DNA-Lösung = Terabytes) hohe Energieeffizienz zeitintensiv fehlerbehaftet, daher muss mit großer Redundanz gearbeitet werden Schätzungen über die benötigten Mengen für 70 Städte gehen von 0 5 kg DNA aus voraussichtlich Anwendungen weniger im Bereich alternativer Rechnermodelle als im Bereich der Massenspeicher für große Datenmengen (die keine schnellen Zugriffe benötigen) 3 / 5 4 / 5 Gliederung DNA-Computing ein Verfahren zur Bestimmung Hamiltonscher Pfade Quantencomputing spezielle Transformationen Physiker haben die Erfahrung gemacht, dass sich Quantensystem auf klassischen Rechner nur sehr schwer simulieren lassen. nach dem Physiker, sollte ein Quantenrechner, der selbst eine Quantensystem darstellt, einen effizienten Simulator bilden auch aufgrund des zunehmenden Integrationsgrades der Schaltkreise und der damit einhergehenden geringer werdenden Abstände zwischen einzelnen Gattern und Leitungen ist zu befürchten, dass die klassische Physik durch quantentheoretische Effekte überlagert werden quantentheoretische Rechnermodelle haben in den letzten Jahren große Aufmerksamkeit erregt sowohl Entwicklungen in der Experimentalphysik als auch in algorithmischen Ideen für Quantencomputer nähren die Hoffnung auf ein interessantes neues Rechnerkonzept. wir wollen im Folgenden kurz die Grundlagen und mögliche Implikationen der Quantencomputer zusammenfassen 5 / 5 6 / 5

5 Photonen-Polarisation Lichtstrahlen bestehen aus Photonen Photonen schwingen in Ebenen (Polarisationsebene) bzw. in sich drehenden Ebenen (zirkuläre Polarisation) in einem gewöhnlichen Lichtstrahl schwingen alle Photonen in Ebenen ist jede Polarisationsebene gleichwahrscheinlich geht ein Lichtstrahl durch ein Polarisationsfilter, so schwingen alle Photonen nach dem Durchgang in einer Ebene Photonen-Polaristaion wir verwenden weiter drei Polarisationsfilter A,B, und C: A polarisiert horizontal B polarisiert in 45 C polarisiert vertikal (i) bringen wir Filter A und C ein, so dringt kein Licht durch (ii) bringen wir Filter A ein, so reduziert sich die Intensität auf (iii) bringen wir Filter A, B und C ein, so reduziert sich die Intensität auf 8 wir verwenden eine Lichtquelle Schirm Lichtquelle Strahl Schirm Lichtquelle A B C 7 / 5 8 / 5 Wie lassen sich die Ergebnisse erklären?. Versuch: die Filter wirken wie Siebe Filter A siebt alle Photonen heraus, die horizontal schwingen in der Kombination (i) wird dann alles herausgefiltert warum kommt dann bei (ii) die Hälfte an? sind die Schwingungsebenen an der Lichtquelle gleichverteilt, so dürfte nur ein sehr geringer Teil ankommen wenn in (iii) weitergesiebt wird, wieso erhöht sich die Intensität?. Versuch die Polarisationrichtung wird durch einen entsprechenden Einheitsvektor modelliert jede Polarisation p kann dann als Linearkombination von zwei linear unabhängigen Einheitsvektoren ausgedrückt werden am Beispiel der Orthonormallbasis x = (, 0) und x = (0, ) lässt sich p schreiben als p = a x + a x da wir nur an Einheitsvektoren interessiert sind, muss gelten a + a = aber auch jede andere Orthonormalbasis wäre zugelassen die Modellierung als Sieb erklärt nicht das Experiment 9 / 5 0 / 5

6 Postulate des quantenmechanischen Modells (-dim.) jede Messung eines Systems erfolgt in Abhängigkeit von einer zugehörigen Orthonormalbasis x, x eine Messung überführt das System in einen der Basisvektoren ist p = a x + a x eine Polarisation, so wird p in x oder x überführt, und zwar mit Wahrscheinlichkeit a in x mit Wahrscheinlichkeit a in x nach der Messung ist das System im Zustand x oder x Messungen bezüglich einer anderen Basis ergeben u.u. andere Ergebnisse Interpretation des Experiments sind alle Polarisationsebenen gleichwahrscheinlich, so sind alle Paare (a, b) mit a + a = gleichwahrscheinlich der Durchgang durch Filter A entspricht einer Messung bezüglich einer Orthonormalbasis, die den Vektor (, 0) enthält wegen der Gleichverteilung und der Quantenmechanik gilt: es werden 50% gemessen danach ist das System im Zustand (, 0) dies erklärt Versuch (ii) wenn wir nochmals bezüglich (, 0) und (0, ) messen, so ist die Wahrscheinlichkeit für (0, ) Null dies erklärt Versuch (i) / 5 / 5 Interpretation des Experiments in Versuch (iii) messen wir den Zustand (, 0) bezüglich einer um 45 gedrehten Basis y, y es ist y = (, ) und y = (, ) die Messung ergibt dann y mit Wahrscheinlichkeit dies erklärt Versuch (iii) im Allgemeinen müssen auch zirkuläre Polarisationen zugelassen werden dann wird jede Polarisation durch eine Anfangsebene und einen Drehwinkel beschrieben beide Angaben lassen sich durch jeweils ein Paar reeller Zahlen ausdrücken üblicherweise werden diese formal zu komplexen Zahlen zusammengefasst Komplexe Zahlen und der Hilbert-Raum C n sei α = a + ib eine komplexe Zahl mit a, b R und i = Die zu α konjugiert komplexe Zahl ist α = a ib das Produkt zweier komplexer Zahlen α = a + ib, α = c + id ist die komplexe Zahl α α = (ac bd ) + i(ad + bc) Im Vektorraum C n ist ein inneres Produkt definiert, das je zwei Vektoren α = (x, x,..., x ), β = (y, y,..., y n ) C n die komplexe Zahl zuordnet α, β = nx x i y i i= 3 / 5 4 / 5

7 die Länge eines Vektors α = (x, x,..., x ) C n ist die nichtnegative reelle Zahl α mit α = α, α. D E zwei Vektoren α, β C n heißen orthogonal, falls α, β = 0 im C sind beispielsweise die Vektoren (, ) und (, ) orthogonal Vektoren α,... α n C n bilden eine Orthonormalbasis, falls je zwei orthogonal zueinander sind und alle Länge haben im C etwa bilden die Vektoren eine Orthonormalbasis (, ), (, ) Qubits sei α, α C eine Orthonormalbasis des C ein Qubit ist ein physikalisches System, das der Menge der Einheitsvektoren des C entspricht der Zustand eines Qubits ist ein Einheitsvektor im C, also ein Vektor der Form und β = a α + a α a + a =. wobei a, a C der Zustand ist damit immer auf eine vorher festgelegt Basis bezogen, den Basiszuständen ein allgemeiner Zustand (ein Einheitsvektor) heißt Überlagerung oder Superposition der Basiszustände 5 / 5 6 / 5 Messung des Zustands eines Qubits sei β = a α + a α der Zustand eines Qubits. wird das Qubit gemessen, so ist das Ergebnis eine Zufallsvariable mit den folgenden Werten: α mit Wahrscheinlichkeit a α mit Wahrscheinlichkeit a mit der Messung geht der ursprüngliche Zustand verloren, das Qubit befindet sich danach im gemessenen Zustand Messung des Zustands eines Qubits das Qubit befindet sich somit in einem von unendlich vielen Superpositionen bei der Messung wird jedoch einer von zwei Zuständen angenommen wenn wir die Basisvektoren mit 0 und identifizieren, so erhalten wir nach der Messung klassische Bits 7 / 5 8 / 5

8 wir wollen uns natürlich nicht auf Rechner beschränken, die nur ein Qubit zur Verfügung haben ein Qubit entspricht einer Teilmenge eines -dimensionalen Vektoraums beschrieben durch Basisvektoren x, x wenn wir Qubits mit den Basen x, x und y, y klassisch verknüpfen, würden wir das kartesische Produkt mit der Basis x, x, y, y betrachten allgemein würden n Qubits so eine Teilmenge eines Vektorraums der Dimension n beschreiben eine mögliche Erklärung für die möglichen Möglichkeiten eines Quantenrechners: n Qubits beschreiben einen Zustandsraum der Dimension n damit existieren Zustände, die nicht durch die Zustände der einzelnen Qubits beschrieben werden können das mathematische Hilfsmittel dazu ist das Tensorprodukt seien α = (x,..., x m ) C m, β = (y,..., y n ) C m ihr Tensorprodukt α β ist ein Vektor in C mn definiert durch: α β = (x y,..., x y n,..., x m y,..., x m y n ) 9 / 5 30 / 5 aus den Eigenschaften des Tensorprodukts ergibt sich das folgende: ist eine Orthonormalbasis des C m und eine Orthonormalbasis des C n gegeben, so bilden die paarweisen Tensorprodukte der Basisvektoren eine Orthonormalbasis des C mn speziell für den Fall m = n = und der jeweiligen Orthonormalbasis (, 0), (0, ) bilden die Vektoren: (, 0) (, 0) := (, 0, 0, 0) (, 0) (0, ) := (0,, 0, 0) (0, ) (, 0) := (0, 0,, 0) (0, ) (0, ) := (0, 0, 0, ) eine Orthonormalbasis des C 4. in Analogie zum bisher gesagten wird der Zustand eines -Qubits durch einen Einheitsvektor im C 4 beschrieben seien v, v und w, w Orthonormalbasen zweier Qubits der Zustand eines -Qubits (bezogen auf diese Orthonormalbasen) ist ein Vektor z = z (v w ) + z (v w ) + z 3 (v w ) + z 4 (v w ) C 4 der Länge, d.h. z + z + z 3 + z 4 =. wiederum heißen die Basisvektoren Basiszustände und die allgemeinen Zustände Überlagerungen oder Superpositionen 3 / 5 3 / 5

9 Beispiel: seien zwei Qubits in den Zuständen a = a α + a β b = b α + b β, so ist das System bestehend aus diesen beiden Qubits im Zustand a b = a b α α + a b α β + a b β α + a b β β. damit können wir jedem Paar von Qubits ein -Qubit-System zuordnen. umgekehrt ist nicht jeder Einheitsvektor im C 4 Tensorprodukt von zwei Einheitsvektoren im C Beispiel: angenommen C A = dann muss gelten: a 0 «+ a 0 ««b 0 a b =, a b = 0, a b = 0, a b = «+ b 0 ««und damit entweder a = 0 und somit a b = 0 oder b = 0 und somit a b = 0 33 / 5 34 / 5 Messung von -Qubit-Systemen Zustände, die sich nicht als Tensorprodukt Ihrer Komponenten darstellen lassen, heißen verschränkt anschaulich bedeutet eine Verschränkung, dass ein -Qubit in einem Zustand ist, deren Einzelzustände nicht unabhängig voneinander sind die Verschränkung scheint ein wesentliches Merkmal für Quantenrechner zu sein, aus der sich der konzeptionelle Unterschied zu einem klassischen Rechner ergibt in Analogie zum Qubit gilt auch für -Qubits: das Ergebnis der Messung eines -Qubits im Zustand γ = z α α + z α β + z 3 β α + z 4 β β ist α α mit Wahrscheinlichkeit z α β mit Wahrscheinlichkeit z β α mit Wahrscheinlichkeit z 3 β β mit Wahrscheinlichkeit z 4 mit der Messung geht der ursprüngliche Zustand verloren, das Qubit befindet sich danach im gemessenen Zustand. 35 / 5 36 / 5

10 wir können aber auch jeweils nur ein Qubit des -Qubit-System messen eine Messung des ersten (α-)bits ergibt α mit Wahrscheinlichkeit z + z β mit Wahrscheinlichkeit z 3 + z 4. nach der Messung geht das System in einen Zustand über, der mit der Messung verträglich ist, d.h. einer Überlagerung von Basiszuständen so, dass der Zustand des gemessenen bits dem gemessenen Zustand entspricht. Formal bedeutet dies, dass der nichtgemessene Zustand wegfällt und der verbleibende Teil auf normiert wird. wird beispielsweise im ersten bit der Zustand α gemessen, so ist das -Qubit danach im Zustand p z + z (z αα + z αβ). wenn man die beiden Qubits nacheinander misst, so zeigen nichtverschränkte und verschränkte Zustände folgende Ergebnisse: ) nichtverschränkt: die Wahrscheinlichkeiten sind die gleichen wie bei den Einzelzuständen und unabhängig von der Messreihenfolge, ) verschränkt: die Messung des zweiten Qubits ergibt mit Wahrscheinlichkeit dasselbe Ergebnis wie die Messung des ersten Qubits. 37 / 5 38 / 5 n-qubits Die für den Fall n = gemachten Beobachtungen übertragen sich auf den allgemeineren Fall der allgemeine Zustand eines n-qubits ist jetzt ein Vektor im C n es gibt verschränkte und unverschränkte Zustände wir können Teilmengen von Qubits messen die Ergebnisse nacheinander ausgeführter Messungen hängen davon ab, ob die Zustände verschränkt oder unverschränkt sind Operationen auf Qubits während eines Rechenvorgangs müssen wir die Zustände unserer Qubits verändern. nach den Gesetzen der Quantenphysik sind solche Änderungen stets linear und damit längenerhaltende und umkehrbare Drehungen von Einheitsvektoren. die dazugehörende mathematischen Operatoren sind die unitären Matrizen, d.h. diejenigen Matrizen A C n,n, für die gilt: A T = A. im reellen sind dies die orthogonalen Matrizen 39 / 5 40 / 5

11 Reversibilität und Quantengatter wir haben gesehen, dass alle Operationen eines klassischen Rechners auf die Berechnung Boolescher Funktionen zurückgeführt werden können quantentheoretische Vorgänge sind stets reversibel, d.h. in der Quantentheorie können physikalische Systeme ohne Energieverlust von einem Zustand in einen anderen und eindeutig wieder zurück transformiert werden. Reversibilität und Quantengatter will man daher logische Operationen auf quantentheoretischer Basis ausführen, müssen diese notwendigerweise ebenfalls reversibel sein. es sind daher mit anderen Worten in diesem Rahmen nur bijektive logische Funktionen f : B n B n zugelassen. von den Grundfunktionen NOT, OR und AND, die wir zu Beginn der Vorlesung betrachtet haben, ist lediglich das NOT reversibel das Ausgangssignal von NOT lässt eindeutig auf das Inputsignal schließen weder beim OR noch beim AND ist dies möglich 4 / 5 4 / 5 durch einen einfachen Trick lässt sich jede Boolesche Funktion f in eine bijektive Funktion f umwandeln als Basisfunktionen für reversible Gatter wählen wir das controlled NOT CNOT und das Toffoli-Gatter CCNOT dabei ist CNOT(x, y ) = (x, x y ), d.h. CNOT invertiert y, wenn x eingeschaltet ist das CCNOT invertiert z, wenn x und y eingeschaltet sind, d.h. CCNOT(x, y, z) = (x, y, (x y ) z) es ist leicht zu sehen, dass diese Gatter reversibel sind insbesondere liefert uns das CNOT ein NOT (indem wir x = setzen) und das CCNOT ein AND (indem wir z = setzen) sei f : B n B n eine beliebige Boolesche Funktion. wie wir gezeigt haben, können wir annehmen, dass f reversibel ist. um der Abbildung f eine geeignete unitäre Matrix zuzuordnen, fassen wir jeden n-dimensionalen {0, }-Vektor x als Koordinatenvektor eines Zustands bezogen auf vorgegebene Basiszustände des C n. definiere eine Matrix A f : C n C n, die jedem Zustand mit Basisvektor x den -Koordinatenvektor f (x) zuordnet durch diese Festlegung von A f auf einer Basis ist die Matrix eindeutig bestimmt und unitär damit können wir reversibel ein NAND darstellen und damit alle Booleschen Funktionen d.h. reversible und allgemeine Boolesche Funktionen sind äquivalent 43 / 5 44 / 5

12 eine spezielle Transformation wird durch die Hadamard-Matrix beschrieben Gliederung DNA-Computing ein Verfahren zur Bestimmung Hamiltonscher Pfade Quantencomputing spezielle Transformationen für ein Qubit ist die Hadamard-Transformation durch die folgende Matrix gegeben:! H = es ist H H = I, d.h. H ist unitär angewandt auf den Zustand (, 0) erzeugt die Hadamard-Transformation die Superposition (, ) = ((, 0) + (0, )) eine Messung der Superposition liefert jeden Basisvektor mit Wahrscheinlichkeit 45 / 5 46 / 5 für -Qubits wird die Hadamard-Transformation durch die folgende Matrix gegeben: H 4 =!! = 0 C A invertiere Amplitude gegeben eine Superposition aller Basiszustände mit reellen Amplituden und eine Teilmenge J der Basiszustände invertiere die Amplitude von a j zu a j für alle j J wiederum es ist H 4 H 4 = I, d.h. H 4 ist unitär angewandt auf den Zustand (, 0, 0, 0) erzeugt die Hadamard-Transformation die Superposition (,,, ) = ((, 0, 0, 0) + (0,, 0, 0) + (0, 0,, 0) + (0, 0, 0, )) eine Messung der Superposition liefert jeden Basisvektor mit Wahrscheinlichkeit 4 allgemein lässt sich in O( n ) Schritten eine gleichverteilte Superposition der n Basiszustände eines n-qubits-systems durchführen die Invertierung lässt sich in O( n ) Schritten durchführen 47 / 5 48 / 5

13 Invertiere am Mittelwert gegeben eine Superposition aller Basiszustände mit reellen Amplituden sei A der Mittelwert der Amplituden ersetze jede Amplitude a i durch A a i das Ergebnis ist wieder eine Superposition der Basiszustände Anwendung: Grover s Suchalgorithmus gegeben eine Boolesche Funktion f B n bestimme ein x {0, } n mit f (x) = Vorgehen: () erzeuge mittels der Hadamard-Transformation eine gleichverteilte Superposition der n Basiszustände dann haben alle Basiszustände die Wahrscheinlichkeit n () für jeden Basiszustand x j mit f (x j ) invertiere die Amplitude von a j zu a j (3) invertiere am Mittelwert (4) wiederhole die Schritte () - (3) O( n ) mal (5) miss den Zustand des Systems die Invertierung am Mittelwert lässt sich in O( n ) Schritten durchführen 49 / 5 50 / 5 Analyse der grover-algorithmus liefert ein probabbilistisches Verfahren mit einer Laufzeit von O(n n ) klassische Suche benötigt O( n ) n-bit Zahlen lassen sich auf Quantenrechnern in polynomieller Zeit faktorisieren klassisch sind dazu nur Verfahren mit exponentieller Laufzeit bekannt allerdings gibt es klassische probabilistische Verfahren mit polynomieller Laufzeit der Komplexitätsstatus des Faktorisierungsproblems ist noch offen, es wird aber eher in P vermutet allgemein scheinen mit Quantenrechnern quantitative Laufzeitverbesserungen möglich qualitativ (P versus NP-vollständig) scheint sich durch die Quantenrechner nichts zu verschieben 5 / 5