Quantenrechner und Grovers Algorithmus

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1 Quantenrechner und Grovers Algorithmus Dirk Winkler Informatik Technische Universität Chemnitz. Januar 005

2 Inhalt Hintergrund Einführung Quanteninformation Grovers Algorithmus Verallgemeinerungen Literatur

3 Entwicklung Feynmann, Richard P. (198): Simulating physics with computers vermutet exponentielle Verlangsamung bei Simulation eines Quantensystems mit R Partikeln Grund: Beschreibungsgrösse exponentiell vs. linear Vermutung: Quantenrechner schneller Deutsch, David, 1985: Theorie für Quantenrechner: Beschreibung eines universellen Quantenrechners Bernstein, Vazirani, 1997: QTM simuliert QTM in Polynomialzeit

4 Physikalische Systeme physikalisches Modell muss experimentell nachweisbar sein Beschreibung eines Systemzustandes durch Tupel von Observablen zeitliche Veränderung des Zustandes: Gleichungen, Zustand von Zeit abhängig: x(t) zeitliche Entwicklung (time evolution) Beispiel Partikelzustand Position, Impuls, x = (x 1,x,x 3,p 1,p,p 3 ) erhalten Zustandsraum R 6 zusammengesetzte Systeme: Kartesisches Produkt

5 Probabilistische Systeme Diskrepanz zwischen Modellen und Realität; ggf. nur Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich Annahme: System habe beobachtbare Zustände x 1,...,x n (reine Zustände), diese korrespondieren mit Basisvektoren [x 1 ],... [x n ] Zustand nur durch Verteilung gegeben: p 1 [x 1 ] + + p n [x n ] (gemischter Zustand), Vektorschreibweise: (p 1,...,p n ) T Beispiel Beim Wurf einer fairen Münze lässt sich der Zustand als 1 [Kopf ] + 1 [Zahl] auffassen (solange das Ergebnis nicht feststeht).

6 Probabilistische Systeme Zeit diskret betrachten; Zustandsübergänge probabilistisch: [x i ] p 1i [x 1 ] + + p ni [x n ], dabei p 1i + + p ni = 1 und p ji = P(x i x j x i ) Entwicklung eines gemischten Zustandes p 1 [x 1 ] + + p n [x n ] zu p 1 (p 11 [x 1 ] + + p n1 [x n ]) + + p n (p 1n [x 1 ] + + p nn [x n ]) = p 1 [x 1] + + p n[x n ] p 1 p. p n = p 11 p 1... p 1n p 1 p... p n p n1 p n... p nn Markov-Matrix: Zeilensummen gleich Eins, damit p p n = p p n, Markovkette p 1 p. p n

7 Quantensysteme Definition (Superposition für n-stufiges System) Ein Quantenzustand besteht aus einer Überlagerung (Superposition) α 1 x α n x n x i : Zustände, x i : ONB des Zustandsraumes H n die komplexen α i heissen Amplituden von x i, die Wahrscheinlichkeit, x i zu beobachten, ist α i mit α α n = 1 Messung des Zustandes (Beobachtung) führt zur Zerstörung der Superposition, System behält ermittelten Status bei

8 Quantensysteme Markovketten sind kein ausreichendes Beschreibungsmittel α i = Ψ(x i ), Wellenfunktion Vektordarstellung und zeitliche Entwicklung analog zu probabilistischen Systemen: α 1 α 11 α 1... α 1n α 1 α. = α 1 α... α n α α n1 α n... α nn α n α n

9 Quantensysteme Eigenschaften Matrizen sind unitär, daher ist zeitliche Entwicklung reversibel Zusammengesetzte Systeme: Basiszustände je x 1 (,..., x n und y 1,..., y m neue Basisvektoren xi, y j ) Darstellung n i=1 m j=1 α ij x i,y j mit n i=1 m j=1 α ij = 1 mathematisches Modell: Tensorprodukt der Zustandsräume H n H m mit Basis x i y j = x i y j = x i,y j (Dimension mn) Tensorprodukt nicht kommutativ Zustand zerlegbar, falls n i=1 m α ij x i y j = j=1 ( n )( m ) α i x i β j y j i=1 j=1 ansonsten verschränkt

10 Quanteninformation Quantenbit in zweistufigem System speichern: c c 1 1 ( ) ( ) =, 1 = 0 1 Ein-Bit-Operation durch unäres Quantengatter: unitäre Abbildung U : H H mit 0 a 0 + b 1, 1 c 0 + d 1 unitäre Matrix U = ( ) a c, b d ( ) 1 0 ( ) a, b ( ) 0 1 ( ) c d

11 Quantengatter Walsh-Matrix, Hadamard-Matrix: H = W = W W = I, W ist unitär Beispiel ( Simulation eines Münzwurfs mit W ; wir definieren die Zustände Kopf = ( 1 0 ) und Zahl = ( 0 1 ). Kopf 1 Kopf + 1 Zahl = 1 ( 1 1 ). Im Folgezustand wird also Kopf oder Zahl mit Wk. 1 beobachtet. Verzichtet man auf die Messung und führt die Operation erneut aus, ergibt sich der Zustand ( 1 0 ) = W 1 ( 1 1 ), also Kopf. Beim zweiten Münzwurf kann nur Kopf herauskommen probabilistisch nicht modellierbar. )

12 Interferenz auf ein Quantenbit bezogen: Grund: Wahrscheinlichkeiten werden nicht selbst überlagert, aber die Amplituden α i bzw. Wellenfunktionen Ψ bei probabilistischen Systemen nicht möglich, da nur nichtnegative reelle Koeffizienten auftauchen 1

13 Quantenregister Zwei-Bit-Register: H 4 = H H ( 10 ) ( 01 Basis 00 =, 01 = ), 10 = ( 00 Zustand c c c 10 + c 3 11 mit 3 i=0 c i = ), 11 = ( 00 Wahrscheinlichkeit, dass erstes Qubit im Zustand 0 bzw. 1 ist: c 0 + c 1 und c + c 3 n-bit-register: H n = H H Zustand teilbar (decomposable), wenn als Produkt darstellbar 0 1 )

14 Quantenregister Beispiel teilbarer Zustand: 1 1 ( ) = ( ) 1 ( ) Dagegen ist 1 ( ) nicht teilbar. Beweis. Sei 1 ( ) = (a b 1 1 )(a 0 + b 1 ). Dann 1 ( ) = a 1 a 00 + a 1 b 01 + b 1 a 10 + a b 11. = a 1 a = 1/ b 1 a = 0 Dies führt zum Widerspruch. b 1 b = 1/ a 1 b = 0

15 Operationen auf Quantenregistern betrachten ohne Einschränkung Zwei-Bit-Register Definition (Binäre Quantengatter) Ein binäres Quantengatter ist eine unitäre Abbildung U : H 4 H 4. H 4 = H H enthält Vektoren, die Tensorprodukte aus Vektoren von H sind Tensorprodukt zweier Matrizen M N: ( ) ( ) a b e f = c d g h [ ] [ ] e f e f a b g h g h [ ] [ ] e f e f = c d g h g h ae af be bf ag ah bg bh ce cf de df cg ch dg dh

16 Operationen auf Quantenregistern Beispiel Hadamard-Transformation W = H auf zwei Qubits erweitern: H = 1 ( ) ( ) = Anwendung auf Basisvektor x 1 x, x 1, x {0, 1}: 1 ( 0 + ( 1) x 1 1 ) 1 ( 0 + ( 1) x 1 ) = 1( 00 + ( 1) x 01 + ( 1) x ( 1) x 1+x 11 ) Mit x i = ( n j=1 x ji j ) mod gilt für die Erweiterung auf H n H n x = 1 n n 1 ( 1) x i i

17 Grovers Suchalgorithmus gegeben: f : {0, 1} n {0, 1} gesucht: x mit f (x) = 1 Suchraum mit N = n Elementen, Annahme: t 1 Lösungen f als Quanten-Blackbox-Funktion darstellen: für f : {0, 1} n {0, 1} m existiert ein umkehrbares F : {0, 1} m+n {0, 1} m+n sowie die zugehörige unitäre Transformation U f F(x, b) = (x, b f (x)) U f x, b F(x, 0) = (x, f (x)), hier ist m = 1 = x, b f (x) jeder Basisvektor x i (Dimension N = n ) stellt eine mögliche Lösung dar

18 Vorgehen Idee: Superposition aller Eingaben für f erzeugen, Amplituden der Lösungen verstärken, anschliessend Messung durchführen Walsh-Hadamard-Transformation Erzeugen einer Superposition, in der alle Zustände (Eingaben für f ) gleichwahrscheinlich enthalten sind H n x = 1 n 1 n i=0 ( 1)x i i, H n = Hn 1 Qubits anschliessend jeweils im Zustand 1 ( ) V f -Operator: separiert die Lösungsvektoren durch Negation der Amplitude (bei Grover rein reellwertig): V f x = ( 1) f (x) x Wahrscheinlichkeiten bleiben (noch) erhalten Umsetzung durch U f x 1 ( 0 1 ) = V f x 1 ( 0 1 ), Skizze:

19 Vorgehen D n : Inversion am Durchschnitt Amplituden müssen betragsmäßig geändert werden sei der Durchschnitt der Amplituden A = ( N i=1 α i)/ n : avg Operator D n hat folgende Wirkung: avg

20 Inversion am Durchschnitt Operator D n D n α 1. α n = D n = auf Basis von Quantengattern: D n = H n R n H n, wobei A (α 1 A) A α 1. =. A (α n A) A α n 1 n... n n n 1... n n n n 1 n R n = { x, x = 0 (n) x, sonst R n entspricht V f mit f (x) = x 1 x n

21 Algorithmus 1: gleichmäßige Superposition generieren: z := H n 0 (n) : G f = D n V f -mal auf z anwenden π 4arcsin t N 3: Beobachtung des Registers, Wert in x 0 speichern 4: Ⅎ1 : f (x 0 ) = 1 Ende, x 0 ausgeben 5: Ⅎ : f (x 0 ) = 0 gehe zu 1. Bemerkungen Wirkung des Grover-Operators: für z 0 = V f z 0 = 1 N ( i L i i L i ), ist z 1 = D n z 0 1 N ( x (0,1] = arcsinx > x : i L i + 3 i L i ) π 4 arcsin t N < π 4 N t

22 Analyse Eigenschaften erwartete Iterationen * : O( N/t), probabilistisch: Ω(N/t) Laufzeit: je Iteration O(n) = O(log N) Qubit-Operationen, also insgesamt O( N/t log N) Beweisskizze (*) l i : Amplitude einer Lösung nach Anwendung von G i f, k i : Nichtlösung Durchschnitt in Runde i > 0: Ai = (t l i 1 + (N t)k i 1 )/N Einsetzen Rekursion (ki = A i k i 1, l i = A i l i 1 ergibt l 0 = k 0 = 1/ N (1) k i = N t N l i = N t N k i 1 t N l i 1 () k i 1 + N t N l i 1 (3)

23 Analyse Fortsetzung Beweisskizze definieren θ = arcsin t/n, damit gilt sinθ = t/n cos θ = (N t)/n sin θ = t/n cos θ = (N t)/n Lösungen (Bew. durch Additionstheoreme und Induktion): k i = cos ((i + 1)θ) / N t (4) l i = sin((i + 1)θ) / t (5) Wahrscheinlichkeit, eine der t Lösungen zu messen, ist t li = sin ((i + 1)θ) =! 1 = (i + 1)θ = π/ es folgt i = π 4θ 1, daher wird G f π/(4θ) -mal angewendet

24 Analyse Fortsetzung Beweisskizze j = i abgerundet, daher Fehlermöglichkeit (Zeile 5, Ⅎ) erneuter Durchlauf, wenn Nichtlösungsvektor gemessen wird: P E = (N t)k j = cos [(j + 1)θ] = cos [( π/(4θ) + 1) θ] (6) = cos [( (π/(4θ) ǫ) + 1) θ] = cos [π/ + (1 ǫ)θ] = sin [(1 ǫ)θ] ǫ [0,1) = sin( θ) < sin[(1 ǫ)θ] sinθ, daraus folgt P E sin θ = t/n

25 Analyse Fortsetzung Beweisskizze Wahrscheinlichkeit für Neudurchlauf ist P E ; Anzahl von Durchläufen R GEO(1 P E ) hat Erwartungswert E(R) = 1 1 P E N N t, dieser ist für t N/ und 1 sonst pro Durchlauf π 4θ + 1 < π N 4 t + 1 Iterationen, insgesamt also ( ) N O t Sonderfall: t = N/4 = P E = 0, damit ist θ = π 6 ; einsetzen in (6)

26 Verallgemeinerungen unbekannte Lösungszahl (t < 3 4 N): ebenfalls O ( N t ) andere Lösungsräume {x 1,... x n }: ersetze H n durch Transformation, die den x i die gleiche Amplitude zuweist Grover-basierter Algorithmus, der das Minimum mit Wahrscheinlichkeit 1 in O( N) Iterationen findet Lösungen zählen: Amplituden der Vektoren in L und L zeigen nach Anwendung des Grover-Operators Periodizitäten; Quanten-Fourier-Transformation bestimmt diese annähernd und lässt auf Lösungsanzahl schlussfolgern

27 Literatur Hirvensalo, Mika (004). Quantum Computing. Zweite Auflage. Heidelberg: Springer. Gruska, Jozef (1999). Quantum Computing. London: McGraw-Hill International (UK) Limited. Berger, Andreas (00). Grovers Suchalgorithmus. Technische Universität Chemnitz. Fakultät für Informatik. < /ThIS/Seminare/ss0/QC/berger.pdf>