Mathematik sehen und verstehen

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1 Mathematik sehen und verstehen Schlüssel zur Welt Bearbeitet von Dörte Haftendorn 1. Auflage Taschenbuch. x, 341 S. Paperback ISBN Format (B x L): 16,8 x 24 cm Weitere Fachgebiete > Mathematik > Mathematik Allgemein Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 2 Kryptografie Abb. 2.1 Anzapfen der Kommunikation nützt nichts Kryptografie in unserer Welt Ein namhaftes Werk zur deutschen Rechtschreibung schreibt in seiner Auflage von 2006 das Folgende: Kryp to gra fie, die;-,...ien (Psychol. absichtslos entstandene Kritzelzeichnung bei Erwachsenen; Disziplin der Informatik; veraltet für Geheimschrift) Dieselbe arg unvollkommene Definition enthält das Fremdwörterbuch desselben Verlages, aber auch das Rechtschreibwerk eines anderen großen Herstellers. Der Brockhaus allerdings beschreibt Kryptografie und Kryptologie in seiner Auflage von 1990 schon zutreffend als die Lehre von der Entwicklung und Bewertung von Verschlüsselungsverfahren zum Schutz von Daten. Jedenfalls steckt das griechische Wort kryptikos darin, das verborgen, geheim heißt. Kryptografie ist also das verborgene Schreiben und Kryptologie heißt die Lehre vom Geheimen. Zusammen trifft dies den Sachverhalt auch wirklich. Heute hat sich Kryptografie als allgemeine Bezeichnung durchgesetzt. Beutelspacher et al. formulieren in ihrem Buch [Beutelspacher 2] den Satz: Kryptografie ist eine öffentliche mathematische Wissenschaft, in der Vertrauen geschaffen, übertragen und erhalten wird. Genau hier liegen die Ziele dieses Kapitels: Sie die Öffentlichkeit sollen so viel verstehen können, dass Sie nicht blind vertrauen müssen.

3 10 2. Kryptografie 2.1 Die alte und die neue Kryptografie Vermutlich haben Menschen schon immer Nachrichten ausgetauscht, die nicht jeder erfahren durfte. Einige einfallsreiche Verfahren der abendländischen Geschichte sind bekannt. Bei der griechischen Skytala wurde ein langes Band um einen Stab gewickelt und dann in Längsrichtung des Stabes beschriftet. Nach dem Abwickeln erschienen die Buchstaben in nicht zu deutender Reihenfolge auf dem Band. Wer aber den passenden Stab hatte, wickelte das Band wieder auf und las bequem die Nachricht. Verschlüsselungen mit Alphabetverschiebung haben eine lange Tradition und sind immer mehr verfeinert worden (dazu mehr im nächsten Absatz). Bei uninformierten Gegenspielern nützte schon das Verwenden erfundener Zeichen anstelle der Buchstaben. Beliebt waren auch immer wieder unsichtbare Tinten, die durch chemische Prozesse sichtbar gemacht werden konnten. Immer aber mussten im Vorhinein Vereinbarungen zwischen Sender und Empfänger der verschlüsselten Nachricht getroffen werden, deren Kenntnis zum Entschlüsseln notwendig war, aber in unberechtigte Hände gelangen konnten. Hier lag die entscheidende Schwachstelle der alten Kryptografie. Bis in die siebziger Jahre des 20. Jahrhunderts konnte man sich eine durchgreifende Lösung dieses Problems auch nicht vorstellen. Seitdem aber gibt es die Kryptografie mit öffentlichen Schlüsseln. Jeder darf diese Schlüssel kennen, auch ein potenzieller Angreifer, der unerlaubt das kryptografische Geheimnis ausspähen will. Dieser Mister X, so wird er oft bezeichnet, darf sogar genau das Verfahren kennen, nach dem Sender und Empfänger vorgehen. Da heute immer Computer im Spiel sind, besteht auch die Sorge, das Anzapfen der Leitungen könnte Mister X etwas nützen. Aber auch das nützt ihm rein gar nichts. Voraussetzung ist allerdings, dass Sender und Empfänger das entsprechende kryptografische Protokoll sinnvoll befolgen, und nicht etwa ihre privaten Schlüssel für jemand anderen zugänglich machen. Auch der Kommunikationspartner, mit dem ein Geheimnis geteilt werden soll, erfährt niemals die privaten Schlüssel. Ein Mindestmaß an Einsicht, was bei der Ver- und Entschlüsselung geschieht, wird deshalb sicher hilfreich sein. Bei der Public-Key-Kryptografie wird mit öffentlichen Schlüsseln die in eine Zahl umgewandelte Nachricht auf besondere Weise verrechnet. Dabei spielen große Primzahlen mit mehr als 150 Stellen eine Rolle. Mit kleinen Primzahlen wie 17 oder 23 sind das Vorgehen und das besondere Rechnen durchaus verstehbar. In diesem Kapitel unternehmeich den Versuch, Ihnendie moderne Kryptografie verständlich zu machen. Alphabetische Verschlüsselung Wir werden zunächst die alphabetische Verschlüsselung verfeinern und verwandeln, damit Sie die von der alten Kryptografie nicht überwundene Hürde besser verstehen. Um militärische Informationen geheim zu übermitteln, verwendete Cäsar eine einfache Verschlüsselungsidee: Das Alphabet wurde, wie in Abb. 2.2 gezeigt, um einige Buchstaben verschoben. Die Information, dass aus dem A ein L wird, reichte schon aus, um aus dem Wort MATHE den Geheimtext XLESP zu machen. So konnte dann ein Bote mit einer geheimen Nachricht von VZPWY nach ECTPC reiten. Wenn dem Gegner, der

4 2.1 Die alte und die neue Kryptografie 11 Abb. 2.2 Monoalphabetische Verschlüsselung einen solchen Boten abfing, dieses Prinzip der monoalphabetischen Verschlüsselung bekannt war, konnte er spätestens nach 25 Versuchen den Text lesen. Unsere Computer könnten gleich alle möglichen Rückübersetzungen nennen und der Nutzer wählt die einzige leserliche aus. Ein weiterer Erfolg versprechender Angriff kann über die Buchstabenhäufigkeit erfolgen. Im Deutschen ist E der bei Weitem häufigste Buchstabe. Es folgen N und R. Bei den obigen verschlüsselten Wörtern kommen P und C am häufigsten vor, es könnte sich um E, N oder R handeln. So ist es ja auch. Die Kurzworte IN, AN, UND, AUF,... sind in Kryptogrammen leicht kenntlich, so dass man ohne Wortgrenzen verschlüsseln muss. Damit kann man die Sicherheit ein Abb. 2.3 Vigenère-Quadrat, polyalphabetische Verschlüsselung

5 12 2. Kryptografie wenig erhöhen, bei längeren Geheimtexten kommt man aber dennoch leicht zur Entschlüsselung. Eine bessere Idee sind polyalphabetische Verschlüsselungen. Vigenère schlägt um 1550 die Verwendung eines Buchstabenquadrates vor. Betrachten Sie Abb Ein Schlüsselwort gibt Buchstabe für Buchstabe an, mit welcher Zeile der Klartext verschlüsselt werden soll. Hier wird wegen GALLIA als Erstes die Zeile verwendet, bei der das schwarze G unter dem roten A steht. Damit wird der Klartextbuchstabe K in Q umgewandelt. Als Verständnishilfe sind oben die ersten Schritte nummeriert. So ergibt sich: K L E O P A T R A C O R M E U M Q L P Z X A X J T Q A E U W X U WennKleopatra nunweiß, dasssiedenanfang desbuchesde bello gallico von Cäsar als Schlüsselwort nehmen soll, kann sie das Kryptogramm lesen. Die Vigenère-Verschlüsselung kann bei kurzen Schlüsselwörtern, die dann immer wiederholt werden, recht einfach geknackt werden. Zuerst versucht man die Blöcke zu bilden, die die Länge des Schlüsselwortes haben. Dann nimmt man wieder die Häufigkeitsanalyse. Besonders wegen der Unterstützung durch Computer gilt die polyalphabetische Verschlüsselung mit kurzen Schlüsselwörtern als unsicher. Wenn man aber als Schlüssel den Text aus Cäsars Buch immer weiter fortlaufend verwendet, dann klappt dieser Angriff nicht. Noch besser wäre es, statt des Buchtextes eine zufällige Buchstabenfolge zu nehmen. Leider müssen dann aber Sender und Empfänger dieselbe Folge haben. Das ist schwer zu bewerkstelligen. Nimmt man Zahlen statt Buchstaben, kann man leichter zufällige Folgen bilden und übermitteln, wie wir unten sehen werden. Um einen Text in Zahlen zu übersetzen, kann man einfach dasselbe Verfahren verwenden, das sowieso bei unseren Computern üblich ist. Der sogenannte ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange) reicht in seinem Grundtyp bis zur Nummer 127. Hier ist von der ASCII- Nummer die Zahl 28 abgezogen, damit die Verschlüsselung mit zweistelligen Zahlen möglich ist. Mit höheren Nummern als sie Abb. 2.4 entsprechen folgen noch die Kleinbuchstaben und andere Zeichen. Abb. 2.4 ASCII-Code minus 28 Nun verschlüsseln wir mit Abb. 2.5 die Ziffern einzeln. Sei m die Nachricht (message), als Wort istes RABE, s der Schlüssel und c die verschlüsselte Nachricht (ciphertext), der Code. Die Vorgehensweise ist eigentlich dieselbe wie beim Vigenère-Quadrat aus Abb. 2.3, nur haben wir es jetzt durch die Zahlen bequemer als mit den Buchstaben. Wir müssen nur einzeln zu jeder Ziffer der Nachricht m die darunter stehende Ziffer des Schlüssels addieren und dabei die Zehnerüberträge ignorieren. Man nennt dieses Vorgehen auch Addition modulo 10. In Abschnitt 2.3 widmen wir uns ausführlich dem modulo-rechnen.

6 2.1 Die alte und die neue Kryptografie 13 Abb. 2.5 Vigenère-Quadrat mit Zahlen Bemerkenswert ist, wie sich das antike Alphabetverschieben in ein mathematisches Vorgehen verwandelt hat. Verschlüsseln mit dem One-Time-Pad Die verschlüsselte Nachricht könnte der Angreifer gern abfangen, sie enthält für jemanden, der den Schlüssel nicht kennt, keinerlei Information. Denn jede andere Nachricht m kann bei passendem Schlüssel s genau diese verschlüsselte Nachricht c ergeben. Machen Sie sich anhand der Abb. 2.6 klar, dass zur Textnachricht MAUS ein Schlüssel s konstruiert werden kann, der auch zu c führt. Abb. 2.6 Auch MAUS wird zum Code von RABE Hier ist der Schlüssel acht Stellen lang und das Verfahren kann Worte mit vier Buchstaben unknackbar verschlüsseln. Bleibt man auch bei längeren Nachrichten bei einem so kurzen Schlüssel, so kann ein Angreifer die Schlüssellänge herausbekommen und dann doch mit der Beachtung der Buchstabenhäufigkeiten Erfolg haben. Also nimmt man keine kurzen Schlüssel.

7 14 2. Kryptografie Das One-Time-Pad ist eine Verschlüsselungsmethode, bei der jede Schlüsselziffer nur einmal zum Verschlüsseln einer Ziffer der Nachricht verwendet wird. Abb. 2.7 One-Time-Pad als Abreißkalender Wenn jeder Schlüssel möglich ist, ist das One-Time-Pad mit unserer obigen Überlegung als sicher nachgewiesen. Die Zahlenfolge für den Schlüssel muss so lang sein wie die Nachricht. Und der Angreifer darf keine Schlüsselziffer vorhersagen können. Stellen Sie sich vor, zufällige Schlüsselziffern stünden auf einem Abreißkalender wie in Abb. 2.7, dessen Blätter Sie einzeln verwenden und dann wegwerfen. Nun widmen wir uns der Schwierigkeit, dass der Empfänger eine identische Kopie dieses Abreißkalenders braucht. Quasizufällige Zahlenfolgen kann man mit Computern leicht erzeugen. Mit quasizufällig meint man, dass die Zahlenfolge für einen Angreifer nicht erratbar ist, dass sie aber in Wahrheit durch einen Algorithmus, ein Rechenverfahren, erzeugt wird. Es eignen sich z. B. die Ziffern der Kreiszahl π von irgendeiner Startstelle aus, sagen wir ab der Stelle Die beiden Kommunikationspartner starten dann die π-berechnung oder allgemeiner einen Zufallszahlengenerator an derselben Stelle. Nun haben wir also den identischen Abreißkalender mit zufällig erscheinenden Ziffern, aber es bleibt noch das Problem, wie die Startstelle unangreifbar sicher übermittelt werden kann. Genau hier kommt die alte Kryptografie nicht weiter haben Diffie und Hellman das Problem der sicheren Schlüsselvereinbarung gelöst, wie Sie in Abschnitt sehen und verstehen können. Damit ist das Zeitalter der modernen Kryptografie eingeläutet, die sich vollständig von der Idee der verborgenen Muster löst undals Werkzeuge große Primzahlenund das modulo-rechnen etabliert. 2.2 Primzahlen Ein natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat, nämlich die 1 und sich selbst. Damit ist 2 die kleinste Primzahl und auch die einzige gerade Zahl unter den Primzahlen. Alle anderen geraden Zahlen haben ja die 2 als dritten möglichen Teiler. Die nachfolgenden Primzahlen sind 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,..., dabei sagen die drei Pünktchen nur, dass noch weitere Primzahlen folgen. Nicht gemeint ist, dass nun die 21 folgt,