Algorithmen für Quantencomputer II Der Shor Algorithmus

Transkript

1

2

3

4 Der Shor Algorithmus Hauptseminar Theoretische Physik Universität Stuttgart, SS 2011

5 Inhalte des Vortrags Motivation: wie findet man Primfaktoren auf klassischem Wege? Zwei Sätze der Zahlentheorie und ein Stellvertreterproblem. Die Quantenmechanik des Shor Algorithmus. Zusammenfassung und Literatur. 01/14

6 Aufgabe: Finde zu einer natürlichen Zahl N zwei Primzahlen p,q mit N=pq. Einfachster Algorithmus: Ausprobieren, ob Laufzeit ein Teiler von N ist. völlig ineffizient! 02/14

7 Aufgabe: Finde zu einer natürlichen Zahl N zwei Primzahlen p,q mit N=pq. Einfachster Algorithmus: Ausprobieren, ob Laufzeit ein Teiler von N ist. völlig ineffizient! Derzeit bester Algorithmus: general number field sieve (GNFS) [Pom96] Laufzeit ca. Kompl. Klasse NP exp. schwierig. [Pom96] Carl Pommercance, A Tale Of Two Sieves, Notices of the AMS 43 (12): pp , (1996) 02/14

8 Aufgabe: Finde zu einer natürlichen Zahl N zwei Primzahlen p,q mit N=pq. Einfachster Algorithmus: Ausprobieren, ob ein Teiler von N ist. Laufzeit völlig ineffizient! Derzeit bester Algorithmus: general number field sieve (GNFS) [Pom96] Laufzeit ca. Kompl. Klasse NP exp. schwierig. Abhilfe durch Quantenmechanik: Shor Algorithmus Laufzeit Kompl. Klasse P erheblich schneller als GNFS! Beispiel: L=130, GNFS benötigt 42 Tage L=130, Shor benötigt 7 Stunden L=260, GNFS benötig ca. 1 Mio. Jahre L=260, Shor benötigt 8x7=56 Stunden [Pom96] Carl Pommercance, A Tale Of Two Sieves, Notices of the AMS 43 (12): pp , (1996) [Bru04] Dagmar Bruß, Skriptum zur Vorlesung Quanteninformationstheorie, Uni. Düsseldorf (2004/2005) 02/14

9 Der Shor Algorithmus (nach Peter W. Shor, 1994) führt die Suche nach den Primfaktoren p,q auf die Suche nach der Periodizität r einer bestimmten Funktion f(x). Primfaktoren p.q werden anschließend aus r berechnet. Diese Periodizität kann klassisch ermittelt werden, oder wesentlich effizienter mit Hilfe der sog. Quantenfouriertransformation (). Shor Algorithmus Klassischer Teil zur Reduzierung des Problems auf Funktion f(x). Quantenmechanischer Teil zur effizienten Lösung des Restproblems. (Finden der Periode r) [Sho94]Peter W. Shor, SIAM Journal on Computing,,26, S (1994) 03/14

10 SATZ 1 Seien p,q Primzahlen mit N=pq und a<n eine natürliche Zahl mit ggt(a,n)=1 (a und N ko-prim). Dann ist die Funktion periodisch mit Periode r. 04/14

11 SATZ 1 Seien p,q Primzahlen mit N=pq und a<n eine natürliche Zahl mit ggt(a,n)=1 (a und N ko-prim). Dann ist die Funktion periodisch mit Periode r. SATZ 2 Sei r gerade und gilt dann ist 04/14

12 SATZ 1 Seien p,q Primzahlen mit N=pq und a<n eine natürliche Zahl mit ggt(a,n)=1 (a und N ko-prim). Dann ist die Funktion periodisch mit Periode r. Zu zerlegende Zahl N=15, wähle a=11. x f(x) Periode r=2 ist gerade und es gilt SATZ 2 Sei r gerade und gilt Damit sind die Primfaktoren dann ist 04/14

13 Ausgangspunkt für Quantenteil: 2 Register der Länge n und m N 05/14

14 Ausgangspunkt für Quantenteil: 2 Register der Länge n und m N Erzeuge gleichgewichtete Superposition im 1. Register mit 05/14

15 Ausgangspunkt für Quantenteil: 2 Register der Länge n und m N Beispiel N=15 (1111) Wähle (mindestens) n=3 und m=4 Superposition Erzeuge gleichgewichtete Superposition im 1. Register Die Nummer eines Zustands ist gleichzeitig der Messwert. mit 05/14

16 Bilde das erste auf das zweite Register durch die unitäre Transformation ab. Es folgt Periodizität ist globale Eigenschaft der Funktion und steckt nach bereits einer Operation in den Zuständen des 1. Registers! David Deutsch: massive quantum parallelism Erster Hauptgrund für hohe Effizienz! 06/14

17 Bilde das erste auf das zweite Register durch die unitäre Transformation Wähle ein a < N = 15 mit ggt(a,n)=1 z.b. a=11 (oder 14, 13, 8, 7, 4, 2) Damit lautet der Zustand nach der unitären Transformation ab. Es folgt Periodizität ist globale Eigenschaft der Funktion und steckt nach bereits einer Operation in den Zuständen des 1. Registers! David Deutsch: massive quantum parallelism Die Nummern der Zustände des 1. Registers haben i.a einen Offset l gegenüber Null. Hier ist l=0 und l=1. Erster Hauptgrund für hohe Effizienz! 06/14

18 Messung am 2. Register projeziert das 1. Register je nach Offset l auf Mit [d/r] der größten natürlichen Zahl kleiner gleich d/r (Gauß-Klammer) Durch (sehr) häufige Wiederholung der Messung und Selektion nach Offset lässt sich prinzipiell jetzt schon Periode r auslesen. 07/14

19 Messung am 2. Register projeziert das 1. Register je nach Offset l auf Nur Projektion auf die Zustände des 2. Registers ist ungleich 0: Offset l=0 ; also Projektion auf 1. Register in Superposition Mit [d/r] der größten natürlichen Zahl kleiner gleich d/r (Gauß-Klammer) Offset l=1 ; also Projektion auf 1. Register in Superposition Durch (sehr) häufige Wiederholung der Messung und Selektion nach Offset lässt sich prinzipiell jetzt schon Periode r auslesen. Durch häufige Messung am 1. Register lassen sich die Nummern der Zustände und damit die Periode zu r=2 auslesen Für große N unpraktisch, schneller mit Quantenfouriertransformation () 07/14

20 Idee der : Verschiebe den uninteressanten Offset in eine für die Messung irrelevante Phase. Die Wirkung des unitären Operators auf einen Zustand ist definiert als 08/14

21 Idee der : Verschiebe den uninteressanten Offset in eine für die Messung irrelevante Phase. Die Wirkung des unitären Operators auf einen Zustand ist definiert als Betrachte im Folgenden den Fall Registers lautet somit, also. Die des 1. 08/14

22 Genauere Betrachung der Funktion g(z) Summe ist geometrische Reihe 09/14

23 Genauere Betrachung der Funktion g(z) Summe ist geometrische Reihe 1) sei 09/14

24 Genauere Betrachung der Funktion g(z) Summe ist geometrische Reihe 1) sei 2) sei Alle Zustände, die die Bedingung 2) erfüllen, verschwinden durch destruktive Interferenz. Zweiter Hauptgrund für hohe Effizienz! 09/14

25 Zusammengefasst lautet die des 1. Registers somit z-summation auf k-summation umgeschrieben Unterschied zum Anfang: Offset l steht nicht mehr im Zustand sondern in dem für die quantentheoretische Messung irrelevanten Phasenfaktor. 10/14

26 Der Gesamtzustand ( 1. und 2. Register) lautet somit Wobei der l-abhängige Phasenfaktor in das nicht interessierende 2. Register geschoben wurde. Die Periodizität steht nun in der Bezeichnung der Zustände des 1. Registers und ist durch Messung am 1. Register direkt zugänglich Bekannt: Bekannt durch Messung: 11/14

27 Der Gesamtzustand ( 1. und 2. Register) lautet somit Wobei der l-abhängige Phasenfaktor in das nicht interessierende 2. Register geschoben wurde. Die Periodizität steht nun in der Bezeichnung der Zustände des 1. Registers und ist durch Messung am 1. Register direkt zugänglich Register 2 wurde im Zustand entsprechend l=1 präpariert. des 1. Registers: Damit lautet der Endzustand Bekannt: Bekannt durch Messung: 11/14

28 Endzustand Mit der Wahrscheinlichkeit ½ wird am 1. Register der Messwert der zum Zustand mit Nummer 0 (k=0) gehört, also gemessen, keine Information 12/14

29 Endzustand Mit der Wahrscheinlichkeit ½ wird am 1. Register der Messwert der zum Zustand mit Nummer 0 (k=0) gehört, also gemessen, keine Information Mit gleicher Wahrscheinlichkeit wird gemessen, also der Zustand mit Nummer 4 (k=1), also r=2 Damit ist der Quantenteil des Algorithmus am Ende. 12/14

30 Endzustand Mit der Wahrscheinlichkeit ½ wird am 1. Register der Messwert der zum Zustand mit Nummer 0 (k=0) gehört, also gemessen, keine Information Mit gleicher Wahrscheinlichkeit wird gemessen, also der Zustand mit Nummer 4 (k=1), also r=2 Damit ist der Quantenteil des Algorithmus am Ende. Klassisch geht es weiter nach SATZ 2: 12/14

31 Zusammenfassung des Shor Algorithmus Findet nicht-triviale Faktoren in polynomialer Zeit und damit wesentlich schneller als alle bisher bekannten klassischen Verfahren (exponentielle Laufzeit). Aufgebaut aus klassischem und quantenmechanischen Teil. Im Quantenteil: Suche nach Faktoren wird in Suche nach Periodizität r der Funktion f(x) verwandelt. Suche erfolgt durch Quantenfouriertransformation. Superposition Implementierung Durchläufe Insgesamt Praktische Umsetzung jedoch auf heutigem Stand ausgesprochen schwierig und bisher nur für den einfachsten Fall N=15 mit insgesamt 7 Qubits gelungen, [Lan07]. Größtes Problem: Für Zahlen, die klassisch nicht mehr faktorisiert werden können, sind extrem lange Dekohärenzzeiten (> mehrere Stunden) erforderlich. Fazit: Shor Algorithmus in der Theorie von großer Bedeutung, aber momentan noch jenseits einer praktischen Umsetzung. [Lan07] B. P. Lanyon et al., PRL 99, (2007) 13/14

32 Verwendete und weiterführende Literatur Zahlentheoretische Aspekte [Pom96] Carl Pommercance, A Tale Of Two Sieves, Notices of the AMS 43 (12): pp , (1996) Zur Theorie [Bru04] Dagmar Bruß, Skriptum zur Vorlesung Quanteninformationstheorie, Uni. Düsseldorf (2004/2005) [Ste97] Andrew Steane, Skriptum Quantum Computing, University of Oxford (1997) [Aud05] Jürgen Audretsch, Verschränkte Systeme, Wiley-VCH Verlag (2005) [Sho94] Peter W. Shor, SIAM Journal on Computing,,26, S (1994) Zur experimentellen Umsetzung [Lan07] B. P. Lanyon et al., PRL 99, (2007) 14/14