Prüfungsklausur im Fach Modellierung und Simulation mechatronischer Systeme 12. August 2013 Name: Vorname: Matrikelnummer: Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner, Schreib- und Zeichenwerkzeug (kein roter Stift, kein Bleistift) Das Mitbringen nicht zugelassener Hilfsmittel wie Schriftstücke oder lose Blätter gilt als Täuschung und führt zur Nichtanerkennung der Klausur. Telefone, PDAs und andere Kommunikationsmittel sind auszuschalten! Bitte beachten: 1. Schreiben Sie auf dieses Deckblatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. 2. Alle Lösungen samt Lösungsweg (Begründungen) sind in eindeutiger Weise an den gekennzeichneten Stellen einzutragen. Viel Erfolg! 1 / 16
Aufgabe 1 In der nachfolgenden Tabelle sind zehn physikalische Größen aufgelistet. Kennzeichnen Sie jeweils durch Ankreuzen, ob es sich um eine mengenartige oder um eine nicht-mengenartige Größe handelt. Größe Elektrische Spannung Elektrische Leistung Temperatur Volumen Drehimpuls Drehmoment Dichte Kinetische Energie Winkelgeschwindigkeit Molare Masse (= stoffspezifische Masse in kg/mol; 1 Mol 6,02*10^23 Teilchen) mengenartig nichtmengenartig 2 / 16
Aufgabe 2 Nachfolgend sind vier technische Systeme skizziert. Stellen Sie die jeweils geforderte Bilanz für die eingezeichnete Bilanzhülle auf. Vereinfachen Sie die Bilanzgleichung anschließend, soweit dies möglich ist. Die verwendeten Formelzeichen haben folgende Bedeutungen: M: Drehmoment : Dichte C: elektr. Kapazität : Winkelgeschwindigkeit i: elektr. Strom m: Masse J: Massenträgheitsmoment R: elektr. Widerstand c: Federsteifigkeit q V : Volumenstrom L: elektr. Induktivität d: Dämpfungskonstante a) Rotierende Massen: Stellen Sie eine Drallbilanz auf. (Bezugsachse: Welle; Zählrichtung des Dralls: mit ). Schwungmassen auf masseloser Welle Bilanzhülle M 1, J 1 J 2 M 2 b) Flüssigkeitsbehälter: Stellen Sie eine Massenbilanz auf. q V,1 Bilanzhülle Flüssigkeit konstanter Dichte q V,2 3 / 16
c) Elektrisches System: Stellen Sie eine Ladungsbilanz auf. d) Mechanisches System: Stellen Sie eine Impulsbilanz (für m) auf. Zum Zeitpunkt t = 0 sei das System in Ruhe. x(t) sei die Auslenkung von m zum Zeitpunkt t bezogen auf die Position x 0 = x(t = 0). z(t) entsprechend die Auslenkung des unteren Angriffspunkts bezogen auf z 0 = z(t = 0). 4 / 16
Aufgabe 3 a) Gegeben ist ein System mit der Eingangsgröße u(t) und der Ausgangsgröße y(t), das durch folgende Gleichung beschrieben wird: 3 2 d y d y dy a b c d y u. 3 2 dt dt dt Zeichnen Sie ein Signalfluss-orientiertes Blockschaltbild, das die obige Gleichung in der Art eines Simulink -Modells implementiert. Schreiben Sie die einzustellenden Parameter in Abhängigkeit der Koeffizienten a, b, c und d zu den entsprechenden Blöcken. Führen Sie die Eingangsgröße auf der linken Seite und die Ausgangsgröße auf der rechten Seite heraus. Verwenden Sie keinen Differenzierblock! 5 / 16
b) Gegeben ist ein System mit der Eingangsgröße u(t) und der Ausgangsgröße y(t), das durch folgende Gleichung beschrieben wird: 2 d y dy p q r y u 2 dt dt Zur Implementierung mittels des Simulink -Blocks State-Space soll das System in eine Zustandsraumdarstellung überführt werden: x A x B u ; y C x D u. Geben Sie die Matrizen A, B, C und D vollständig an. c) Geben Sie zum folgenden Simulink -Blockschaltbild die zugehörige (integralfreie) Differentialgleichung der Ausgangsgröße y(t) in Abhängigkeit von der Eingangsgröße u(t) an. 6 / 16
Aufgabe 4 Mit Hilfe der Modellierungssprache Modelica können objektorientierte Modelle dynamischer Systeme erstellt werden, beispielweise Modelle elektrischer Netzwerke mit Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten, etc. (vgl. Bild 4.1). Bild 4.1: Beispiel eines elektrischen Netzwerkmodells in Modelica Hinweis: Verwenden Sie im Folgenden stets den Datentyp real bei Variablendeklarationen. a) Ergänzen Sie die erforderlichen Variablendeklarationen im Modelica -Text der verwendeten Schnittstellen-Klasse Pin für elektrische Netzwerke. name name connector Pin (hier Deklarationen ergänzen) end Pin; b) Vervollständigen Sie die Modellklasse Inductor so, dass diese das Strom- und Spannungsverhalten von Induktivitäten in elektrischen Netzwerken beschreibt. Achten Sie bei der Variablendeklaration auch darauf, ob die jeweilige Variable vom Nutzer zugreifbar sein sollte oder nicht. (Hinweis: Verzichten Sie auf Vererbung.) model Inductor Pin p positiver Pin ; Pin n negativer Pin ; (hier Deklarationen ergänzen) equation (hier Gleichungen ergänzen) end Inductor; 7 / 16
c) Welche Aufgabe hat die Modellklasse, die der im Bild gezeigten Komponente ground zugrunde liegt? Ergänzen Sie auch hier den Modelica -Text. Modelica -Implementierung: name model Ground Pin p positiver Pin ; equation (hier Gleichung[en] ergänzen) end Ground; 8 / 16
Aufgabe 5 Im Folgenden ist ein E/A-Automat als Tabelle vorgegeben. Die Menge der Eingaben ist E = {u 1, u 2}, die Menge der Ausgaben A = {y 1, y 2}. Der Anfangszustand ist z 1. {z(k+1), y(k)} bei u(k) z(k) u 1 u 2 z 1 z 4, y 2 z 2, y 2 z 2 z 1, y 1 z 3, y 1 z 3 z 1, y 1 z 4, y 2 z 4 z 3, y 1 z 1, y 1 a) Geben Sie den Automatengraphen an. b) Handelt es sich um einen Mealy-Automaten oder um einen Moore-Automaten? Begründen Sie Ihre Antwort. 9 / 16
c) Ist der Automat vollständig? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Mealy- und Moore-Automaten können ineinander überführt werden. Geben Sie die Automatentabelle an, die man nach Transformation in den anderen Automatentyp erhält. 10 / 16
Aufgabe 6 Gegeben ist ein zyklisches Fertigungssystem mit folgenden Eigenschaften: Ein Fertigungszyklus besteht aus 4 aufeinanderfolgenden Zuständen Z1, Z2, Z3, Z4. Anfangszustand ist Z1. Tritt ein Fehler auf, wechselt das System in den Fehlerzustand F. Aus dem Fehlerzustand F wechselt das System in Z1. (Die hier notwendige Initialisierung wird vernachlässigt.) Die Wahrscheinlichkeit, dass von einem der 4 Fertigungszustände korrekt zum nächsten gewechselt wird, beträgt 90 %. Die Rückkehrwahrscheinlichkeit vom Fehlerzustand F in den Zustand Z1 beträgt 75 % (Reparaturquote). a) Geben Sie den Automatengraphen des stochastischen Automaten an. 11 / 16
b) Formulieren Sie die entsprechende Matrixdarstellung des Automaten. c) Wie kann man bei gegebenem Anfangszustand berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich das System nach 15 Fertigungszyklen nicht in einem Fehlerzustand befindet? 12 / 16
Aufgabe 7 Es soll die Steuerung einer Mikrowelle in Form eines hierarchischen Statecharts mit drei Hierarchieebenen entworfen werden. Eingangsseitig verarbeitet die Steuerung die Events On_Off und Start_Pause sowie das Datensignal High. (Das Event Clock dient lediglich als periodisches Triggersignal aus Simulink und muss im Folgenden nicht beachtet werden.) Ausgangsseitig werden die beiden Datensignale Output und Light beschaltet. (Vgl. Bild 7.1) Bild 7.1: Simulink -Modell mit Statechart Microwave Die Mikrowelle wird durch das Event On_Off ein- bzw. ausgeschaltet. Im eingeschalteten Zustand brennt die Beleuchtung, die Mikrowelle wechselt durch das Event Start_Pause zwischen Heizbetrieb und Pausenbetrieb. Im Heizbetrieb beeinflusst das Datensignal High, ob die Speisen mit 300 Watt (bei High == 0) oder mit 600 Watt (bei High == 1) erhitzt werden. Output gibt die Heizleistung in Watt zurück {0; 300; 600}, Light den Zustand der Beleuchtung {0; 1}. Modellieren Sie die Steuerung der Mikrowelle als hierarchisches Statechart. Orientieren Sie sich an der Simulink /Stateflow -Notation. Auf der obersten Hierarchieebene soll das Statechart die beiden exklusiven Zustände Off und On haben. Auf der mittleren Hierarchieebene soll das Statechart die beiden exklusiven Zustände Pause und Heating haben. Auf der unteren Hierarchieebene unterscheidet die Steuerung die Zustände Low_Power und High_Power. Wählen Sie Initialzustände, falls nötig. 13 / 16
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Aufgabe 8 Eine Masse der Größe m kann sich unter dem Einfluss einer gegebenen Kraft F(t) und einer Reibungskraft F R in positiver und negativer x-richtung bewegen (Bild 8.1a). x H max F R m F(t) = u(t) G 0 x G 0 H max a. Masse mit Haft-/Gleitreibung b. Kennlinie der Reibungskraft Bild 8.1: Masse mit Reibung Befindet sich die Masse im Ruhezustand, so kann sich zwischen ihr und dem Untergrund eine Haftreibungskraft zwischen H max und +H max aufbauen. Übersteigt der Betrag der Kraft F(t) den Wert der maximalen Haftreibungskraft H max, so setzt sich die Masse in Bewegung und unterliegt von nun an der Gleitreibungskraft G sgn( x ) d x 0 (Bild 8.1b). Umgekehrt bleibt die sich bewegende Masse haften, wenn der Betrag ihrer Geschwindigkeit einen Wert ε 0 ( ε 0 ) unterschreitet. a) Ein hybrider Automat soll das oben beschriebene Verhalten der Masse erzeugen. Die kontinuierliche Eingangsgröße u sei stets die Kraft F. Die interessierenden kontinuierlichen Ausgangsgrößen y 1, y 2 sollen die Position und Geschwindigkeit der Masse in x- Richtung sein. Die kontinuierlichen Anfangsbedingung seien x ( 0) 1m und x ( 0) 1m/s. Geben Sie den Automatengraphen an. Notieren Sie in jedem diskreten Zustand die jeweiligen kontinuierlichen Zustandsgleichungen und an jedem diskreten Zustandsübergang die zugehörige Übergangsbedingung sowie den Anfangszustand des neu aktivierten kontinuierlichen Systems. b) Skizzieren Sie qualitativ die Verläufe der unter a) genannten kontinuierlichen Ausgangsgrößen sowie der Größe z, die den aktiven diskreten Automatenzustand angibt. Die kontinuierlichen Anfangsbedingungen seien wieder x ( 0) 1m und x ( 0) 1m/s, die Eingangsgröße F 0. 15 / 16
Lösung zu a): Lösung zu b): x t x t z 16 / 16 t